(同步复习精讲辅导)北京市2014-2015学年高中数学 空间几何体的表面积与体积课后练习二(含解析)新人教A版必

(同步复习精讲辅导)北京市 2014-2015 学年高中数学 空间几何体

的表面积与体积课后练习二(含解析)新人教 A 版必修 2

题1 一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的 3 倍,则圆锥的高与底面半径

之比为( )

4

9

4

27

A.9

B.4

C.27

D. 4

题2 正四棱锥 P—ABCD 的五个顶点在同一个球面上,若该正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 6, 则此球的体积为________.

题3 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为( )

A.2π +2 3 23
C.2π + 3

B.4π +2 3 23
D.4π + 3

题4 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E,F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上.若 EF=1,DP=x,A1E=y(x,y 大于零),则三棱锥 P-EFQ 的体积.( )

A.与 x,y 都有关 C.与 x 有关,与 y 无关

B.与 x,y 都无关 D.与 y 有关,与 x 无关

题5 直角梯形的一个底角为 45°,下底长为上底长的32,这个梯形绕下底所在直线旋 转一周所成的 旋转体的表面积是(5+ 2)π ,求这个旋转体的体积.

题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为

()

A.π a2

B.73π a2

C.131π a2

D.5π a2

题7 在球心同侧有相距 9 cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm2 和 400π cm2,求球的 表面积.

题8 正四棱台的高为 12cm,两底面的边长分别为 2cm 和 12cm. (Ⅰ)求正四棱台的全面积;(Ⅱ)求正四棱台的体积.
题9 如图,已知几何体的三视图(单位:cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.

题10

如图,在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中,用截面截下一个棱锥 C ? A?DD? ,求棱锥 C ? A?DD?

的体积与剩余部分的体积之比.

D?

C?

A? B?

D A

C B

题11 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,求 该几何体的体积.

题12
如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= 2 , P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是__________.

课后练习详解

题1

答案:C

详解:设圆锥底面半径为 R1 ,高为

h,球的半径



R2

,则圆锥体积为

1 3

?

R12h

,球的体积为

4 3

?

R23

.由题意知圆锥的底面半径是球的半径的

3

倍,即

R1

=3

R2

.由圆锥与球的体积相等有

1 3

?

R12h



4? 3

R23 ,将

R2 =

R1 3

代入,有 R12h = 4 ?

R13 33

,故

h R1

44 =33=27.

题2

答案:92π 详解:如图所示,设底面中心为 O′,球心为 O,设球半径为 R,∵AB=2,则 AO′= 2,PO′

= PA2-AO′2=2,OO′=PO′-PO=2-R.在 Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2? R2=( 2)2

+(2-R)2,∴R=32,∴V

4 球=3π

R3=92π

.

题3 答案:C 详解:由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底面边长
为 2,侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为 V=π ×12×2+13×( 2)2× 3=2π +23 3,故选 C.
题4 答案:C 详解: 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h,则 VP-EFQ=13×S△EFQ·h,由于 Q 为 CD 的中点,∴点 Q 到直线 EF

的距离为定值 2,又 EF=1,∴S△EFQ 为定值,而 P 点到平面 EFQ 的距离,即 P 点到平面 A1B1CD 的距离,显然与 x 有关、与 y 无关,故选 C.
题5 答案:73π . 详解:

如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90°,∠B=45°,绕 AB 边旋转一周后形成一圆 柱和一圆锥的组合体. 设 CD=x,则 AB=32x,AD=AB-CD=x2,BC= 22x.

S表 = S圆柱底 + S圆柱侧 + S圆锥侧 =π ·AD2+2π ·AD·CD+π ·AD·BC

=π

x2 · 4 +2π

·x2·x+π

·x2·

22x=5+4

2 π

x2.

根据题设,5+4

2 π

x2=(5+

2)π ,则 x=2 .

所以旋转体体积 V=π ·AD2·CD+π3 AD2·(AB-CD)=π ×12×2+π3 ×12×(3-2)=73π .

题6
答案:B 详解:

如图,O1,O 分别为上、下底面的中心,D 为 O1O 的中点,则 DB 为球的半径,有

r=DB= OD2+OB2=

a2 a2 4+3=

7a2 12 ,

∴S

表=4π

r2=4π

7a2 7 × 12 =3π

a2.

题7

答案:2500π cm2.

详解:如图为球的轴截面,由球的截面性质知,AO1∥BO2,且 O1、O2 分别为两截面圆的圆心,

则 OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.设球的半径为 R.

∵π ·O2B2=49π ,∴O2B=7 cm,同理 π ·O1A2=400π ,∴O1A=20 cm. 设 OO1=x cm,则 OO2=(x+9) cm.在 Rt△OO1A 中,R2=x2+202, 在 Rt△OO2B 中,R2=(x+9)2+72,∴x2+ 202=72+(x+9)2,解得 x=15. ∴R2=x2+202=252,∴R=25 cm.∴S 球=4π R2=2500π cm2. ∴球的表面积为 2500π cm2. 题8

答案:512 cm2; 688 cm3

详解:(Ⅰ)斜高 h ' ?

122

?

? 12 ? ?? 2

2

?2 ??

? 13

cm

S 正四棱台=S 上+S 下+S 侧=22+122+ 12×(2+12)×13=512 c m2

(Ⅱ)V= 13(S+ SS ' +S′)h= 13(22+ 22 ?122 +122)×12=688 cm3

题9
答案:(1)见详解. (2) 表面积 22+4 2 cm2,体积 10 cm3. 详解: (1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是由正方体 AC 1 及直三棱柱 B1C1Q—A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积为: S=5×22+2×2× 2+2×12×( 2)2=22+4 2 cm2,所求几何体的体积 V=23+12×( 2)2×2 =10 cm3 .
题10
答案 : 1∶5
详解:

已知长方体可以看成直四棱柱 ADD?A? ? BCC?B? .

设它的底面 ADD?A? 面积为 S ,高为 h ,则它的体积为V ? Sh .

而棱锥 C ? A?DD? 的底面面积为 1 S ,高是 h , 2

因此棱锥 C

?

A?DD? 的体积VC?A'DD'

?

1? 3

1 2

Sh

?

1 6

Sh .

余下的体积是 Sh ? 1 Sh ? 5 Sh . 66

所以棱锥 C ? A?DD? 的体积与剩余部分的体积之比为 1:5.

题11

答案: 17 3

详解:由 三 视 图 知 , 此 几 何 体 可 以 看 作 是 一 个 边 长 为 2 的 正 方 体 被 截 去 了 一 个 棱 台

而 得 到 ,此 棱 台 的 高 为 2,一 底 为 直 角 边 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 ,一 底 为 直 角 边

长为 1 的等腰直角三角形,棱台的两底面的面积分别为

1 ? 2? 2 ? 2, 1 ?1?1 ? 1

2

2

2

该 几 何 体 的 体 积 是 2? 2? 2? 1 ? 3

? 2? ???

1? 2

2?

?2

1? 2???

?

?8 7? 3

17 3

题12

答案: 5 2 .
详解:

将△BCC1 沿直线 BC1 折到面 A1C1B 上,如图,连接 A1C,即为 CP+PA1 的最小值,过点 C 作 CD⊥C1D 于 D 点,△BCC1 为等腰直角三角形, ∴CD=1,C1D=1,A1D=A1C1+C1D=7, ? A1C ? A1D2 ? CD2 ? 49 ?1 ? 5 2


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