三角函数与解三角形专题测试及解答


三角函数、解三角形专题测试
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. cos(- A. 2 2.已知 sinα= 5 A. <m<6 2 17π 17π )-sin(- )的值是 4 4 B.- 2 C.0 D. 2 2 ) ( )

2m-5 m ,cosα=- ,且 α 为第二象限角,则 m 的允许值为( m+1 m+1 B.-6<m< 5 2 C.m=4 3 D.m=4 或 m= 2 ( 18 D. 25 (

π 3 3. 已知 sin(x+ )=- , 则 sin2x 的值等于 4 5 A.- 7 25 7 B. 25 18 C.- 25

)

4.设 a=sin15° +cos15° ,b=sin17° +cos17° ,则下列各式中正确的是 A.a< C.b< a2+b2 <b 2 a2+b2 <a 2 B.a<b< a2+b2 2 a2+b2 2

)

D.b<a<

5.(2010· 惠州模拟)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y π =sin(x- )的图象, 则 φ 等于 6 π A. 6 11π B. 6 7π C. 6 5π D. 6 ( ) ( )

6.在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

π 7.给定性质:①最小正周期为 π;②图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同 3 时具有性质①②的是 x π A.y=sin( + ) 2 6 C.y=sin|x| π B.y=sin(2x+ ) 6 π D.y=sin(2x- ) 6 ) ( )

1 8.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为( 3 9 2 A. 2 9 2 B. 4 9 2 C. 8 D.9 2

9. 在△ABC 中, 角 A, B 所对的边长为 a, b, 则“a=b”是“acosA=bcosB”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

(

)

π 10.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为 12 ( 1 A. 2 B. 3 C. 3 3 D.2 )

11.已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析 式可能为 x π A.f(x)=2cos( - ) 2 3 π B.f(x)= 2cos(4x+ ) 4 x π C.f(x)=2sin( - ) 2 6 π D.f(x)=2sin(4x+ ) 4 1+cos2x+8sin2x π 12.(2010· 抚顺模拟)当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值为 2 sin2x A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 ( ) ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填写在题中的横线上) 13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=60° ,C=75° ,a=4, 则 b=________. 14.计算: cos10° + 3sin10° =________. 1-cos80°

15.在△ABC 中,已知 tanA=3tanB,则 tan(A-B)的最大值为________,此时角 A 的 大小为________. 16.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下 列命题中,正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= 7π ; 12

π 7π ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , ]; 12 12 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- 2π ). 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) π π 17.(本小题满分 12 分)已知 tan(α+ )=-3,α∈(0, ). 4 2 (1)求 tanα 的值; π (2)求 sin(2α- )的值. 3

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+ 3(2cos2x-1). π (1)将函数 f(x)化为 Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的形式,填写下表,并画出函数 f(x)在 2 1 5 区间[- π, π]上的图象; 6 6 x ωx+φ f(x) 0 π 2 π 3 π 2 2π

(2)求函数 f(x)的单调减区间.

π π 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sinxcos( -x)- 3sin(π+x)cosx+sin( +x)cosx. 2 2 (1)求函数 y=f(x)的最小正周期和最值; (2)指出 y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称.

A+C 3 20.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos = . 2 3 (1)求 cosB 的值; (2)若 BC BA · BC =2,b=2 2,求 a 和 c 的值.

π 3 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ )- . 3 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且边 b 所对角为 B,试求 cosB 的取值范 围,并确定此时 f(B)的最大值.

Acabbcdcacac
2 6 2 3 3 60° ③⑤

tanα+1 π 解:(1)由 tan(α+ )=-3 可得 =-3. 4 1-tanα 解得 tanα=2. π 2 5 5 4 (2)由 tanα=2,α∈(0, ),可得 sinα= ,cosα= .因此 sin2α=2sinαcosα= , 2 5 5 5 π π π 4 1 3 3 3 cos2α = 1 - 2sin2α =- , sin(2α - ) = sin2αcos - cos2αsin = × + × = 5 3 3 3 5 2 5 2 4+3 3 . 10 (1)f(x)=2sinxcosx+ 3(2cos2x-1) π =sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+ ). 3 kπ+ π 7π ≤x≤kπ+ (k∈Z), 12 12

(1)f(x)=2sin2x+ 3sinxcosx+cos2x =1+sin2x+ 3sinxcosx 1-cos2x 3 =1+ + sin2x 2 2 π 3 =sin(2x- )+ , 6 2 y=f(x)最小正周期 T=π. 3 5 3 1 y=f(x)的最大值为 +1= ,最小值为 -1= . 2 2 2 2 π 3 (2)∵y= +sin(2x- )的图象 2 6

????? ? y=sin2x 的图象.
A+C 3 解:(1)∵cos = , 2 3 B π A+C 3 ∴sin =sin( - )= , 2 2 2 3 B 1 ∴cosB=1-2sin2 = . 2 3 1 BC =2 可得 a· (2)由 BA · c· cosB=2,又 cosB= ,故 ac=6, 3 由 b2=a2+c2-2accosB 可得 a2+c2=12,

左移

个单位 12 3 下移 个单位 2

?

∴(a-c)2=0,故 a=c,∴a=c= 6. π 3 :(1)f(x)=2cosx· sin(x+ )- 3 2 π π 3 =2cosx(sinxcos +cosxsin )- 3 3 2 1 3 3 =2cosx( sinx+ cosx)- 2 2 2 =sinxcosx+ 3· cos2x- 3 2

1+cos2x 1 3 = sin2x+ 3· - 2 2 2 1 3 = sin2x+ cos2x 2 2 π =sin(2x+ ). 3 ∴T= 2π 2π = =π. |ω| 2 a2+c2-b2 a2+c2-ac 得,cosB= 2ac 2ac

(2)由余弦定理 cosB=

a2+c2 1 2ac 1 1 1 = - ≥ - = ,∴ ≤cosB<1, 2ac 2 2ac 2 2 2 π π 而 0<B<π,∴0<B≤ .函数 f(B)=sin(2B+ ), 3 3 π π π π ∵ <2B+ ≤π,当 2B+ = , 3 3 3 2 π 即 B= 时,f(B)max=1. 12


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