100测评网高三数学复习江苏省盐城市2008-2009高三第一学期期中调研测试题


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江苏省盐城市 2008-2009 高三第一学期期中调研测试题 数学(正题)
(本部分满分 160 分, 考试时间 120 分钟) 参考公式 :

?2 ?

n(ad ? bc)2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

P ? ? 2 ? x0 ?

0.02 0.10 0.05 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9 0.001

x0

2.70 6

3.84 1

10.82 8

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分 .不需写出解答过程 ,请把答案写在答 题纸的指定位置上 . 1、已知集合 P ? x x( x ? 1) ≥ 0 , Q ? ?x | y ? ln(x ? 1)? ,则 P

?

?

Q=
.

.

2、若复数 z ? a2 ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =

3、已知双曲线的中心在坐标原点, 一个焦点为 F (10, 0) , 两条渐近线的方程为 y ? ? 双曲线的标准方程为 . .

4 x , 则该 3

4、在等比数列{ an }中, 若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 , 则 a12 的值是
3

5、在用二分法 求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时, 现在已经将一根锁定在区间(1,2)内, ... 则 下一步可断定该根所在的区间为 6、若 . .

cos 2? 2 ?? ,则 cos ? ? sin ? = π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

7、设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , 则m ? n ;

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②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ; ④若 m ? ? , ? ? ? , m // n, 则n // ? . 其中所有正确命题的序号是 .
D C D C

8、如图, 直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,正视图和 俯视图如图所示,则其左视图的面积为 9、函数 y ? sin .
A B A 正视图 B 俯视图

?
3

x 在区间 ?0, t ? 上恰好取得 2 个最大值,
.

第 8 题图

则实数 t 的取值范围是

10、定义函数 CONRND( a , b )是产生区间( a , b )内的任何一个实数的随机数函数. 如图 所示的程序框图可用来估计 ? 的值. 现在 N 输入的值为 100, 结果 m 的输出值为 21, 则由此 可估计 ? 的近似值为 .
开始

1 2 11、 已知命题 p :" ?x ? [1, 2], x ? ln x ? a ? 0" 与命题 2

输入 N
i ?1 m?0

q :" ?x ? R, x ? 2ax ? 8 ? 6a ? 0" 都是真命题, 则实数 a 的取值范
2

围是

.

12、过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别 为 a、 b , 则 4 a ? b 的最小值为
2 2

i?N



.


A ? CONRND(?1,1) B ? CONRND(?1,1)

1 ? an 13、已知 ?an ? 是首项为 a, 公差为 1 的等差数列, bn ? . an
若对任意的 n ? N , 都有 bn ? b8 成立, 则实数 a 的取值范围
*

输出 m

A2 ? B2 ? 1



结束


m ? m ?1 i ? i ?1



.
x

14、已知 f1 ( x) ? e sin x , fn ( x) ? f n??1 ( x), n ? 2 ,
2008



? f (0) ?
i ?1 i

.

第 10 题图

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二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明 ,证明过程或演算步骤 , 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、 (本小题满分 14 分) 在锐角 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . .. (1)求角 B 的大小; (7 分) (2)设 m ? (sin A,1), n ? (3,cos 2 A) , 试求 m ? n 的取值范围. (7 分)

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16、 (本小题满分 14 分) 某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系, 随机抽测了 20 人, 得到如下数据: 序 1 号 身高 x (厘米) 脚长 y ( 码 ) 序 号 身高 x (厘米) 脚长 y ( 码 ) 43 41 40 43 40 44 38 42 39 41 169 178 167 174 168 179 165 170 162 170 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 48 38 40 43 44 37 40 39 46 39 192 164 172 177 176 159 171 166 182 166 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(1)若“身高大于 175 厘米”的为“高个”,“身高小于等于 175 厘米”的为“非高个”;“脚长 大于 42 码”的为“大脚”,“脚长小于等于 42 码”的为“非大脚”. 请根据上表数据完成下面的

2 ? 2 联列表: (3 分)
高 大 脚 12 20 个 非高个 合 计

非大脚 合 计

(2)根据题(1)中表格的数据, 若按 99%的可靠性要求, 能否认为脚的大小与身高之间 有关系? (5 分) (3)若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来核查测量数据的误差:将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次, 记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号. 试求: ①抽到 12 号的概率;②抽到“无效序号(超过 20 号)”的概率. (6 分)

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17、 (本小题满分 15 分) 已知直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? BC, AB ? 1, BC ? 2, CD ? 1 ? 3, 过 A 作

AE ? CD , 垂足为 E , G、F分别 为AD、CE 的中点, 现将 ?ADE 沿 AE 折叠, 使得 DE ? EC .
(1)求证: BC ? 面CDE ; (5 分) (2)求证: FG // 面BCD ; (5 分) (3)在线段 AE 上找一点 R , 使得面 BDR ? 面 DCB , 并说明理由. (5 分) D D E F · C G E A B



F

C

A

B

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18、 (本小题满分 15 分) 已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点, 且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程; (7 分) (2)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 , 直线 l : mx ? ny ? 1 . 试证明当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. (8 分)

19、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? k[(loga x)2 ? (logx a)2 ] ? (loga x)3 ? (logx a)3 (其中 a ? 1 ) ,设 t ? loga x ? log x a . g ( x) ? (3 ? k 2 )(loga x ? log x a) , (1)当 x ? (1, a) ? (a, ??) 时, 试将 f ( x ) 表示成 t 的函数 h(t ) , 并探究函数 h(t ) 是否有极 值; (7 分) (2)当 x ? (1, ??) 时,若存在 x0 ? (1, ??) ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,试求 k 的范围. (9 分)

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20、 (本小题满分 16 分) 已知 a 为实数,数列 ?an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时, an ? ?

?an?1 ? 3 ?4 ? an?1

(an?1 ? 3) (an?1 ? 3)



(1) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前100项的和S100 ; (5 分) (2)证明:对于数列 ?an ? ,一定存在 k ? N * ,使 0 ? ak ? 3 ; (5 分) (3)令 bn ?
n an 20 ? a 2 ? a ? 3 ,当 时,求证: bi ? . (6 分) ? n n 2 ? (?1) 12 i ?1



学(附加题)

(本部分满分 40 分, 考试时间 30 分钟) 一、选做题:请在下列 4 小题中任做 2 题 ,每小题 10 分 ,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定 区域内 ,多做者按所做的前 2 题给分 . 1、 (选修 4—1:几何证明选讲)如图,已知:C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,CH⊥ AB 于点 H,直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D,E 为 CH 中点,连接 AE 并延长交 BD 于点 F,直线 CF 交直线 AB 于点 G. (1)求证:F 是 BD 的中点; (2)求证:CG 是⊙O 的切线.

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2、 (选修 4—2:矩阵与变换)二阶矩阵 M 对应的变换将点(1, -1)与(-2,1)分别变换 成点(-1, -1)与(0,-2). (1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程.

4 ? x ? 1? t ? ? 5 3、 (选修 4—4:坐标系与参数方程)求直线 ? ( t为参数 )被曲线 3 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?

? ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长.
4

4、 (选修 4—5:不等式选讲)已知 a>0, b>0, c>0, abc=1, 试证明:

1 1 1 3 ? 2 ? 2 ? . a (b ? c) b (a ? c) c (a ? b) 2
2

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二、必做题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,计 20 分 ,请把答案写在答题纸的指定区域内. 5、某城市有甲、乙、丙、丁 4 个旅游景点,一位客人游览这 4 个景点的概率都是 0.6,且客 人是否游览哪个景点互不影响. 设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点 数之差的绝对值. (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)记“函数 f ( x) ? x 2 ? 3?x ? 1在区间 [4, ??) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概 率.

6、如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2, AF ? 1 . (1)求二面角 A-DF-B 的大小; (2)在线段 AC 上找一点 P, 使 PF 与 AD 所成的角为 600 试确定点 P 的位置. C E F B A

D

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数学参考答案
正题部分(计 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分 . 1. ?1, ?? ? 2.2 3.

x2 y 2 ? ?1 36 64
6.

4.4

5. ?

?3 ? , 2 ? ( 说 明 :写 成 闭 区 间 也 算 对 ) ?2 ?
10.3.16

1 2

7. ①③

8. 2 3

9.

?15 27 ? , ? ? ?2 2 ? ? ? 1? ?

11. ? ??, ?4? ? ?2, ? 2?

12.32

13.

? ?8, ?7?

14.1 ? 4502

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15. 解: (1) 因为(2a-c )cosB=bcosC, 所以(2sinA-s inC)cosB=sinBcosC,…………………………(3 分) 即 2sinA cosB=sinCcosB+s inBcosC= sin(C+B)= sinA. 而 sinA>0, 所以 cosB=

1 2

………………(6 分)

故 B=60°………………………………………………………………………………… (7 分) (2) 因为 m ? (sin A,1), n ? (3,cos 2 A) , 所以 m ? n =3sinA+cos2A………… (8 分) =3sinA+1-2s in2 A=-2(sinA-

3 2 17 )+ ………………………… (10 分) 4 8

? 00 ? A ? 900 ? 00 ? A ? 900 ? 0 0 0 由 ? B ? 60 得? 0 , 所以 30 ? A ? 90 , 0 0 0 ? 120 ? A ? 90 ?00 ? C ? 900 ? ?
从而 sin A ? ?

?1 ? ,1? ?2 ?

…(12 分)

故 m ? n 的取值范围是 ? 2,

? 17 ? ? .…………………………………………………… (14 分) ? 8?

16. 解: (1)表格为:

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高 大 脚 5 1 6 14 …………… (3 分) (说明:黑框内的三个数据每个 1 分, 黑框外合计数据有错误的暂不扣分) (2) 提出假设 H0 : 人的脚的大小与身高之间没有关系. …………………………… (4 分) 个 非高个 2 合 7 13 计

非大脚 合 计

20 ? (5 ?12 ? 1? 2)2 根据上述列联表可以求得 ? ? ? 8.802 .…………………… (7 分) 6 ?14 ? 7 ?13
2

当 H0 成立时, ? 2 ? 7.879 的概率约为 0.005, 而这里 8.802>7.879, 所以我们有 99.5%的把握认为: 人的脚的大小与身高之间有关系. ……………… (8 分) (3) ①抽到 12 号的概率为 P 1 ?

4 1 ? ………………………………… (11 分) 36 9 6 1 ? …………………… (14 分) ②抽到“无效序号 (超过 20 号) ”的概率为 P2 ? 36 6

17. 解: (1)证明:由已知得: DE ? AE, DE ? EC , ? DE ? 面ABCE …………(2 分)

? D E? B C , 又BC ? CE ,? BC ? 面DCE ……………………(5 分)
(2)证明:取 AB 中点 H ,连接 GH , FH ,

? GH // BD , FH // BC , ? GH // 面BCD , FH // 面BCD ……………(7 分)
?面FHG // 面BCD , ?GF // 面BCD …………………………(10 分)

( 3) 分析可知,R 点满足 3 AR ? RE 时,面BDR ? 面BDC …………………… (11 分) 证明:取 BD 中点 Q ,连结 DR 、 BR 、 CR 、 CQ 、 RQ 容易计算 CD ? 2, BD ?

5 13 21 , CR ? , DR ? , CQ ? 2 , 2 2 2

在 BDR 中

BR ?
2

5 21 5 , DR ? , BD ? 21 , 可知 RQ ? , 2 2 2
2 2

∴在 CRQ 中, CQ ? RQ ? CR

, ∴ CQ ? RQ ……………………………(13 分)

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又在 CBD 中, CD ? CB, Q为BD中点?CQ ? BD ,

?CQ ? 面BDR
?面BDC ? 面 BDR…………………………………………………………(15 分)
(说明 :若设 AR ? x , 通过分析, 利用 面BDC ? 面 BDR推算出 x ? 明) 18. 解: (1)由 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) , 得 ( x ? 2 y ? 3) ? k (4 x ? 3 y ? 12) ? 0 ,

,

1 , 亦可, 不必再作证 2

则由 ?

? x ? 2y ?3 ? 0 , 解得 F(3,0).………………………………………………(3 分) ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0

? c?3 x2 y 2 ? 设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 则 ? a ? c ? 8 , a b ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?a ? 5 ? 解得 ?b ? 4 ………………………(6 分) ?c ? 3 ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 25 16

………………………………………………(7 分)

(2)因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动, 所以 1 ?

m2 n 2 ? ? m2 ? n 2 , 25 16

从而圆心 O 到直

线 l : mx ? ny ? 1 的距离 d ?

1 m ? n2
2

?1? r .

所以直线 l 与圆 O 恒相交…………………………………………(11 分) 又直线 l 被圆 O 截得的弦长为

L ? 2 r2 ? d 2 ? 2 1?

1 1 ? 2 1? ………(13 分) 2 9 2 m ?n m ? 16 25
2

由于 0 ? m ? 25 , 所以 16 ?
2

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 , 则 L ? [ , ], 25 2 5

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15 4 6 , ] ……………………(15 分) 2 5

即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ? [

19. 解: (1)∵ (loga x)2 ? (log x a)2 ? (loga x ? log x a)2 ? 2 ? t 2 ? 2 ,

(loga x)3 ? (log x a)3 ? (loga x ? logx a)[(loga x ? logx a)2 ? 3] ? t 3 ? 3t ,
∴ h(t ) ? ?t 3 ? kt 2 ? 3t ? 2k ,(t ? 2) …………………………………………………… (3 分) ∴ h?(t ) ? ?3t 2 ? 2kt ? 3 设 t1 , t2 是 h?(t ) ? 0 的两根,则 t1t2 ? 0 ,∴ h?(t ) ? 0 在定义域内至多有一解, 欲使 h(t ) 在定义域内有极值,只需 h?(t ) ? ?3t 2 ? 2kt ? 3 ? 0 在 (2, ??) 内有解,且 h?(t ) 的 值在根的左右两侧异号,∴ h?(2) ? 0 得 k ? 综上:当 k ? 当k ?

9 ……………………………………… (6 分) 4

9 时 h(t ) 在定义域内有且仅有一个极值, 4

9 时 h(t ) 在定义域内无极值……… (7 分) 4

(2)∵存在 x0 ? (1, ??) ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立等价于 f ( x) ? g ( x) 的 最大值大于 0…………… (9 分) ∵ t ? log a x ? log x a ,∴ m(t ) ? ?t 3 ? kt 2 ? k 2t ? 2k ,(t ? 2) , ∴ m?(t ) ? ?3t 2 ? 2kt ? k 2 ? 0 得 t1 ? k , t2 ? ? 当 k ? 2 时, m(t )max ? m(k ) ? 0 得 k ? 2 ; 当 0 ? k ? 2 时,m(t )max ? m(2) ? 0 得

k . 3

17 ? 1 ? k ? 2 ……………………………… (12 分) 2

当 k ? 0 时,m(t )max ? m(2) ? 0 不成立 ……………………………………………… (13 分) 当 ?6 ? k ? 0 时, m(t )max ? m(2) ? 0 得 ?6 ? k ? 当 k ? ?6 时, m(t ) max ? m(? ) ? 0 得 k ? ?6 ; 综上得:k ?

? 17 ? 1 ; 2

k 3

? 17 ? 1 17 ? 1 或k ? ………………………………………………… (16 分) 2 2

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20. 解:(1)当a ? 100 时, 由题意知数列 ?an ? 的前 34 项成首项为 100, 公差为-3 的等差数 列, 从第 35 项开始, 奇数项均为 3, 偶数项均为 1, 从而

S100 =
=

(100+97+94+ ??? +4+1) +(3+1+ ??? +3+1) 共34项 共66项

……(3 分)

(100 ? 1) ? 34 66 ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 . ……………………………(5 分) 2 2

(2)证明:①若 0 ? a1 ? 3 , 则题意成立……………………………………………(6 分) ②若 a1 ? 3 , 此时数列 ?an ? 的前若干项满足 an ? an?1 ? 3 , 即 an ? a1 ? 3(n ?1) . 设 a1 ? ?3k ,3k ? 3 ,(k ? 1, k ? N ) , 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ? ? 0,3 .
*

?

?

从而此时命题成立…………………………………………………………(8 分) ③若 a1 ? 0 , 由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 , 则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述, 原命题成立…………………………………………………………(10 分) (3)当 2 ? a ? 3 时,因为 an ? ? 所以

? a (n为奇数) , ?4 ? a(n为偶数)

a ? n n ? an ? 2 ? (?1) = bn ? n ? 2 ? (? 1n) ? 4 ? a n n ? ? 2 ? (?1)

(n为奇数)
………………………………(11 分)

(n为偶数)

因为 bn >0, 所以只要证明当 n ? 3 时不等式成立即可. 而 b2 k ?1 ? b2 k ?

4 ? a a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 ? (4 ? 2a) ? 22 k ?1 ? 1 22 k ? 1 (22 k ?1 ? 1)(22 k ? 1) a ?

?

a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 4 ? ? 2 k ……………………(13 分) 24 k ?1 ? 22 k ?1 ? 1 24 k ?1 2
*

①当 n ? 2k (k ? N 且k ? 2) 时,

? bi ? b1 ? b2 ? ? bi ?
i ?1 i ?3

2k

2k

a 4?a a?4 a?4 a?4 ? ? ( 2?2 ? 2?3 ? ??? ? 2?k ) 3 3 2 2 2

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1 1 1 (1 ? ( ) k ?1 ) (a ? 4) ? (1 ? ( )k ?1 ) 4 4 4 4 a?4 4 4 ? ? (a ? 4) ? 2 ? ? ? ? 1 3 3 12 3 12 1? 4 20 ? a ? . ……(15 分) 12
②当 n ? 2k ?1(k ? N *且k ? 2) 时, 由于 bn >0, 所以
2 k ?1 i ?1

? b ? ?b <
i i ?1 i

2k

20 ? a . 12

综上所述, 原不等式成立…………………………………………………………(16 分)

附加题部分(计 40 分)
1. (1)证:∵CH⊥ AB,DB⊥ AB,∴△ AEH∽ AFB,△ ACE∽△ ADF ∴
EH AE CE ? ? , ∵HE=EC, ∴ BF=FD ∴ F 是 BD 中点.……………………… (5 分) BF AF FD

(2)∵AB 是直径,∴∠ ACB=90° ∴∠ BCF=∠CBF=90° -∠CBA=∠CAB=∠ ACO ∴∠OCF=90° ,∴CG 是⊙O 的切线………………………………………………(10 分) (说明:也可证明△OCF≌△OBF(从略, 仿上述评分标准给分) )
?a 2. 解 : ( 1 ) 设 M= ? ?c b? ?a ,则有 ? ? d? ?c b ? ?1 ? ? ?1? ?a =? ?,? ? ? ? d ? ? ?1? ? ?1? ?c b ? ? ?2 ? ?0 ? ? ? = ? ? ,所以 d? ? ?1 ? ? ?2 ?

1 ? ? 2 a ?b ? 0, ?a ? b ? ? ,且 ? ? ?c ? d ? ?1 ?? 2 c? d? ? 2

?a ? 1 ?b ? 2 ?1 ? 解得 ? ,所以 M= ? ?3 ?c ? 3 ? ?d ? 4
? x? ? ?1 (2)因为 ? ? ? ? ? y ? ? ?3

2? .…………………………………………(5 分) 4? ?

2? ? x ? ? x ? 2 y ? ? ??? ? 且 m: x ? ? y ? ? 4 , 4? ? ? y ? ?3 x ? 4 y ?

所以(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+y+2=0,它便是直线 l 的方程.……(10 分)

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 3. 将方程 ? , ? ? 2 cos(? ? ) 分别化为普通方程: 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

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3x ? 4 y ? 1 ? 0


x2 ? y 2 ? x ? y ? 0, ………………………………………………………………(5 分)
1 1 2 1 1 1 7 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ? d 2 ? 2 ? ? . 2 2 2 10 2 100 5
……(10 分) 4. 解: 证明:由

x2 y x2 y ? ? x ( y ? 0), 得 ? x ? ( y ? 0) , y 4 y 4

1 ( )2 1 bc 1 1 1 1 ? 2 ? a ? ? ( ? ) 所以 3 a (b ? c) a (b ? c) 1 1 a 4 b c ? b c
同理:

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , b ( a ? c) b 4 a c
3

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) c ( a ? b) c 4 a b
3

相加得:左?

1 1 1 1 3 3 ( ? ? ) ? 3 abc ? …………………………………(10 分) 2 2 2 a b c

5. 解: (1)分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览 丁 景 点 ” 为 事 件 A1 , A2 , A3 , , A4由 已 知 A1 , A2 , A3 , 相 A4 互 独 立 , 且

P( 1 A) ?

P( 2 A?)

P3 ( ? A)

P 4 ( ?A )

0 . 6 .

客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3,4;相应的,客人没有游览的景点数的可能 取值为 4,3,2,1,0. 所以 ? 的可能取值为 0,2,4

P(? ? 0) ? C42 (0.6)2 (1? 0.6)2 ? 0.3456. P(? ? 2) ? C41 (0.6)1 (1? 0.6)3 ? C43 (0.6)3 (1? 0.6)1 ? 0.4992.

P(? ? 4) ? (0.6)4 ? (1 ? 0.6)4 ? 0.1552
? 2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.24, P(? ? 1) ? 1 ? 0.24 ? 0.76
所以 ? 的分布列为

?
P

0 0.34

2 0.49

4 0.1

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56 92 552

E ? 0 ? 0.3452 ? 2 ? 0.4992 ? 4 ? 0.1552 ? 1.6192. ……………………………………… (5 分)

(2)因为 f ( x) ? ( x ? 上单调递增.

3 2 9 3 ? ) ? 1 ? ? 2 , 所以函数 f ( x) ? x 2 ? 3?x ? 1在区间 [ ? ,?? ) 2 4 2
3 2 8 3

要使 f ( x) 在 [4, ??) 上单调递增,当且仅当 ? ? 4, 即 ? ? . 从而 P( A) ? P(? ? ) ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? 0.8448. ………………………………(10 分) 6. 解:(1)以 CD, CB, CE 为正交基底, 建立空间直角坐标系, 则

8 3

E (0, 0,1), D( 2, 0, 0), B 0, 2, 0 , A

?

? ?

2, 2, 0 ,

?

面ADF的法向量t ? (1,0,0), BD ? ( 2, ? 2,0), BF ? ( 2,0,1) .
设面 DFB 法向量 n ? (a, b, c), 则n ? BD ? 0, n ? BF ? 0 , 所以 ?

? ? 2a ? 2b ? 0 ? ? 2a ? c ? 0

令a=1,得n ? (1,1, ? 2) ,

cos ? n,t ??

1 , 故 二面角 A-DF-B 的大小 600 ………………………………………… (5 分) 2

(2)设 P(a, a, 0) 0 ? a ?

?

2 ,则PF ? ( 2 ? a, 2 ? a,1), CB ? (0, 2, 0) ,
0

?

因为 ? PF , CB ?? 60 所以cos60 ?
0

2 2?

? 2?

? 2 ? a? ?1
2 ?a
2

?

1 , 2

解得 a ?

2 故存在满足条件的点 P 为 AC 的中点. ……………………………(10 分) 2

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