2018年莆田市高三数学质量检测(文科)

2018 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷

数 ? 学 ( 文科 )
? ? 本试卷分第Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分. 本试卷共 5 页. 满分 150 分. 考试 时间 120 分钟. 注意事项:

1. 答题前?考生先将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上. 超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸?试题卷上答题无效.

2. 考生作答时?将答案答在答题卡上. 请按照题号在各题的答题区域 ( 黑色线框 ) 内作答? 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂?如需改动? 用橡皮擦干净后? 再选涂其他答案标号? 非选 4. 保持答题卡卡面清洁?不折叠?不破损. 考试结束后?将本试卷和答题卡一并交回.

择题答案使用 0 5 毫米的黑色中性( 签字) 笔或碳素笔书写?字体工整?笔迹清楚.

第Ⅰ卷
一?选择题:本大题共 12 小题?每小题 5 分?在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目 要求的 1. 已知集合 A = { x | x 2 -x - 6<0} ?B = { x | 3 x >1} ?则 A?B = ? ?(1?2) A ? ? ? ? ? B ? ?(1?3) ? ? ? ? ? C ? ?(0?2) ? ? ? ? ? D (0?3) 2. 设复数 z 满足 zi = 3 -i?则 z = A 1 + 3i B - 1 - 3i C - 1 + 3i D 1 - 3i
N

a, b, n i =1 i≤n ?
Y

3. 等 比 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n ? 已 知 S 2 = a 1 + 2a 3 ? a 4 = 1? 则 S4 = A 7 8 B 15 8 C 14 D 15
S

S=a+b a=b b=S i = i +1

4. 执行右面的程序框图?如果输入的 a = 1?b = 2?n = 3?则输出的 S = A 5 B 6 C 8 D 13

数学( 文科) 试卷? 第 1 页( 共 5 页)

5. 为了解某校一次期中考试数学成绩情况?抽取 100 位学生的数学成绩?得如图所示的频率分 布直方图?其中成绩分组区间是 [40?50) ?[50?60) ?[60?70) ?[70?80) ?[80?90) ?[90?100] ? 则估计该次数学成绩的中位数是 ? ?71 A ? 5? ? ? ? ? ? B ? ?71 ? 8? ? ? ? ? ? C ? ?72? ? ? ? ? ? ? D 75
/ 0.04 0.03

0.01

a

0.004 0 40 50 60 70 80 90 100 /

6. 干支纪年法 是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法. 干支是天干和地支的总称. 把 干支顺序相配正好六十为一周?周而复始?循环记录?这就是俗称的 干支表 . 甲?乙?丙?丁? 戊?己?庚?辛?壬?癸等十个符号叫天干? 子? 丑? 寅? 卯? 辰? 巳? 午? 未? 申? 酉? 戌? 亥等十二个 符号叫地支 如:公元 1984 年农历为甲子年?公元 1985 年农历为乙丑年?公元 1986 年农历 为丙寅年 则公元 2047 年农历为 A 乙丑年 B 丙寅年 C 丁卯年 D 戊辰年

7. 已知 O 为坐标原点?F 为抛物线 C : y 2 = 8x 的焦点? 过 F 作直线 l 与 C 交于 A? B 两点 若 | AB | = 10?则?OAB 重心的横坐标为 A 4 3 B 2 C 8 3 D 3

8. 已知函数 f( x) = sin 2 x?则下列说法正确的是 A f( x) 的最小正周期为 2π C f( x) 的图象关于点( π ?0) 对称 4 B f( x) 在区间[ - π π ? ] 上是增函数 2 2 π 对称 2

D f( x) 的图象关于直线 x =

数学( 文科) 试卷? 第 2 页( 共 5 页)

9. 甲乙两人被安排在某月 1 日至 4 日值班? 每人各值班两天? 则甲?乙均不连续值班的概率为 A 1 ? ? ? 6 B 1 3 ? ? ? C 2 ? 3 1 2

? ? D

10. 如图?网格纸的各小格都是正方形? 粗线画出的是一个几 何体的三视图?则这个几何体是 A 三棱锥 B 四棱锥 C 三棱柱 D 四棱柱

11. 已知圆 O:x 2 +y 2 = 1 若 A?B 是圆 O 上不同两点?以 AB 为边作等边?ABC ?则 | OC | 的最大值 是 A 2+ 6 2 B 3 C 2 D 3 +1
A1 B1 F C1

12. 已 知 直 三 棱 柱 ABC - A1 B 1 C 1 外 接 球 的 表 面 积 为 8π? ?BAC = 90? 若 E ? F 分 别 为 棱 BC ? B 1 C 1 上 的 动 点? 且 BE = C 1 F ?则直线 EF 被该三棱柱外接球球面截得的线段长为 A 2 2 B 2 C 4 D 不是定值

A B C

E

第Ⅱ卷
23 题为选考题?考生根据要求作答. ? ? 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 ~ 21 题为必考题?每个试题考生都必须作答. 第 22? 二?填空题:本大题共 4 小题?每小题 5 分?共 20 分.

13 已知向量 a = (2?4) ?b = ( - 1?m) 若 a?b?则 ab =

+ ì ?2x y?2? ? 14 若 x?y 满足约束条件 íy - 2?0? 则 z = x +y 的最大值为 ? ?2x -y?2? ? 15 已知数列{ a n } 满足 a 1 = 1?a n -a n+1 = 2a n a n+1 ?则 a 6 =



2x?? 0?x?1? ì ? ? 16 已知 f( x) 是 R 上的偶函数?且 f ( x ) = í 1 x 若关于 x 的方程 2f 2( x ) - a f ( x ) = 0 ? ?( 2 ) +1?x >1 ? 有三个不相等的实数根?则 a 的取值范围是 数学( 文科) 试卷? 第 3 页( 共 5 页)

三?解答题:共 70 分 解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤. 第 17 ~ 21 题为必考题?每个 试题考生都必须作答?第 22?23 题为选考题?考生根据要求作答. 17 (12 分) ( 一) 必考题:共 60 分.

B

?ABC 的内角 A?B ?C 的对边分别为 a?b?c?已知 ccosB + (1) 求 C ?

3 b = a. 2

C D

A

(2) 如图?若 a = b?D 为?ABC 外一点?AD?BC ?AD = CD = 2? 18 (12 分) 求四边形 ABCD 的面积

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费? 需了解年宣传费 x ( 单位: 千元 ) 对年销售 量 y ( 单位: t ) 和年利润 z ( 单位: 千元 ) 的影响? 对近 13 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i ( i = 1?2??13) 数据作了初步处理?得到下面的散点图及一些统计量的值
112 111

/t

110 109 108 107 106 0 2 4 6 8 10 / 12 14 16 18

由散点图知?按 y = a + 如下数据: x 10 15


b 1 建立 y 关于 x 的回归方程是合理的. 令 w = ?则 y = a +bw ?经计算得 x x
13 13 13

y 109 94



w 0 16



?w i y i - 13w y
i=1

- -

2 - ?w 2 i 13( w ) i=1



2 - ?y 2 i 13( y ) i=1



(1) 根据以上信息?建立 y 关于 w 的回归方程? = 20 时?年利润的预报值是多少? ?u i v i - n u v
i=1 n n --

- 2 10

0 21

21 22

(2) 已知这种产品的年利润 z 与 x?y 的关系为 z = 10y - x 根据 (1) 的结果? 求当年宣传费 x 附:对于一组数据( u i ?v i ) ( i = 1?2??n) ?其回归直线 v = α +βu 的斜率和截距的最小二乘估

^= 计分别为 β

- 2 ?u 2 i n u
i=1



^ = v -β ^ u ?α
- -

数学( 文科) 试卷? 第 4 页( 共 5 页)

19 (12 分)

A

如图?四棱锥 E -ABCD 中?底面 ABCD 是平行四边形? M? N 分别 为 BC ?DE 中点 (1) 证明:CN?平面 AEM?

D N B M C E

(2) 若?ABE 是等边三角形?平面 ABE ?平面 BCE ?CE ? BE ?BE = EC = 2?求三棱锥 N -AEM 的体积

20 (12 分)

已知两定点 A1 ( - 2?0 ) ?A2 ( 2?0 ) ?动点 M 使直线 MA1 ?MA2 的斜率的乘积为 - (1) 求动点 M 的轨迹 E 的方程? 并说明理由

1 4

? ? ? (2) 过点 F ( - 3 ?0) 的直线与 E 交于 P ? Q 两点? 是否存在常数 λ ? 使得 | PQ | = λ FP FQ?

21 (12 分)

已知函数 p( x) = e x ?q( x) = ln( x + 1) . (2) 若存在 b?Z?使得 q( x) ?

(1) 若 f( x) = p( x) +aq( x) 在定义域上是增函数?求 a 的取值范围?

1 b ( x + 1) 2 ?p( x) ?求 b 的值?并说明理由 2

( 二) 选考题:共 10 分. 请考生在第 22?23 题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目. 如果多 22. [ 选修 4 - 4:坐标系与参数方程] (10 分) 做?则按所做第一个题目计分?作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 在直角坐标系 xOy 中?曲线 C 的参数方程为

{

x = 3cosα?

x 轴的正半轴为极轴?建立极坐标系?直线 l 的极坐标方程为 ρcos( θ + (1) 求 l 的直角坐标方程和 C 的普通方程? 到 l 的距离.

y = 3 sinα?

( α 是参数 ) . 以坐标原点为极点? π ) = 1. 3

(2) l 与 C 相交于 A?B 两点?设点 P 为 C 上异于 A? B 的一点? 当 ?PAB 面积最大时? 求点 P

23. [ 选修 4 - 5:不等式选讲] (10 分) 已知函数 f( x) = x -a + x - 1 . (1) 当 a = 2 时?求不等式 f( x) <4 的解集? (2) 若 f( x) ?a 2 - 2a - 1?求 a 的取值范围. 数学( 文科) 试卷? 第 5 页( 共 5 页)

草? 稿? 纸

2018 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷

文科数学试题参考解答及评分标准
评分说明: 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考?如果考生的解法与本解答不同?可根据试题的主 2. 对计算题?当考生的解答在某一步出现错误时?如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度?可视影响的程度决定后继部分的给分?但不得超过该部分正确解答应给分数的一半? 如果后继部分的解答有较严重的错误?就不再给分. 4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 3. 解答右端所注分数?表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

1 D? ? ? 2 B? ? ? 3 D? ? ? 4 C? ? ? 5 C? ? ? 6 C 7 B 8 D 9 B 10 A 11 C

一?选择题:本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分?满分 60 分 12 A

二?填空题:本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分?满分 20 分 1 ? ? ? 16 (0?2] ?[3?4] 11

13 - 10? ? ? 14 4? ? ? 15

17. 本小题主要考查正弦定理?余弦定理? 两角和与差的三角函数? 三角形的面积等基础知识? 考查运算求解能力?考查函数与方程思想?化归与转化思想等 满分 12 分 解:(1) 在?ABC 中?由正弦定理得 sinC cosB + 又 A = π -( B +C ) ?所以 sinC cosB + 故 sinC cosB + 3 sinB = sinA? 1 分 2

三?解答题:本大题共 6 小题?共 70 分 解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤

3 sinB = sin( B +C ) ? 2 分 2

3 sinB = sinB cosC +cosB sinC ? 3 分 2 3 sinB ? 4 分 2 3 ? 5 分 2

所以 sinB cosC =

又 B ?(0?π) 所以 sinB ?0?故 cosC = 又 C ?(0?π) ?所以 C = π 6

6 分

文科数学试卷答案? 第 1 页( 共 8 页)

(2) 因为 AD?BC ?故?CAD = ?ACB = 在?ACD 中?AD = CD = 2? 所以?ACD = ?CAD =

π ? 7 分 6

π 2π ?故?ADC = ? 8 分 6 3 2π = 12? 9 分 3

所以 AC 2 = 2 2 + 2 2 - 2 ? 2 ? 2cos 又?ACB = π ?AC = BC ? 6

所以 S ?ACB = 又 S ?ACD =

18. 本小题主要考查变量的相关性等基础知识? 考查数据处理能力? 运算求解能力? 应用意识? 考查函数与方程思想?或然与必然思想等 满分 12 分

所以四边形 ABCD 的面积为 3 + 3

1 2π = 3 ? 11 分 CDADsin 2 3 12 分

1 π 1 AC BC sin = AC 2 = 3? 10 分 2 6 4

^= 解:(1) b

^ = y -b ^ w = 109 94 + 10 ? 0 16 = 111 54? 5 分 a
- -

?w i 2 - 13 ( w ) 2
i=1

13

?w i y i - 13w y
i=1 -

13

- -



- 2 10 = - 10? 3 分 0 21

^ -x = 10 ?(111.54 - 10w) -x 8 分 (2) 依题意 ^ z = 10y
当 x = 20 时?^ z = 1090. 4? = 1115. 4 - 100 -x? 10 分 x

^ = 111 54 - 10w. 6 分 则 y 关于 w 的回归方程为 y

19. 本小题主要考查直线与平面的位置关系? 空间几何体的体积等基础知识? 考查空间想象能 力?推理论证能力?运算求解能力?考查化归与转化思想?数形结合思想等 满分 12 分. 解法一:(1) 取 AE 中点 F ?连结 MF ?FN 1 AD 2 因为?AED 中?F ?N 分别为 EA?ED 中点? 所以 FN 1 分

所以年利润的预报值是 1090. 4. 12 分

文科数学试卷答案? 第 2 页( 共 8 页)

又因为四边形 ABCD 是平行四边形?所以 BC AD 2 分 又 M 是 BC 中点?所以 MC 1 AD?所以 FNMC 2
A

所以四边形 FMCN 为平行四边形?所以 CN?MF ?

3 分 4 分
H M C

F

D N

B

又 CN?平面 AEM?MF ?平面 AEM? 5 分 所以 CN?平面 AEM 6 分 (2) 取 BE 中点 H?连结 AH?则 AH?BE ? 因为平面 ABE ?平面 BCE ?

E

平面 ABE ?平面 BCE = BE ?AH?平面 ABE ? 又由(1) 知 CN?平面 AEM? 又因为 M 为 BC 中点? 所以 VA-MEC =

所以 AH?平面 BCE 8 分 所以 V N-AEM = V C-AEM = V A-MEC . 9 分 1 1 1 1 1 1 3 S?MEC AH = S?BEC AH = ? ? ?2?2? 3 = . 11 分 3 3 2 3 2 2 3 3 12 分 3
A G D N B M C E

所以三棱锥 N -AEM 的体积为 解法二:(1) 取 AD 中点 G ?连结 CG ?GN 所以 GN?AE

因为?AED 中?G ?N 分别为 DA?DE 中点? 又 GN?平面 AEM?AE ?平面 AEM?

1 分

所以 GN?平面 AEM 2 分 又因为四边形 ABCD 是平行四边形?M 为 BC 中点? 所以 AG MC

所以四边形 AGCM 为平行四边形?所以 GC ?AM 3 分 同理 GC ?平面 AEM 又因为 GN?GC = G ?GN?平面 GNC ?GC ?平面 GNC ? 文科数学试卷答案? 第 3 页( 共 8 页) 4 分

所以平面 GNC ?平面 AEM 5 分

又 CN?平面 GNC ?

(2) 因为平面 ABE ?平面 BCE ?平面 ABE ?平面 BCE = BE ? 又由(1) 知 CN?平面 AEM? 又因为 M 为 BC 中点? 所以 V A-MEC =

所以 CN?平面 AEM

6 分

CE ?平面 BCE ?CE ?BE ?所以 CE ?平面 ABE 8 分 所以 V N-AEM = V C-AEM = V A-MEC 9 分 1 1 1 1 3 3 V A-BCE = V C-ABE = ? ? ? 2 2 ? 2 = 11 分 2 2 2 3 4 3 3 12 分 3

即三棱锥 N -AEM 的体积为

20 本小题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识? 考查推理论证能力? 运算求解能 力?考查函数与方程思想?化归与转化思想?数形结合思想等 满分 12 分. 解:(1) 设 M( x?y) ?由 k A1M k A2M = - 得 即 1 ? 1 分 4

y y 1 = - ? 3 分 x+2 x-2 4 x2 2 +y = 1 4 分 4 x2 2 +y = 1( x??2) 5 分 4

所以动点 M 的轨迹方程是

(2) 法一:因为 x??2?当直线 PQ 的斜率为 0 时?与曲线 C 没有交点?不合题意? 故可设直线 PQ 的方程为 x = ty - 3 ? 联立

6 分 x 2 + 4y 2 - 4 = 0? x = ty - 3 ?

{

消去 x 得( t 2 + 4) y 2 - 2 3 ty - 1 = 0 23t 1 ?y 1 y 2 = - 2 ? 7 分 2 t +4 t +4

设 P ( x 1 ?y 1 ) ?Q ( x 2 ?y 2 ) ?则 y 1 + y 2 =


1 +t2 ? ? FP FQ = ( x 1 + 3 ) ( x 2 + 3 ) +y 1 y 2 = (1 +t 2 ) y 1 y 2 = - 2 11 分 t +4 文科数学试卷答案? 第 4 页( 共 8 页)

4(1 +t ) ? | PQ | = 1 +t 2 | y 1 -y 2 | = 2 9 分 t +4

法二:因为 x??2?当直线 PQ 的斜率为 0 时?与曲线 C 没有交点?不合题意. 故可设直线 PQ 的方程为 x = ty - 3 ? 联立

? ? ? 故存在实数 λ = - 4?使得 | PQ | = - 4 FP FQ恒成立

12 分

6 分 x 2 + 4y 2 - 4 = 0? x = ty - 3 ?

{

消去 x 得( t 2 + 4) y 2 - 2 3 ty - 1 = 0 23t 1 ?y 1 y 2 = - 2 ? 7 分 2 t +4 t +4

设 P ( x 1 ?y 1 ) ?Q ( x 2 ?y 2 ) ?则 y 1 + y 2 = 所以 | y 1 -y 2 | = 4 1 +t2 t2 + 4

? ? ? ? ? ? 注意到FQ与FP 反向?则FQFP = - | FQ | | FP | ? ? ? ? | PQ | | FQ | + | FP | 1 1 -λ = = = + ? ? ? ? ? ? | FQ | | FP | | FQ | | FP | | FQ | | FP | = 1 +t | y 1 |


9 分





21. 本小题主要考查导数及其应用等基础知识?考查抽象概括能力?推理论证能力?运算求解能 力?考查函数与方程思想?分类与整合思想?化归与转化思想?数形结合思想等. 满分 12 分. 解:(1) 因为 f( x) = e x +aln( x + 1) 在定义域上为增函数? 所以 f ?( x) = e x +

? ? ? 故存在实数 λ = - 4?使得 | PQ | = - 4 FP FQ恒成立

1 +t | y 2 |






1 +t2 | y 1 y 2 |

| y 1 -y 2 |

= 4

11 分 12 分

即 a? -( x + 1) e x 在( - 1? +?) 上恒成立. 2 分 令 u( x) = -( x + 1) e x ?( x > - 1) ?则 u ?( x) = -( x + 2) e x <0? 所以 u( x) 在( - 1? +?) 上为减函数? 3 分 故 u( x) <u( - 1) = 0? 4 分 所以 a?0 故 a 的取值范围为[0? +?) 5 分 (2) 法一:因为 q( x) ? 1 b ( x + 1) 2 ?p( x) ? 2

a ?0 在( - 1? +?) 上恒成立? 1 分 x+1

取 x = 1?得 ln2?2b?e?又 b?Z?所以 b = 1

文科数学试卷答案? 第 5 页( 共 8 页)

所以存在整数 b?当 b = 1 时?ln( x + 1) ? 令 g( x) =

令 g?( x) = 0?得 x = 0

1 1 x( x + 2) = ( x + 1) 2 -ln( x + 1) ?则 g?( x) = x + 1 - ? 2 x+1 x+1

1 b ( x + 1) 2 ?e x( x > - 1) 2

6 分

g( x) ?g?( x) 的变化情况如下表: x g?( x) g( x) ( - 1?0) - 单调递减

7 分 0 (0? +?) + 单调递增 1 >0 2



8 分

极小值

所以 x = 0 时?g( x) 取到最小值?且最小值为 g(0) = 即 q( x) ?

1 ( x + 1) 2 9 分 2 1 ( x + 1) 2 ?则 h?( x) = e x -( x + 1) ? 2

令 h( x) = e x -

令 k( x) = e x -x - 1?由 k?( x) = e x - 1 = 0?得 x = 0?

所以当 - 1<x <0 时?k?( x) <0?k( x) 在( - 1?0) 上单调递减? 当 x >0 时?k?( x) >0?k( x) 在(0? +?) 上单调递增? 所以 k( x) ?k(0) = 0?即 e x ?x + 1. 10 分 因此 h?( x) ?0?从而 h( x) 在( - 1? +?) 上单调递增? 11 分 所以 h( x) >h( - 1) = 综上?b = 1 1 1 >0 即 ( x + 1) 2 ?p( x) 12 分 e 2

12 分 1 b ( x + 1) 2 ?p( x) 2

法二:不等式 q( x) ? 等价于

ln( x + 1) 1 ex ? b ? ( x > - 1) ( ?) 6 分 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ln( x + 1) 1 - 2ln( x + 1) ?则 g?( x) = ? 2 ( x + 1) ( x + 1) 3

令 g( x) =

令 g?( x) = 0?得 x = e - 1

g( x) ?g?( x) 的变化情况如下表:

7 分

文科数学试卷答案? 第 6 页( 共 8 页)

x g?( x) g( x)

( - 1? e - 1) + 单调递增

e -1 0 极大值

( e - 1? +?) - 单调递减

8 分 1 2e

所以 x = e - 1 时?g( x) 取到最大值?且最大值为 g( e - 1) = 即当 b? 1 ln( x + 1) 1 时? ? b e 2 ( x + 1) 2

9 分

同理?当 x = 1 时?h( x) = 即当 b? 综上?当

22. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

又 b?Z?所以 b = 1

1 e ?b? 时?不等式( ?) 恒成立? e 2

e 1 ex 时? b ? 2 2 ( x + 1) 2

ex e 取到最小值 h(1) = ? 10 分 2 4 ( x + 1) 11 分

12 分

本小题主要考查参数方程?极坐标方程等基础知识?考查运算求解能力?考查化归与转化思 想?数形结合思想等. 满分 10 分. π ) = 1? 3

解:(1) 因为直线 l 的极坐标方程为 ρcos( θ + 所以 ρ(

1 3 cosθ - sinθ) = 1? 1 分 2 2

所以直线 l 的直角坐标方程为 x - 3 y - 2 = 0. 3 分 曲线 C 的参数方程为

{

x = 3cosα?

y = 3 sinα?

( α 是参数) ? 5 分

所以曲线 C 的普通方程为

x2 y2 + = 1. 9 3

(2) 直线 l:x - 3 y - 2 = 0 与曲线 C :

要使?PAB 的面积最大?只需点 P 到直线 l 的距离 d 最大. 6 分 设点 P (3cosα? 3 sinα) 为曲线 C 上任意一点? 7 分 文科数学试卷答案? 第 7 页( 共 8 页)

x2 y2 + = 1 相交于 A?B 两点?所以 | AB | 为定值. 9 3

? π? 3 2 cos ? α + ÷ - 2 3cosα - 3sinα - 2 è 4? = 则点 P 到直线 l 的距离 d = ? 9 分 2 2 ? π? 当 cos ? α + ÷ = - 1 时? è 4? d 取最大值为

3 2 -3 2 -2 = 1+ . 2 2

所以当?PAB 面积最大时?点 P 到 l 的距离为 1 + 23. 选修 4 - 5:不等式选讲

3 2 . 10 分 2

本小题主要考查绝对值不等式等基础知识?考查运算求解能力?考查分类与整合思想?化归 与转化思想等. 满分 10 分. x?2? 解:(1) 当 a = 2 时?不等式 f( x) <4?即 | x - 2 | + | x - 1 | <4. 1 分 可得

{

x - 2 +x - 1<4?



{

1<x <2?

解得 -

1 7 <x < . 4 分 2 2

2 -x +x - 1<4?



{

2 -x + 1 -x <4.

x?1?

所以不等式的解集为 x | -

{

(2) 因为 f( x) = x -a + x - 1 ? a - 1 ?

1 7 <x < . 5 分 2 2

}

当且仅当( x -a) ( x - 1) ?0 时?f( x) 取得最小值 | a - 1 | . 7 分 又因为对任意的 x?f( x) ?a 2 - 2a - 1 恒成立? 即( a - 1) 2 - a - 1 - 2?0?故 a - 1 ?2? 解得 - 1?a?3. 所以 a - 1 ?a 2 - 2a - 1? 8 分

所以 a 的取值范围为 [ - 1?3 ] . 10 分

文科数学试卷答案? 第 8 页( 共 8 页)


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