必修4活页作业及答案排版

高一数学必修 4 活页作业(1)

一、选择题

1.下列命题中正确的是 ( )

A 第一象限角一定不是负角

B 大于900的角一定是钝角

C 钝角一定是第二象限角 2.-20110 角的终边在 ( )

D 终边相同的角一定相等

A.第一象限 B 第二象限 C 第三象限 3.与-20020 终边相同的角可以是下列中的 ( A.19680 B.-19680 C.-2020 D.2020

D 第四象限 )

4.手表走过 40 分钟,时针转过的度数为(



A.-200 B. 200 C.-700 D.700

5.角α 的终边经过点M(0,-1),则α (



A.是第三象限角

B.是第四象限角

C.既是第三象限角又是第四象限角 D.不是任何象限角

6.下列四组角,①(2k+1)1800 与(4k±1)1800

② k ?900 ? 450 与 k ?1800 ? 450 ; ③ k ?1800 ? 300 与 k ?3600 ? 300 ; ④ k ?1800 ? 300 与

k ?1800 ?1500 ,k∈Z.每组中的两种表示方法能表示相同的集合的是 (



A.②④ B.①②④ C.①③④ D.②③④

7.如果角α 与角β 的终边互相垂直,那么α 与β 之间的关系是 ( )

A.? ? ? ? 900

B.? ? ? ? ?900

C.? ? ? ? k ? 360 0 ? 90 0 , k ? Z.

D. ? ? ? ? k ? 360 0 ? 90 0 , k ? Z.

二、填空题

8.与-4960 终边相同的角是

,它是第

大的负角是



9.在[-1800,12600]内与 9000 角终边相同的角有

象限的角,它们中最小的正角是

,最

个;它们分别是



10. 已知角? ? k ?1800 ? 20020,k ? z ,则符合条件的最大负角为 ______________
11.有不大于 1800 的正角,这个角的 7 倍角的终边与这个角的终边重合,那么这个角是 。 三、解答题

12.已知? 是第二象限的角,则 ? 是第几象限的角? 2

(1)终边落在 x 轴非正半轴上角的集合; (2)终边落在 y 轴非正半轴上角的集合; (3)终边落在坐标轴上角的集合; (4)终边落在第一象限角平分线上角的集合。
? ? ★14.已知集合 A ? ? | ? ? k ? 360 0 ? 450 , k ? Z ? ? B ? ? | ? ? k ?180 0 ? 450 , k ? Z ? ? C ? ? | ? ? k ? 720 0 ? 450 , k ? Z
问 A、B、C 三集合之间的包含关系。

13.分别写出:
1

高一数学必修 4 活页作业(2)

一、选择题

1.下列各说法中错误的说法是

()

A、半圆所对的圆心角是? rad

B、周角的大小等于 2?

C、1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D、长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度

2.- 300? 化为弧度是

()

A、 ? 4? 3

B、 ? 5? C、 ? 7? D、 ? 7?

3

4

6

3.? =-3,则? 的终边在

()

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

4.已知集合 A ? ?x 2k? ? x ? 2k? ? ?, k ???, B ? ?? 4,4?,则 A ? B 等于

(

)

A、 ?? 4,?? ? C、 ?? 4,?? ? ? ?0,? ?

B、?0,? ? D、?? 4,?? ?? ?0,? ?

5.把 ? 11? 表示成? ? 2k? ?k ? ?? 的形式,使 ? 最小的? 的值是 ( ) 4

A、 ? 3? 4

B、 ? ? 4

C、 ? 4

D、 3? 4

6.若? 是第二象限角,那么 ? 和 ? ? ? 都不是 ( ) 22

A、第一象限角

B、第二象限角

C、第三象限角

D、第四象限角

7.已知? 是锐角,那么 2? 是

()

A、第一象限角

B、第二象限角

C、小于1800 的正角

D、第一或第二象限角

二、填空题

8. 将分针拨慢 20 分钟,则分针转过的弧度是__________

9.集合 M

? ??? ? ?

?

k? 2

?

? 5

, k ? ???, N ?

? ??

??

??

? ? ?,则 M

?N=

10. 若角? 、 ? 的终边关于 y 轴对称,则α 、β 的关系一定是_________________________.

11. A

? ??x ?

x

? k?

? ??1?k

?? 2

,k

? ???, B ?

? ??x ?

x

? 2k?

?? ,k 2

? ??? 则 A,B 的关系为 ?

三、解答题

12.已知? ? 150 , ? ? ? ,? ? 1,? ? 1050 ,? ? 7? , 试判断?, ? , ? ,? ,? 的大小.

10

12

★14.所有与 73? 终边相同的角的集合是什么?求不等式 0 ? 73? ? k? ? 2? 的整数解,并在 0 到

12

12

2? 范围内求出与 73? 终边相同的角。 12

★15.若? 角的终边与 ? 的终边相同,在 ?0,2? ? 内有哪些角的终边与 ? 的终边相同。

3

3

13. 写出终边在下列阴影部分内的角的集合:
2

高一数学必修 4 活页作业(3)

1.圆的半径为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则下列结论中正确的是 ( ) A. 扇形的面积不变

B. 扇形的圆心角不变

C. 扇形的面积增大到原来的 2 倍

D. 扇形的圆心角增大到原来的 2 倍

2. 一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形的面积为( )

A. 2R 2 B. R 2 C.2

D. R 2 2

3.两个圆心角相等的扇形的面积之比为 1:2,则这两个扇形周长的比为( )

A.1:2 B.1:4

C.1: 2

D.1:8

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,那么其圆心角的弧度数为( )

?
A.

2?
B.

C.

3

D.2

3

3

5.圆的半径为 6cm,则 15。的圆心角与圆弧所对的扇形面积是()

A. ? cm2 2

B. 3? cm2 2

C.? cm2

D. 3? cm2

6.若 2 弧度的圆心角所对的弧长是 4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ( )

A. 2cm2 B. 4cm2 C. 2? cm2 D. 4 ? cm2

7.如果一弓形的弧所对的圆心角是 ? ,弓形的弦长是 2cm,则弓形的面积是 ( ) 3

A. ?? 2? ? 3 ??cm 2 B. ?? 4? ? 3 ??cm 2

?3

?

?3

?

C.

????

2? 3

?

3 2

????cm

2

D.

????

? 3

?

3 2

????cm

2

8.一个扇形的面积是 1 cm2,周长为 4 cm,则圆心角的弧度数为



9.在直径为 10 cm 的轮上有一长为 6cm 的弦,P 是该弦的中点,轮子以每秒 5 弧度的速度旋转,则经

过 5 秒钟后点 P 转过的弧长是

cm.

10.已知扇形的圆心角是 2 弧度,扇形的周长是 3cm,则扇形的面积是

.

11.已知扇形的圆心角为 20 ,半径为 6cm,则此圆心角所对的弧长等于

.

12. 半径为 12cm 的轮子,每 3 分钟转 1000 圈,试求

(1)它的平均角速度(一秒钟转过的弧度数)

(2)轮沿上一点 1 秒钟经过的距离 (3)轮沿上一点转过 10000 经过的距离

★13..如下图,圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A 点 1 分钟转过θ (0<θ <π )角,2 分钟到达第三象限,14 分钟后回到原来的位置,求θ .
★14.已知扇形的周长为 30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面 积是多少?

3

高一数学必修 4 活页作业(4)

1.有下列命题: ①终边相同的角的三角函数值相同;

②同名三角函数的值相同的角也相同;

③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同;

④不相等的角,同名三角函数值也不相同.

其中正确的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

2.若角 α、β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式成立的是( )

A.sinα=sinβ

B.cosα=cosβ

C.tanα=tanβ

D.cotα=cotβ

3.角 α 的终边上有一点 P(a,a),a∈R,a≠0,则 sinα 的值是( )

A. 2
2

B.- 2 C. 2 或- 2

2

2

2

D.1

4.若 | sin x | + cos x + | tan x | =-1,则角 x 一定不是( )
sin x | cos x | tan x

A.第四象限角

B.第三象限角

C.第二象限角

D.第一象限角

5.sin2·cos3·tan4 的值( )

A.小于 0

B.大于 0

C.等于 0 D.不存在

6.若 θ 是第二象限角,则( )

A.sin ? >0
?

B.cos ? <0 C.tan ? >0 D.cot ? <0

?

?

?

7.若角 α 的终边经过 P(-3,b),且 cosα=- 3 ,则 b=_________,sinα=_________.
5

8.在(0,2π)内满足 cos2 x =-cosx 的 x 的取值范围是_________.

9.已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,则 10sinα+3secα=_________.

10.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在第________象限.

11.已知 tanx>0,且 sinx+cosx>0,求角 x 的集合.

12.已知角 α 的顶点在原点,始边为 x 轴的非负半轴.若角 α 的终边过点 P(- 3 , y),且 sinα= 3 y(y≠0),判断角 α 所在的象限,并求 cosα 和 tanα 的值.
4
★13.证明:sin20°< 7 .
20

14. 根据下列三角函数值,求作角 α 的终边,然后求角 α 的取值集合.

(1)sinα= 1 ;(2)cosα= 1 ;(3)tanα=-1;(4)sinα> 1 .

2

2

2

★15.求函数 y= sin x +lg(2cosx-1)的定义域.

4

高一数学必修 4 活页作业(5)

1.已知角 α 的正弦线的长度为单位长度,那么角 α 的终边( )

A.在 x 轴上

B.在 y 轴上

C.在直线 y=x 上

D.在直线 y=-x 上

2.如果 π <θ< π ,那么下列各式中正确的是( )

4

2

A.cosθ<tanθ<sinθ

B.sinθ<cosθ<tanθ

C.tanθ<sinθ<cosθ

D.cosθ<sinθ<tanθ

3.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.若 sinαtanα>0,则 α 的终边在( )

A.第一象限

B.第四象限

C.第二或第三象限

D.第一或第四象限

5.若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sinα<0,又 P(m,n)是角 α 终边上一点,

且|OP|= 10 ,则 m-n 等于( )

A.2

B.-2 C.4

D.-4

6.若 0≤θ<2π,则使 tanθ≤1 成立的角 θ 的取值范围是_________.

7.在(0,2π)内使 sinx>|cosx|的 x 的取值范围是_________.

8.比较下列各组数的大小:

(1)sin 1 和 sin π ;
3

(2)cos 4π 和 cos 5π ;

7

7

(3)tan 9π 和 tan 9π ;

8

7

(4)sin π 和 tan π .

5

5

9.已知 α 是第三象限角,试判断 sin(cosα)·cos(sinα)的符号.

11. 当 α∈(0, π )时,求证:sinα<α<tanα.
2
12. 已知 θ 为正锐角,求证: (1)sinθ+cosθ< π ;
2
(2)sin3θ+cos3θ<1.
13.已知角 α 的终边经过点 P(-3cosθ,4cosθ),其中 θ∈(2kπ+ π ,2kπ+π)(k∈Z),
2
求角 α 的各三角函数值.
★14.(1)已知角 α 的终边经过点 P(3,4),求角 α 的六个三角函数值; (2)已知角 α 的终边经过点 P(3t,4t),t≠0,求角 α 的六个三角函数值.

10.求下列函数的定义域: (1)y= lg(cos x) ;
(2)y=lgsin2x+ 9 ? x2 .

★15.已知角 α 终边上的一点 P,P 与 x 轴的距离和它与 y 轴的距离之比为 3 :4, 且 sin? ? 0 求:cosα 和 tanα 的值.
5

高一数学必修 4 活页作业(6)

1.如果|cosx|=cos(x+π),则 x 的取值集合是( )

A.- π +2kπ≤x≤ π +2kπ B.- π +2kπ≤x≤ 3π +2kπ

2

2

2

2

C. π +2kπ≤x≤ 3π +2kπ D.(2k+1)π≤x≤2(k+1)π(以上 k∈Z)

2

2

2.sin(- 19π )的值是( )
6

A. 1
2

B.- 1
2

C. 3
2

D.- 3
2

3.下列三角函数:①sin(nπ+ 4π );②cos(2nπ+ π );③sin(2nπ+ π );④cos[(2n+1)

3

6

3

π- π ];⑤sin[(2n+1)π- π ](n∈Z).

6

3

其中函数值与 sin π 的值相同的是( )
3

A.①②

B.①③④ C.②③⑤ D.①③⑤

4.若 cos(π+α)=- 10 ,且 α∈(- π ,0),则 tan( 3π +α)的值为( )

5

2

2

A.- 6
3

B. 6
3

C.- 6
2

D. 6
2

5.设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是( )

A.cos(A+B)=cosC

B.sin(A+B)=sinC

C.tan(A+B)=tanC

D.sin A ? B =sin C

2

2

6.函数 f(x)=cos π x (x∈Z)的值域为( )
3

A.{-1,- 1 ,0, 1 ,1}

2

2

B.{-1,- 1 , 1 ,1}
22

C.{-1,- 3 ,0, 3 ,1}

2

2

D.{-1,- 3 , 3 ,1}
22

7.sin2( π -x)+sin2( π +x)=_________.

3

6

8.若 α 是第三象限角,则 1? 2sin(π ??) cos(π ??) =_________.

9.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________.

10.求值:sin(-660°)cos420°-tan330°cot(-690°).

11.证明:

2sin(π ?? ) ? 1? 2sin

cos 2?

?

?1

?

tan( 9π ?? ) ?1 tan(π ?? ) ?1



12.已知 cosα= 1 ,cos(α+β)=1,求证:cos(2α+β)= 1 .

3

3

13. 化简: 1? 2sin 290?cos 430? .
sin 250? ? cos 790?

★14、求证: tan(2π ?? )sin(?2π ?? ) cos(6π ?? ) =tanθ. cos(? ?π )sin(5π ?? )
15. 求证:(1)sin( 3π -α)=-cosα;
2
(2)cos( 3π +α)=sinα.
2

6

高一数学必修 4 活页作业(7)

1.已知 sin(π +α)= 3 ,则 sin( 3π -α)值为( )

4

2

4

A. 1 2

B. — 1 2

C. 3 2

D. — 3 2

2.cos(? +α)= — 1 , 3π <α< 2? ,sin( 2? -α) 值为( ) 22

A. 3 2

B. 1 2

C. ? 3 2

D. — 3 2

3.化简: 1? 2sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得( )

A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2

D.± (cos2-sin2)

4.已知 α 和 β 的终边关于 x 轴对称,则下列各式中正确的是( )

A.sinα=sinβ B. sin(α- 2? ) =sinβ

C.cosα=cosβ D. cos( 2? -α) =-cosβ

5.设 tanθ=-2, ?π <θ< 2? ,那么 sin 2 θ+cos(θ- 2? )的值等于( ), 2

A. 1 (4+ 5 ) B. 1 (4- 5 ) C. 1 (4± 5 )

5

5

5

D. 1 ( 5 -4) 5

6.sin(- 17π )=

.

3

7.cos(? -x)= 3 ,x∈(-? ,? ),则 x 的值为



2

8.tanα=m,则

sin(α ? 3?)? cos(π ?α sin(?α )- cos(π ?α )

)

?



9.|sinα|=sin(-? +α),则 α 的取值范围是

10.若 α 为锐角,则 2|logsecαcos( 2? -α)=

11.

sin(2π

?α sin(

)sin(? ? ?) cos( ?π 3π ?α )·cos(π ?α )



)



. .

13. 求下列三角函数值:

(1)sin 7π ;(2)cos 17π ;(3)tan(- 23π );(4)sin(-765°).

3

4

6

★14. 求下列三角函数值:

(1)sin 4π ·cos 25π ·tan 5π ;

3

6

4

(2)sin[(2n+1)π- 2π ].
3

★15.设

f(θ)=

2 cos3

? 2

? sin2 (2 π ? 2cos2 (π

?? ) ? sin(π ?? 2
?? ) ? cos(?? )

)

?

3

,求

f(

π 3

)的值.

12.已知:sin(x+π )= 1 ,求 sin( 7π ? x) +cos2( 5π -x)的值.

64

6

6

7

高一数学必修 4 活页作业(8)

1.若 cosx=0,则角 x 等于( )

A.kπ(k∈Z)

B. π +kπ(k∈Z)
2

C. π +2kπ(k∈Z)
2
2.使 cosx= 1? m 有意义的 m 的值为( )
1? m
A.m≥0 C.-1<m<1

D.- π +2kπ(k∈Z)
2
B.m≤0 D.m<-1 或 m>1

3.函数 y=3cos( 2 x- π )的最小正周期是( )
56

A. 2π
5

B. 5π
2

C.2π D.5π

4.函数 y= 2 ? cos x (x∈R)的最大值是( )
2 ? cos x

A. 5
3

B. 5
2

C.3

D.5

5.函数 y=2sin2x+2cosx-3 的最大值是( )

A.-1

B. 1
2

C.- 1
2

D.-5

6.函数 y=tan x 的最小正周期是( )
a

A.aπ

B.|a|π

C. π
a

D. π
?a?

7.函数 y=tan( π -x)的定义域是( )
4

A.{x|x≠ π ,x∈R}
4

B.{x|x≠- π ,x∈R}
4

C.{x|x≠kπ+ π ,k∈Z,x∈R}
4

D.{x|x≠kπ+ 3π ,k∈Z,x∈R}
4

8.函数 y=tanx(- π ≤x≤ π 且 x≠0)的值域是( )
44

A.[-1,1]

B.[-1,0)∪(0,1]

C.(-∞,1]

D.[-1,+∞)

9.下列函数中,同时满足①在(0, π )上是增函数,②为奇函数,③以 π 为最小
2
正周期的函数是( )

A.y=tanx

B.y=cosx

C.y=tan x
2

D.y=|sinx|

10.函数 y=2tan(3x- π )的一个对称中心是( )
4

A.( π ,0)
3

B.( π ,0) C.(- π ,0) D.(- π ,0)

6

4

2

11.比较下列各数大小:

(1)tan2 与 tan9;

(2)tan1 与 cot4.

12.已知 α、β∈( π ,π),且 tanα<cotβ,求证:α+β< 3π .

2

2

13.求函数 y=tan2x+tanx+1(x∈R 且 x≠ π +kπ,k∈Z)的值域.
2

★14.求函数 y=-2tan(3x+ π )的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调
3
性.

★15 求函数 y= ? 2 cos2 x ? 3cos x ?1 +lg(36-x2)的定义域.

8

高一数学必修 4 活页作业(9)

1.满足 tanα≥cotα 的角的一个取值区间是( )

π A.(0, 4 )

π B. [0,4 ]

ππ C. [4 ,2 ]

ππ D. [4 ,2 ]

2.函数的定义域是( )

π A.{x|x≠4 ,

x∈R}

3π B. {x|x≠ 4

,x∈R}

π C. {x|x≠kπ +4

,x∈R}

3π D. {x|x≠kπ + 4

,x∈R}

3.下列函数中周期为的奇函数是( )

3π A.y=cos(2x+ 2 )

x B.y=tan2

π C.y=sin(2x+2 )

π D.y= - |cotx2 |

4.若

π sinα>tanα>cotα(-2

π <x<2

),则 α 的取值范围是(



ππ A.(- 2 ,4 )

π B. (-4 ,0)

π C.(0, 4 )

5.比较大小:tan222°_________tan223°.

ππ D.( 4 ,2 )

6.函数

π y=tan(2x+4

)的单调递增区间是__________.

7.函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是________.

8.函数 y=f(x) 的图象右移π4 ,横坐标缩小到原来的一半,得到 y=tan2x 的图象, 则 y=f(x)解析式是_______________.

9.函数

tanx+1 y=lg tanx-1

的奇偶性是__________.

10.函数的

π y=|tan(2x-3

)|周期是___________.

11.作函数 y=cotxsinx 的图象.

12.作出函数 y=|tanx|的图象,并根据图象求其单调区间

13.

求函数

y=

tan tan(x

x ?1 ?π )

的定义域.

6

★14. 求下列函数的值域: (1)y=2cos2x+2cosx-1; (2)y= 2cos x ?1 .
2cos x ?1
★15.求函数 y=3tan( π - x )的周期和单调区间.
64

9

高一数学必修 4 活页作业(10)

1.函数

π y=sin(2x+6

)的图象可看成是把函数 y=sin2x 的图象做以下平移得到(



A.向右平移π6

B.

向左平移

π 12

C.

向右平移

π 12

D. 向左平移π6

2.函数

π y=sin(4

-2x)的单调增区间是(







A. [kπ- 8 , kπ+ 8 ]

(k∈Z)

B.

π



[kπ+8 , kπ+ 8 ]

(k∈Z)

C. [kπ-π8 , kπ+38π ] (k∈Z)

D. [kπ+38π , kπ+78π ] (k∈Z)

3.函数

3π y=sin(x+ 2

)的图象是(



A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于 x=-32 π 对称

4.函数 f(x)=cos(3x+φ)的图像关于原点中心对称的充要条件是( )

π A. φ=2

B.

φ=

kπ(k∈Z)C.

φ=

π kπ+2

(k∈Z)

D.

φ=

π 2kπ-2

(k∈Z)

5.函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是(



π A.x= - 2

π B. x= - 4

π C. x = 8

5π D. x= - 4

6.函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________,值域是________,周期是________,振幅是 ________,频率是________,初相是_________.

7.如果函数

y=sin2x+acos2x

的图象关于直线

π x=-8

对称,那么 a=_________.

8.函数 y=sin2x 的图象向左平移

π 6

,所得的曲线对应的函数解析式是____.

9 . 要 得 到 y=sin2x-cos2x 的 图 象 , 只 需 将 函 数 y=sin2x+cos2x 的 图 象 沿 x 轴 向 ____ 移 ___________个单位.

10.关于函数 f(x)=4sin(2x+π3 ) (x∈R),有下列命题:

(1)y=f(x

)的表达式可改写为

π y=4cos(2x-6

);

(2)y=f(x )是以 2π 为最小正周期的周期函数;

(3)y=f(x ) 的图象关于点(-π6 ,0)对称;

(4)y=f(x )

的图象关于直线

π x=-6

对称;

其中正确的命题序号是___________.

11.函数

π y=sin(2x+3

)

的图象,可由函数

y=sinx

的图象怎样变换得到?

12.已知函数

π f(x)=logacos(2x-3

)(其中 a>0,且 a≠1).

(1)求它的定义域;(2)求它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;

(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求它的最小正周期.

★13.已知正弦波图形如下:
y

10

8

6

4

2

O

-2 ?-3

5? 6

x

-4

-6

-8

-100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

此图可以视为函数 y=Asin(ωx+? )(A>0,ω>0,|? |< π )图象的一部分,试求出其解析式. 2

★14. 已知函数 y=3sin( 1 x- π ). 24
(1)用“五点法”作函数的图象; (2)说出此图象是由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的; (3)求此函数的周期、振幅、初相; (4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.

10

高一数学必修 4 活页作业(11)

1、若 f(x) cos ?x 是周期为 2 的奇函数,则 f(x)可以是 ( ) 2

A.sin ?x 2

B.cos ?x 2

C.sinπx

D.cosπx

2、把函数 y=cos(x + 4? )的图象向右平移 φ 个单位,所得到的图象正好是关于 y 轴对 3
称,则 φ 的最小正值是 ( )

A. 2? 3

B. ? 3

C. 4? 3

D. 5? 3

3、函数 y=sin(2x + ? )的一条对称轴为 ( ) 3

A.x= ? 2

B.x= 0

C.x=- ? 6

D.x = ? 12

4、方程 sinx = lgx 的实根有 ( )

A.1 个

B.3 个

C.2 个

D. 无穷多个

5、函数 y = sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- ? 对称,则 a 的值为( ) 8

A.1

B.- 2

C.-1 D. 2

6、已知函数 y=f(x),将 f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,

然后把所得到的图象沿 x 轴向左平移 ? 个单位,这样得到的曲线与 y=3sinx 的图象相同, 4

那么 y=f(x)的解析式为 ( )

A.f(x)=3sin( x ? ? ) 24

B.f(x)=3sin(2x+ ? ) 4

C.f(x)=3sin( x ? ? ) 24

D.f(x)=3sin(2x- ? ) 4

7、y=

log

1 2

sin(2x

+

? 4

)的单调递减区间是





A.[kπ- ? ,kπ](k∈Z) 4

B.(kπ- ? ,kπ+ ? )(k∈Z)

8

8

C.[kπ- 3? ,kπ+ ? ] (k∈Z)

8

8

D. (kπ- ? , kπ+ 3? )(k∈Z)

8

8

8、已知 y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x= ? 时有最大值 1 , x = 4? 时有最小值- 1 ,

9

2

9

2

则函数的解析式为 ( )

A.y=2sin( x ? ? ) B.y= 1 sin(3x+ ? )C.y= 1 sin (3x— ? ) D.y= 1 sin(3x- ? )

36

2

6

2

6

2

6

9、已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为( ? ,2), ( 2? ,-2),

6

3

则这个函数的解析式为 y =____________.

10、设

a=

log

1 2

tan70°,

b=log

1 2

sin25°,c=(

1 2

)cos25°,则它们的大小关系为______.

11、已知函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则其

面积为___

12、下列说法正确的是(填上你认为正确的所有命题的代号)____。

①函数 y=-sin(kπ+x)(k∈Z)的奇函数;

②函数 y=sin(2x+ ? )关于点( ? ,0)对称;

3

12

③函数 y=2sin(2x+ ? )+sin(2x- ? )的最小正周期是 π;

3

3

④△ABC 中,cosA>cosB 的充要条件是 A<B;

⑤函数=cos2x+sinx 的最小值是-1

13、已知函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b 为常数)的 一段图

象(如图)所示.

①求函数的解析式;

②求这个函数的单调区间.

★14、已知 a>0,函数 y=-acos2x- 3 asin2x+2a+b,x∈[0, ? ].若函数的值域为[-5,1], 2
求常数 a,b 的值.

★15、己知一条正弦函数的图象,如图所示. ①求此函数的解析式; ②求与 f 1(x)图象关于直线 x=8 对称的函数解析式 f 2(x); ③作出 y=f1(x)+f2(x)的简图.

11

高一数学必修 4 活页作业(12)

1.函数的 y ? cos2 x ? 3cos x ? 2 最小值为( )

A.2

B.0

C. ? 1 4

D.6

2. f (x) ? x ?cosx ? 5sin x ? 2,若 f (2) ? a ,则 f (?2) 的值为( ).

A.-a

B.2+a

C.2-a

D.4-a

3.设 A、B 都是锐角,且 cosA>sinB 则 A+B 的取值是 ( )

A. ?? ? ,? ?? ?2 ?

B. ?0,? ?

C. ?? 0, ? ?? ? 2?

D. ?? ? , ? ?? ?4 2?

4.若函数 f (x) 是奇函数,且当 x ? 0 时,有 f (x) ? cos3x ? sin 2x ,则当 x ? 0 时,f (x)

的表达式为( )

A. cos3x ? sin 2x B. ? cos3x ? sin 2x

C. cos3x ?sin 2x D. ? cos3x ?sin 2x

5.下列函数中是奇函数的为( )

A.y= x 2 ? cos x x 2 ? cos x

B.y= sin x ? cosx sin x ? cosx

C.y=2cosx

D.y=lg(sinx+ 1? sin2 x )

6.在满足

sinπ x 1? tan π

x

=0



x

中,在数轴上求离点

6 最近的那个整数值是



4

7.已知 f ? x? ? a sin x ? b 3 x ? 4(其中 a、b 为常数),若 f ?2? ? 5 ,则 f ??2? ? __________.

8.若 cos? ? cos30? ,则锐角? 的取值范围是_________.

9.由函数 y ? 2sin 3x?? ? ? x ? 5? ?? 与函数 y=2 的图象围成一个封闭图形,这个封闭

?6

6?

图形的面积是_________.

10.函数 y ? 1 sin(2x ?? ) 的图象关于 y 轴对称的充要条件是
2
11.如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系式 I ? Asin(?t ? ?)(A ? 0,? ? 0),在一个周 期内的图象.
①试根据图象写出 I ? Asin(?t ? ?) 的解析式

②为了使 I ? Asin(?t ? ?) 中 t 在任意一段 1
100 秒的时间内 I 能同时取最大值|A|和最
小值-|A|,那么正整数? 的最小值为多少?

12.函数 f (x) ? 1? 2a ? 2a cos x ? 2sin2 x 的最小值为 g(a),(a ? R) (1)求 g(a)的表达式; (2)若 g(a) ? 1 ,求 a 及此时 f (x) 的最大值
2

★13.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f (x ? 2) ? 1? f (x)
1? f (x)

(1)试证 f(x)是周期函数.

(2)若 f(3)= ? 3 ,求 f(2005)的值.

★14.已知函数 f (x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点

M?? ?

3π 4

,0 ??对称,且在 ?

???0,π2

? ??

上是单调函数,求

?和?

的值.

12

高一数学必修 4 活页作业(13)
1、下列说法正确的是( ) A、数量可以比较大小,向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
2、给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

8、平行向量是否一定方向相同? 9、不相等的向量是否一定不平行? 10、与零向量相等的向量必定是什么向量? 11、与任意向量都平行的向量是什么向量? 12、若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? 13、两个非零向量相等的充要条件是什么? 14、如图所示,四边形 ABCD 为正方形,△BCE 为等腰直角三角形,
(1)找出图中与 AB 共线的向量;

②若| a |?| b | ,则 a ? b ; ③若 AB ? DC ,则四边形 ABCD 是平行四边形; ④平行四边形 ABCD 中,一定有 AB ? DC ;

(2)找出图中与 AB 相等的向量; (3)找出图中与| AB |相等的向量; (4)找出图中与 EC 相等的向量.

⑤若 m ? n , n ? k ,则 m ? k ;

⑥ a b , b c ,则 a c .

其中不正确的命题的个数为( ) A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个

D

C

3、设 O 是正方形 ABCD 的中心,则向量 AO, BO,OC,OD 是( )

A、相等的向量

B、平行的向量

C、有相同起点的向量

D、模相等的向量

4、判断下列各命题的真假:

E

A

B

(1)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等;

(2)向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反;

(3)两个有共同起点的而且相等的向量,其终点必相同;

(4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量;

(5)向量 AB 和向量 CD 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上;

(6)有向线段就是向量,向量就是有向线段.

其中假命题的个数为( )

A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个

5、若 a 为任一非零向量,b 为模为 1 的向量,下列各式:①| a |>| b | ② a ∥ b ③| a |

>0 ④| b |=±1,其中正确的是( )

A、①④

B、③

C、①②③

D、②③

6、下列命中,正确的是( )

★15、如图,O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形, 在图中所示的向量中:

(1)分别写出与 AO, BO 相等的向量;

(2)写出与 AO 共线的向量;

A

B

(3)写出与 AO 模相等的向量;

(4)向量 AO 与 CO 是否相等?

F

E

O

D

C

A、| a |=| b | ? a = b

B、| a |>| b | ? a > b

C、 a = b ? a ∥ b 7、下列物理量:①质量 的有( )
A、2 个 B、3 个

D、| a |=0 ? a =0 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度
C、4 个 D、5 个

⑥路程,其中是向量

13

高一数学必修 4 活页作业(14)

1、下列各量中不是向量的是( )

A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度

2、下列说法中错.误.的是( )

A、零向量是没有方向的

B、零向量的长度为 0

C、零向量与任一向量平行 D、零向量的方向是任意的

3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是

()

A、一条线段 B、一段圆弧 C、圆上一群孤立点 D、一个单位圆 4、在△ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则( )

A、 AB 与 AC 共线 B、 DE 与 CB 共线

C、 AD 与 AE 相等 D、 AD 与 BD 相等 5、下列命题正确的是( )

A、向量 AB 与 BA 是两平行向量 B、若 a、b 都是单位向量,则 a=b

C、若 AB = DC ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

6、在下列结论中,正确的结论为( )

(1)a∥b 且|a|=|b|是 a=b 的必要不充分条件

(2)a∥b 且|a|=|b|是 a=b 的既不充分也不必要条件

(3)a 与 b 方向相同且|a|=|b|是 a=b 的充要条件

(4)a 与 b 方向相反或|a|≠|b|是 a≠b 的充分不必要条件

、(1)(3)

B、(2)(4)

C、(3)(4)

D、(1)(3)(4)

7、“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的

条件、

8、已知非零向量 a∥b,若非零向量 c∥a,则 c 与 b 必定



9、已知 a、b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定

________________

10、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是

;

若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是

★14、某人从 A 点出发向西走了 200m 到达 B 点,然后改变方向向西偏北 60°走了 450m 到达 C 点,最后又改变方向,向东走了 200m 到达 D 点
(1)作出向量 AB 、 BC 、 CD (1 cm 表示 200 m) (2)求 DA 的模

★15、如图,已知四边形 ABCD 是矩形,设点集 M={A、B、C、D},求集合 T={ PQ、Q∈M,

且 P、Q 不重合}

第 15 题



11、已知| AB |=1,| AC |=2,若∠BAC=60°,则| BC |=

12、在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且| AB |=| AD |,则四边形 ABCD 是_______
13、设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、 DA 的中点,求证: KL = NM
14

高一数学必修 4 活页作业(15)

1.已知向量 AB , BC , AC ,有下列命题:

① AB ? BC ? AC ;②| AB | ? | BC |?| AC |;

③ AB ? BC ? AC ; ④| AB | ? | BC |?| AC | . 其中正确命题的个数为 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.下列各式:① AB ? BC ?CA ;② (AB ? MB ) ? BO ? OM ;③OA ? OC ? BO ? CO ;④

AB ?CA ? BD ? DC ,其中运算结果必定为 0 的式子有(



A. 1 个 B.2 个

C.3 个

D.4 个

3.如右图所示,已知四边形 ABCD 是梯形,AB//CD,E、F、G、

H分

别是 AD 与 BC、AB 与 CD 的中点,则 EF 等于(

)

A. AD ? BC

B. AB ? DC

C. AG ? DH

D. BG ? CH

4.如右图所示,已知 ?ABC 是直角三角形且 ?A ? 900 ,则在下列

论中,正确的结论个数为

(

)

①| AB ? AC |?| BC | ; ② | AB ? BC |?|CA | ;

③ | AB ?CA |?| BC | ;④| AB |2 ? | AC |2 ?| BC |2

A.4 个 B.3 个 C.2 个

D.1 个

5.已知 ABCD 为菱形,则下列各式:

① AB ? BC ;

② | AB |?| BC |;

③| AB ? DC |?| AD ? BC |;④| AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB |2 其中正确的等式的个数为 ( )

A. 1 个 B.2 个

C.3 个

D.4 个

各结

6.若 C 是线段 AB 的中点,则 AC ? BC ( )

A. AB

B. BA C.O D.以上均不正确

7.菱形 ABCD 的边长为 2,则| AC ? BD |? ___________.

8.已知 AB ? a , BC ? b ,CD ? c , DE ? d , AE ? e , 则 a ? b ? c ? d ? ____. 9.下列四个式子:
① (AB ?CD) ? BC ;②( (AD ? MB ) ? (BC ?CM ) ;

③ OC ? AO ?CD ; ④ MB ? AD ? MB 中 , 可 以 化 简 为 AD 的 题 目 的 序 号 是

_____________.

10. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,则| AB ? BC ? AD ? DC |等于



11.当非零向量 a 和b 满足条件

时,使得 a ? b 平分 a 和 b 间的夹角。

12.一架飞机从 A 地按北偏西 300 的方向飞行 300km 后到达 B 地,然后向 C 地飞行,已 知 C 地在 A 地北偏东 600 的方向处,且 A、C 两地相距 300km,求飞机从 B 地向 C 地飞 行的方向及 B,C 两地的距离
★13.在水流速度为 4 3km / h 的河水中,要使船以12km/ h 的实际船速与河岸成直角行驶, 求船的航行速度的大小与方向。

15

高一数学必修 4 活页作业(16)

1.下列四个等式:(1)(- -a)=a ,(2)0+a=a, (3)a ? (?b ) ? a ?b (4)a-a=0 其中正确的

是( )

A (2)(3)(4) B(1)(2)(3) C(1) (3)(4) D(1)(2)(3)(4)

2.已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 的向量分别为 a,b ,c ,则向量OD 等

于( )

A a ?b ?c

B a ?b ?c

C a ?b ?c

D a ?b ?c

3.已知 ?ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与

?ABC 的关系为()

A、P 在 ?ABC 内部

B、P 在 ?ABC 外部

C、P 在边 AB 上

D、P 在 AC 边上

4.化简下列各式:

(1) AB ? BC ?CA (2) AB ? AC ? BD ?CD

(3)OA ?OD ?AD

(4) NQ ?QP ? MN ? NP

结果为零向量的个数( )

A1 B 2 C 3 D 4

5.已知三角形 ABC 为正三角形,下列各式中成立的为( )

A| AB ? AC |? BC

B| AB ?CA |?| BC ? AB |

C|CA ? BC |?| AB ? BA |

D |CA ? BC |?| AB ? AC |

6.下列各式不能化简成 AD 的是( )

A (AB ? DC ) ?CB

B AD ? (CD ? DC )

C ?(CB ? MC ) ? (DA ? BM )

D ?BM ? DA ? MB

7.如果两非零向量 a ,b 满足:| a |?| b | ,那么 a 与b 反向的充要条件是( )

A| a ? b |?| a | ? | b | B| a ?b |?| a | ? | b |

C| a ?b |?| b | ? | a | D| a ? b |?| a | ? | b |

8.设 a 和 b 的长度均为 6,夹角为 120 ? ,则 a ? b 等于

()

A.36

B.12

C.6

D. 6 3

9.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是

()

A| a | ? | b |?| a ? b |

B.| a ? b |?| a ? b |

C| a | ? | b |?| a ? b |

D.| a | ? | b |?| a ? b |

10. 在平行四边形 ABCD 中, 若 AB ? a, AD ? b , 且 | a ? b |?| a ? b | , 则四边形的形状



.

11.已知 a ,b 是非零向量,则| a ?b |?| a | ? | b |是应满足的条件是

12.在 ?ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点,点 M 是 ?ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC

等于

.(用 MF 表示)

13.若 AB ? 8 , AC ? 5 则 BC 的取值范围 。 14.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 AB ? a, AD ? b , AC ? c 则| a ? b ? c | =

15.如图,D、E、F 分别是 ? ABC 边 AB、BC、CA 上的中点,则等式:

① FD ? DA ? AF ? 0 ② FD ? DE ? EF ? 0

③ DE ? DA ? BE ? 0 ④ AD ? BE ? AF ? 0
其中正确的题号是__________________

C

F

E

A

D

B

★16.已知向量 a ,b 满足:| a |? 3,| a ? b |? 5,| a ?b |? 5, 求 | b |

16

高一数学必修 4 活页作业(17)

1. 若 3x ? 2(x ? a) ? 0 ,则向量 x 等于 (



A. 2a

B. ?2a

C. 2 a 5

D. ? 2 a 5

2.已知一点O 到平行四边形 ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别为 a,b ,c ,则向量OD 等



()

A. a ?b ?c B. a ?b ?c C. a ?b ?c D. a ?b ?c

3.向量 a,b 共线的有① a ? 2e ,b ? ?2e ;② a ? e1 ?e2,b ? ?2e1 ? 2e2 ;

③a

?

4e1

?

2 5 e2 ,b

?

e1

?

1 10 e2

;④ a

? e1

?e2,b

?

2e1

?

2e2

.

A.①②③

B.②③④ C.①③④ D.①②③④

4.在四边形 ABCD 中,若 AB ? ? 1 CD , 则此四边形是( ) 2

A、平行四边形

B、梯形 C、菱形

D、等腰梯形

5. 2(3a ? 2b ) ? 3(a ?b ) 等于





A. 3a ?b

B. ?b C. 9a ? 7b D. 9a ?b

6.O 是 平 面 上 一 定 点 , A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

O P?

? O A? ? ?

A B?

A C??, ? ?? 0 ?, ?? 则, P 的轨迹一定会通过 ABC 的(



? ?

AB

A C??

A、外心 B、内心

C、重心 D、垂心

7.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上( 不包括端点 A,C),则 AP ? ( )

? ? A、 ? AB ? AD ,? ??0,1?

? ? B、 ?

A B?

B

? C, ? ????

0

,2 2

? ???

? ? ? ? C、 ? A B? A
9. 已知向量 a

C,? ?? 0 ,?1
与 b 反向,

? a

D、 ? A B? B ? =2, b =7,则 a =

D, ?

? ???? 0
b

,2 2

? ???

10.设 e1 , e2 是两个不共线的向量,已知 AB ? 2 e1 + k e2 , CB ? 3 e1 + e2 , CD ? 2 e1 - e2 , 若 A,B,D 三点共线,则 k 的值为
11.已知 e1 , e2 是两个不共线的向量, a =2 e1 - e2 , b = e1 +3 e2 ,且 a +2 b 与 2 ? a - b 共 线,则实数 ? = 12.已知向量 a , b (1)计算 6 a -[4 a - b -5(2 a -3 b )]+( a +7 b ); (2)把满足 3 x -2 y = a ,-4 x +3 y = b 的向量 x y ,用 a , b 表示出来.

13.设 AB ? 2 ( a +5 b ), BC ? -2 a -4 b , CD ? a - b ,求证:A,B,D 三点共线。
★14. 如右图,设 ?A B C的重心为 M,O 为平面上任一点,OA ? a,OB ? b ,OC ? c ,试 用 a,b ,c 表示向量OM .

★15.如图所示,已知三角形 OAB。 (1)若 OP ? xOA ? yOB ,且点 P 在直线 AB 上,则 x, y 应满足什么条件? (2)若正实数 x, y 满足 x ? y ?1,且有 OP ? xOA ? yOB ,试求证点 P 必在 ?OAB 内。

B P

O

A

17

高一数学必修 4 活页作业(18)

1、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满

足 OC ? ?OA ? ? OB ,其中 α、β∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为( )

A、3x+2y-11=0

B、(x-1)2+(y-2)2=5

C、2x-y=0

D、x+2y-5=0

2、若向量 a =(x+3,x2-3x-4)与 AB 相等,已知 A(1,2)和 B(3,2),则 x 的值为( )

A、-1

B、-1 或 4

C、4

D、1 或-4

3、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四 个顶点的坐标是( )

A、(1,5)或(5,5)

B、(1,5)或(-3,-5)

C、(5,-5)或(-3,-5)

D、(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)

4、设 i、j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,且

OA ? 4i ? 2 j , OB ? 3i ? 4 j ,则△OAB 的面积等于( )

A、15 B、10 C、7.5 D、5

5、已知 P1(2,-1) 、P2(0,5) 且点 P 在 P1P2 的延长线上,| P1P | ? 2 | PP2 | , 则 P 点坐标 为( )

A、(-2,11)

B、( 4 ,3) 3

C、( 2 ,3) 3

D、(2,-7)

6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7),(-3,5),(3,4),则第四 个顶点的坐标不可能是。 ( )

A、(-1,8) B,(-5,2) C、(1l,6) D、(5,2)

7、已知 O 为原点,A,B 点的坐标分别为(a,0),(0,a),其中常数 a>0,点 P

在线段 AB 上,且 AP =t AB (0≤t≤1),则 OA ·OP 的最大值为( )

A、a 8、已知 a?

=(2,3)

B、? 2a , b =(

?

4

C、3a ,7) ,则 a? 在

? b

D、a2 上的投影值为(



A、 13

B、 13 5

C、 65 5

D、 65

9、已知点 A(-1,5),若向量 AB 与向量 a =(2,3)同向,且 AB =3 a ,则点 B 的坐标为____________________________

10、平面上三个点,分别为 A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D 为线段 BC

的中点,则向量 DA 的坐标为___________________

11、已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,| OA |? 4 3 ,?xOA ? 60 ,求向量 OA 的

坐标、

12、已知点 A(-1,2),B(2,8)及 AC ? 1 AB , DA ? ? 1 BA ,求点 C、D 和 CD 的

3

3

坐标。

13、已知平行四边形 ABCD 的一个顶点坐标为 A(-2,1),一组对边 AB、CD 的中点 分别为 M(3,0)、N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标。
★14、已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 OP = OA+t AB , 求:(1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否构成平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理
由。

★15、已知向量 u =(x,y)与向量 v =(y,2y-x)的对应关系可用 v =f( u )表示。 (1)证明:对于任意向量 a 、b 及常数 m、n,恒有 f(m a +n b )=mf( a )+nf( b )
成立;
(2)设 a =(1,1), b =(1,0),求向量 f( a )及 f( b )的坐标; (3)求使 f( c )=(3,5)成立的向量 c 。

18

高一数学必修 4 活页作业(19)

1、若向量 a? = (1,1),

? b = (1,-1),

c?

=(-1,2),则

c? 等于(

)

A、 ?

1

a? +

3

? b

22

B、

1

a?

?

3

? b

22

C、

3

a?

?

1

? b

D、 ? 3 a? +

1

? b

22

22

2、已知,A(2,3),B(-4,5),则与 AB 共线的单位向量是 ( ) A 、

e ? (? 3 10 , 10 ) 10 10

B、 e ? (? 3 10 , 10 )或(3 10 ,? 10 )

10 10

10 10

C、 e ? (?6,2)

D、 e ? (?6,2)或(6,2)

3、已知 a ? (1,2),b ? (?3,2),ka ? b与a ? 3b 垂直时 k 值为 A、17 B、18 C、19 D、20

()

4、已知向量 OP =(2,1), OA =(1,7), OB =(5,1),设 X 是直线 OP 上的一点(O

为坐标原点),那么 XA ? XB 的最小值是 ( )

A、-16

B、-8

C、0

D、4

5、若向量 m ? (1, 2),n ? (?2, 1) 分别是直线 ax+(b-a)y-a=0 和 ax+4by+b=0 的方向向

量,则 a, b 的值分别可以是

()

A、-1 ,2

B、 -2 ,1

C、 1 ,2 D、 2,1

6、若向量 a=(cos? ,sin ? ),b=(cos?

? ,则 a 与 b 一定满足 ( )

A、a 与 b 的夹角等于? - ?

B、(a+b)⊥(a-b)

C、a∥b

D、a⊥b

??

?

?

7 、 设 i , j 分 别 是 x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , OP ? 3cos?i ? 3sin?j ,

?

?

(0,

?

),OQ

?

? ?i

。若用

来表示 OP 与 OQ 的夹角,则

等于 (



2

A、? B、 ? ? ? C、 ? ?? D、? ??

2

2

8、设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ?,

OP2 ? ?2 ? sin? , 2 ? cos? ?,则向量 P1P2 长度的最大值是(



A、 2

B、 3

C、 3 2

D、

9、已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 运动,则使 AP ? BP 取得最

小值的点 P 的坐标是



10、把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象,按向量 a ? ??m, n? (m>0)平移后所得的图
象关于 y 轴对称,则 m 的最小正值为__________________、

11、已知向量 OA ? (?1,2),OB ? (3, m),若OA ? AB,则m ?



12、求点 A(-3,5)关于点 P(-1,2)的对称点 A/ 。

13、平面直角坐标系有点 P(1, cosx),Q ? (cosx,1), x ?[? ? , ? ]. 44
(1)求向量 OP和OQ 的夹角? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ; (2)求? 的最值、
★14、设 OA ? (2sin x,cos2x),OB ? (?cosx,1),其中 x∈[0, ? ]、 2
(1)求 f(x)= OA·OB 的最大值和最小值; (2)当 OA ⊥ OB ,求| AB |、

★15、已知定点 A(0,1) 、 B(0, ?1) 、 C(1, 0 ) ,动点 P 满足:

??? ???

???

AP? BP ? k | PC | 2 、

(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的图形;

??? ???
(2)当 k ? 2 时,求| AP ? BP | 的最大值和最小值、

19

高一数学必修 4 活页作业(20)

?
1.若 a

?
? 2, b

?

1

,

??
a 、b

的夹角为

600,则

a

?b

等于





2

A. 1 B. 1

2

4

C. 1 D.2

?

?

??

2. 若 a =12, b =9, a ?b =-54 2 ,则 a 与 b 的夹角? 为( )

A.450 B.1350 C.600 D.1200

?

?

3.已知 ?ABC , AB ? a , AC ? b ,当 a ?b <0 时, ?ABC 为( )

A.钝角三角形 B.直角三角形

C. 锐角三角形 D.等腰直角三角形

4.已知 a ?b ? ?12 2, a ? 4,a与b的夹角为135 0,则 b 等于 ( )

A.12 B.3

C.6 D.3 3

5.边长为 2 的等边三角形 ABC 中,设

AB ? c, BC ? a,CA ? b ,则 a ?b ? b ?c ? c ? a 等于( )

A.0 B.1

C.3 D.-3

6.已知 b =3, a 在b 方向上的投影是 3 ,则 a ?b 为 2

A.3

B. 9

2

C.2 D. 1 2

7. 已知 a.b 都是单位向量,下列结论正确的是(

() )

A. a ? b=1

B. a2 =b2

a b ?C.a=b

D. a ? b=0

8. ?ABC 中, a ? 5,b ? 4, ?C ? 45 , 则 BC ? CA ( )

A、10 2 B、 20 2 C、 ?10 2 D、 ?20 2

9.在四边形 ABCD 中, AB ? BC ,且 AB ? DC ,则四边形 ABCD 是 ( )

A、梯形 B、矩形 C、菱形

D、正方形

10.下列命题中正确的是

()

A、若 a ?b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

B、若 a ?b ? 0 ,则 a // b

? ? C、若 a ? b ,则 a ?b ? a ?b 2

D、若 a, b 共线,则 a ?b ? a b

?

?

??

??

11.已知 p ? 8, q ? 6, p、q 的夹角为 600 ,求 p? q =_______.

?? ?
12.下面四个关系式① 0 =0;② a ? b c=a(b ?c); ③ a ? b=b ? a, ④ 0 ? a ? 0 ,其中正确的有

__________________ 13. a ? 4,a与b的夹角为300,则a在b方向上的投影为____ 14.已知 a ? b =12,且 a =3, b =5 则 b在a 方向上的投影为________。
15.已知平行四边形ABCD,AB ? a,BC ? b,且 a ? b ,试用a,b表示BD, AC,

并计算BD ? AC,并判定BD与AC的位置关系.

?

?

??

?

★16.已知 a ? 6, e 为单位向量,当 a, e 之间的夹角? 分别为 450 ,90 0 ,135 0 时,画图表示 a 在

?
e 方向上的投影,并求其值.

20

高一数学必修 4 活页作业(21)

1.已知 a ? 2, b ? 1, a 与 b 的夹角为 60 ,又 c ? ma ? 3b, d ? 2a ? mb, 且 c ? d 则 m 的值为

() A、0

B、6 或-6

C、1 或-6

D、6 或-1

??
2. e1,e2 是夹角为 60 的单位向量,则 a ? 2e1 ? e2,b ? 2?e32 ?e?3e21 e 的夹角为( )

A、 30 B、 60

C、120

D、150

3.已知 a, b, c 为非零向量,且 a c ? b c, 则有

()

A、 a ? b
? ? C、 a ? b ? c

B、 a ? b
? ? D、 a ? b 或 a ? b ? c

? ? ? ? ? ? ? ? 4.下列命题:①|

a

?

b

|?|

a

||

b

|②

2
a

? a2;③

a?b

?c ? a?

b?c

; ④a?

?b

??

a?b

. 其中正确

命题的个数为

A、1

B、2

C、3

D、4

()

5.非零向量 a, b 满足 a ? b , 且 a // b ,则向量 a ? b 与 a ? b 的位置关系 ( )

A、平行 B、垂直 C、共线且同向 D、共线且反向

6.已知非零向量 a, b, c 两两夹角相等,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 等于( )

A、0

B、1

C、3

D、0 或 3

?

?

?

7.已知向量 a ? e , e ? 1,满足:对任意t ? R ,恒有 a ?t e ? a ?e ,则 ( )

?
A、 a ? e

??
B、 a ? (a?e )

??
C、 e ? (a ?e )

??

?

D、 (a? e ) ? (a?e )

? ? ? ? 8.若 O 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,则 ?ABC 的形

状是( ) A、正三角形 C、直角三角形

B、等腰三角形 D、以上均不对

9.向量 a, b, c 满足 a ? b ? c, 且 c ? a ? 2, c ? a, 则 b ?

b 与 c 的夹角为

?

?

?

?

10.已知向量OA ? e1? 2e2,OB ? 3e1? m e2 若 OA ? AB ,

则 m=

??
(e1,e2 是垂直的两个单位向量 )

11.已知 a ? b ? a ? b ? 1, 则 a ? b ?

12.若向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0, 且 a ? 3, b ? 1, c ? 4, 则 a ?b ? b ?c ? c ? a ?

13.已知 x ? a ? b , y ? 2a ? b ,且 a ? b ? 1, a ? b, 则 x 与 y 的夹角的余弦是 14.已知 a, b 都是非零向量,且 a ? 2b 与 a ?b 垂直, a ? 2b 与 a ?b 垂直,则 a 与 b 的夹角

??
★15. 已知 a , b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,求 a 与 a ?b 的夹角。
★16.设两向量e1,e2 满足 e1 ? 2, e2 ? 1 e1,e2 的夹角为 600 ,若向量 2te1 ? 7e2 与向量e1 ?t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围。
★17.向量 a, b, c 的模为 1,两两夹角为120 ,
? ? (1)求证: a ? b ? c;
(2) ka ? b ? c ? 1.?k ? R? ,求 k 的取值范围。

21

高一数学必修 4 活页作业(22)

?

?

1.设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列命题错误的是( )

A. | a | =

x 12

?

y

2 1

B. | b | = x22 ? y22

C. a ? b =x1x2+y1y2

D. a ? b ? x1x2+y1y2 =0

2.已知 M(2a,0),N(0,1-a2),则| MN | 是 ( )

A 1+a2 B (1+a2)2 C 1 ? a 2 D a2
3.下列各向量中,与向量 a =(3,2)垂直的向量是( ) A (3,-2) B (2,3) C(-4,6) D (-3,2)

4.若 a =(3,-4),b =(-2,3),则 a ? ( a +b )的值为( ) A –13 B 7 C 6 D 13

5.如果 a =(2x-2,-3),b =(x+1,x+4)互相垂直,则实数 x=( )

A1

B 7 C 1 或 7 D 7 或-2

2

2

22 2

6.若 a =(-2,1),b =(-2,-3),则 a 在b 方向上的投影为( )

A - 13 13

B 13 13

C0 D1

7.给定两个向量 a =(3,4),b =(2,1),,且( a -xb ) ? ( a -b ),则 x 的值为 ( )

A 2, B 5

C3

D4

8. 已知 a ? (?2, ?1), b ? (?,1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角则 ? 的取值范围是

A (? 1 , 2) (2, ??) B (2, ??) 2

C (? 1 , ??) 2

?

?

?

9.若 a =x1 i +y1 j , b ? x2 i ? y2 j ,则 a ? b =

10. OA =—4 7 i +3 j ,OB =—3 i +4 7 j ,

D (??, ? 1) 2

则| AB |=

11.已知 OA =(-1,2),OB =(3,m),若OA ? OB ,则 m= 12.在 ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且 ?ABC的内角 B 为直角,则 k 的值为 ________________ 13.已知| a | =3,b =(-2,3)

(1)若 a ? b ,求 a (2)若 a ∥b ,求 a

14.已知 a =(-1,-3),b =(2,-5),且a ? c =5,b ? c =1,求向量c 的坐标
★15.已知 a =(-2 2 ,1),| b | =2,a 与b 的夹角为 1200,c =m a +5b ,d =3 a -b ,当c 与 d 垂直时,求实数 m 的值

22

高一数学必修 4 活页作业(23)

1.sin 25π cos 11π -cos 11π sin 5π 的值是( )

12

6

12

6

A.- 2
2

B. 2
2

C.-sin π
12

D.sin π
12

2.若 sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等于( )

A.1

B.-1

C.0

D.±1

3.已知 π <α< 3π ,0<β< π ,cos( π +α)=- 3 ,sin( 3π +β)= 5 ,求 sin

4

4

4

4

5

4

13

(α+β)的值.

4.已知非零常数

a、b

满足

a sin π 5
a cos π

? b cos π 5
? bsin π

=tan 8π
15

,求

b a



5

5

5.已知0<α<

π 4

,sin(

π 4

-α)=

5 13

,求

cos cos(π

2? ??

)

的值.

4

8.化简 sin 7? ? cos15?sin 8? .
cos 7? ? sin15?sin 8?
9. 求值:(1)sin75°;(2)sin13°cos17°+cos13°sin17°.

10. 求 sin 7π cos 2π -sin π sin 2π 的值.

18 9

99

11. 在足球比赛中,甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进(如下图),试问甲方边 锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大?(设乙方球门两个端点分别为 A、B)

A

B O

C

12. 已知 π <α<β< 3π ,cos(α-β)= 12 ,sin(α+β)=- 3 ,求 sin2α 的值.

2

4

13

5

6.已知 sin(α+β)= 2 ,sin(α-β)= 3 ,求 tan? 的值.

3

4

tan ?

★13.证明 sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β,并利用该式计算 sin220°+ 的值.

sin80°·sin40°

7.已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角且 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2.试判断此三角形 的形状特征.

★14. 化简:[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)]· 2 sin2 80? .

★15. 已知函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2, (1)若 x∈R,求函数的最大值和最小值;
23

(2)若 x∈[0, π ],求函数的最大值和最小值.
2
24

高一数学必修 4 活页作业(24)

1.Sin165?等于

()

A. 1 2

B. 3 C. 6 ? 2

2

4

2.Sin14?cos16?+sin76?cos74?的值是(

D. )

6? 2 4

A. 3 B. 1 C. 3 D.- 1

2

2

2

2

3.sin ? - 3 cos ? 的值是.

12

12





A.0

B. — 2

C. 2

D. 2 sin 5? 12

4.△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是( )

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

5.函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是 (



A. 2 ? 2 B. 2 ? 2 C.0 D.1

6. 1 ? 1?

tan15 ? tan15 ?

=__________________________.

7.如果 cos? = - 12 ? ? (? , 3 ? ) ,那么 cos (? ? ? ) =________.

13

2

4

8.已知?, ? 为锐角,且 cos? = 1 cos (? ? ? ) = - 11 , 则 cos ? =_________.

7

14

9.tan20?+tan40?+ 3 tan20?tan40?的值是____________.

10.函数 y=cosx+cos(x+ ? )的最大值是__________. 3

11.若?, ? 是同一三角形的两个内角,cos ? = - 1 ,cos(? ? ? ) =- 4 2 .求 cot? 的值.

3

9

13.A、B、C 是一条直路上的三点,AB 与 BC 各等于 1 km.从三点分别遥望塔 M, 在 A 处见塔在东北方向,在 B 处见塔在正东方向,在 C 处见塔在南偏东 60°,求塔与路的 最短距离.
★14. 求 tan15°、tan75°的值.
★15.求 sin15? ? cos15? 的值.
sin15? ? cos15?

12.在△ABC 中,若 cosA= 3 ,cosB= 12 , 试判断三角形的形状.

5

13

25

高一数学必修 4 活页作业(25)

1.若 5 π<α< 11 π,sin2α=- 4 ,求 tan ? ________________

2

4

5

?

2.已知 sinθ=- 3 ,3π<θ< 7π ,则 tan ? 的值为___________.

5

2

?

3.已知 sin ? +cos ? =- 3 ,且 5π <α<3π,则 cot ? 的值为____________.

?

?

5

2

?

4.已知 α 为钝角、β 为锐角且 sinα= 4 ,sinβ= 12 ,则 cos ? ? ? 的值为____________.

5

13

?

5. 设 5π<θ<6π,cos ? =a,则 sin ? 的值等于________________

?

?

二、解答题 6.化简 1? sin 2? ? cos 2? .
1? sin 2? ? cos 2?

7.求证:2sin( π -x)·sin( π +x)=cos2x.

4

4

8.求证: 1? 2sin? ? cos? cos2 ? ? sin2 a

?

1? tan? 1? tan?



10. 求 sin15°,cos15°,tan15°的值.

11. 设-3π<α<- 5π ,化简 1? cos(? ?π ) .

2

2

12. 求证:1+2cos2θ-cos2θ=2. ?
13. 求证:4sinθ·cos2 ? =2sinθ+sin2θ. ★14. 设 25sin2x+sinx-24=0,x 是第二象限角,求 cos x 的值.
2

★15. 已知 sinα= 12 ,sin(α+β)= 4 ,α 与 β 均为锐角,求 cos ? .

13

5

?

9.在△ABC

中,已知

cosA=

a ? cos B

?b

,求证:

tan2

A 2

?

a

?

b



a ? b ? cos B

tan2 B a ? b

2

26

高一数学必修 4 活页作业(26)

1.已知 cos(α+β)cos(α-β)= 1 ,则 cos2α-sin2β 的值为( )
3

A.- 2

B.- 1

C. 1

3

3

3

C

2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( )

D. 2
3

A.等边三角形 C.不等边三角形

B.等腰三角形 D.直角三角形

3.sinα+sinβ= 3 (cosβ-cosα),且 α∈(0,π),β∈(0,π),则 α-β 等于( )
3

A.- 2π
3

B.- π
3

C. π
3

D. 2π
3

4.已知 sin(α+β)sin(β-α)=m,则 cos2α-cos2β 等于( )

A.-m

B.m

C.-4m

D.4m

5.sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________.

6.已知 α-β= 2π ,且 cosα+cosβ= 1 ,则 cos(α+β)等于_________.

3

3

7.求证:4cos(60°-α)cosαcos(60°+α)=cos3α.

11.已知

f(x)=-

1 2

+

sin 5 2
2 sin

x x

,x∈(0,π).

2

(1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式;

(2)求 f(x)的最小值.

12.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足:A+C=2B, 1 ? 1 ? ? 2 ,求 cos A ? C

cos A cos C cos B

2

的值.

★13. 已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b, 求证:(2cos2A+1)2=a2+b2.

8.求值:tan9°+cot117°-tan243°-cot351°.

★14. 求证:cos2x+cos2(x+α)-2cosxcosαcos(x+α)=sin2α.

9.已知 tan ? ? ? ? 6 ,tanαtanβ= 13 ,求 cos(α-β)的值.

22

7

10.已知 sinα+sinβ= 2 ,cosα+cosβ= 2 ,求 tan(α+β)的值.
3

★15. 求函数 y=cos3x·cosx 的最值.
27

1、C.

作业 1 1.1.1 角的概念的推广答案

因为钝角的范围为 (90 0 ,180 0 ) ,在第二象限,所以 C 正确

2、B. 因为 ? 20110 ? ?3600 ? 6 ?1490
3. C
因为 ? 2002 0 ? ?360 0 ? 6 ? 158 0 ,?202 ? ?360 0 ? 158 0.
4、 A. -200 .析转过的角度为 3600 ? 1 ? 40 ? 200 ,因为为顺时针所以为负. 12 60
5、D,在 y 轴负半轴上
6、B. ①中(4k±1)1800 =( 2? 2k ?1)1800 或[2 ? (2k ?1)]? 1800 与(2k+1)1800 表示角

相同

②相同,方法同①;③ k ?1800 ? 300 可表示 210 度,但 k ?3600 ? 300 不能,所以表示角不同;④相
同.
7、D ? 到 ? 可以通过顺时针旋转也可以通过逆时针旋转.
8.{α |α =k3600-1360(k∈Z)} 三 2240 ,-1360 9. 答案 5 个 -1800,1800,5400,9000,12600
因为 ?1800 ? 9000 ? k ? 3600 ? 12600 ? ?3 ? k ? 1 10. -220, ? ? k ?1800 ?1800 ?11? 220.
11. 600,1200,1800
解:设这个正角为? ,6? ? 360 0 ? k , 所以? ? 600 ,1200 ,1800 , 2400 , 3000
12. k ? 360 0 ? 90 0 ? ? ? k ? 360 0 ? 180 0 , k ? Z , ? k ?1800 ? 450 ? ? ? k ?1800 ? 900 , k ? Z, 2
k 为奇数时,在第三象限
k 为偶数时,在第一象限.
综上所述, ? 是第一或三象限的角. 2

13(1) S ? {? | ? ? 1800 ? 3600 ? k,k ? Z}
.(2) S ? {? | ? ? 2700 ? 3600 ? k,k ? Z}
(3) S ? {? | ? ? 900 ? k,k ? Z}
? ? (4) S ? ? | ? ? 450 ? 360 0 ? k, k ? Z
14. C ? A ? B ?? 作业 2 1.1.2 弧度制(1)答案:
1、D,析:应是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小是 1 弧度. 2、B 。析:略

3.C ,析: ? ? ? ?3 ? ? ? ,所以在第三象限 2
4、D ,析;可分别令 k ? ?1和0

5、A 析: ? 11? ? ? ? 2k? ?k ? ??,?? ? ?2k? ? 11?

4

4

? ? ? 2k? ? 11? ,令 k ? ?1, ? ? ? 3? ,所以选 A

4

4

6、B 析:?2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z. 2

?k? ? ? ? ? ? k? ? ? , k ? Z.?? 为一、三象限的角

42

2

2

??2k? ? ? ? ? ? ? ? ?2k? , k ? Z.?? ? ? 为第四象限的角.

22

2

7、C,析:?0 ? ? ? ? ,?0 ? 2? ? ? ,答案为 C. 2

8. ? ,析:?2? ? 20 ? 2? ,方向为逆时针,所以为正

18

60 3

9. ??? ?

? 5

,?

7? 10

,

3? 10

,

4? 5

? ? ?

10. ? + ? =(2k+1)π , k∈Z 析:? ? ? ? 2k? ? ?

11.等于,析:

k 为奇数时:令 k=2m+1 m? Z 则

A

?

??x ?

x

?

(2m ?1)?

?

? 2

?

2m?

?

? 2

,m?

???, ?

k 为偶数时:令 k=2m, m? Z 则

A

?

??x ?

x

?

2m?

?

? 2

,

m

?

???, ?

A

?

??x ?

x

?

k?

?

? 2

,

k

?

???, ?



? A、B 集合相同

12.解统一化为弧度制,

? ? 150 ? ? , ? ? ? ,? ? 1,? ? 7? ,? ? 7? , 显然 ? ? ? ? 1 ? 7?

12 10

12 12 12 10 12

?? ? ? ? ? ? ? ? ?

13、解

(1) ??? ?

|

k

??

?

? 6

??

?

k

??

?

? 3

, k ? z?? ?

(2)

??? ?

|

2k

??

?

? 3

??

?

2k

??

?

? 6

,k

? z?? ?

14.解: ?1???? ?
?

?

73? 12

?

2k?

,

k

?

????2?
?

?

5,?6?3? ?
12

28

15. 解:

?? ? 2k? ? ? , k ? Z ,
3

?? ? 2k? ? ? ,
339

令 0 ? ? ? 2k? ? ? ? 2? , 339

?? 1 ? k ? 17

6

6

?k ? 0,1,2 ,

所以与 ? 终边相同的角为 ? , 7? , 13? ,

3

99 9

作业 3 1.1.2 弧度制(2)答案

1、B。析:由?? ? l ,知该扇形圆心角不变。 r
2、B.析:??R ? 2R ? 4R,?? ? 2, s ? ? ? R 2 ? R 2 2
3、C .析:面积比为半径比的平方,为周长比的平方

4、C 析:设圆的半径为 r,解三角形得内接正三角形的边长为 3 ? 2r ? 3r ,所以弧长为 3 r ,

2

2

?? ? 3r ? 3 r

5、B.析:15 0 ? 15 0 ? ? ? ,? s ? 1 ? ? ? 36cm2 ? 3? cm 2

180 0 12

2 12

2

6、B. 析: r ? 4 ? 2cm,?s ? 1 ? 2 ? 22 ? 4cm2

2

2

7 、 A . 析 : 弓 形 的 弦 和 两 个 半 径 构 成 等 边 三 角 形 , 所 以 三 角 形 的 半 径 为 2cm ,

s ? 1 ? ? ? 22 ? 1 ? 3 ? 22 ? 2? ? 3 .

23

22

3

8.2rad. 析:? 1 ? ? r 2 ? 1,2r ? ? ? r ? 4,?r ? 1,? ? 2, 2
9.100. 析:5 秒钟转过 25 弧度,P 在半径为 4cm 的圆周上运动,所以转过的弧长为 25 ? 4 ?100cm.

10. 9 cm 2 析: 2r ? 2 ? r ? 3,?r ? 3 , s ? 1 ? 2 ? ?? 3 ??2 ? 9

16

4 2 ? 4 ? 16

?
11.

cm .析;

15

20 180 0

? ? ? 6 ? ? cm. 15

12.解: 解:(1)因 3 分钟转 1000 圈,故 1 秒转 50 圈,故平均角速度为 50 ? 2? ? 100 ? .

9

9

9

(2) l ? ? ? R ? 100? ?12 ? 400? (cm )

9

3

(3) l ? ? ? R ? 1000? ? ?12 ? 200? (cm )

180

3

13. 解:A 点 2 分钟转过 2θ ,且π <2θ < 3 π 14 分钟后回到原位,∴14θ =2kπ ,
2

θ = 2k? ,且 ? <θ < 3 π ,∴θ = 4 π 或 5 π

7

2

4

7

7

14.

?2r ? l ??l ? ?r

?

6 ?

??

?

2?r

?

30

?S扇

?

1 ?r 2

2

?

?

450 ?4?

4

?

225 4

?

当? ? 4 时,即? =2 时,扇形面积最大,此时 ?

r

?

30 ? ?2

?

15 2

(cm ),S

扇max

?

225 4

作业 4

1.2 任意角的三角函数(1)参考答案

1.B 2.A 3. C 4.D 5. A 6. C

7.±4 ±4 8. [ π , 3π ] 9. 0

5

22

10.二

11.解:∵tanx>0,∴x 在第一或第三象限.

若 x 在第一象限,则 sinx>0,cosx>0,∴sinx+cosx>0.

若 x 在第三象限,则 sinx<0,cosx<0,与 sinx+cosx>0 矛盾,故 x 只能在第一象限.

因此角 x 的集合是{x|2kπ<x<2kπ+ π ,k∈Z}.
2
12.解:依题意,点 P 到原点 O 的距离为

|OP|= (? 3)2 ? y2 ,∴sinα= y ? y = 3 y.
r 3? y2 4

∵y≠0,∴9+3y2=16.∴y2= 7 ,y=± 21 .

3

3

∴点 P 在第二或第三象限.

当点 P 在第二象限时,y= 21 ,cosα= x =- 3 ,tanα=- 7 ;

3

r4

3

当点 P 在第三象限时,y=- 21 ,cosα= x =- 3 ,tanα= 7 .

3

r4

3

13.解析:本题初看之下,觉得无从下手,但如果借助单位圆,利用面积公式,便

可得如下简捷证法:

如下图所示单位圆中,

29

y

B

20o

O

Ax

S△AOB= 1 ×1×sin20°= 1 sin20°,

2

2

S 扇形 AOB= 1 ×20π ×12= 1 ×π .

2 180

29

∵S△AOB<S 扇形 AOB,

∴ 1 sin20°< 1 ×π < 1 × 7 .

2

2 9 2 20

∴sin20°< 7 .
20

14.解:(1)已知角 α 的正弦值,可知 MP= 1 ,则 P 点的纵坐标为 1 .所以在 y

2

2

轴上取点(0,

1 2

),过这点作

x

轴的平行线,交单位圆于

P1、P2

两点,则

OP1、OP2



角 α 的终边,因而角 α 的取值集合为{α|α=2kπ+ π ,或 α=2kπ+ 5π ,k∈Z}.如下图.

6

6

y

5? 6

(0,21-)

?6-

P2

P1

O

x

(2)因为

OM=

1 2

,则在

x

轴上取点(

1 2

,0),过该点作

x

轴的垂线,交单位圆于

P1、

P2

两点,OP1、OP2

是所求角

α

的终边,α

的取值集合为{α|α=2kπ± π
3

,k∈Z}.如下图.

y P1 3-?

M

O

x

P2 --?3

(3)在单位圆过点 A(1,0)的切线上取 AT=-1,连结 OT,OT 所在直线与单位

圆交于

P1、P2 两点,OP1、OP2 是角 α 的终边,则角

α

的取值集合是{α|α=2kπ+ 3π
4



或 α=2kπ+ 7π ,k∈Z}={α|α=kπ± 3 π,k∈Z}.如下图.

4

4

y 3? 4 P1

O

Ax

P2

T 7?

4

(4)这是一个三角不等式,所求的不是一个确定的角,而是适合条件的角的范围.如

下图,作出正弦值等于 1 的角 α 的终边,正弦值大于 1 的角的终边与单位圆的交点在劣

2

2

弧 P1P2 上,所以所求角的范围如下图中的阴影部分,α 的取值集合是{α|2kπ+ π <α<
6

2kπ+ 5π ,k∈Z}.
6 y

P2 O

P1 x

15.解:由

?sin x ??2 cos

? x

0, ?1?


0,

?sin ? ???cos

x x

? 0, ? 1,
2

?2kπ ? x ? 2kπ ?π ,



? ???2kπ

?

π 3

?

x

?

2kπ

?

π 3

(k∈Z).

∴2kπ≤x<2kπ+ π (k∈Z).故此函数的定义域为{2kπ≤x<2kπ+ π ,k∈Z}.

3

3

作业 5 1.2 任意角的三角函数(2)参考答案

一、选择题

1.B 2.D 3. D 4. D 5.A 二、填空题

6.[0, π ]∪( π , ?π ]∪( 3π ,2π) 7.( π , 3π )

4

24

2

44

三、解答题

8.分析:三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向看出三角 函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值.比较两个三角函数值的大小,可以借助 三角函数线.

解:(1)sin1<sin π ;(2)cos 4π >cos 5π ;(3)tan 9π <tan 9π ;(4)sin π <tan π .

3

7

7

8

7

5

5

9.分析:若 α 是第三象限的角,则有① cosα<0,且-1<cosα<0;② sinα<0,且

-1<sinα<0.在此基础上可确定 sin(cosα)与 co(s sinα)的符号,进而即可确定 sin(cosα)·cos

30

(sinα)的符号.

解:∵α 是第三象限角,∴-1<cosα<0,-1<sinα<0.

∴sin(cosα)<0,cos(sinα)>0.∴sin(cosα)·cos(sinα)<0.

10.解:(1)由 lg(cosx)≥0,得 cosx≥1,又 cosx≤1,

∴cosx=1.

∴x=2kπ,k∈Z.故此函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z}.

(2)∵sin2x>0,∴2kπ<2x<2kπ+π(k∈Z).

∴kπ<x<kπ+ π (k∈Z).



2

又 9-x2≥0,∴-3≤x≤3.

故 y=lgsin2x+ 9 ? x2 的定义域为{x|-3≤x<- π 或 0<x< π }.

2

2

11. 分析:利用代数方法很难得证.若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等

式,则可迎刃而解.

解:如下图,在直角坐标系中作出单位圆,α 的终边与单位圆交于点 P,α 的正弦线、

正切线为 MP、AT,则 MP=sinα,AT=tanα.

y

T

P

?

O

M Ax

∵S△AOP = 1 OA·MP= 1 sinα,S 扇形 AOP = 1 α·r2= 1 α,S△OAT = 1 OA·AT= 1 AT= 1 tanα.

2

2

2

2

2

22

又 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,

∴ 1 sinα< 1 α< 1 tanα,即 sinα<α<tanα.

2

22

12. 证明:(1)设角 θ 的终边与单位圆交于 P(x,y),

过点 P 作 PM⊥Ox,PN⊥Oy,M、N 为垂足.

∵y=sinθ,x=cosθ,

y

B

N

P(x,y)

?

O

M Ax

S△OAP= 1 |OA|·|PM|= 1 y= 1 sinθ,

2

22

S△OPB=

1 2

|OB|·|NP|=

1 2

x=

1 2

cosθ,

S

扇形 OAB= π

R2 4

?π 4



31

又四边形 OAPB 被扇形 OAB 所覆盖, ∴S△OAP+S△OPB<S 扇形 OAB, 即 sin? ? cos? ? π .
2 24
∴sinθ+cosθ< π .
2
(2)∵0<x<1,0<y<1, ∴0<cosθ<1,0<sinθ<1. ∵函数 y=ax(0<a<1)在 R 上是减函数, ∴cos3θ<cos2θ,sin3θ<sin2θ. ∴cos3θ+sin3θ<cos2θ+sin2θ. ∵sin2θ+cos2θ=x2+y2=1, ∴sin3θ+cos3θ<1.
13. 解:∵θ∈(2kπ+ π ,2kπ+π)(k∈Z),
2
∴cosθ<0.

∴x=-3cosθ,y=4cosθ,r= x2 ? y2 = (?3cos? )2 ? (4cos? )2 =-5cosθ.

∴sinα=- 4 ,cosα= 3 ,tanα=- 4 ,cotα=- 3 ,secα= 5 ,cscα=- 5 .

5

5

3

4

3

4

14. 解:(1)由 x=3,y=4,得 r= 32 ? 42 =5.

∴sinα= y = 4 ,cosα= x = 3 ,tanα= y = 4 ,cotα= x = 3 ,secα= r = 5 ,cscα= r = 5 .

r5

r5

x3

y4

x3

y4

(2)由 x=3t,y=4t,得 r= (3t)2 ? (4t)2 =5|t|.

当 t>0 时,r=5t.

因此 sinα= 4 ,cosα= 3 ,tanα= 4 ,cotα= 3 ,secα= 5 ,cscα= 5 ;

5

5

3

4

3

4

当 t<0 时,r=-5t.

因此 sinα=- 4 ,cosα=- 3 ,tanα= 4 ,cotα= 3 ,secα=- 5 ,cscα=- 5 .

5

5

3

4

3

4

15. 设 P(x,y),则依题意知|y| :|x| =3 :4

∵sinα<0

∴α 终边只可能在第三、四象限或 y 轴负半轴上

若 P 点位于第三象限,可设 P(-4k,-3k),(k>0)

∴r=5k,从而 cos? ? ? 4 , tan? ? 3

5

4

若 P 点位于第四象限,可设 P(4k,-3k),(k>0)

∴r=5k,从而 cos? ? 4 , tan? ? ? 3

5

4

又由于|y| :|x| =3 :4,故 α 的终边不可能在 y 轴的负半轴上

综上所述:知 cosα 的值为 4 或 ? 4 ,tanα 的值为 ? 3 或 3

55

44

作业 6 1.3 三角函数的诱导公式(1)参考答案

1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B

7.1 8.-sinα-cosα 9. 89
2

10. 3 +1.
4

11.证明:左边= ?2sin? cos? ?? cos2 ? ? sin2 ?

=-

(sin? ? cos? )2

? sin? ? cos? ,

(cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) sin? ? cos?

右边= ? tan? ?? ? tan? ?? ? sin? ? cos? , ? tan? ?? tan? ?? sin? ? cos?
左边=右边,∴原等式成立. 12.证明:∵cos(α+β)=1,∴α+β=2kπ.

∴cos(2α+β)=cos(α+α+β)=cos(α+2kπ)=cosα= 1 .
3

13.解: 1? 2sin 290?cos 430?
sin 250? ? cos 790?

= 1? 2sin(?70? ? 360?) cos(70? ? 360?)
sin(180? ? 70?) ? cos(70? ? 2 ? 360?)

= 1? 2sin 70?cos 70?
cos 70? ? sin 70?
= (sin 70? ? cos 70?)2
cos 70? ? sin 70?
= sin 70? ? cos 70? =-1.
cos 70? ? sin 70?

14.证明:左边= tan(?? )sin(?? ) cos(?? ) ? (? tan? )(?sin? ) cos? =tanθ=右边,

(? cos? )(?sin? )

cos? sin?

∴原等式成立.

15.

证明:(1)sin( 3π -α)=sin[π+( π -α)]=-sin( π -α)=-cosα.

2

2

2

(2)cos( 3π +α)=cos[π+( π +α)]=-cos( π +α)=sinα.

2

2

2

作业 7 1.3 三角函数的诱导公式(2)参考答案 1.C 2.A 3.C 4.C 5.A

6. 3 7.±5π 8. m ? 1 9.[(2k-1) ? ,2k? ] 10.2

2

6

m ?1

11.原式=

?

sinα (?sin? ) cos(π ?α sin(π ?α )·(? cosα )

)

=

sin 2α (? sinα ?( ?

cosα cosα

) )

=

sinα

12. 11 16

13.解:(1)sin 7π =sin(2π+ π )=sin π = 3 .

3

3

32

(2)cos 17π =cos(4π+ π )=cos π = 2 .

4

4

42

(3)tan(- 23π )=cos(-4π+ π )=cos π = 3 .

6

6

62

(4)sin(-765°)=sin[360°×(-2)-45°]=sin(-45°)=-sin45°=- 2 .
2
注:利用公式(1)、公式(2)可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第 二象限的角的三角函数,从而求值.

14.解:(1)sin 4π ·cos 25π ·tan 5π =sin(π+ π )·cos(4π+ π )·tan(π+ π )

3

6

4

3

6

4

=(-sin π )·cos π ·tan π =(- 3 )· 3 ·1=- 3 .

3

64

2

2

4

(2)sin[(2n+1)π- 2π ]=sin(π- 2π )=sin π = 3 .

3

3

32

15.解:f(θ)=

2

cos3? ? sin2 ? ? cos? 2 ? 2cos2 ? ? cos?

?

3

=

2 cos3 ? ?1? cos2 ? 2 ? 2 cos2 ? ?

? cos? cos?

?

3

= 2cos3? ? 2 ? (cos2 ? ? cos? ) 2 ? 2cos2 ? ? cos?

= 2(cos3 ? ?1) ? cos? (cos? ?1) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=

2(cos?

?1)(cos2 ? ? cos? 2 ? 2cos2 ?

?1) ? cos? ? cos?

(cos?

?1)

= (cos? ?1)(2cos2 ? ? cos? ? 2) 2 ? 2cos2 ? ? cos?
=cosθ-1,

∴f( π )=cos π -1= 1 -1=- 1 .

3

3

2

2

作业 7 1.4 三角函数的图像与性质(1)参考答案

1.B 2. B 3.D 4. C 5. C 6.B 7. D 8.B 9.A 10. C

11.分析:同名函数比较大小时,应化为同一单调区间上两个角的函数值后,应用

32

函数的单调性解决;而对于不同名函数,则应先化为同名函数再按上面方法求解.

解:(1)tan9=tan(-2π+9),

因为 π <2<-2π+9<π,
2
而 y=tanx 在( π ,π)内是增函数,
2
所以 tan2<tan(-2π+9), 即 tan2<tan9.

(2)cot4=tan( π -4)=tan( 3π -4),

2

2

0< 3π -4<1< π ,

2

2

而 y=tanx 在(0, π )内是增函数,
2

所以 tan( 3π -4)<tan1,
2

即 cot4<tan1.

点评:比较两个三角函数值的大小,应先将函数名称统一,再利用诱导公式将角转

化到同一个单调区间内,通过函数的单调性处理.

12.证明:∵tanα<cotβ,

∴tanα<tan( 3π -β).
2

又∵ π <α<π, π < 3π -β<π,

2

22

∴α 与 3π -β 落在同一单调区间.
2

∴α< 3π -β,即 α+β< 3π .

2

2

13.解:设 t=tanx,由正切函数的值域可得 t∈R,

则 y=t2+t+1=(t+ 1 )2+ 3 ≥ 3 .

2

44

∴原函数的值域是[ 3 ,+∞).
4

点评:由于正切函数的值域为 R,所以才能在 R 上求二次函数的值域.

14.解:由 3x+ π ≠kπ+ π ,得 x≠ kπ ? π (k∈Z),

3

2

3 18

∴所求的函数定义域为{x|x≠ kπ ? π (k∈Z)},值域为 R,周期为 π ,

3 18

3

它既不是奇函数,也不是偶函数.

kπ- π ≤3x+ π ≤kπ+ π (k∈Z),

2

3

2

∴ kπ ? 5π ≤x≤ kπ ? π (k∈Z).

3 18

3 18

在区间[ kπ ? 5π , kπ ? π ](k∈Z)上是单调减函数.
3 18 3 18
15.解:欲求函数定义域,则由

??? 2 cos2 x ? 3cos x ?1 ? 0,

? ??36

?

x2

?

0,



?(2 cos x ?1)(cos ??? 6 ? x ? 6,

x

?

1)

?

0,

也即

?1 ?? 2

?

cos

x

?

1,

??? 6 ? x ? 6,

解得

??? ?

π 3

?

2kπ

?

x

?

π 3

?

2kπ

(k ? Z),

??? 6 ? x ? 6.

取 k=-1、0、1,可分别得到

x∈(-6,- 5π )或 x∈[- π , π ]或 x∈[ 5π ,6),

3

33

3

即所求的定义域为(-6,- 5π )∪[- π , π ]∪[ 5π ,6)

3

33

3

作业 8 1.4 三角函数的图像与性质(2)参考答案

1.C 2.D 3.C 4.B

5.<

6.(

1 2

3π kπ+ 8

,

1 2

π kπ+8

) (k∈Z)

7. 5

π 8. y=tan(x+4 )

9. 奇函数

π 10. 4

11.分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图象.
解:当 sinx≠0,即 x≠kπ(k∈Z)时,有 y=cotxsinx=cosx,即 y=cosx(x≠kπ,k∈Z). 其图象如下图.
y

1

-2? -? O -1

? 2? x

12.解:由于 y=|tanx|= ????????tantaxn,π ,x ?x[?kπ(k,π k?ππ2?,π2k)π,) (k∈Z),

所以其图象如图所示,单调增区间为[kπ,kπ+ π ](k∈Z);单调减区间为(kπ- π ,

2

2

kπ)(k∈Z).

33

y

-?

-32?

-?2-

O ?2-

? 3? x 2

13.解:根据自变量 x 满足的条件列出不等式组,解之即可. 由题意得

?

?tan x ? 1

? ??tan(x ?

?

π 6

)

?

0

??kπ ?

?

π 4

?

x

?



?

π 2

??kπ ?

?

π 4

?

x

?



?

π 2



?

??x ?

?

π 6

?



?

??x ?

?



?

π 6



???x

?

π 6

?



?

π 2

???x

?

k

x

?

π 3

???x

?



?

π 3



所以定义域为[kπ+ π ,kπ+ π )∪(kπ+ π ,kπ+ π )(k∈Z).

4

3

3

2

14.解:(1)y=2(cosx+ 1 )2- 3 .

2

2

将其看作关于 cosx 的二次函数,注意到-1≤cosx≤1,

∴当

cosx=-

1 2

时,ymin=-

3 2



当 cosx=1 时,ymax=3.

∴y∈[- 3 ,3].
2
本题结合了二次函数求最值这一知识,但应注意 cosx 的取值范围.

(2)由原式得 cosx= y ?1 .
2( y ?1)

∵-1≤cosx≤1,∴-1≤ y ?1 ≤1.
2( y ?1)

∴y≥3 或 y≤ 1 .
3

∴值域为{y|y≥3 或 y≤ 1 }.
3

15.解:y=3tan( π - x )=-3tan( x - π ),

64

46

∴T=

π ?

?

π 1

=4π.

4

由 kπ- π < x - π <kπ+ π (k∈Z)得

246

2

4kπ- 4π <x<4kπ+ 8π (k∈Z).

3

3

∵3tan( x - π )在(4kπ- 4π ,4kπ+ 8π )(k∈Z)内单调递增,

46

3

3

∴y=-3tan( x - π )在(4kπ- 4π ,4kπ+ 8π )(k∈Z)内单调递减.

46

3

3

故原函数的周期为 4π,递减区间为(4kπ- 4π ,4kπ+ 8π )(k∈Z).

3

3

作业 9 1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)的图像(1)参考答案

1.B 2.D 3.B 4.C 5.B

6.(-∞,+ ∞),(-15

1 ,5

),

2π 3

1 ,5

1 ,5

3 ,2π

π ,-3

π ; 7.a=-1; 8.y=sin2(x+6

);

9.右,π2 ;10.(1)(3)

π

π

11.y=sin(2x+3 )=sin[2(x+6 )]

先向左平移π6 个单位,横坐标再缩小到原来的一半而得到.

12.(1)要使 f(x)有意义,需满足

π cos(2x-3 )>0



π 2kπ-2

π <2x-3

π <2kπ+2



π kπ-12

5π <x<2kπ+12

∴ f(x)的定义域为{x|kπ-1π2

5π <x<2kπ+12

,k∈Z}

(2)当 a>1 时,f(x)的单调增区间是(kπ+23π

7π , kπ+ 6

)

单调减区间是(kπ,

2π kπ+ 3

) (k∈Z)

当 0<a<1 时,f(x)的单调增区间是(kπ,kπ+23π ) (k∈Z)

单调减区间是(kπ+23π

7π , kπ+ 6

) (k∈Z)

π

π

(3) f(-x)=logacos[-2x-3 ]=loga(2x+3 )

∵ f(-x)≠f(x) 且 f(-x)≠-f(x)

∴f(x) 不具有奇偶性。

(4)f(x)是周期函数,最小正周期是 π.

13.解:已知信号最大、最小的波动幅度为 6 和-6,∴A=6;又根据图象上相邻两点
34

的坐标为 π 和 5π ,间距相当于 y=Asin(ωx+? )的图象的半个周期,∴T=2( 5π - π )

36

63

=π.∵T= 2π ,令 T= 2π =π,解得 ω=2;观察图象,点( π ,0)是五个关键点中的第三

?

?

3

个点,∴ π ×2+? =π,解得? = π .综上所述,y=6sin(2x+ π ).

3

3

3

14.解:(1)
y

3

2

1O

-1 -2

?-2

3? 2

-3

-4

7?

x

2

(2)方法一:“先平移,后伸缩”.

先把 y=sinx 的图象上所有的点向右平移 π 个单位,得到 y=sin(x- π )的图象;再

4

4

把 y=sin(x- π )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin
4

( 1 x- π )的图象;最后将 y=sin( 1 x- π )的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3

24

24

倍(横坐标不变),就得到 y=3sin( 1 x- π )的图象.
24

方法二:“先伸缩,后平移”.

先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin

( 1 x)的图象;再把 y=sin( 1 x)图象上所有的点向右平移 π 个单位,得到 y=sin 1 (x

2

2

2

2

- π )=
2

sin( x ? π )的图象;最后将 y=sin( 1 x- π )的图象上所有点的纵坐标

24

24

伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y=3sin( 1 x- π )的图象.
24

(3)周期

T= 2π ?

?

2π 1

=4π,振幅

A=3,初相是- π
4

.

2

(4)由于 y=3sin( 1 x- π )是周期函数,通过观察图象可知,所有与 x 轴垂直并
24
且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴,即令 1 x- π = π +kπ,解得直线方程为
2 42
x= 3π +2kπ,k∈Z;
2

所有图象与 x 轴的交点都是函数的对称中心,所以对称中心为点( π +2kπ,0),k∈Z;
2

x 前的系数为正数,所以把 1 x- π 视为一个整体,令- π +2kπ≤ 1 x- π ≤ π +2kπ,

24

2

2 42

解得[- π +4kπ, 3π +4kπ],k∈Z 为此函数的单调递增区间.

2

2

作业 10 1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ) 的图像(2)参考答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D

7.B

8.B

9. y ? 2sin(2x ? ? ) 10.a<c<b 6

11.4π

12.①③④⑤

13.①

A?

1 2

(

ym

ax

?

ymin )

?

3,T 22

?

? ?

?

? 2

? (? ? ) 3

?

5? 6

,?

?

6 .易知b 5

?

3 2



? y ? 3 sin(6 x ? ?) ? 3 , 将点(? ,0)代入得? ? 2k? ? 11? (k ? Z )又 | ? |? ? ,则k ? 1,

25

2

2

10



? ? 9? .? y ? 3 sin(x ? 9? ) ? 3 .

10

2

10 2

令2k? ? ? ? 6 x ? 9? ? 2k? ? ? ? 5k? ? 7? ? x ? 5k? ? ? .令2k? ? ? ? 6 x ?

2 5 10

2 36

33

25

9? ? 2k? ? 3? ? 5k? ? ? ? x ? 5k? ? ? .(k ? Z)?[5k? ? 7? , 5k? ? ? ](k ? Z) 是 单

10

2 33

32

3 63 2

调递增区间,[5k? ? ? , 5k? ? ? ](k ? Z )是单调递减区间. 3 33 2

y ? ?a cos2x ? 3a sin 2x ? 2a ? b ? ?2a sin(2x ? ? ) ? 2a ? b

14.

6

? x ?[0, ? ],?? ? 2x ? ? ? 7? ,?? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 1,?a ? 0

26

66 2

6

?有b

?

?2a

sin(2x

?

? 6

?

2a

?

b

?

3a

?

b,?函数的值域为[?5,1],?

?3a ? b ? ??b ? ?5

1 ?

a

?

2, b

?

?5

15.

① 设f1(x) ? Asin(?x ? ?).显然A ?

2又6 ? (?2) ? T (T为周期).?T ? 2? ? 16.

2

?

??

?

? 8

, 所以f1 (x)

?

2 sin(? 8

x

? ? )因为(?2,0)在图象上, 代入得?

?

? 4

?

f1 ( x)

?

2 sin(? x ? ? . 84

在y ? f2 (x)上任取一点(x, y),则(16 ? x, y)在y ? f1 (x)上,于是y ?



2 sin[? (16 ? x) ? ? ] ? ?

8

4

2

sin(? 8

x

?

? 4

),即f

2

(

x)

?

?

2 sin(? x ? ? ). 84

y

?

f1(x) ?

f

2

(

x)

?

2

c

os

?x 8

.

]

作业 11 1.6 三角函数模型简单应用(1)参考答案

1.B 2.D 3.C 4.B 5.D

6.1 7.3 8. 0? ?? ? 30? 9. 4 ? 10.? ? k? ? ? , k ? Z

3

2

35

11.(1) I ? 300sin(100?t ? ? ) (2)? ? 629 3
12. f (x) ? 1? 2a ? 2a cos x ? 2 sin2 x ? 1? 2a ? 2a cos x ? 2(1 ? cos2 x)

? 2 cos2 x ? 2a cos x ?1? 2a ? 2(cos x ? a )2 ?1? 2a ? a2 (a ? R)

2

2

(1)函数 f (x) 的最小值为 g(a)

1.当 a ? ?1时 即a ? ?2时 ,由cos x ? ?1得 g(a) ? 2(?1? a)2 ?1? 2a ? a2 ? 1

2

2

2

2.当?1 ? a ? 1时 即? 2 ? a ? 2时, 由cos x ? a 得

a2 g(a) ? ?1? 2a ?

2

2

2

3.当 a ? 1时 即a ? 2时 , 由cos x ? 1 , 得g(a) ? 2(1? a )2 ?1? 2a ? a2 =1? 4a

2

2

2

?1 (a ? ?2)

综上所述得

g

(a)

?

???-1 ?

?

2a

?

a2 2

(?2 ? a ? 2)

??1? 4a (a ? 2)

(2)? g(a) ? 1 ? ?2 ? a ? 2有 -1-2a ? a2 ? 1 得 a2 ? 4a ? 3 ? 0

2

22

?a ? ?1或a ? ?3 (舍)

将a ? ?1代入f (x) ? 2(cos x ? a )2 ?1? 2a ? a2 得f (x) ? 2(cos x ? 1)2 ? 1

2

2

22

当cos x ? 1 即 x ? 2k? (k ? Z )时 得 f (x)max ? 5

13.(1)由

f

(x ? 2)

1? ?

f

(x)

,故

f(x+4)= 1 ?

f

(x ?

2)

=?

1

1? f (x)

1 ? f (x ? 2) f (x)

f(x+8)=f(x+4+4)= ? 1 =f(x),即 8 为函数 f (x) 的周期 f (x ? 4)

(2)由 f(x+4) = ? 1 ,得 f(5) = ? 1 ? 3 ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)= 3

f (x)

f (1) 3

3

14. 由 f(x)为偶函数,知|f(0)|=1,结合 0 ? ? ? ? ,可求出? ? ? . 2

又由图象关于 M ?? 3? ,0?? 对称,知 f ?? 3? ?? ? 0 ,即 cos3?? ? 0

?4 ?

?4?

4

又? ? 0 及 3?? ? ? ? k? ?k ? 0,1,2,??,?? ? 2 ?2k ?1??k ? 0,1,2?.

42

3



k=0,1



?

?

2 3

,2

时,易验证

f(x)在

???0,

? 2

? ??

上单减;k≥2

时,f(x)在

???0,

? 2

? ??



不是单调的函数.综上所述? ? 2 或2,? ? ?

3

2

作业 12 1.6 三角函数模型简单应用(2)参考答案

1. 略

2



(1)

?

?

? ?

(2) ? ? 7?

或 ? ? 11?

(3) ? ? 7? ? 2k? , k ? Z

(4) ? ? 7? ? 2k? , k ? Z



6

6

6

6

6

? ? ? ? ? 2k? , k ? Z 。
6

3.由已知得:

?sin ? ??sin ?

? cos? cos? ?

? k

k ?1

(1) (1)2 ? 2 ? (2) 得1? 2(k ?1) ? k 2 (2)

∴k2-2k-3=0 即 k=3 或 k=-1.

又 sin? ? 1, cos? ? 1 则 sin? ? cos? ? k ? 2,因此 k=3 舍去。

∴k=-1, 则 sin? ? cos? ? ?1, sin? cos? ? 0 , ∴? ? 3? 或? ? ?
2

4.由已知 A+C= ,A+B+C+D=

得 A= -C,则 sinA=sin( -C)

=sinC,

又 A+B= -(C+D),

故 cos(A+B)=

-(C+D)]=cos(C+D).

tan(A+B+C)=tan( -D)=-tanD.

5.设出厂价波动函数为 y1=6+Asin(ω1x+φ1)

易知 A=2

T1=8

ω1=

? 4

3? 4

+φ1=

? 2

?

φ1=-

? 4

∴y1=6+2sin(

? 4

x-

? 4

)

设销售价波动函数为 y2=8+Bsin(ω2x+φ2)

易知 B=2

T2=8

ω2=

? 4

5? 4

+φ2=

? 2

?

φ2=-

3? 4

∴y2=8+2sin(

? 4

x- 3? 4

)

每件盈利

y=y2-y1=[8+2sin(

? 4

x- 3? 4

)]-[6+2sin( ? 4

x- ? 4

)]

=2-2 2 sin ? x 4

当 sin ? x=-1 ? ? x=2kπ- ? ?x=8k-2 时 y 取最大值

4

4

2

当 k=1 即 x=6 时 y 最大 ∴估计 6 月份盈利最大

6.略

7.弯脖的直径为 12 cm,则周长为12?cm,周长正是函数 y ? a cos x 的一个周期,即 a
T ? 2?a ?12? ,得 a ? 6cm.
8.解:f (x)=|sin2x|

36

f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x)

∴f (x)为偶函数

T= ?

-

2

在[0, ? ]上 f (x)单调递增;在[ ? , ? ]上单调递减 1

4

42

9.解:(1)在直角三角形 OPS 中

SP= 2 sinθ,OS= 2 cosθ

矩形的宽 SP= 2 sinθ

因∠ROQ= ? 4

所以 OR=RQ=SP= 2 sinθ

矩形的长 RS=OS-OR= 2 cosθ- 2 sinθ

所以面积:y=( 2 cosθ- 2 sinθ) 2 sinθ (0﹤θ< ? ) 4

10.1000 3

11.1) y ? 3sin ? t ? 10 6

2)由 3sin ? t ?10 ? 11.5 ,即 sin ? t ? 1 ,解得 ? ? 2k? ? ? t ? 5? ? 2k?, k ? z

6

62

6

66

12k ?1 ? t ? 12k ? 5(k ? z) ,在同一天内,取 k=0,1 得1 ? t ? 5,13 ? t ? 17

∴该船希望在一天内安全进出港,可 1 时进港,17 时离港,它至多能在港内停留 16 小时。

??

-?

o

?x

12.解: B

a

c

CDb A

1?如图:设 AC 边上的高 h=asinC

2?当 C=90?时[sinC]max=1

∴[S△ABC]max=

1 2

ab

13.(1)当 x ?[ ? ?

,

2 ?

] 时,

f (x) ? sin(x ? ? ) ,当 x ? [ ? ?

2 ,?

]时

f (x) ? ?sin x

63

3

3

14.设需 x 秒上升 100cm .则 x ? 4 ? 2? ? 50 ? 100,? x ? 15 (秒)

60

?

15 .

(1)f(x)=2sin( ? x+ ? )

4

4

(2)g(x)=2sin( ? x- ? ) 44
作业 13 2.1 平面向量的实际背景及基本概念(1)参考答案 1、D;2、C;3、D;4、C;5、B;6、C;7、C 8、不一定 9、不一定 10、零向量 11、零向量 12、平行向量 13、长度相等且方向相同 14、解:∵E、F 分别是 AC、AB 的中点 ∴EF∥BC 且 EF= 1 BC
2 又因为 D 是 BC 的中点 ∴①与 EF 共线的向量有: FE, BD, DB, DC,CD , BC,CB ②与 EF 的模大小相等的向量有 FE, BD, DB, DC,CD ③与 EF 相等的向量有: DB,CD . 15、解:(1) AO ? BF , BO ? AE ; (2)与 AO 共线的向量为: BF ,CO, DE (3)与 AO 模相等的向量有: CO, DO, BO, BF,CF, AE, DE (4)向量 AO 与 CO 不相等.因为它们的方向不相同.
作业 14 2.1 平面向量的实际背景及基本概念(2)参考答案
一、选择题 1、D;2、A;3、D;4、B;5、A;6、D 二、填空题 7、必要非充分 8、 c∥b 9、不共线 10、一条直线两点 11、 3

37

12、菱形 三、解答题 13、(略)
14、(1)如图所示 (2)450 m
15、{ AC 、CA 、 BD 、 DB 、 AB 、 AD 、 BA 、 DA } 作业 15 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义答案
1、B 解:由向量的三角形法则可知:① AB ? BC ? AC ; ④| AB | ? | BC |?| AC | .正确。 2 、 B 解 : 由 向 量 的 三 角 形 法 则 得 计 算 结 果 是 0 的 式 子 有 ① AB ? BC ? CA ; ④ AB ? CA ? BD ? DC 。 3、C 解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得: AG ? DH 4、A 解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得 ①| AB ? AC |?| BC | ; ②| AB ? BC |?|CA | ; ③ | AB ?CA |?| BC | ; ④| AB |2 ? | AC |2 ?| BC |2 都正确 5、C 解:由向量的平行四边形法则可得
②| AB |?| BC |; ③| AB ? DC |?| AD ? BC |; ④| AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB |2 正确 6、C 解:由向量的加法法则可得: AC ? BC =O 7、解:由向量的平行四边形法则可得 | AC ? BD |? 4 8、解:由向量的加法法则可得: a ? b ? c ? d ? d 9、解:由向量的加法法则可知可以化简为 AD 的题目的序号是①②③ 10、解:由向量的平行四边形法则可得 | AB ? BC ? AD ? DC | 2 2 11、解:当非零向量 a 和b 满足条件相等时,使得 a ? b 平分 a 和 b 间的夹角。 12.、解:由向量的三角形法则可得飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为东偏南150 ,B,C 两 地的距离 300 2km . 13.解:由向量的三角形法则可得:船的航行速度的大小为 8 3 km 每小时,方向为与流 速方向成 120 度。
作业 16 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义答案
1、D 解:由减法法则可得: (1)(2)(3)(4)都正确。

2、B 解:由向量的平行四边形法则可得: a ?b ?c 3、D 解:由向量的三家型法则可得 P 在 AC 边上 4、C 解:由运算法则可得化简结果为零向量的是 (1) AB ? BC ?CA (2) AB ? AC ? BD ?CD
(4) NQ ?QP ? MN ? NP
5、B 解:由向量的运算法则可得| AB ?CA |?| BC ? AB | 正确。
6、D 解:有运算法则可得:化简后不是 AD 的是 ?BM ? DA ? MB 7、A 解:由向量的运算法则可得| a ? b |?| a | ? | b |。

8、D 解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得 6 3

9、C 解:由向量的运算法则可得| a | ? | b |?| a ? b | 10 、解 :由 向 量的 三角 形 法则 和 平行 四边形 法 则可 得 在平 行四边 形 ABCD 中 , 若 AB ? a, AD ? b , 且| a ? b |?| a ? b | ,四边形的形状是矩形。
11 、 解 : 由 向 量 的 三 角 形 法 则 和 平 行 四 边 形 法 则 可 得 已 知 a ,b 是 非 零 向 量 , 则

| a ?b |?| a | ? | b |是应满足的条件是反向 12、解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得在 ?ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点,点 M 是 ?ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC 等于 4MF 13、解:由向量的运算法则可得:若 AB ? 8 , AC ? 5 则 BC 的取值范围[3,13]

14、解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 AB ? a, AD ? b , AC ? c 则| a ?b ? c | =2 15、解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得正确的编号是:③④. 16 、 解 : 由 向 量 的 三 角 形 法 则 和 平 行 四 边 形 法 则 可 得 已 知 向 量 a ,b 满 足 :

| a |? 3,| a ? b |? 5,| a ? b |? 5,| b | =4

作业 17 2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义答案 B B A B A BA

9. - 2 7

10.4

11. ? 1 4

12.(1)13 a -7 b

(2) x =3 a +2 b , y = a 4+3 b

13.略

14. OM ? 1 (a ?b ?c ) 3
? ? 15.(1)由点在直线 AB 上,得 AP ? ? AB ? ? OB ? OA ,

故 OP ? OA ? AP ? (1? ?)OA ? ?OB , 又 OP ? xOA ? yOB ,且在 ?OAB 中, OA,OB 不共线, 所以 x ?1? ?, y ? ? 故 x ? y ?1

38

(2)由题意设 x ? y ? t,t ?(0,1) ,则 x ? y ? 1,设 P/ 为平面内一点,且 OP/ ? x OA ? y OB ,

tt

t

t



AP/

? OP/

? OA

?

? ??

x t

?1???OA ?

y OB t

?

?

y OA ? t

y OB t

?

y t

AB ,所以点 P/

在直线

AB 上,

又 y ? (0,1) ,所以点 P/ 在线段 AB 上,又 OP ? xOA ? yOB ? tOP/ ,t ?(0,1) ,即点 P/ 在线 t

段 OP/ 上,所以点 P 必在 ?OAB 内。

作业 18 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(1)参考答案 1、D;2、A;3、D;4、D;5、A;6、D;7、D;8、C

9、B(5,14)

10、 DA = (1, ?11) 2

11、解:设点 A(x,y),则x=| OA | cos 60 = 4 3 cos 60 = 2 3 ,

y=| OA | sin 60 = 4 3 sin 60 =6,

即 A( 2 3 ,6),所以 OA =( 2 3 ,6)、

12、解:设 C(x1,y1),D(x2,y2),由题意可得 AC =(x1+1,y1-2),AB ? (3, 6) ,

DA =(-1-x2,2-y2), BA =(-3,-6)



AC

?

1 3

AB



DA

?

?

1 3

BA

,∴(x1+1,y1-2)=

1 3

(3,6)=(1,2)

(-1-x2,2-y2)=-

1 3

(-3,-6)=(1,2),则有

? ? ?

x1 y1

?1 ?2

? ?

1 2



????21??yx22??21,解得

? ? ?

x1 y1

? ?

0 4



? ? ?

x2 ? ?2 y2 ? 0



∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0)、因此 CD =(-2,-4)、

13、解:设其余三个顶点的坐标为 B(x1,y1),C(x2,y2),D(x3,y3)、

因为 M 是 AB 的中点,所以 3= ?2 ? x1 ,0= 1? y1 ,

2

2

解得 x1=8,y1=-1、



MN

的中点 O?

(x0,y0),则

x0=

3 ? (?1) 2

=1,y0=

0 ? (?2) 2

=-1,而 O? 既是

AC

的中

点,又是 BD 的中点,

所以

x0=

xA

? 2

x2

,y0=

yA

? 2

y2

,即

1=

?2 ? 2

x2

,-1= 1? y2
2



解得 x2=4,y2=-3、同理解得 x3=-6,y3=-1、

所以 B(8,-1),C(4,-3),D(-6,-1)、

14、解:(1) OP = OA+t AB =(1+3t,2+3t)、

若 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,所以 t=- 2 、
3

39

若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,所以 t=- 1 、
3



P

在第二象限,只需

?1? 3t ??2 ? 3t

? 0, ? 0,

∴- 2 <t<- 1 、

3

3

(2)因为 OA=(1,2),PB =(3-3t,3-3t),若 OABP 为平行四边形,则 OA= PB 、

由于

?3 ??3

? ?

3t 3t

? ?

1 2

,无解,故四边形

OABP

不能构成平行四边形、

15、(1)证明:设向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2), 则 f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2)、

又 mf( a )=(my1,2my1-mx1),nf( b )=(ny2,2ny2-nx2),

所以 mf( a )+nf( b )=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2)、

所以 f(m a +n b )=mf( a )+nf( b )、

(2)f( a )=(1,1),f( b )=(0,-1)、

(3)由

? y ? 3, ??2 y ? x ?


5,

?x

? ?

y

? 1,所以
? 3.

c

=(1,3)、

作业 19 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(2)参考答案

1、B;2、B;3、C;4、B;5、D;6、B;7、D;8、C

9、(0,0)

10、 m ? 5? 6

11、4

12、解:设

A/

(x,y),则有

? ?? ? ? ??

?3 ? 2
5? 2

x y

? ?

?1 2

,解得

? ? ?

x ?1 y ? ?1

、所以

A/

(1,-1)。

13、解:(1)

?OP ? OQ ? 2 cosx,| OP || OQ |? 1 ? cos2 x, cos? ? OP ? OQ ? 2 cosx ? f (x) | OP | ? | OQ | 1 ? cos2 x

(2) cos?

?

f (x)

? 2cosx 1 ? cos2 x

?

2 cosx ?

1

且 x ?[? ? , ? ] ,? cos x ?[ 2 ,1]

44

2

c os x

2 ? cos x ? 1 ? 3 2 cos x 2

2 2 ? f (x) ? 1,即 2 2 ? c o ?s ? 1

3

3

? max

?

arccos

2

2 3

;

? min ? 0

14、解:⑴f(x)= OA·OB = -2sinxcosx+cos2x= 2 cos(2x ? ? ) 、 4

∵0≤x≤ ? , ∴ ? ≤2x+ ? ≤ 5? 、

2

4

44

∴当

2x+

? 4

=

? 4

,即

x=0

时,f(x)max=1;



2x+

? 4

=π,即

x=

3 8

π

时,f(x)min=

-

2、

⑵ OA ? OB 即 f(x)=0,2x+ ? = ? ,∴x= ? 、

42

8

此时| AB | ? (2sin x ? cosx)2 ? (cos2x ?1)2

= 4sin 2 x ? cos2 x ? 4sin x cosx ? (cos2x ?1)2

= 7 ? 7 cos 2x ? 2sin 2x ? cos2 2x 22

= 7 ? 7 cos ? ? 2sin ? ? cos2 ?

22 4

4

4

= 1 16 ? 3 2 、 2
15、解:( 1 ) 设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ,

???

???

???

则 AP ? ( x , y ?1) , BP ? ( x , y ? 1) , PC ? (1 ? x , y ) 、

? ? ??? ???

???

∵ AP ? BP ? k | PC | 2 ,∴ x2 ? y 2 ?1 ? k (x ?1)2 ? y 2 ,

即 (1? k )x2 ? (1? k ) y2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 。

若 k ? 1,则方程为 x ? 1,表示过点 (1, 0 ) 且平行于 y 轴的直线、

若 k ? 1,则方程为 ( x ? k )2 ? y2 ? ( 1 )2 ,表示以 ( k ,0) 为圆心,以为半径

1? k

1? k

1? k

1 的圆、 |1?k |

( 2 ) 当 k ? 2 时,

??? ???
方程化为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1、 AP ? BP ? ( x , y ?1) ? ( x , y ? 1) ? ( 2x , 2 y )

1、A,析: a ? b



?
a

?
b

cos?

?

2?

1

? cos 60 0

?

1

2

2

??

2、B, cos? = a ? b ? ? 54 2 ? ? 2 ,?? ? 1350 .

a b 12 ? 9

2

3、A,由 a ?b <0,得 cos A ? 0,? A ? 90 0 ,为钝角三角形.

??

?
4、C, a ? b = a

?
b cos? ,?

?
b

?

a? b
?
a cos?

?

?12 2 4 ? cos1350

?6

5、D,析 a ?b ? b ?c ? c ? a ? 2 ? 2 cos120 0 ? 2 ? 2 ? cos120 0 ? 2 ? 2 ? cos120 0

? ?3

6、B,

?3

?

?
a cos? ,

?
a?b= a

?
b cos?

?

3 ?3 ?

9

2

22

?

?

7、B, a.b 都是单位向量,即 a ? 1, b ? 1

8、C , BC ? CA ? 5 ? 4 ? cos135 0 ? ?10 2 9、B,因为 AB ? DC ,即 AB//CD,且 AB=CD,所以,ABCD 为平行四边形,又因为 AB ? BC ,
所以 ABCD 为矩形. 10、C,解析:A. 若 a ?b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 或 a ? b B.显然不对;C 中 a ? b 则 a ?b ? 0 ,所以成立.D 中 a, b 共线,若 a, b 成 0 度角,则 a ?b ? a b ,
若 a, b 成 180 度角, 则 a ?ab??b ?-a ab b .
?? ? ?
11、24, p? q ? p ? q cos? ? 8 ? 6 cos 60 0 ? 24

?

?

12、③,析:①中左边为向量,右边为数量,不相等;②左边为 c 乘以数量,右边为 a 乘

以数量,不相等;

?? ? ?

?? ?? ? ?

??

??

③中 a? b ? a ? b cos ? a, b ?, b? a ? b ? a cos ? b, a ?, 所以相等. ④中应为 0 ? a ? 0 .

??? ???
∴| AP ? BP |? 2 x 2 ? y 2 、 又∵ ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,∴ 令 x ? 2 ? cos? , y ? sin? ,则
??? ???
| AP ? BP |? 2 x2 ? y 2 ? 2 5 ? 4 cos?

?
13. 2 3 ,析: a cos300 ? 4 ?

3 ? 2 3.

2

?? ? ?

??

14. 4,析: a? b ? a ? b cos ? a, b ?? 12 ,

??? ???
∴当 cos? ? 1时,| AP ? BP | 的最大值为 6 ,当 cos? ? ?1时,最小值为 2 。 作业 20 2.4.1 数量积的物理背景及其含义(1)答案

cos

?

??
a, b

??

4

, 所以

b在a

方向上的投影为

?
b

cos

?

??
a, b

??

4.

5

15.解: BD ? B?1A7?.已A知C? 平??行a四? b边, A形CA?BCA?DB?,AAB?D??aa,B?Cb ?,b因,为且 a ? b ,所以平行四边形为棱

40

试用a,b表示BD , AC,并计算BD ? AC,并判定BD与AC

的位置关系.

形,所以 BD ? AC ? 0 , BD 与AC 是垂直的位置关系 .

??

?

16. 解:图略. a 在 e 方向上的投影= a cos? ,其值分别为 3 2, 0 , ? 3 2,

作业 21 2.4.1 数量积的物理背景及其含义(2)答案:

??

?2

??

?2

1、 D 解析: c? d ? 2m a ? (6 ? m2 ) a? b? 3m b ? 0,

得 m2 ? 5m ? 6 ? 0 ,?m ? 6 或-1

2、C.解析:

?
a?

?
b

?

?

7

,

?
a

?

?
7,b ?

7,

2

??

??
所以 cos ? a, b ??

a? b

? ? 1 , 所以夹角为 120 度

??
ab

2

?? ?
3、D.由题意得 (a? b) ? c ? 0

?

?

4、B.析:其中○2 ○4 正确.○3 中等号左边是与 c 同向的向量,右边是与 a 同向的向量,所

以不相等.

?2 ?2
5、B 析:( a ? b ).( a ? b )= a ? b ? 0 .

6、A.析: a, b, c 两两夹角相等,即两两夹角为1200

?2 ?2 ?2

?? ?? ??

a ? b ? c = a ? b ? c ? 2 a? b? 2 a? c? 2 b? c ? 0

7、C.析:由向量的三角形法则,画图可得正确答案 8、B. 设 BC 边的中点为 M,
? ? ? ? OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,

??

?

?

?

即 CB? (AB? AC) ? CB? 2 AM ? 0 ,即 BC 边的中线 AM ? BC ,所以为等腰三角形.

? ?? ?

?2

? ? ?2

9、2; 450 .析:由题意 b ? c? a , b ? c ? 2 a? c? c ? 2 ;

? ? ?2 ? ?
b? c ? c ? a? c ? 2 ,所以代入夹角公式,可得夹角为 450 .

?

?

?

?

?

??

10、1;析: AB ? OB? OA ? 2 e? (m ? 2) e,?OA? AB ? 0, 得 m=1

11、 3

? ??

? ??

??

12、-13.析: b ? c? a ,由 b ? c ? a , 得 a? c ? ?12,

?2 ? ?
a ?b ? b ?c ? c ? a ? ? b ? c? a ? ?13.

??

13. 3 10 .析:由 cos? ? x? y 可得.

10

??
xy

?2

?2

14、 900 .析:( a ? 2b )( a ?b )=0,得 a ? 2 b ? 0,

?2

?2

所以( a ? 2b )( a ?b )= a ? 2 b ? 0, 所以垂直.

??

?2 ? ?2

?2

??

15、解:由 a ? b ? a ? b 得 b ? c? a , 得 b ? 2 a? c,

?2

??

? ?2

同理 a ? 2 a? c, ? a? b ?

3

?
b,

?
a?

?
(a?

?
b)

?

3

?2
a

2

?? ?

?cos? ? a? (a? b) ? 3 ,所以夹角为 600 .

?? ?
a a? b

2

16、解:由( 2te1 ? 7e2

)?(

e1

?te2

) ? 0 ,得 ? 7 ? t

??1 2

.

又因为 2te1 ? 7e2 与向量e1 ?t e2 共线反向时, t ? ?

14 2

得 (?7, ? 14 ) (? 14 , ? 1)

2

22

? ? ? ? ? ? ? ? ?
17.解:(1)证明: (a? b) ? c ? a? c? b? c ? 0 ,所以 a ? b ? c .

(2)由 ka ? b ? c ? 1.,?k得? R?

k 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2k ? (? 1) ? 2k ? (? 1) ? 2 ? (? 1) ? 1得 k>2 或 k<0

2

2

2

作业 22 2.4.2 数量积的坐标运算答案

1、B,析:应该是| b | = x22 ? y22

2、A.析:| MN | = (2a)2 ? (1? a2 )2 ? 1? a2 .

3、C.析:利用 a ⊥ b ? x1 x2? y1 y?2 0 代入验证可得正确答案 4、B 5、D

6、B.析: a b =1,|a |= 5 ,|b |= 13 , cos? ? 1 , 5 13

?
a 在b 方向上的投影 ? a cos? ?

13

13

7、C.析: a -xb =(3-2x,4-x), a -b =(1,3),?(3 ? 2x) ? 3(4 ? x) ? 0 ,得 x=3

8、A.析:由

?
a?

?
b

?

0,

得?

?

?

1

,由,两向量夹角为1800



?

?

2

,所以选

A.

2

9.x1x2+y1y2

10.4 14 -3 2

41

11. 3 2

12.

11

.析:

?
BC

?

(?1,

k

?

3)

,由

?
AB?

?
BC

?

0,

可得

3

?
13(1)解:设 a

?

(x,

?? 2x

y

),

?

? ?

x

2

?

? 3y ? y2 ? 9

?

0



??x ?

??? y

? ? 9 13 13
? ? 6 13 13

(2)

?



?
a

?

(

x,

y),

?

?? 2 y

? ?

x

2

?

? 3x y2 ?

9



??x ?

? ??

y

? 6 13 13

?



??x ?

? ? 9 13 13

? ??

y

? ? 6 13 13
? 9 13 13

?
14.解:设 c

?

(

x,

y),

?

?? x ? 3y ??2x ? 5y

?5 ?1



?x

? ?

y

? ?2 ? ,? c
? ?1

?

(?2,?1),

15.解:|

a

|=3,

?
a?

?
b

?

3

?

2

?

(?

1

)

?

?3

2

??
c? d

?

?2
3m a ? (15

? ? ?2
? m) a? b? 5 b

?

0 ,代入数值计算得

m= 13

6

作业 23 3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式(1)参考答案

1.B

2. C

3.解:∵ π <α< 3π ,

4

4

∴ π < π +α<π. 24

又 cos( π +α)=- 3 ,

4

5

∴sin( π +α)= 4 .

4

5

∵0<β< π , 4

∴ 3π < 3π +β<π.
44

又 sin( 3π +β)= 5 ,

4

13

∴cos( 3π +β)=- 12 ,

4

13

∴sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]=-sin[( π +α)+( 3π +β)]

4

4

=-[sin( π +α)cos( 3π +β)+cos( π +α)sin( 3π +β)]

4

4

4

4

=-[ 4 ×(- 12 )- 3 × 5 ]= 63 .

5

13

5 13 65

4.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出 b ,用 8π 、 π 的三角函

a

15 5

数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.

解:由于

a sin π 5
a cos π

? b cos π 5
? b sin π

?

sin π 5
cos π

? b cos π a5
? b sin π

,则

sin π 5
cos π

? b cos π a5
? b sin π

?

tan 8π 15



5

5

5a 5

5a 5

整理,有

b a

?

sin 8π 15
cos 8π

cos π 5
cos π

? cos 8π 15
? sin 8π

sin π 5
sin π

?

sin( 8 π 15
cos( 8 π

?π ) 5
?π )

=tan π
3

=

3.

15 5 15 5

15 5

5.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运

用以及变角技巧.解题过程中,需要注意到( π +α)+( π -α)= π ,并且( π +α)-

4

4

2

4

( π -α)=2α. 4

解:cos( π +α)=cos[ π -( π -α)]=sin( π -α)= 5 ,

4

2

4

4

13

又由于0<α< π , 4

则 0< π -α< π , π < π +α< π .

4

444

2

所以 cos( π -α)= 1? sin2 (π ??) ? 1? ( 5 )2 ? 12 ,

4

4

13 13

sin (π ? ?) ? 1? cos2 (π ? ?) ? 1? ( 5 )2 ? 12 .

4

4

13 13

因此

cos cos(π

2? ??)

?

cos[(π ? a) 4 cos(π

? (π 4
??)

? ? )]

4

4

cos(π ? ?) cos(π ??) ? sin(π ??)sin(π ??)

=4

4

4

cos(π ? ?)

4

4

=

5 13

? 12 13

? 5

12 13

?

5 13

?

24 13



13

6.分析:当题中有异角、异名时,常需化角、化名,有时将单角转化为复角(和或

差).本题是将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化.

欲求 tan? 的值,需化切为弦,即 tan? ? sin? cos ? ,可再求 sinαcosβ、cosαsinβ 的值.

tan ?

tan ? cos? sin ?

42

解:∵sin(α+β)= 2 ,∴sinαcosβ+cosαsinβ= 2 .



3

3

∵sin(α-β)= 3 ,∴sinαcosβ-cosαsinβ= 3 .



4

4

由(①+②)÷(①-②)得 tan? =-17. tan ?

7.分析:从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系去

判断角的大小及关系,这是常用的基本方法.可以先化去对数符号,将对数式转化为有

理式,然后再考察 A、B、C 的关系及大小,据此判明形状特征.

解:由于 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2,

可得 lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC,

即 lgsinA=lg2sinBcosC,

sinA=2sinBcosC.

根据内角和定理,A+B+C=π,

∴A=π-(B+C).

∴sin(B+C)=2sinBcosC,

即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.

移项化为 sinCcosB-sinBcosC=0,

即 sin(B-C)=0.

∴在△ABC 中,C=B.

∴△ABC 为等腰三角形.

8.分析:这道题要观察出 7°+8°=15°,解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、

余弦公式.

解: sin 7? ? cos15?sin 8?
cos 7? ? sin15?sin 8?
= sin(15? ? 8?) ? cos15?sin 8?
cos(15? ? 8?) ? sin15?sin 8?

= sin15?cos8? ? cos15?sin8? ? cos15?sin 8?
cos15?cos8? ? sin15?sin8? ? sin15?sin 8?
= sin15? =2- 3 .
cos15?

9.解:(1)原式=sin(30°+45°)= sin30°cos45°+cos30°sin45°= 1 · 2 + 3 · 2 =
22 2 2

2? 6 .
4
(2)原式= sin(13°+17°)=sin30°= 1 .
2
10.解:观察分析这些角的联系,会发现 π = π - 7π .
9 2 18

sin 7π cos 2π -sin π sin 2π

18 9

99

=sin 7π cos 2π -sin( π - 7π )sin 2π

18 9

2 18

9

=sin 7π cos 2π -cos 7π sin 2π

18

9

18 9

=sin( 7π - 2π )
18 9

=sin π
6

=1.
2
11.解:设边锋为 C,C 到足球门 AB 所在的直线的距离为 CO=x,OB=b,OA=a(a

>b>0,a、b 为定值),∠ACO=α,∠BCO=β,∠ACB=α-β=γ(0<γ< π ),
2

则 tanα= a ,tanβ= b (x>0, ab >0).

x

x

x

所以 tanγ=tan(α-β)=

tan? ? tan ?

?

a x

?

b x

?

a?b

?

ab



a?b



1? tan? tan ?

1

?

ab x2

x

x 2 ab

当且仅当 x= ab ,即 x= ab 时,上述等式成立.又 0<γ< π ,tanγ 为增函数,所以

x

2

当 x= ab 时,tanγ 达到最大,从而∠ACB 达到最大值 arctan a ? b .
2 ab

所以边锋 C 距球门 AB 所在的直线距离为 ab 时,射门可以命中球门的可能性最大.

12.解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知 2α=(α-β)+(α+β).

由于 π <α<β< 3π ,可得到 π<α+β< π ,0<α-β< π .

2

4

2

4

∴cos(α+β)=- 4 ,sin(α-β)= 5 .

5

13

∴sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]

=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)

=(- 3 )·12 +(- 4 )·5

5 13

5 13

=- 56 .
65
13.证明:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ) =sin2αcos2β-cos2αsin2β

=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β

43

=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β

=sin2α-sin2β,

所以左边=右边,原题得证.

计算 sin220°+sin80°·sin40°,需要先观察角之间的关系.经观察可知 80°=60°+ 40°=60°-20°,

20°,

所以 sin220°+sin80°·sin40°=sin220°+sin(60°+20°)·sin(60°-20°)

=sin220°+sin260°-sin220° =sin260°

=3.
4

分析:此题目要灵活运用“化切为弦”的方法,再利用两角和与差的三角函数关系式

整理化简.

14.解:原式=[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°)]· 2 sin2 80?

=[2sin50°+sin10°(1+ 3 sin10? )]· 2 cos2 10?
cos10?

=[2sin50°+sin10°( cos10? ? 3 sin10? )]· 2 cos2 10?
cos10?
=(2sin50°+2sin10°·cos50? )· 2 cos10°
cos10?
=2 2 (sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =2 2 sin60°= 6 .

15.解:(1)设 t=sinx+cosx= 2 sin(x+ π )∈[- 2 , 2 ],
4
则 t2=1+2sinxcosx.∴2sinxcosx=t2-1.

∴y=t2+t+1=(t+ 1 )2+ 3 ∈[ 3 ,3+ 2 ]

2

4

4

∴ymax=3+ 2 ,ymin= 3 .
4

(2)若 x∈[0, π ],则 t∈[1, 2 ].
2

∴y∈[3,3+ 2 ],

即 ymax=3+ 2 ymin=3. 作业 24 3.1 两角和与差的正弦余弦正切公式(2)参考答案

1.D 2.B 3.B 4.C 5.A

二、填空题:

6: 3 7: ? 7 2 8: 1 9: 3 10: 3

3

26

2

三、解答题:

11、 解:∵?, ? 是同一三角形的两个内角 ∴

0<? ? ? <?

∵cos(? ? ? ) =- 4 2 9

∴sin(? ? ? ) = 1? cos2 (? ? ? ) = 7 9

∵cos ? = - 1 3

∴sin ? = 1? cos2 ? = 2 2 3

∴sin? = sin(? ? ? ? ? ) =sin(? ? ? ) cos ? - cos(? ? ? ) sin ? = 1 3

∴cos? = 1? sin2 ? = 2 2
3

∴tan? = sin ? = 2 cos? 4
∴cot? = 2 2

12、解:∵在△ABC 中,若 cosA= 3 >0 ,cosB= 12 >0 ∴A,B 为锐角

5

13

sinA= 1? cos2 A = 4 5

sinB= 1? cos2 B = 5 13

∵ cosC=cos[? -(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)= ? 16 < 0 65

∴ ? < C <? 即 C 为钝角 2

∴△ABC 为钝角三角形.

13.解:如下图,设塔到路的距离 MD 为 x km,∠BMD=θ,
C

B

M

D

A

则∠CMD=θ+30°,∠AMD=45°-θ,AB=BD+DA=xtan(45°-θ)+xtanθ,BC=CD-

BD=xtan(30°+θ)-xtanθ.

因为 AB=BC=1,

所以 xtan(45°-θ)+xtanθ=xtan(30°+θ)-xtanθ=1.

解得 x=

1

?

1

.

tan? ? tan(45? ?? ) tan(30? ?? ) ? tan?

所以

1

tan? ? 1? tan?

?

1 tan30? ? tan?

? tan?



?? tan? 1? tan30? tan?

即 1? tan?
1? tan2 ?

?

3 ? tan? 1? tan2 ?

.

解得 tanθ= 3 ?1 .
2

44

所以

x= 1? tan?
?? tan2 ?

?

7?5 13

3

.

因此塔到路的最短距离为 7 ? 5 3 km.
13

1?
14.解:tan15°=tan(45°-30°)=

3 3

? 3?

3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ?

3.

1? 3 3? 3

6

3

1?
tan75°=tan(45°+30°)=

3 3 ? 3?

3 ? 12 ? 6

3 ?2?

3.

1? 3 3? 3

6

3

15.解:此题是着重考查学生是否灵活掌握弦与切之间的相互转换原则,即化弦(切)

为切(弦),并且要注意到正切三角函数值里的一个特殊数字“1”,即 tan45°=1.

把原式分子、分母同除以 cos15°,有

sin15? ? cos15? = tan15? ?1
sin15? ? cos15? tan15? ?1

= tan15? ? tan 45?
tan15? tan 45? ?1
=tan(15°-45°)

=tan(-30°)

=- 3 .
3

作业 25 3.2 简单的三角恒等变换(1)参考答案

一、填空题
1. 5 ?1 . 2.-3 2
二、解答题

3. 1? 5
2

4. 7 65
65

5.- 1 ? a
2

6.解:原式= 1? sin 2? ? cos 2? 1? sin 2? ? cos 2?

=

1? 1?

2 sin ? 2 sin ?

? cos? ? cos?

? ?1? 2sin ? ?2 cos2 ?

2?? ???

=

2 sin ? 2 sin ?

? cos? ? cos?

? ?

?sin2 ? 2 cos2 ?

= 2sin? ? ?cos? ? sin? ? 2cos? ? (sin? ? cos? )

=tanθ.

7.证明:左边=2sin( π -x)·sin( π +x)

4

4

45

=2sin( π -x)·cos( π -x)

4

4

=sin( π -2x)
2

=cos2x

=右边,原题得证.

8.证明:左边= 1? 2sin? ? cos? cos2 ? ? sin2 ?
= cos2 ? ? sin2 ? ? 2sin? ? cos? (cos? ? sin?) ? (cos? ? sin?)

=

(cos? ? sin?)2

(cos? ? sin?)(cos? ? sin?)

= cos? ? sin? cos? ? sin?
= 1? tan? 1? tan?
=右边,原题得证.

9.证明:∵cosA= a ? cos B ? b ,
a ? b ? cos B
∴1-cosA= (a ? b) ? (1? cos B) ,
a ? b ? cos B
1+cosA= (a ? b) ? (1? cos B) .
a ? b ? cos B
∴ 1? cos A ? (a ? b) ? (1? cos B) .
1? cos A (a ? b) ? (1? cos B)

而 1? cos A
1? cos A

?

2 sin 2 2 cos2

A
2 B

? tan2

A,
2

2

1? cos B ? tan2 B ,

1? cos B

2

∴tan2

A 2

?

(a (a

? b) ? b)

·tan2

B 2

,即

tan2 tan2

A
2 B

?

a?b a?b



2

10.解:因为 15°是第一象限的角,所以

sin15°=

1? cos 30? ?

1? 3 2?

2?

3?

8?4 3 ?

( 6?

2)2 ?

6?

2,

2

2

2

4

4

4

cos15°=

1? cos 30? ?

1? 3 2?

2?

3?

8?4 3 ?

( 6?

2)2 ?

6?

2,

2

2

2

4

4

4

tan15°= 1? cos 30? =2- 3 .
1? cos 30?

11.解:∵-3π<α<- 5π ,∴- 3π < ? <- 5π ,cos ? <0.

2

2?

4

?

又由诱导公式得 cos(α-π)=-cosα,

∴ 1? cos(? ?π ) ? 1? cos? =-cos ? .

2

?

?

12.证明:左边=1+2cos2θ-cos2θ=1+2·1? cos 2? -cos2θ=2=右边.

2

?

?

13.证明:左边=4sinθ·cos2 ? =2sinθ·2cos2 ? =2sinθ·(1+cosθ)

=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边. 14.解:因为 25sin2x+sinx-24=0,

所以 sinx= 24 或 sinx=-1.
25
又因为 x 是第二象限角,

所以 sinx= 24 ,cosx=- 7 .

25

25

又 x 是第一或第三象限角,
2

从而 cos x =±

1? cos x ? ?

1?

7 25

=±3



2

2

2

5

15.解:∵0<α< π ,∴cosα= 1? sin2 ? ? 5 .

2

13

又∵0<α< π ,0<β< π ,

2

2

∴0<α+β<π.若0<α+β< π ,
2
∵sin(α+β)<sinα,∴α+β<α 不可能.

故 π <α+β<π.∴cos(α+β)=- 3 .

2

5

∴cosβ=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- 3 ·5 ? 4 ·12 ? 33 ,
5 13 5 13 65

∵0<β< π ,
2

∴0< ? < π .
24

故 cos ? ? 1? cos ? ? 7 65 .

?

2

65

作业 26 3.2 简单的三角恒等变换(2)参考答案 1.C 2. B 3. D 4. B

5. 1 6.- 7

4

9

7.证明:左边=2cosα[cos120°+cos(-2α)]

=2cosα(- 1 +cos2α) 2
=-cosα+2cosα·cos2α =-cosα+cos3α+cosα =cos3α=右边. 8.解:tan9°+cot117°-tan243°-cot351° =tan9°-tan27°-cot27°+cot9°

= sin 9? ? cos 9? ? ( sin 27? ? cos 27?)
cos 9? sin 9? cos 27? sin 27?

= sin2 9? ? cos2 9? ? sin2 27? ? cos2 27?

sin 9?cos 9?

sin 27?cos 27?

= 2 ? 2 ? 2(sin 54? ? sin18?) =4.
sin18? sin 54? sin18?cos 36?

9.解:∵tanαtanβ= sin? sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 13 , cos? cos ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) 7

∴cos(α-β)=- 10 cos(α+β).
3

又 tan ? ? ? ?
?

6 2

1 ? tan2
,∴cos(α+β)=
1 ? tan2

? ?

??
? ??

?

1? ( ?
1? (

6 )2 2

?

?1



6 )2 5

2

从而 cos(α-β)=- 10 ×(- 1 )= 2 .

3

53

10.解: sin? ? sin ? ? cos? ? cos ?

2 2

,由和差化积公式得

2sin ? ? ? cos ? ? ?

?

?

2cos ? ? ? cos ? ? ?

=3,

3

?

?

∴tan ? ? ?
?

2 tan ? ? ?

=3,从而

tan(α+β)=

??

tan2

? ??

?

?

2?3 1? 32

??3 .
4

?

sin
11.解:(1)f(x)=

5x ? sin 2 2sin x

x 2

?

2 cos 3x sin x 2
2sin x

?

2 cos

3x 2

cos

x =cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1.
2

2

2

(2)∵f(x)=2(cosx+ 1 )2- 9 ,且-1≤cosx≤1,

4

8

46

∴当 cosx=- 1 时,f(x)取得最小值- 9 .

4

8

12.分析:本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的

能力.

解:由题设条件知 B=60°,A+C=120°,

∵- 2 =-2 2 ,
cos 60?
∴ 1 ? 1 =-2 2 .
cos A cos C
将上式化简为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC, 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

2cos A ? C cos A ? C =- 2 [cos(A+C)+cos(A-C)],

2

2

将 cos A ? C =cos60°= 1 ,cos(A+C)=cos120°=- 1 代入上式得 cos A ? C = 2 - 2 cos

2

2

2

22

(A-C),

将 cos(A-C)=2cos2( A ? C )-1 代入上式并整理得 4 2 cos2( A ? C )+2cos A ? C -

2

2

2

3 2 =0,

即[2cos A ? C - 2 ][2 2 cos A ? C +3]=0.

2

2

∵2 2 cos A ? C +3≠0,∴2cos A ? C - 2 =0.

2

2

∴cos A ? C = 2 .
22

13.证明:由已知得

?2sin 3Acos 2A ? sin 3A ? a, ??2 cos 3Acos 2A ? cos 3A ? b,



?sin 3A(2 cos 2A ?1) ??cos 3A(2 cos 2A ?1)

? ?

a, b.

两式平方相加得(2cos2A+1)2=a2+b2.

14.证明:左边= 1 (1+cos2x)+ 1 [1+cos(2x+2α)]-2cosxcosαcos(x+α)

2

2

=1+ 1 [cos2x+cos(2x+2α)]-2cosxcosαcos(x+α)
2
=1+cos(2x+α)cosα-cosα[cos(2x+α)+cosα] =1+cos(2x+α)cosα-cosαcos(2x+α)-cos2α

=1-cos2α=sin2α

=右边,

∴原不等式成立.

15.解:y=cos3x·cosx

47

= 1 (cos4x+cos2x)
2

= 1 (2cos22x-1+cos2x)
2

=cos22x+ 1 cos2x- 1

2

2

=(cos2x+ 1 )2- 9 .

4

16

∵cos2x∈[-1,1],

∴当 cos2x=- 1 时,y 取得最小值- 9 ;

4

16

当 cos2x=1 时,y 取得最大值 1.


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