2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量章末整合课件 北师大版必修4_图文

本章整合

专题一

专题二

专题三

专题一 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性 运算. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、 运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. 3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定 理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性 运算的基础.

专题一

专题二

例1

专题三

如图,四边形 ABCD 是梯形,AB∥DC,且 AB=2CD,M,N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知=a,=b,求, .
分析:本题要求用 a,b 表示和,而 a,b 不共线,由平面向量 基本定理,知此平面内任何向量都可用 a,b 唯一表示,因此需结合图 形寻找, 与 a,b 的关系.
解:

专题一

专题二

专题三

如图,连接 DN,CN.

∵N 为 AB 的中点,且=a,

∴ = = 1a.
2

又 AB=2CD,且 AB∥CD,

∴ = = 12a.∴ = = 14a.

∴在△ADN 中, = ? = 12a-b,

在△DMN 中, = ? = 1a-b-1a=1a-b,

2 44

在△MNC 中, = ? = 14a-14a+b=b,

在△NBC 中, = ? =b-12a.

∴=-1a+b, = 1a-b.

2

4

专题一

专题二

专题三

变式训练 1 已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且 ·=5,2=10.

(1)求点 D 的坐标;

(2)用, 表示.

解:(1)设 D(x,y),则=(1,2),

=(x+1,y).

所以 ·=x+1+2y=5,①

=(x+1)2+y2=10.②

联立①②,解得

= -2, 或 = 3,

= 2, = 1.

所以点 D 的坐标为(-2,3)或(2,1).

专题一

专题二

专题三

(2)当点 D 的坐标为(-2,3)时,=(1,2),=(-1,3),=(-2,1).

设=m+n,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).

所以 -2 = -, 所以 = -1, 1 = 2 + 3, = 1.
所以=- + ;

当点 D 的坐标为(2,1)时,设=p+q,

则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),

所以 -2 = + 3,所以 = 1,

1 = 2 + ,

= -1.

所以 = ? .

所以,当点 D 的坐标为(-2,3)时,=- + ,

当点 D 的坐标为(2,1)时, = ? .

专题一

专题二

专三题三

专题二 平面向量的数量积及其应用 1.求两个向量的数量积主要有三种方法:(1)定义法,a·b=|a||b|cos θ;(2)向量分解法,即将欲求数量积的两个向量都用已知向量(模已 知,夹角已知)为基底进行分解,然后根据数量积运算的性质及运算 律计算;(3)坐标运算法,即将向量建立到坐标系中,求出向量的坐标, 然后进行计算. 2.向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量 的夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两个 向量垂直、平行、求两个向量的夹角、计算向量的长度等.

专题一

专题二

专三题三

例 (1)如图,AB 是圆 O 的直径,点 P 是圆弧上的点,M,N 是直 径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则 ·等于( )

A.13

B.7

C.5

D.3

(2)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7.

①求向量 a 与 b 的夹角;

②求|3a+b|的值.

专题一

专题二

专三题三

(1)解析:方法一:由已知可得 PO=2=3,OM=ON=2.

·=( + )·( + )

=||2+ · + · + ·

=32+·( + )+||||cos 180°

=9+·0-2×2=9+0-4=5,故选 C.

方法二:以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,建立坐标系(如图). 则 O(0,0),M(-2,0),N(2,0). 圆 O 的方程为 x2+y2=9. 设 P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),于是 ·
=x2-4+y2=x2+y2-4=9-4=5.故选 C. 答案:C

专题一

专题二

专三题三

(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,

即 9|a|2-12a·b+4|b|2=7,

把|a|=|b|=1 代入上式得 a·b=1.

2

设 a 与 b 的夹角为 θ,∴a·b=|a||b|cos θ=1,

2

即 cos θ=12,又
∴向量 a 与 b

θ的∈夹[0角,π]为,∴π.θ=π3.

3

②∵(3a+b)2=9|a|2+6a·b+|b|2=9+3+1=13,

∴|3a+b|= 13.

专题一

专题二

专三题三

变式训练 2 (2015 天津高考)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥

DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,



=

2 3

,

=

1 6

,则

· 的值为

.

解析:

专题一

专题二

专三题三

由平面几何知识可求得 CD=1.

由 = 2 , = 1 ,得

3

6

·=( + )·( + )

=

+ 2
3

· + 1
6

= + 2 · + 1

3

12

= · + 1 2 + 2 · + 1 ·

12

3

18

=||·||cos 60°+112×22+23 ||·||cos

60°+ 1 ||·||cos 120°

18

=2×1×12

+

1 3

+

23×1×1×12

?

118×1×2×12

=5 ? 1 = 29.

3 18 18

答案:2198

专题一

专题二

专题三

专题三 数形结合思想方法的应用 数形结合思想是研究平面向量的线性运算和数量积运算的定义及 运算法则、运算律的推导的基本思想方法.向量的坐标表示的引入, 使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合在一起.处理两直线 平行、垂直的问题是几何问题,但可通过向量的坐标运算这种代数 手段使问题解决,还可以利用向量的数量积处理线段的长度、两直 线夹角问题.

专题一

专题二

专题三

例 3 (1)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确

的是( )

A.a∥b

B.a⊥b

C.|a|=|b| D.a+b=a-b

(2)已知 a,b 是单位向量,a·b=0,若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最

大值为( )

A. 2-1

B. 2

C. 2+1 D. 2+2

解析:(1)解法一:代数法.将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,
∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2, ∴a·b=0,∴a⊥b.故选 B.

专题一

专题二

专题三

解法二:几何法.如右图所示:
在?ABCD 中,设=a,=b,
∴ =a+b, =a-b. ∵|a+b|=|a-b|, ∴平行四边形 ABCD 的两条对角线长度相等,
即平行四边形 ABCD 为矩形.
∴a⊥b.故选 B.
(2)

专题一

专题二

专题三

建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意知 a⊥b,且 a 与 b 是单位向量,
∴可设=a=(1,0),=b=(0,1),=c=(x,y). ∴c-a-b=(x-1,y-1),∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点 C(x,y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心,1 为半
径的圆,而|c|= 2 + 2,
∴|c|的最大值为|OM|+1,
即|c|max= 2+1,故选 C. 答案:(1)B (2)C

专题一

专题二

专题三

变式训练 3 (1)已知向量 a 与 b 不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论正确

的是( )

A.向量 a+b 与 a-b 垂直 B.向量 a-b 与 a 垂直

C.向量 a+b 与 a 垂直

D.向量 a+b 与 a-b 共线

(2)(2015 浙江高考)已知 e1,e2 是平面单位向量,且 e1·e2=12.若平面

向量 b 满足 b·e1=b·e2=1,则|b|=

.

解析:(1)

如图所示,作=a,=b,以 OA 和 OC 为邻边作?OABC,由于 |a|=|b|≠0,则四边形 OABC 是菱形,则必有 AC⊥OB.
又 a+b=,a-b=,即(a+b)⊥(a-b).故选 A.

专题一

专题二

专题三

(2)因为 b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知 b 在

e1,e2 方向上的投影相等,且都为 1,所以 b 与 e1,e2 所成的角相等.由

e1·e2=12知 e1 与 e2 的夹角为 60°,所以 b 与 e1,e2 所成的角均为 30°,

即|b|cos 30°=1,所以|b|=cos310 ° = 233.

答案:(1)A

(2)2

3 3

考点一

考点二

考点三

考点一:平面向量的线性运算

1.(2015 课标全国Ⅰ高考)已知点 A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向

量=( )

A.(-7,-4)

B.(7,4)

C.(-1,4) D.(1,4)

解析:∵ = ? =(3,2)-(0,1)=(3,1),=(-4,-3),

∴ = ? =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

答案:A

考点一

考点二

考点三

2.(2015 课标全国Ⅰ高考)设 D 为△ABC 所在平面内一点,=3,

则( )

A. =-13



+

4 3



C.

=

4 3



+

1 3



解析:如图:

B.

=

1 3



?

4 3



D.

=

4 3



?

1 3



∵ = + , =3,

∴ = + 4 = + 4 ( ? )=-1 + 4 .

3

3

3

3

答案:A

考点一

考点二

考点三

3.(2014 课标全国Ⅰ高考)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB

的中点,则 + =( )

A.

B.1

C.

D.1

2

2

解析:由于 D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中点,所以 + =-12 ( +

)-12 ( + )=-12 ( + )=12 ( + )=12×2 = ,故选 A.

答案:A

考点一

考点二

考点三

4.(2015 北京高考)在△ABC 中,点 M,N 满足=2, = .若

=x+y,则 x=

,y=

.

解析:如图, = +

=13



?

1 2



=13



?

1 2

(

?

)

=1 ? 1 ,

2

6

∴x=12,y=-16.

答案:1 -1

26

考点一

考点二

考点三

5.(2015 课标全国Ⅱ高考)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,

则实数 λ=

.

解析:由题意知存在常数

t∈R,使

λa+b=t(a+2b),得

1

= =

2,,解之得

λ=12.

答案:12

考点一

考点二

考点三

考点二:平面向量的数量积及其坐标运算
6.(2015课标全国Ⅱ高考)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1), ∴(2a+b)·a=1+0=1.
答案:C

考点一

考点二

考点三

7.(2015 安徽高考)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满

足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 ( )

A.|b|=1

B.a⊥b

C.a·b=1

D.(4a+b)⊥

解析:在△ABC 中, = ? =(2a+b)-2a=b,所以|b|=2,故 A 不正

确;因为=2a,所以 a=1 ,而与的夹角为 120°,从而

2

a·b=

1 2



·

=

12×2×2×cos

120°=-1,因此

B,C

不正确;因为

(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+b2=-4+4=0,所以(4a+b)⊥,故选 D.

答案:D

考点一

考点二

考点三

8.(2015陕西高考)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立; B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|ab|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立; C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立; D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立. 综上,选B. 答案:B

考点一

考点二

考点三

9.(2014 课标全国Ⅱ高考)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则

a·b=( )

A.1

B.2

C.3

D.5

解析:∵|a+b|= 10,∴(a+b)2=10,

即 a2+b2+2a·b=10.①

∵|a-b|= 6,∴(a-b)2=6,

即 a2+b2-2a·b=6.②

由①②可得 a·b=1.故选 A.

答案:A

考点一

考点二

考点三

10.(2013课标全国Ⅰ高考)已知两个单位向量a,b的夹角为

60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=

.

解析:∵c=ta+(1-t)b,

∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.

又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,

∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),0= t+11-t.∴t=2.

答案:2

2

考点一

考点二

考点三

11.(2011课标全国高考)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实

数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=

.

解析:∵(a+b)⊥(ka-b),∴(a+b)·(ka-b)=0,

即k|a|2+(k-1)a·b-|b|2=0. (*)

又∵a,b为两不共线单位向量,

∴(*)式可化为k-1=-(k-1)a·b.

若k-1≠0,则a·b=-1,这与a,b不共线矛盾;

若k-1=0,则k-1=-(k-1)a·b恒成立.

综上可知k=1满足题意.

答案:1

考点一

考点二

考点三

考点三:平面向量的应用

12.(2013 课标全国Ⅱ高考)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的

中点,则 ·=

.

解析:

以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如 图所示,则点 A 的坐标为(0,0),点 B 的坐标为(2,0),点 D 的坐标为(0,2),
点 E 的坐标为(1,2),则=(1,2),=(-2,2),所以 ·=2. 答案:2

考点一

考点二

考点三

13.(2015 山东高考)过点 P(1, 3)作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别

为 A,B,则 ·=

.

解析:

由题意可作右图,
∵OA=1,AP= 3, 又∵PA=PB, ∴PB= 3. ∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.
∴ ·=||·||cos 60°= 3 ×
答案:32

3

×

1 2

=

32.

考点一

考点二

考点三

14.(2014 课标全国Ⅰ高考)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 =

1 ( + ),则与的夹角为

.

2

解析:由

=

1 2

(

+

)可得

O



BC

的中点,则

BC 为圆

O

的直径,

即∠BAC=90°,故与的夹角为 90°.

答案:90°


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