河南省方城县第一高级中学2011届高三10月月考(数学理)

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方城一高 2010 年 10 月月考
高三数学试题( 高三数学试题(理)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.若集合 M = {x || x |≤ 2}, N = {x | x ? 3 x = 0} ,则 M∩N= (
2

) D.{0,3}

A.{3} 2.函数 f ( x) =

B.{0}

C.{0,2} )

3x 2 + lg(3x + 1) 的定义域是 ( 1? x

1 1 1 1 1 A. (? , +∞) B. ( ?∞ , ? ) C.. (? , ) D. (? ,1) 3 3 3 3 3 x 3. 已知函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x ∈ (0,1)时,f(x)=2 -1,则 f(log212)的值为
A.

1 3

B.

4 3

C.2

D.11

4.已知函数 y = f (x ) ,对任意的两个不相等的实数 x1 , x 2 ,都有 f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立,且 f (0) ≠ 0 ,则 f (?2006) ? f ( ?2005) ? ........... f ( 2005) ? f ( 2006) 的值是( A.0 B.1 C.2006! ) D. (2006! ) 5.若 log x y = ?2 ,则 x + y 的最小值是( )
2
[来源:Ks5u.com]

A.

33 2 2
2

B.

23 3 3

C.

3 2

3

D. )

2 3

2

6.函数 y=log 1 x 2 ? 6 x + 17 的值域是( A.R 7.设 a,b,c,均为正数, 则( A.a<b<c 8.已知 f ( x) = ? A. (0,1) ) B.c<b<a B. [8,+ ∞)

(

)

C. (-∞,-3 ]

D. [-3,+∞]

1 1 2a = log a,( )b = log b,( )c = log c 且
1 2

2

1 2

2

2

C.c<a<b D. b<a<c

?(3a ? 1) x + 4a, x < 1 是 ( ?∞, +∞ ) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log a x, x ≥ 1 ?
B. (0, 1 )

1 1 1 C. ? ,1] D. ? , ? ?7 ?7 3 ? 3 ? ? ? 9.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( )
A. (2 2, +∞ ) B. [2 2, +∞ ) C. (3, +∞ ) D. [3, +∞ )

10.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15 x 2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最 大利润为
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A.45.606

B.45.6

C.45.56

D.45.51

11. 若函数 f (x ) 是奇函数,且在( 0,+∞ )内是增函数, f ( ?3) = 0 ,则不等式 x ? f ( x ) < 0 的 解集为 A. {x | ?3 < x < 0或x > 3} C. {x | x < ?3或x > 3} 12. 如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0, B. {x | x < ?3或0 < x < 3} D. {x | ?3 < x < 0或0 < x < 3}

2 2 ) , B( , 0) ,顶点 C、D 位 2 2 于第一象限,直线 l : x = t (0 ≤ t ≤ 2) 将正方形 ABCD 分成两部分,记 位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f (t ) ,则函数 S = f (t ) 的图象大致是

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). a b b+m a+n 13.若 a > b > 0, m > 0, n > 0 ,则 , , , 按由小到大的顺序排列为 . b a a+m b+n 14. 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ( x + 2 ) = 1 , 若 f (1) = ?5, 则
f ( x)

f ( f ( 5) ) = _______.
15.直线 y = 1 与曲线 y = x ? x + a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

.

16.下列命题中:①若函数 f ( x ) 的定义域为 R,则 g ( x ) = f ( x ) + f ( ? x) 一定是偶函数; ②若 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,对于任意的 x ∈ R 都有 f ( x ) + f (2 ? x ) = 0 ,则函数 f ( x ) 的 图象关于直线 x = 1 对称;
[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM

③已知 x1 , x2 是函数 f ( x) 定义域内的两个值,且 x1 < x2 ,若 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则 f ( x) 是减函数; ④若 f (x)是定义在 R 上的奇函数,且 f (x+2)也为奇函数,则 f (x)是以 4 为周期的周期函数. 其中正确的命题序号是________.

方城一高 2010 年 10 月月考 高三数学试题(理)
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得分栏
[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]

二 13-16 17 18 19

三 总分 20 21 22

题号

[来源:Ks5u.com]

得分 二、填空题(4*5=20 分) : 13、 15、 14、 16、

三、 解答题: 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (共 6 个大题, 70 分) 共 .
17. (本题满分 10 分) 已知集合 A= x x 2 ? 2 x ? 8 ≤ 0

{

} ,B= {x x 2 ? (2m ? 3) x + m 2 ? 3m ≤ 0, m ∈ R} .

(1)若 A ∩ B = [2,4] ,求实数 m 的值; (2)设全集为 R,若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.

18. (本题满分 10 分)已知 a + b + c = 1 ,求证: a 2 + b 2 + c 2 ≥

1 3

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) = x 2 ? 2 | x | . (Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ)画出函数 g ( x ) = f ( 4 ? x) 的图象,并比较 g (? 1)与g (6) 大小.
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? ? 20. (本题满分 12 分)已知函数 h( x) = ? ? ?

?1? ? ? ?7 ?2? log 2 ( x ? 1)

x

( x ≤ 1) ( x > 1)

(Ⅰ)判断函数 h( x ) 在区间 ( 1 , + ∞ ) 上的单调性并用定义证明; (Ⅱ)若 h( a ) < 1 ,求 a 的取值范围.

21.(本题满分 12 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:

C ( x) =

k ( 0 ≤ x ≤ 10 ) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x ) 为隔热 3x + 5

层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚对,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值.

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22. (本题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) = ax + bx + c .
2

(1)若 a>b>c, 且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点; (2)若 对 x1 , x 2 ∈ R, 且x1 < x 2 , f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ,方程 f ( x ) = 等实根, 证明必有一个根属于( x1 , x 2 ) ; (3)在(1)的条件下,是否存在 m∈R,使 f(m)=- a 成立时,f(m+3)为正数,若 存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.

1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] 有 2 个不 2

高三数学月考参考答案 一、选择题

BDABA CADCB
13.

DC

二、填空题 ④. 三、解答题

1 b b+m a+n a 14. ? ;15. < < < a a+m b+n b ; 5

(

1

,

5 4

)

16.①


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19.解: (Ⅰ)是偶函数. 定义域是 R,∵ f ( ? x) = ( ? x) 2 ? 2 | ? x |= x 2 ? 2 | x |= f ( x) ∴ 函数 f ( x ) 是偶函数. (Ⅱ)g(-1)=f(5)=15, g(6)=f(-2)=0 ∴ g(-1)>g(6)

20.解: (Ⅰ)当 x ∈ ( 1 , + ∞ ) 时,h( x) = log 2 ( x ? 1) ,则 h( x ) 在区间 ( 1 , + ∞ ) 上为增函数, 证明:任取 x1 > x2 > 1 ,则 x1 ? x2 > 0 ,

(

x1 ? 1 ?

) (

x2 ? 1 = x1 ? x2 =

)

x1 ? x2 >0 ∴ x1 + x2

x1 ? 1 > x2 ? 1 > 0 , 又 因 为

y = log 2 u 在 (0,+∞ ) 递增,所以 log 2
h( x) 在区间 ( 1 , + ∞ ) 上为增函数

(

x1 ? 1 > log 2

)

( )

x2 ? 1 ,即 h( x1 ) > h( x2 )

)

所以

证法二: 任取 x1 > x2 > 1 ,h( x1 ) ? h( x2 ) = log 2 幂函数 y =

(

x1 ? 1 ? log 2

(

? x ?1 ? x2 ? 1 = log 2 ? 1 由 ? x ?1 ? ? 2 ? ?

)

x ( 0 , + ∞) 上为增函数可知∴ x1 > x2 > 1 ,即 x1 ? 1 > x2 ? 1 > 0 ,则
? > 1 , log 2 ? x1 ? 1 ? > 0 ∴ h( x1 ) > h( x2 ) , h( x) 在区间 ( 1 , + ∞) 上为增函数. ? ? x ?1 ? ? 2 ?

x1 ? 1 x2 ? 1

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a

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a ?3

? (Ⅱ)若 a ≤ 1 ,则 h(a ) = ? 1 ? ? 7 < 1 ,即 ? 1 ? < ? 1 ? ,∴ a > ?3 ,则 a ∈ ( ?3 , 1] ? ? ? ? ? ?2? ?2? ?2?

若 a > 1 ,则 h( a ) = log 2 上所述, a ∈ ( ?3 , 9) 21.

(

a ? 1 < 1 ,即 log 2 ( a ? 1) < log 2 2 , ∴ a < 3 ,即 a < 9 ,则 a ∈ (1 , 9) 综

)

22. 解: (1) f (1) = a + b + c = 0且a > b > c,∴ a > 0且c < 0,∴ ? = b 2 ? 4ac > 0,∴ f ( x) Q 的图象与 x 轴有两个交点. (2)令 g ( x ) = f ( x ) ?

1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] ,则 g (x) 是二次函数. 2
f ( x1 ) + f ( x 2 ) f ( x1 ) + f ( x 2 ) 1 ][ f ( x 2 ) ? ] = ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )]2 ≤ 0 2 2 4

Q g ( x1 ) ? g ( x 2 ) = [ f ( x1 ) ?

又 Q f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ), g ( x1 ) ? g ( x 2 ) < 0 ∴ g ( x) = 0 的根必有一个属于 ( x1 , x 2 ) .
(3)Q f (1) = 0,∴1 f ( x) = 0 的一个根,由韦达定理知另一根为 为

c c b c b ,1+ = - , = - -1 a a a a a

c c c Qa > 0且 < 0,∴ < 0 < 1 则a (m ? )(m ? 1) = ? a < 0 ∴ < m < 1 c a a a
∵ a>b>c,a>0 ∴

b <1 ∴ a

-

b >-1 a

c b = - -1>-2 a a
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∴m + 3 >

c + 3 > ?2 + 3 = 1 a

∵ f (x) 在(1,+∞)单调递增,

∴ f (m + 3) > f (1) = 0 ,即存在这样的实数 m 使 f(m)=- a 成立时,f(m+3)为正数.

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