2008年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学

2008 年深圳市高三年级第一次调研考试数学

2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
一, 有且只有一项是符合要求的. 1. 设全集 U = {0 ,1 , 2 , 3 , 4} ,集合 A = {0 ,1 , 2} ,集合 B = {2 , 3} ,则 ( A) ∪ B = ( U A. C. {0 ,1 , 2 , 3 , 4} 2. 复数 z1 = 3 + i , z2 = 1 i ,则复数 A.第一象限 B. {1 , 2 , 3 , 4} D. {2 , 3 , 4} ) 2008.3

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个备选项中,

z1 在复平面内对应的点位于 z2
C.第三象限

( D.第四象限

)

B.第二象限

3. 如图所示, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π
主视图 左视图

(

)

3 2

俯视图

4. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x > 0 时, f ( x) = 2 x 3 ,则 f (2) = A. 1 B.

(

)

1 4

C. 1

D.

11 4

5. 已知等差数列 {an } 的公差 d ≠ 0 ,它的第 1,5,17 项顺次成等比数列,则这个等比数 列的公比是 A. 4 6. 函数 f ( x) = ln( x + 1) A. (0 ,1) B. 3 C. 2 D. ( )

1 2
( )

2 的零点所在的大致区间是 x B. (1 , 2) C. (2 , e)

D. (3 , 4)

7. 为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 X (单位:分钟) ,按锻炼时间分 下列四种情况统计: ①0~10 分钟;②11~20 分钟; ③21~30 分钟; ④30 分钟以上. 有 10000 名中学生参加了此项活动,下图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是 6200,则平均每天参加体育锻炼时间在 0~20 分钟内的学生的频率是 A.3800 B.6200
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(

)

C. 0.38

D. 0.62

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开始

S =0

T =1
输入 X

X ≤ 20 S = S +1

T = T +1

T ≤ 10000

输出 S

结束

B 从点 P(2 , 0) 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 8. 如图, 已知 A(4 , 0) , (0 , 4) ,
上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 A. 2 10 B. 6 C. 3 3 D. 2 5 ( )

二,

填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 13~15 小题是选做题,考

生只能选做两题,若三题全答,则只计算前两题得分. 9. 在 ABC 中, a , b 分别为角 A , B 的对边,若 B = 60° , C = 75° , a = 8 ,则边 b 的 长等于 .

10. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试, 由于其中两所学校 的考试时间相同, 因此该学生不能同时报考这两所学校. 该学生不同的报考方法种数是
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. (用数字作答) 11. 在 RtABC 中,两直角边分别为 a , b ,设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 = 2 + 2 ,由此类 2 h a b

比:三棱锥 S ABC 中的三条侧棱 SA , SB , SC 两两垂直,且长度分别为 a , b , c , 设棱锥底面 ABC 上的高为 h ,则 .

12. 已知定义在区间 [0 ,1] 上的函数 y = f ( x) 的图像如图所示,对于满足 0 < x1 < x2 < 1 的任 意 x1 , x2 ,给出下列结论: ①

f ( x2 ) f ( x1 ) > x2 x1 ;

② x2 f ( x1 ) > x1 f ( x2 ) ; ③

f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x < f 1 2 . 2 2
. (把所有正确结论的序号都填上) ,

其中正确结论的序号是

13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ρ = 2cos θ 的圆心的极坐标是 它与方程 θ =

π ( ρ > 0 )所表示的图形的交点的极坐标是 4

.

14. (不等式选讲选做题)已知点 P 是边长为 2 3 的等边三角形内一点,它到三边的距离 分别为 x , y , z ,则 x , y , z 所满足的关系式为 值是 . , x 2 + y 2 + z 2 的最小

15. (几何证明选讲选做题)如图, PT 是 ⊙O 的切线,切点为 T ,直线 PA 与 ⊙O 交于 A ,

B 两点, ∠TPA 的平分线分别交直线 TA ,TB 于 D , E 两点,已知 PT = 2 , PB = 3 ,
则 PA = ,

TE = AD
T D E

.

P A B

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三,

解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (1 + sin 2 x , sin x cos x) , b = (1 , sin x + cos x) ,函数 f ( x) = a b . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (θ ) =

8 π ,求 cos 2 2θ 的值. 5 4

17. (本小题满分 12 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落. 小球在 下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色 障碍物时,向左,右两边下落的概率都是

1 . 2 (Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A) ;

(Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ξ 为落入 A 袋中的小球个数,试求 ξ = 3 的 概率和 ξ 的数学期望 Eξ .

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18. (本小题满分 14 分) 如图所示的几何体 ABCDE 中, DA ⊥ 平面 EAB , CB ‖ DA , EA = DA = AB = 2CB ,

EA ⊥ AB , M 是 EC 的中点.
(Ⅰ)求证: DM ⊥ EB ; (Ⅱ)求二面角 M BD A 的余弦值.
D

C

M A B

E

19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A(2 , 0) , B(2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 PA ,

3 PB 的斜率之积为 . 4
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点

1 , 0 作直线 l 与轨迹 C 交于 E , F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求 2

直线 MA 的斜率 k 的取值范围.

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20. (本小题满分 14 分)

1 2 7 x + mx + ( m < 0 ) ,直线 l 与函数 f ( x) , g ( x) 的图像都 2 2 相切,且与函数 f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1.
已知 f ( x) = ln x , g ( x) = (Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 h ( x ) = f ( x + 1) g ′( x ) (其中 g ′( x ) 是 g ( x) 的导函数) ,求函数 h( x ) 的最大值; (Ⅲ)当 0 < b < a 时,求证: f (a + b) f (2a) <

ba . 2a

21. (本小题满分 14 分) …,Pn ( xn , yn )( 0 < y1 < y2 < < yn ) 是曲线 C :y 2 = 3x 如图,P ( x1 , y1 ) ,P2 ( x2 , y2 ) , 1 ( y ≥ 0 )上的 n 个点,点 Ai ( ai , 0) ( i = 1 , 2 , 3 , , n )在 x 轴的正半轴上,且 Ai 1 Ai Pi 是 正三角形( A0 是坐标原点) . (Ⅰ)写出 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求出点 An ( an , 0) ( n ∈ N )的横坐标 an 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 bn = 等式 t 2 2mt +

1 1 1 1 + + ++ ,若对任意的正整数 n ,当 m ∈ [1 ,1] 时,不 an +1 an + 2 an + 3 a2 n

1 > bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6

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2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)参考答案
一, 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个备选项中, 有且只有一项是符合要求的. 题号 答案 二, 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A

填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 13~15 小题是选做题,考

生只能选做两题,若三题全答,则只计算前两题得分. 9. 4 6 10. 16 11.

1 1 1 1 = 2+ 2+ 2 2 h a b c
π 4

12.②③

13. (1 , 0) , 2 ,

4 3 3, 3 2 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
14. x + y + z = 3 , 3 15. 16. 解: (Ⅰ)因为 a = (1 + sin 2 x , sin x cos x) , b = (1 , sin x + cos x) ,所以

f ( x) = 1 + sin 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 + sin 2 x cos 2 x
π = 2 sin 2 x + 1 . 4
因此,当 2 x

π π 3 = 2kπ + ,即 x = kπ + π ( k ∈ Z )时, f ( x) 取得最大值 2 + 1 ; 4 2 8 8 3 (Ⅱ)由 f (θ ) = 1 + sin 2θ cos 2θ 及 f (θ ) = 得 sin 2θ cos 2θ = ,两边平方得 5 5 9 16 1 sin 4θ = ,即 sin 4θ = . 25 25
16 π π 2θ = cos 4θ = sin 4θ = . 25 4 2

因此, cos 2

17. 解: (Ⅰ)记"小球落入 A 袋中"为事件 A , "小球落入 B 袋中"为事件 B ,则事件 A 的 对立事件为 B ,而小球落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故

1 1 1 P( B) = + = , 2 2 4
从而 P( A) = 1 P( B) = 1

3

3

1 3 = ; 4 4
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(Ⅱ)显然,随机变量 ξ B 4 ,



3 ,故 4
3

3 1 27 3 , P (ξ = 3) = C4 × × = 4 4 64

Eξ = 4 ×

3 =3. 4

18. 解: 建立如图所示的空间直角坐标系, 并设 EA = DA = AB = 2CB = 2 ,则 (Ⅰ) DM = 1,1, , EB = (2 , 2 , 0) , 所以 DM EB = 0 ,从而得



3 2

D

C

DM ⊥ EB ;
(Ⅱ)设 n1 = ( x , y , z ) 是平面 BDM 的 法向量,则由 n1 ⊥ DM , n1 ⊥ DB 及
E A

M B

3 DM = 1,1, , DB = (0 , 2 , 2) 2


3 n1 DM = x + y z = 0 2 可以取 n1 = (1 , 2 , 2) . n DB = 2 y 2 z = 0 1
显然, n2 = (1 , 0 , 0) 为平面 ABD 的法向量. 设二面角 M BD A 的平面角为 θ ,则此二面角的余弦值

cosθ =| cos < n1 , n2 >|=
19. 解: (Ⅰ)依题意,有 k PA k PB =

| n1 n2 | 1 = . | n1 | | n2 | 3

y y 3 = ( x ≠ ±2 ) ,化简得 x2 x+2 4 x2 y 2 + = 1 ( x ≠ ±2 ) , 4 3

这就是动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)依题意,可设 M ( x , y ) , E ( x + m , y + n) , F ( x m , y n) ,则有

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( x + m) 2 ( y + n) 2 + =1 4 3 , 2 2 ( x m) + ( y n ) = 1 4 3
两式相减,得

4mx 4n n 3x y 0 ,由此得点 M 的轨迹方程为 + = 0 k EF = = = 4 3 m 4y x 1 2

6 x 2 + 8 y 2 3x = 0 ( x ≠ 0 ) .
设直线 MA : x = my + 2 (其中 m =

1 ) ,则 k

x = my + 2 (6m 2 + 8) y 2 + 21my + 18 = 0 , 2 6 x + 8 y 2 3x = 0
故由 = (21m) 2 72(6m 2 + 8) ≥ 0 | m |≥ 8 ,即

1 1 1 ≥ 8 ,解之得 k 的取值范围是 , . k 8 8

20. 解: (Ⅰ)依题意知:直线 l 是函数 f ( x) = ln x 在点 (1 , 0) 处的切线,故其斜率

1 k = f ′(1) = = 1 , 1
所以直线 l 的方程为 y = x 1 . 又因为直线 l 与 g ( x) 的图像相切,所以由

y = x 1 1 2 9 1 2 7 x + (m 1) x + = 0 , 2 2 y = 2 x + mx + 2
得 = (m 1) 2 9 = 0 m = 2 ( m = 4 不合题意,舍去) ; (Ⅱ)因为 h ( x ) = f ( x + 1) g ′( x ) = ln( x + 1) x + 2 ( x > 1 ) ,所以

h′( x) =

1 x 1 = . x +1 x +1

当 1 < x < 0 时, h′( x ) > 0 ;当 x > 0 时, h′( x ) < 0 . 因此, h( x ) 在 ( 1 , 0) 上单调递增,在 (0 , + ∞) 上单调递减. 因此,当 x = 0 时, h( x ) 取得最大值 h(0) = 2 ; (Ⅲ)当 0 < b < a 时, 1 <

ba < 0 .由(Ⅱ)知:当 1 < x < 0 时, h( x) < 2 ,即 2a

ln(1 + x) < x .因此,有

f (a + b) f (2a ) = ln

a+b ba ba = ln 1 + . < 2a 2a 2 a
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21. 解: (Ⅰ) a1 = 2 , a2 = 6 , a3 = 12 ; (Ⅱ)依题意,得 xn =

an 1 + an a an 1 2 , yn = 3 n ,由此及 yn = 3xn 得 2 2
an an 1 3 3 = 2 ( an 1 + an ) , 2
2

即 (an an 1 ) 2 = 2(an 1 + an ) . 由(Ⅰ)可猜想: an = n( n + 1) ( n ∈ N ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n = 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n = k 时命题成立,即有 an = k ( k + 1) ,则当 n = k + 1 时,由归纳假设及

(ak +1 ak )2 = 2(ak + ak +1 )
得 [ak +1 k (k + 1)]2 = 2[k (k + 1) + ak +1 ] ,即

(ak +1 )2 2(k 2 + k + 1)ak +1 + [k (k 1)] [(k + 1)(k + 2)] = 0 ,
解之得 , ak +1 = ( k + 1)( k + 2) ( ak +1 = k ( k 1) < ak 不合题意,舍去) 即当 n = k + 1 时,命题成立. 由(1)(2)知:命题成立. , (Ⅲ) bn =

1 1 1 1 + + ++ an +1 an + 2 an + 3 a2 n 1 1 1 + ++ (n + 1)(n + 2) (n + 2)( n + 3) 2n(2n + 1)

=
=

1 1 n 1 . = 2 = 1 n + 1 2n + 1 2n + 3n + 1 2n + + 3 n 1 1 令 f ( x) = 2 x + ( x ≥ 1 ) ,则 f ′( x) = 2 2 ≥ 2 1 > 0 ,所以 f ( x) 在 [1 , + ∞) 上是增函 x x 1 数,故当 x = 1 时, f ( x) 取得最小值 3 ,即当 n = 1 时, (bn ) max = . 6 1 t 2 2mt + > bn ( n ∈ N , m ∈ [1 ,1] ) 6 1 1 t 2 2mt + > (bn )max = ,即 t 2 2mt > 0 ( m ∈ [1 ,1] ) 6 6
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t 2 2t > 0 . 2 t + 2t > 0
解之得,实数 t 的取值范围为 ( ∞ , 2) ∪ (2 , + ∞ ) .

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