江苏无锡一中2011—2012学年度上学期期中考试高一数学试题及答案

江苏无锡一中 2011—2012 学年度上学期期中考试

高一数学试题
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分) 1. 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 4} , B ? {x | 2 ? x ? 6} ,则 A ? B =__________. 2. 已知 a 是实数,若集合{x| ax=1}是任何集合的子集,则 a 的值是_________. 3. 已知函数 f (2 x ? 1) ? 4 x2 ,则 f (5) ?
2

.

? ?x +1,x≤1, 4. 设函数 f(x)=? 2 则 f [ f (?1)] 的值为_______. ? ?x +x-2,x>1,

5. 若函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (1,3) ,则函数 y ? f (? x) ? 1 的图象必定经过的点的坐标 是 6. 4
? 1 2

.

? 50 ? log36 6 ? ________.
2 的单调增区间是 x ?1
.
*

7. 函数 f ( x ) ? 1 ?

8. 方程 log3 x ? x ? 3 的解在区间 (n, n ? 1) 内, n ? N ,则 n =

.

9. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=________. 10. 已知幂函数 ...y ? f ( x) 的图象过点 ( 2 ,8) ,则 f (?2) ?

1

.

11. 已知 f ( x) ? loga 2 (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是_____. 12. 对于集合 A, B ,我们把集合 {x | x ? A, 且x ? B} 叫做集合 A 与 B 的差集,记作 A ? B .若集合

A, B 都是有限集,设集合 A ? B 中元素的个数为 f ( A ? B) ,则对于集合 A ? {1,2,3}, B ? {1, a} ,有 f ( A ? B) ? ___________.
13. 若函数 y ? x2 ? 2x ? 2 的定义域和值域均为区间 [ a, b] ,其中 a, b ? Z ,则 a ? b ? ___. 14. 设函数 f ( x) ? lg

1 ? 2x ? 4x a ,a ? R .如果不等式 f ( x) ? ( x ? 1) lg 4 在区间 [1,3] 上有解,则 4

实数 a 的取值范围是__________.

二.解答题(本大题共 6 小题,共 64 分)

15. (本题满分 8 分) 已知集合 A ? {x |

3 ? 1, x ? N } ,集合 B ? {2,6} ,全集 U ? {0,1,2,3,4,5,6} . x?2
(2)求集合? U(A∪B).

(1)求集合 A,并写出集合 A 的所有子集;

16. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 设函数 f ( x) ?

1 4x ? 1 (1)解不等式 f ( x ) ? ; (2)求函数 f ( x) 的值域. x 3 4 ?1

17. (本题满分 10 分) 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间 [0,??) 上是单调增函数. (1)试写出满足上述条件的一个函数; (2)若 f (1) ? f (lg x) ,求 x 的取值范围.

18. (本题满分 10 分) 心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,上课开始时, 学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力 开始分散,并趋于稳定.分析结果和实验表明,设提出和讲述概念的时间为 x (单位:分) ,学生 的接受能力为 f ( x) ( f ( x) 值越大,表示接受能力越强) ,

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 44,0 ? x ? 10 ? ,10 ? x ? 15 ?60 f ( x) ? ? ,15 ? x ? 25 ?? 3x ? 105 ? ,25 ? x ? 40 ?30
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟,学生的接受能力的大小; (3)若一个数学难题,需要 56 的接受能力以及 12 分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需 接受能力的状态下讲述完这个难题?

19. (本题满分 12 分,每小题 6 分) 设函数 f ( x) ? x ?

?
x

,常数 ? ? 0 .

(1)若 ? ? 1 ,判断 f ( x) 在区间 [1,4] 上的单调性,并加以证明; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的单调递增,求 ? 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?| x | ( x ? a) , a 为实数. (1)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 0 时,指出函数 f ( x) 的单调区间(不要过程) ; (3)是否存在实数 a (a ? 0) ,使得 f ( x) 在闭区间 [ ?1, ] 上的最大值为 2.若存在,求出 a 的值; 若不存在,请说明理由.

1 2

参考答案
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分) 1. (2,4) 2. 0 3. 16 4. 4 7. 5. (-1,4) 6. 2

?? ?,?1?, ?? 1,???

8. 2 12. ?

9.

-3 13. 3

11. a ? 1或 ? 1 ? a ? 0

?1, a ? 2或3 ?2,a ? 1,2,3,

1 10. ? 8 1 14. a ? 4

二.解答题(本大题共 6 小题,共 64 分) 15. (本题满分 8 分,每小题 4 分) (1)集合 A ? {0,1} 子集有 ?,{0},{1},{0,1} (2)A∪B ? {0,1,2,6} ? U(A∪B) ? {3,4,5} 注:第(1)问中,少空集扣 1 分. 16. (本题满分 10 分,每小题 5 分) (1)略解:不等式的解集为 { x | x ? } 注:结论写成集合形式 (2)法一: f ( x) ? 1 ? ∵4 ? 0
x

………………………………………2 分 ………………………………………4 分 ………………………………………6 分 ………………………………………8 分

1 2

………………………………………5 分

?2 ?0 4x ? 1 ? f ( x) 的值域为 (?1,1) y ?1 x 法二: 4 ? ?0… 1? y ? ?2 ?
17. (本题满分 10 分) 解: (1)略

?2 4x ? 1 ? 4x ? 1 ? 1

………………………………………7 分

………………………………………10 分

………………………………………2 分

(2)? f ( x) 是偶函数, f (1) ? f (lg x)

? f (1) ? f (| lg x |)
? f ( x) 在区间 [0,??) 上是单调增函数

………………………………………5 分

? 1 ?| lg x |
? lg x ? 1或? lg x ? ?1 1 ? x ? 10 或 0 ? x ? 10

………………………………………7 分

………………………………………10 分

注:利用(1)中函数做第(2)题的不给分. 18. (本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由题意可知:

f ( x) ? ?0.1?x ? 13? ? 60.9 所以当 X=10 时, f ( x) 的最大值是 60, …………………………………………2 分 又 10 ? x ? 15 , f ( x) =60 …………………………………………3 分 0 ? x ? 10
2

所以开讲后 10 分钟,学生的接受能力最强,并能维持 5 分钟. ……………………4 分 (Ⅱ)由题意可知: f (5) ? 54.5, f (20) ? 45, f (35) ? 30 ………………………………5 分 所以开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的学生的接受能力从大小依次是 开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的接受能力;………………………………………6 分 (Ⅲ)由题意可知: 当 0 ? x ? 10 f ( x) ? ?0.1?x ? 13? ? 60.9 ? 0 解得: 5 ? x ? 10 ………………………………………………7 分 f ( x) =60>56,满足要求; ………………………………………8 分 当 10 ? x ? 15
2

当 15 ? x ? 25 , ? 3 x ? 105 ? 56 解得: 15 ? x ? 16

1 3

……………………………………………9 分

因此接受能力 56 及以上的时间是 10

1 分钟小于 12 分钟. 3

所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . ………………10 分 19. (本题满分 12 分,每小题 6 分) 解: (1) f ( x) ? x ?

1 , ?x1 , x2 ? [1,4], 且 x1 ? x2 , x 1 1 x ?x x x ?1 ………3 分 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ) - ( x2 ? ) ? (x1 ? x2) ? 2 1 ? ( x1 ? x2 ) 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1, x2 ?[1,4], x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0, x1x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
∴ f ( x) 在区间 [1,4] 上的单调递增. (2) ?x1 , x2 ? [1,4], 且 x1 ? x2 , …………………………………6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

?

x1

) - ( x2 ?

?
x2

)? (x1 ? x2) ?

? ( x2 ? x1 )
x1x2

? ( x1 ? x2 )

x1x2 ? ? ……8 分 x1x2

∵ f ( x) 在区间 [1,4] 上的单调递增 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

?1 ? x1 ? x2 ? 4,

? x1x2 ? ? ? 0 对 ?x1, x2 ? [1,4], 且 x1 ? x2 恒成立 ……………………………………10 分
即 ? ? x1x2

?? ? 1
……………………………………12 分

?0 ? ? ? 1 注:少 ? ? 1 或 ? ? 0 的扣 1 分
20. (本题满分 14 分) (1) f ( x) ?| x | ( x ? 1)

?? ? 0

? f (1) ? 0, f (?1) ? ?2 ? f (1) ? ? f (?1), f (1) ? f (?1) ? f ( x) 既不是奇函数,又不是偶函数.
……………………………………4 分

(2) (画图) a ? 0 时, f ( x) ?| x | x ,单调增区间为 (??,??)
2 ? ? x ? ax, x ? 0, a ? 0 时, f ( x) ? ? 2 , ? ? x ? ax , x ? 0 ?

单调增区间为 ( ?? , ), (0,?? ) ,单调减区间为 ( ,0) ………………………………8 分 (3)? a ? 0

a 2

a 2

? f (?1) ? ?1 ? a ? 2 ? ? a ? 3

1 1 1 7 ? f ( ) ? ( ? a) ? ? 2 2 2 2 4
由(2)知, f ( x) 在 (0,??) 上递增

? f ( x) 必在区间 [?1,0] 上取最大值 2


……………………………………10 分

a ? ?1 ,即 a ? ?2 时, 2
……………………………………12 分

则 f (?1) ? 2 , a ? ?3 ,成立

a ? ?1 ,即 0 ? a ? ?2 时, 2 a 则 f ( ) ? 2 ,则 a ? ?2 2 (舍) 2 综上, a ? ?3


……………………………………14 分


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