必修4活页作业及答案排版

高一数学必修 4 活页作业(1)
一、选择题 1.下列命题中正确的是 ( A 第一象限角一定不是负角 C 钝角一定是第二象限角 2.-2011 角的终边在 ( A.第一象限
0 0

) B 大于90 的角一定是钝角 D 终边相同的角一定相等


(1)终边落在 x 轴非正半轴上角的集合; (2)终边落在 y 轴非正半轴上角的集合; (3)终边落在坐标轴上角的集合; (4)终边落在第一象限角平分线上角的集合。

) C 第三象限 (
0

B 第二象限

D 第四象限 )

3.与-2002 终边相同的角可以是下列中的 A.1968
0

B.-1968

0

C.-202

0

D.202

4.手表走过 40 分钟,时针转过的度数为( A.-20
0



B. 20

0

C.-70

0

D.70

0

5.角α 的终边经过点M(0,-1) ,则α A.是第三象限角 C.既是第三象限角又是第四象限角
0





B.是第四象限角 D.不是任何象限角
0

6.下列四组角,①(2k+1) 180 与(4k±1) 180 ② k ? 90 ? 45 与 k ?180 ? 45 ; ③ k ?180 ? 30
0 0 0 0 0 0

与 k ? 360 ? 30
0

0

; ④ k ?180 ? 30
0

0



★14.已知集合 A ?

k ?1800 ? 1500 ,k∈Z.每组中的两种表示方法能表示相同的集合的是
A.②④ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 7.如果角α 与角β 的终边互相垂直,那么α 与β 之间的关系是 ( A. ? ? ? ? 90
0





? 450 , k ? Z B ? ? | ? ? k ?1800 ? 450 , k ? Z C ? ? | ? ? k ? 7200 ? 450 , k ? Z
0

? ?

?? | ? ? k ? 360

? ?

?

问 A、B、C 三集合之间的包含关系。 )

B. ? ? ? ? ?90
0 0

0

C. ? ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z . 二、填空题 8.与-4960 终边相同的角是 大的负角是 。

D. ,它是第

? ? ? ? k ? 3600 ? 900 , k ? Z.
象限的角,它们中最小的正角是 ,最

9.在[-1800,12600]内与 9000 角终边相同的角有
0 0

个;它们分别是 ______________



10. 已知角 ? ? k ?180 ? 2002 ,k ? z ,则符合条件的最大负角为

11.有不大于 1800 的正角,这个角的 7 倍角的终边与这个角的终边重合,那么这个角是 三、解答题 12.已知 ? 是第二象限的角,则



? 是第几象限的角? 2

13.分别写出:
1

高一数学必修 4 活页作业(2)
一、选择题 1.下列各说法中错误的说法是 ( ) A、半圆所对的圆心角是 ? rad B、周角的大小等于 2? C、1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D、长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度 2.- 300 化为弧度是 A、 ?
?

★14.所有与

73? 73? ? k? ? 2? 的整数解,并在 0 到 终边相同的角的集合是什么?求不等式 0 ? 12 12 73? 2? 范围内求出与 终边相同的角。 12





3. ? =-3,则 ? 的终边在 ( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4.已知集合 A ? ?x 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? ?? , B ? ?? 4,4? ,则 A ? B 等于 A、 ?? 4,?? ? 5.把 ? C、 ?? 4,?? ? ? ?0, ? ? D、 ?? 4,?? ? ? ?0, ? ? B、 ?0, ? ?

4? 3

B、 ?

5? 3

C、 ?

7? 4

D、 ?

7? 6

(

)

11? 表示成 ? ? 2k? ?k ? ? ? 的形式,使 ? 最小的 ? 的值是 4 ? 3? 3? ? A、 ? B、 ? C、 D、 4 4 4 4
6.若 ? 是第二象限角,那么

★15.若 ? 角的终边与 ( )

? ? 的终边相同,在 ?0, 2? ? 内有哪些角的终边与 的终边相同。 3 3

?

2



?

2

? ? 都不是





A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 7.已知 ? 是锐角,那么 2? 是 ( A、第一象限角 B、第二象限角
0



C、小于 180 的正角 D、第一或第二象限角 二、填空题 8. 将分针拨慢 20 分钟,则分针转过的弧度是__________ 9.集合 M ? ?? ? ?

10. 若角 ? 、 ? 的终边关于 y 轴对称,则α 、β 的关系一定是_________________________. 11. A ? ?x x ? k ? ? ?? 1?k ? 三、解答题 12.已知 ? ? 15 , ? ?
0

? ?

k? ? ? ? , k ? ??, N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,则 M ? N = 2 5 ?

? ?

?

? ? ? ? , k ? ??, B ? ?x x ? 2k ? ? , k ? ?? 则 A,B 的关系为 2 2 ? ? ?
7? , 试判断 ? , ? , ? , ? , ? 的大小. 12

?
10

, ? ? 1, ? ? 105 0 , ? ?

13. 写出终边在下列阴影部分内的角的集合:
2

高一数学必修 4 活页作业(3)
1.圆的半径为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则下列结论中正确的是 ( ) A. 扇形的面积不变 B. 扇形的圆心角不变 C. 扇形的面积增大到原来的 2 倍 D. 扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 2. 一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形的面积为( )

★13..如下图,圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A 点 1 分钟转过θ (0<θ

<π )角,2 分钟到达第三象限,14 分钟后回到原来的位置,求θ .

A. 2R 2

B. R 2

C.2

D.

R2 2

3.两个圆心角相等的扇形的面积之比为 1:2,则这两个扇形周长的比为( ) A.1:2 B.1:4 C.1: 2 D.1:8 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,那么其圆心角的弧度数为( )

? A. 3

2? B. 3

C.

3


D.2

5.圆的半径为 6cm,则 15 的圆心角与圆弧所对的扇形面积是() A.

? 2 cm 2

B.

3? cm2 2

C. ? cm2

D. 3 ? cm2 ( ) )

6.若 2 弧度的圆心角所对的弧长是 4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 A. 2cm2 B. 4cm2 C. 2 ? cm2 D. 4 ? cm2 7.如果一弓形的弧所对的圆心角是

? 2? ? ? 3 ?cm 2 ? 3 ? ? 2? 3? 2 ? C. ? ? 3 ? 2 ?cm ? ?
A. ?

? ,弓形的弦长是 2cm,则弓形的面积是 ( 3 ? 4? ? B. ? ? 3 ?cm 2 ? 3 ? ?? 3? 2 ?cm D. ? ? ?3 2 ? ? ?

8.一个扇形的面积是 1 cm2,周长为 4 cm,则圆心角的弧度数为 , 9.在直径为 10 cm 的轮上有一长为 6cm 的弦,P 是该弦的中点,轮子以每秒 5 弧度的速度旋转,则经 过 5 秒钟后点 P 转过的弧长是 cm. 10.已知扇形的圆心角是 2 弧度,扇形的周长是 3cm,则扇形的面积是 . 11.已知扇形的圆心角为 2 ,半径为 6cm,则此圆心角所对的弧长等于 12. 半径为 12cm 的轮子,每 3 分钟转 1000 圈,试求 (1)它的平均角速度(一秒钟转过的弧度数) (2)轮沿上一点 1 秒钟经过的距离 (3)轮沿上一点转过 10000 经过的距离
0

★14.已知扇形的周长为 30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面 积是多少?

.

3

高一数学必修 4 活页作业(4)
1.有下列命题: ①终边相同的角的三角函数值相同; ②同名三角函数的值相同的角也相同; ③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同; ④不相等的角,同名三角函数值也不相同. 其中正确的个数是( ) A.0 B. 1 C.2 D.3 2.若角 α、β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式成立的是( ) A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.cotα=cotβ 3.角 α 的终边上有一点 P(a,a) ,a∈R,a≠0,则 sinα 的值是( )
2 2 2 2 B.- C. 或- 2 2 2 2 | sin x | cos x | tan x | 4.若 + + =-1,则角 x 一定不是( sin x | cos x | tan x

12.已知角 α 的顶点在原点,始边为 x 轴的非负半轴.若角 α 的终边过点 P(- 3 , y) ,且 sinα=
3 y(y≠0) ,判断角 α 所在的象限,并求 cosα 和 tanα 的值. 4

★13.证明:sin20° <

7 . 20

A.

D.1 )

A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角 5.sin2· cos3· tan4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 6.若 θ 是第二象限角,则( ) A.sin >0
? ?

D.不存在 D.cot <0
? ?

14. 根据下列三角函数值,求作角 α 的终边,然后求角 α 的取值集合. (1)sinα= ; (2)cosα= ; (3)tanα=-1; (4)sinα> .
1 2 1 2 1 2

B.cos <0

? ?

C.tan
3 5

? >0 ?

7. 若角 α 的终边经过 P (-3, b) , 且 cosα=- , 则 b=_________, sinα=_________. 8.在(0,2π)内满足 cos2 x =-cosx 的 x 的取值范围是_________. 9.已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,则 10sinα+3secα=_________. 10.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在第________象限. 11.已知 tanx>0,且 sinx+cosx>0,求角 x 的集合.

★15.求函数 y= sin x +lg(2cosx-1)的定义域.

4

高一数学必修 4 活页作业(5)
1.已知角 α 的正弦线的长度为单位长度,那么角 α 的终边( ) A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.在直线 y=x 上 D.在直线 y=-x 上 2.如果
π π <θ< ,那么下列各式中正确的是( 4 2

11. 当 α∈(0,

π )时,求证:sinα<α<tanα. 2

)

A.cosθ<tanθ<sinθ B.sinθ<cosθ<tanθ C.tanθ<sinθ<cosθ D.cosθ<sinθ<tanθ 3.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若 sinαtanα>0,则 α 的终边在( ) A.第一象限 B.第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第四象限 5.若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sinα<0,又 P(m,n)是角 α 终边上一点, 且|OP|= 10 ,则 m-n 等于( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 6.若 0≤θ<2π,则使 tanθ≤1 成立的角 θ 的取值范围是_________. 7.在(0,2π)内使 sinx>|cosx|的 x 的取值范围是_________. 8.比较下列各组数的大小: (1)sin 1 和 sin ;
4π 5π (2)cos 和 cos ; 7 7 9π 9π (3)tan 和 tan ; 8 7 π π (4)sin 和 tan . 5 5

12. 已知 θ 为正锐角,求证: (1)sinθ+cosθ<
π ; 2

(2)sin3θ+cos3θ<1.

π 3

13. 已知角 α 的终边经过点 P (-3cosθ, 4cosθ) , 其中 θ∈ (2kπ+ , 2kπ+π) (k∈Z) , 求角 α 的各三角函数值.

π 2

9.已知 α 是第三象限角,试判断 sin(cosα)· cos(sinα)的符号.

★14. (1)已知角 α 的终边经过点 P(3,4) ,求角 α 的六个三角函数值;

(2)已知角 α 的终边经过点 P(3t,4t) ,t≠0,求角 α 的六个三角函数值.

10.求下列函数的定义域: (1)y= lg(cosx) ; (2)y=lgsin2x+ 9 ? x .
2

★15.已知角 α 终边上的一点 P,P 与 x 轴的距离和它与 y 轴的距离之比为 3 :4,

且 sin ? ? 0 求:cosα 和 tanα 的值.

5

高一数学必修 4 活页作业(6)
1.如果|cosx|=cos(x+π) ,则 x 的取值集合是( )
3π π π +2kπ B.- +2kπ≤x≤ +2kπ 2 2 2 3π π C. +2kπ≤x≤ +2kπ D. (2k+1)π≤x≤2(k+1)π(以上 k∈Z) 2 2 19π 2.sin(- )的值是( ) 6

11.证明:

2 sin(π ? ? ) ? cos ? ? 1 tan( 9 π ? ? ) ? 1 ? . tan(π ? ? ) ? 1 1 ? 2 sin 2 ?

A.- +2kπ≤x≤

π 2

12.已知 cosα= ,cos(α+β)=1,求证:cos(2α+β)= .

A.

1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

1 3

1 3

3. 下列三角函数: ①sin (nπ+

4π π π ) ; ②cos (2nπ+ ) ; ③sin (2nπ+ ) ; ④cos [ (2n+1) 3 6 3 π π π- ] ;⑤sin[ (2n+1)π- ] (n∈Z) . 6 3 π 其中函数值与 sin 的值相同的是( ) 3

A.①②

B.①③④

C.②③⑤

D.①③⑤

4.若 cos(π+α)=- A.-
6 3

10 3π π ,且 α∈(- ,0) ,则 tan( +α)的值为( ) 5 2 2 6 3

13. 化简:

1 ? 2 sin 290? cos 430? . sin 250? ? cos 790?

B.

C.-

6 2

D.

6 2

5.设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是( ) A.cos(A+B)=cosC B.sin(A+B)=sinC C.tan(A+B)=tanC 6.函数 f(x)=cos D.sin
A? B C =sin 2 2

πx (x∈Z)的值域为( ) 3 1 1 1 1 A.{-1,- ,0, ,1} B.{-1,- , ,1} 2 2 2 2

★14、求证:

tan(2 π ? ? ) sin(?2 π ? ? ) cos(6 π ? ? ) =tanθ. cos(? ? π ) sin(5 π ? ? )

3 3 ,0, ,1} 2 2 π π 7.sin2( -x)+sin2( +x)=_________. 3 6

C.{-1,-

D.{-1,-

3 3 , ,1} 2 2

8.若 α 是第三象限角,则 1 ? 2 sin( π ? ? ) cos( π ? ? ) =_________. 9.sin21° +sin22° +sin23°+…+sin289° =_________. 10.求值:sin(-660° )cos420° -tan330° cot(-690° ) .
3π -α)=-cosα; 2

15. 求证: (1)sin( (2)cos(

3π +α)=sinα. 2

6

高一数学必修 4 活页作业(7)
π 3 π 3 1.已知 sin( +α)= ,则 sin( -α)值为( 4 4 2

13. 求下列三角函数值: (1)sin
7π 17 π 23π ; (2)cos ; (3)tan(- ) ; (4)sin(-765° ). 3 4 6


3 2

A.

1 2

B. —

1 2

C.

3 2

D. —

2.cos( ? +α)= — A.
3 2

1 3 π , <α< 2? ,sin( 2? -α) 值为( 2 2 1 2



B.

C. ?

3 2

D. —

3 2

3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得(



A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.±(cos2-sin2) 4.已知 α 和 β 的终边关于 x 轴对称,则下列各式中正确的是( ) A.sinα=sinβ B. sin(α- 2? ) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos( 2? -α) =-cosβ π 2 5.设 tanθ=-2, ? <θ< 2? ,那么 sin θ+cos(θ- 2? )的值等于( ) , 2 1 1 1 1 A. (4+ 5 ) B. (4- 5 ) C. (4± 5 ) D. ( 5 -4) 5 5 5 5 17 π 6.sin()= . 3
3 ,x∈(- ? , ? ) ,则 x 的值为 2 sin( α ? 3?) ? cos( π ?α ) ? 8.tanα=m,则 sin(? α ) - cos( π ?α )

★14. 求下列三角函数值: 4π 5π 25π (1)sin · cos · tan ; 3 4 6 2π (2)sin[ (2n+1)π- ]. 3

7.cos( ? -x)=

. . . .
π 2 cos3 ? ? sin2 (2 π ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 π 2 ★15.设 f(θ)= ,求 f( )的值. 3 2 ? 2cos2 (π ? ? ) ? cos(?? )

9.|sinα|=sin(- ? +α) ,则 α 的取值范围是 10.若 α 为锐角,则 2|logsecαcos( 2? -α)= sin(2 π ?α )sin(? ? ? ) cos( ? π ?α ) 11. . sin( 3 π ?α ) · cos(π ?α )

π 1 7 π 5 π 12.已知:sin(x+ )= ,求 sin( ? x) +cos2( -x)的值. 6 4 6 6

7

高一数学必修 4 活页作业(8)
1.若 cosx=0,则角 x 等于( ) A.kπ(k∈Z)
π C. +2kπ(k∈Z) 2 1? m 2.使 cosx= 有意义的 m 的值为( 1? m

10.函数 y=2tan(3x- A. (
π ,0) 3

B.

π +kπ(k∈Z) 2 π D.- +2kπ(k∈Z) 2

π )的一个对称中心是( ) 4 π π π B. ( ,0) C. (- ,0) D. (- ,0) 6 4 2

) B.m≤0 D.m<-1 或 m>1

11.比较下列各数大小: (1)tan2 与 tan9; (2)tan1 与 cot4.

A.m≥0 C.-1<m<1 3.函数 y=3cos( x- A.
2π 5 2 5

π )的最小正周期是( ) 6 5π B. C.2π 2

12.已知 α、β∈( D.5π

3π π ,π) ,且 tanα<cotβ,求证:α+β< . 2 2

4.函数 y= A.
5 3

2 ? cos x (x∈R)的最大值是( 2 ? cos x 5 B. C.3 2

) D.5
π 2

5.函数 y=2sin2x+2cosx-3 的最大值是( ) A.-1
x a

B.

1 2

C.-

1 2

13.求函数 y=tan2x+tanx+1(x∈R 且 x≠ +kπ,k∈Z)的值域. D.-5

6.函数 y=tan 的最小正周期是( ) A.aπ 7.函数 y=tan( A.{x|x≠ B.|a|π
π -x)的定义域是( 4

C. )

π a

D.

π ?a?

π π ,x∈R} B.{x|x≠- ,x∈R} 4 4 3π π C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} D.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 4 4 π π 8.函数 y=tanx(- ≤x≤ 且 x≠0)的值域是( ) 4 4

★14.求函数 y=-2tan(3x+

π )的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调 3

性.

A. [-1,1] C. (-∞,1] 9.下列函数中,同时满足①在(0, 正周期的函数是( ) A.y=tanx B.y=cosx

B. [-1,0)∪(0,1] D. [-1,+∞)
π )上是增函数,②为奇函数,③以 π 为最小 2
x 2
★15 求函数 y= ? 2 cos2 x ? 3 cos x ? 1 +lg(36-x )的定义域.
2

C.y=tan

D.y=|sinx|

8

高一数学必修 4 活页作业(9)
1.满足 tanα≥cotα 的角的一个取值区间是( ) π π π π π π A.(0, ) B. [0, ] C. [ , ] D. [ , ] 4 4 4 2 4 2 2.函数的定义域是( ) π 3π A.{x|x≠ , x∈R} B. {x|x≠ ,x∈R} 4 4 π 3π C. {x|x≠kπ + ,x∈R} D. {x|x≠kπ + ,x∈R} 4 4 3.下列函数中周期为的奇函数是( ) 3π x π π A.y=cos(2x+ ) B.y=tan C.y=sin(2x+ ) D.y= - |cotx | 2 2 2 2 π π 4.若 sinα>tanα>cotα(- <x< ),则 α 的取值范围是( ) 2 2 π π π π π π A.(, ) B. (- ,0) C.(0, ) D.( , ) 2 4 4 4 4 2 5.比较大小:tan222° _________tan223° . π 6.函数 y=tan(2x+ )的单调递增区间是__________. 4 7.函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是________. π 8.函数 y=f(x) 的图象右移 ,横坐标缩小到原来的一半,得到 y=tan2x 的图象, 4 则 y=f(x)解析式是_______________. tanx+1 9.函数 y=lg 的奇偶性是__________. tanx-1 π 10.函数的 y=|tan(2x- )|周期是___________. 3

12.作出函数 y=|tanx|的图象,并根据图象求其单调区间

13. 求函数 y=

tan x ? 1 的定义域. π tan(x ? ) 6

★14. 求下列函数的值域:

(1)y=2cos2x+2cosx-1; (2)y=
2 cos x ? 1 . 2 cos x ? 1

★15.求函数 y=3tan(

11.作函数 y=cotxsinx 的图象.

x π - )的周期和单调区间. 4 6

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高一数学必修 4 活页作业(10)
π 1.函数 y=sin(2x+ )的图象可看成是把函数 y=sin2x 的图象做以下平移得到( ) 6 π π π π A.向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移 6 12 12 6 π 2.函数 y=sin( -2x)的单调增区间是( ) 4 3π 3π π 5π A. [kπ, kπ+ ] (k∈Z) B. [kπ+ , kπ+ ] (k∈Z) 8 8 8 8 π 3π 3π 7π C. [kπ- , kπ+ ] (k∈Z) D. [kπ+ , kπ+ ] (k∈Z) 8 8 8 8 3π 3.函数 y=sin(x+ )的图象是( ) 2 3 A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于 x=- π 对称 2 4.函数 f(x)=cos(3x+φ)的图像关于原点中心对称的充要条件是( ) π π π A. φ= B. φ= kπ(k∈Z)C. φ= kπ+ (k∈Z) D. φ= 2kπ(k∈Z) 2 2 2 1 5.函数 y= sin2x 图象的一条对称轴是( ) 5 π π π 5π A.x= B. x= C. x = D. x= 2 4 8 4 1 π 6.函数 y= sin(3x- ) 的定义域是 __________,值域是 ________,周期是 ________,振幅是 5 3 ________,频率是________,初相是_________. π 7.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,那么 a=_________. 8 π 8.函数 y=sin2x 的图象向左平移 ,所得的曲线对应的函数解析式是____. 6 9 . 要 得 到 y=sin2x-cos2x 的 图 象 , 只 需 将 函 数 y=sin2x+cos2x 的 图 象 沿 x 轴 向 ____ 移 ___________个单位. π 10.关于函数 f(x)=4sin(2x+ ) (x∈R),有下列命题: 3 π (1)y=f(x )的表达式可改写为 y=4cos(2x- ); 6 (2)y=f(x )是以 2π 为最小正周期的周期函数; π (3)y=f(x ) 的图象关于点(- ,0)对称; 6 π (4)y=f(x ) 的图象关于直线 x=- 对称; 6 其中正确的命题序号是___________. π 11.函数 y=sin(2x+ ) 的图象,可由函数 y=sinx 的图象怎样变换得到? 3

π 12.已知函数 f(x)=logacos(2x- )(其中 a>0,且 a≠1) . 3 (1)求它的定义域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求它的最小正周期.

★13.已知正弦波图形如下:
y 1 0 8 6 4 2 O

? ? 5 x 2 3 6 4 6 8 1 0 0 0 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 9 . 10

此图可以视为函数 y=Asin(ωx+ ? ) (A>0,ω>0,| ? |<

π )图象的一部分,试求出其解析式. 2

★14. 已知函数 y=3sin(

1 π x- ). 2 4 (1)用“五点法”作函数的图象; (2)说出此图象是由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的; (3)求此函数的周期、振幅、初相; (4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.

10

高一数学必修 4 活页作业(11)
?x 是周期为 2 的奇函数,则 f(x)可以是 ( ) 2 ?x ?x A.sin B.cos C.sinπx D.cosπx 2 2 4? 2、 把函数 y=cos(x + )的图象向右平移 φ 个单位,所得到的图象正好是关于 y 轴对 3 称,则 φ 的最小正值是 ( ) 2? ? 4? 5? A. B. C. D. 3 3 3 3 ? 3、函数 y=sin(2x + )的一条对称轴为 ( ) 3 ? ? ? A.x= B.x= 0 C.x=- D.x = 12 2 6 4、方程 sinx = lgx 的实根有 ( ) A.1 个 B. 3 个 C.2 个 D. 无穷多个 ? 5、函数 y = sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,则 a 的值为 ( ) 8 A.1 B.- 2 C.-1 D. 2 6、 已知函数 y=f(x),将 f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍, ? 然后把所得到的图象沿 x 轴向左平移 个单位,这样得到的曲线与 y=3sinx 的图象相同, 4 那么 y=f(x)的解析式为 ( ) x ? ? A.f(x)=3sin( ? ) B.f(x)=3sin(2x+ ) 2 4 4 x ? ? C.f(x)=3sin( ? ) D.f(x)=3sin(2x- ) 2 4 4 ? 7、y= log 1 sin(2x + )的单调递减区间是 ( ) 4 2
1、若 f(x) cos

9、已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为( 则这个函数的解析式为 y =____________.

? 2? ,2), ( ,-2), 3 6

1 10、设 a= log 1 tan70° , b=log 1 sin25° ,c=( )cos25° ,则它们的大小关系为______. 2 2 2

11、已知函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则其 面积为___ 12、下列说法正确的是(填上你认为正确的所有命题的代号)____。 ①函数 y=-sin(kπ+x)(k∈Z)的奇函数; ? ? ②函数 y=sin(2x+ )关于点( ,0)对称; 12 3 ? ? ③函数 y=2sin(2x+ )+sin(2x- )的最小正周期是 π; 3 3 ④△ABC 中,cosA>cosB 的充要条件是 A<B; ⑤函数=cos2x+sinx 的最小值是-1 13、已知函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b 为常数)的 一段图 象(如图)所示. ①求函数的解析式; ②求这个函数的单调区间.

★14、已知 a>0,函数 y=-acos2x- 3 asin2x+2a+b,x∈[0,

? ].若函数的值域为[-5,1], 2

求常数 a,b 的值.

? ? ? ,kπ](k∈Z) B.(kπ- ,kπ+ )(k∈Z) 4 8 8 3? ? ? 3? C.[kπ- ,kπ+ ] (k∈Z) D. (kπ- , kπ+ )(k∈Z) 8 8 8 8 ? 1 4? 1 8、已知 y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x= 时有最大值 , x = 时有最小值- , 2 9 2 9 则函数的解析式为 ( ) x ? 1 ? 1 ? 1 ? A.y=2sin( ? ) B.y= sin(3x+ )C.y= sin (3x— ) D.y= sin(3x- ) 3 6 2 2 2 6 6 6
A.[kπ-
11

★15、己知一条正弦函数的图象,如图所示.

①求此函数的解析式; ②求与 f 1(x)图象关于直线 x=8 对称的函数解析式 f 2(x); ③作出 y=f1(x)+f2(x)的简图.

高一数学必修 4 活页作业(12)
1.函数的 y ? cos2 x ? 3cos x ? 2 最小值为( A.2 B.0 C. ? )
1 D.6 4 2. f ( x) ? x ? cos x ? 5 sin x ? 2 ,若 f (2) ? a ,则 f (?2) 的值为(

12.函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin 2 x 的最小值为 g (a), (a ? R) 1 (1)求 g(a) 的表达式; (2)若 g ( a ) ? ,求 a 及此时 f ( x) 的最大值 2 ) .

A.-a B.2+a C.2-a 3.设 A、B 都是锐角,且 cosA>sinB 则 A+B 的取值是

D.4-a ( )

?? ? ? ?? ?? ? ? A. ? , ? ? B. ?0, ? ? C. ? 0, ? D. ? , ? ?2 ? ? 2? ?4 2? 4. 若函数 f ( x) 是奇函数, 且当 x ? 0 时, 有 f ( x) ? cos3x ? sin 2 x , 则当 x ? 0 时, f ( x) 的表达式为( ) A. cos 3x ? sin 2 x B. ? cos 3x ? sin 2 x C. cos 3 x ? sin 2 x D. ? cos 3x ? sin 2 x 5.下列函数中是奇函数的为( )
A.y=
x 2 ? cos x x 2 ? cos x

★13.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

(1)试证 f(x)是周期函数.

(2)若 f(3)= ? 3 ,求 f(2005)的值.

B.y=

sin x ? cos x sin x ? cos x

C.y=2cosx D.y=lg(sinx+ 1 ? sin 2 x ) sin π x 6.在满足 =0 的 x 中,在数轴上求离点 6 最近的那个整数值是 . π 1 ? tan x 4 7. 已知 f ? x ? ? a sin x ? b 3 x ? 4 (其中 a、 b 为常数) , 若 f ?2? ? 5 , 则 f ? ?2 ? ? __________. 8.若 cos ? ? cos 30? ,则锐角 ? 的取值范围是_________. 5? ? ?? 9.由函数 y ? 2 sin 3x? ? x ? ? 与函数 y=2 的图象围成一个封闭图形,这个封闭 6 ? ?6 图形的面积是_________. 10.函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于 y 轴对称的充要条件是
2 1

★ 14 .已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点

? 3π ? ? π? M? ,0 ?对称,且在?0, ? 上是单调函数,求 ?和? 的值. ? 4 ? ? 2?

11.如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系式 I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0), 在一个周 期内的图象. ①试根据图象写出 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式 ②为了使 I ? A sin(?t ? ? ) 中 t 在任意一段
1 100

秒的时间内 I 能同时取最大值|A|和最 小值-|A|,那么正整数 ? 的最小值为多少?

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高一数学必修 4 活页作业(13)
1、下列说法正确的是( ) A、数量可以比较大小,向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ? ? ? ? ②若 | a |?| b | ,则 a ? b ; ??? ? ???? ③若 AB ? DC ,则四边形 ABCD 是平行四边形; ??? ? ???? ④平行四边形 ABCD 中,一定有 AB ? DC ; ?? ? ? ? ?? ? ⑤若 m ? n , n ? k ,则 m ? k ; ? ? ? ? ? ? ⑥ a ? b , b ? c ,则 a ? c . D、5 个 ???? ??? ? ??? ? ???? 3、设 O 是正方形 ABCD 的中心,则向量 AO, BO, OC, OD 是( 其中不正确的命题的个数为( ) A、2 个 B、3 个 C、4 个

8、平行向量是否一定方向相同? 9、不相等的向量是否一定不平行? 10、与零向量相等的向量必定是什么向量? 11、与任意向量都平行的向量是什么向量? 12、若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? 13、两个非零向量相等的充要条件是什么? 14、如图所示,四边形 ABCD 为正方形,△BCE 为等腰直角三角形, ??? ? (1)找出图中与 AB 共线的向量; ??? ? (2)找出图中与 AB 相等的向量; ??? ? (3)找出图中与| AB |相等的向量; ??? ? (4)找出图中与 EC 相等的向量.

D

C


E A B

A、相等的向量 B、平行的向量 C、有相同起点的向量 D、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假: ??? ? ??? ? (1)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; ? ? ? ? (2)向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; (3)两个有共同起点的而且相等的向量,其终点必相同; (4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量; ??? ? ??? ? (5)向量 AB 和向量 CD 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上; (6)有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为( ) A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 ? ? ? ? ? ? ? 5、 若 a 为任一非零向量, 下列各式: ①| a |>| b | ② a ∥ b ③| a | b 为模为 1 的向量, ? >0 ④| b |=± 1,其中正确的是( ) A、①④ B、③ C、①②③ D、②③ 6、下列命中,正确的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? A、| a |=| b | ? a = b B、| a |>| b | ? a > b ? ? ? ? ? ? C、 a = b ? a ∥ b D、| a |=0 ? a =0 7、下列物理量:①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程,其中是向量 的有( ) A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个
13

★15、如图,O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,

在图中所示的向量中: ???? ??? ? (1)分别写出与 AO, BO 相等的向量; ???? (2)写出与 AO 共线的向量; ???? (3)写出与 AO 模相等的向量; ???? ??? ? (4)向量 AO 与 CO 是否相等?

A

B

E O

F

D

C

高一数学必修 4 活页作业(14)
1、下列各量中不是向量的是( )? A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度? 2、下列说法中错误 的是( ) .. A、零向量是没有方向的? B、零向量的长度为 0? C、零向量与任一向量平行? D、零向量的方向是任意的? 3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ) A、一条线段?B、一段圆弧?C、圆上一群孤立点? D、一个单位圆 4、在△ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则( )? A、 AB 与 AC 共线 B、 DE 与 CB 共线? C、 AD 与 AE 相等 D、 AD 与 BD 相等 5、下列命题正确的是( )? A、向量 AB 与 BA 是两平行向量? B、若 a、b 都是单位向量,则 a=b? ?

★14、 某人从 A 点出发向西走了 200m 到达 B 点,然后改变方向向西偏北 60° 走了 450m

到达 C 点,最后又改变方向,向东走了 200m 到达 D 点 (1)作出向量 AB 、 BC 、 CD (1 cm 表示 200 m) (2)求 DA 的模



★15、 如图,已知四边形 ABCD 是矩形,设点集 M={A、 B、 C、 D},求集合 T={ PQ 、 Q∈M,

C、若 AB = DC ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形? D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 6、在下列结论中,正确的结论为( )? (1)a∥b 且|a|=|b|是 a=b 的必要不充分条件? (2)a∥b 且|a|=|b|是 a=b 的既不充分也不必要条件? (3)a 与 b 方向相同且|a|=|b|是 a=b 的充要条件? (4)a 与 b 方向相反或|a|≠|b|是 a≠b 的充分不必要条件?? ?A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4) 7、“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件、? 8、已知非零向量 a∥b,若非零向量 c∥a,则 c 与 b 必定 、 9、已知 a、b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定 ________________ 10、 把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 11、已知| AB |=1,| AC |=2,若∠BAC=60° ,则| BC |= 12、在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且| AB |=| AD |,则四边形 ABCD 是_______ 13、设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、 DA 的中点,求证: KL = NM ?
14

且 P、Q 不重合}

第 15 题 图

;

高一数学必修 4 活页作业(15)
1.已知向量 AB , BC , AC ,有下列命题: ① AB ? BC ? AC ;② | AB | ? | BC |?| AC | ; ③ AB ? BC ? AC ; ④ | AB | ? | BC |?| AC | . 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列各式:① AB ? BC ? CA ;② (AB ? MB ) ? BO ? OM ;③ OA ? OC ? BO ? CO ;④

12.一架飞机从 A 地按北偏西 30 0 的方向飞行 300km 后到达 B 地,然后向 C 地飞行,已 知 C 地在 A 地北偏东 60 0 的方向处,且 A、C 两地相距 300km,求飞机从 B 地向 C 地飞 行的方向及 B,C 两地的距离

AB ? CA ? BD ? DC ,其中运算结果必定为 0 的式子有( A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

) H 分

3.如右图所示,已知四边形 ABCD 是梯形,AB//CD,E、F、G、 别是 AD 与 BC、AB 与 CD 的中点,则 EF 等于( )

A. AD ? BC B. AB ? DC C. AG ? DH D. BG ? CH 4.如右图所示, 已知 ?ABC 是直角三角形且 ?A ? 900 , 则在下列 论中,正确的结论个数为 ( ) ① | AB ? AC |?| BC | ; ② | AB ? BC |?| CA | ; ③ | AB ? CA |?| BC | ;④ | AB |2 ? | AC |2 ?| BC |2 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 5.已知 ABCD 为菱形,则下列各式: ① AB ? BC ; ② | AB |?| BC |; ③ | AB ? DC |?| AD ? BC | ;④ | AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB |2 其中正确的等式的个数为 ( ) A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

各结

★13.在水流速度为 4 3km / h 的河水中,要使船以 12km / h 的实际船速与河岸成直角行驶,

求船的航行速度的大小与方向。

6.若 C 是线段 AB 的中点,则 AC ? BC ( A. AB B. BA C. O

D.以上均不正确

7.菱形 ABCD 的边长为 2,则 | AC ? BD |? ___________. 8.已知 AB ? a , BC ? b , CD ? c , DE ? d , AE ? e , 则 a ? b ? c ? d ? ____. 9.下列四个式子: ① (AB ? CD ) ? BC ;②( (AD ? MB ) ? (BC ? CM ) ; ③ OC ? AO ? CD ; ④ MB ? AD ? MB 中 , 可 以 化 简 为 AD 的 题 目 的 序 号 是 _____________. 10. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,则 | AB ? BC ? AD ? DC | 等于 。 11.当非零向量 a 和 b 满足条件 时,使得 a ? b 平分 a 和 b 间的夹角。
15

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1.下列四个等式: (1)( (2) 0+a=a, (3) a ? (?b ) ? a ? b (4) a-a=0 其中正确的 - -a) =a , 是( ) A (2)(3)(4) B(1)(2)(3) C(1) (3)(4) D(1)(2)(3)(4) ???? ? ? ? 2.已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A, B, C 的向量分别为 a ,b ,c , 则向量 OD 等 于( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A a ?b ?c B a ?b ?c C a ?b ?c D a ?b ?c ??? ? ??? ? ???? ???? 3.已知 ?ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC 的关系为() A、P 在 ?ABC 内部 B、P 在 ?ABC 外部 C、P 在边 AB 上 D、P 在 AC 边上 4.化简下列各式: ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ???? ???? (1) AB ? BC ? CA (2) AB ? AC ? BD ?CD ??? ? ???? ???? ? ???? ? ??? ? ????? ???? (3) OA ?OD ?AD (4) NQ ? QP ? MN ? NP 结果为零向量的个数( ) A 1 B 2 C 3 D 4 5.已知三角形 ABC 为正三角形,下列各式中成立的为( ) ???? ???? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? A | AB ? AC |? BC B | AB ?CA |?| BC ? AB | ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ? C | CA ? BC |?| AB ? BA | D | CA ? BC |?| AB ? AC | ???? ? 6.下列各式不能化简成 AD 的是( ) ???? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? A (AB ? DC ) ?CB B AD ? (CD ? DC ) ????? ???? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? C ?(CB ? MC ) ? (DA ? BM ) D ?BM ? DA ? MB ? ? ? ? ? ? 7.如果两非零向量 a ,b 满足: | a |?| b | ,那么 a 与 b 反向的充要条件是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? A | a ? b |?| a | ? | b | B | a ? b |?| a | ? | b | ? ? ? ? ? ? ? ? C | a ? b |?| b | ? | a | D | a ? b |?| a | ? | b | 8.设 a 和 b 的长度均为 6,夹角为 120 ? ,则 a ? b 等于 ( )
A.36 B.12 C.6 D. 6 3 ( ) B. | a ? b |?| a ? b |

高一数学必修 4 活页作业(16)

??? ? ???? ??? ? 13.若 AB ? 8 , AC ? 5 则 BC 的取值范围



???? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? 14.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b , AC ? c 则 | a ? b ? c | =

15.如图,D、E、F 分别是 ? ABC 边 AB、BC、CA 上的中点,则等式: ???? ??? ? ???? ???? ???? ???? ① FD ? DA ? AF ? 0 ② FD ? DE ? EF ? 0 ???? ??? ? ???? ???? ???? ???? C DE ? DA ? BE ? 0 ③ ④ AD ? BE ? AF ? 0 其中正确的题号是__________________
F E D B

A

★16.已知向量 a ,b 满足: | a |? 3,| a ? b |? 5,| a ? b |? 5, 求 | b |

? ?

?

?

?

?

?

?

9.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A | a | ? | b |?| a ? b |

C | a | ? | b |?| a ? b | D. | a | ? | b |?| a ? b | ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? 10. 在平行四边形 ABCD 中 , 若 AB ? a, AD ? b , 且 | a ? b |?| a ? b | , 则四边形的形状 是 . ? ? ? ? ? ? 11.已知 a ,b 是非零向量,则 | a ? b |?| a | ? | b | 是应满足的条件是 ???? ? ???? ? ???? ? 12.在 ?ABC 中, D,E, F 分别为 BC,CA,AB 的中点, 点 M 是 ?ABC 的重心, 则 MA ? MB ? MC ???? 等于 .(用 MF 表示)
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?? ? ? ? ? ? ? 1. 若 3x ? 2(x ? a) ? 0 ,则向量 x 等于 ( ) ? ? ? 2 2? A. 2a B. ?2a C. a D. ? a 5 5 ???? ? ? ? 2.已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的 3 个顶点 A、 B、 C 的向量分别为 a,b ,c , 则向量 OD 等 于 ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. a ? b ? c D. a ? b ? c ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3.向量 a, b 共线的有① a ? 2e ,b ? ?2e ;② a ? e1 ? e 2 ,b ? ?2e1 ? 2e 2 ; ? ?? 2 ?? ? ? ?? 1 ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ③ a ? 4e1 ? e 2 , b ? e1 ? e 2 ;④ a ? e1 ? e2 ,b ? 2e1 ? 2e2 . 5 10 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 1 4.在四边形 ABCD 中,若 AB ? ? CD , 则此四边形是( ) 2 A、平行四边形 B、梯形 C、菱形 D、等腰梯形 ? ? ? ? 5. 2(3a ? 2b ) ? 3(a ? b ) 等于 ( ) ? ? ? ? ? ? ? A. 3a ? b B. ?b C. 9a ? 7b D. 9a ? b 6.O 是 平 面 上 一 定 点 , A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 ? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ? A B AC O P? O A ? ? ? ??? , ? 则 , P 的轨迹一定会通过 ? ABC 的( ) ? ? ???? ? , ? ? ? 0 ?? ? AB ? AC ? ? A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 ??? ? 7.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上( 不包括端点 A,C) ,则 AP ? ( ) ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 2? ,? ?? 1? A、 ? AB ? AD ,? ? ? 0, B、 ? A B? B C ? 0 ,2 ? ? ? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? 2? , ? ? ? 0 ,?1 ,? ?? C、 ? A B? A C D、 ? A B? B D ? 0 ,2 ? ? ? ? ? ? 9. 已知向量 a 与 b 反向, a =2, b =7,则 a = b ? ? ??? ? ?? ??? ?? ??? ??? ?? ??? ??? ?? ??? 10.设 e1 , e2 是两个不共线的向量, 已知 AB ? 2 e1 + k e2 , CB ? 3 e1 + e2 , CD ? 2 e1 - e2 , 若 A,B,D 三点共线,则 k 的值为 ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ??? ? ?? ??? 11.已知 e1 , e2 是两个不共线的向量, a =2 e1 - e2 , b = e1 +3 e2 ,且 a +2 b 与 2 ? a - b 共 线,则实数 ? = ? ? 12.已知向量 a , b ? ? ? ? ? ? ? (1)计算 6 a -[4 a - b -5(2 a -3 b )]+( a +7 b ); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)把满足 3 x -2 y = a ,-4 x +3 y = b 的向量 x y ,用 a , b 表示出来.

高一数学必修 4 活页作业(17)

??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 13.设 AB ? 2 ( a +5 b ), BC ? -2 a -4 b , CD ? a - b ,求证:A,B,D 三点共线。

★14. 如右图,设 ?A B C的重心为 M,O 为平面上任一点, OA ? a,OB ? b ,OC ? c ,试

??? ?

? ??? ?

? ????

?

???? ? ? ? ? 用 a,b ,c 表示向量 OM .

?

?

?

?

★15.如图所示,已知三角形 OAB。

?

?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? (1)若 OP ? xOA ? yOB ,且点 P 在直线 AB 上,则 x, y 应满足什么条件? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若正实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,且有 OP ? xOA ? yOB ,试求证点 P 必在 ?OAB 内。

B P

O

A

17

高一数学必修 4 活页作业(18)
1、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满 ??? ? ??? ? ??? ? 足 OC ? ? OA ? ? OB ,其中 α、β∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为( ) A、3x+2y-11=0 B、 (x-1)2+(y-2)2=5 C、2x-y=0 D、x+2y-5=0 ? 2 2、若向量 a =(x+3,x -3x-4)与 AB 相等,已知 A(1,2)和 B(3,2) ,则 x 的值为( ) A、-1 B、-1 或 4 C、4 D、1 或-4 3、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0) , (3,0) , (1,-5) ,则第四 个顶点的坐标是( ) A、 (1,5)或(5,5) B、 (1,5)或(-3,-5) C、 (5,-5)或(-3,-5) D、 (1,5)或(5,-5)或(-3,-5) 4、设 i、 j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,且

???? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 12、已知点 A(-1,2) ,B(2,8)及 AC ? AB , DA ? ? BA ,求点 C、D 和 CD 的 3 3 坐标。

13、已知平行四边形 ABCD 的一个顶点坐标为 A(-2,1) ,一组对边 AB、CD 的中点 分别为 M(3,0) 、N(-1,-2) ,求平行四边形的各个顶点坐标。

OA ? 4i ? 2 j , OB ? 3i ? 4 j ,则△OAB 的面积等于( A、15 B、10 C、7.5 D、5



★14、已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及 OP = OA +t AB ,

5、已知 P1(2,-1) 、P2(0,5) 且点 P 在 P1P2 的延长线上, | P 1 P | ? 2 | PP 2 | , 则 P 点坐标 为( ) 2 4 A、(-2,11) B、( ,3) C、( ,3) D、(2,-7) 3 3 6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7) , (-3,5) , (3,4) ,则第四 个顶点的坐标不可能是。 ( ) A、 (-1,8) B, (-5,2) C、 (1l,6) D、 (5,2) 7、已知 O 为原点,A,B 点的坐标分别为(a,0) , (0,a) ,其中常数 a>0,点 P 在线段 AB 上,且 AP =t AB (0≤t≤1) ,则 OA · OP 的最大值为( A、a B、2a C、3a D、a2 ? ? ? ? 8、已知 a =(2,3) , b =( ? 4 ,7) ,则 a 在 b 上的投影值为( A、 13 B、 ) )

求: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否构成平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理 由。

★15、已知向量 u =(x,y)与向量 v =(y,2y-x)的对应关系可用 v =f( u )表示。

?

?

?

?

65 D、 65 5 ? ? 9、已知点 A(-1,5) ,若向量 AB 与向量 a =(2,3)同向,且 AB =3 a ,则点 B 的坐标为____________________________ 10、平面上三个点,分别为 A(2,-5) ,B(3,4) ,C(-1,-3) ,D 为线段 BC ??? ? 的中点,则向量 DA 的坐标为___________________ ??? ? ??? ? 11、已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,| OA |? 4 3 ,?xOA ? 60? ,求向量 OA 的 坐标、
C、

13 5

? ? ? ? ? ? (1)证明:对于任意向量 a 、b 及常数 m、n,恒有 f(m a +n b )=mf( a )+nf( b ) 成立; ? ? ? ? (2)设 a =(1,1) , b =(1,0) ,求向量 f( a )及 f( b )的坐标; ? ? (3)求使 f( c )=(3,5)成立的向量 c 。

18

? ? 1、若向量 a = (1,1), b = (1,-1), 1 ? 3 ? 1 ? 3 A、 ? a + b B、 a ? 2 2 2 2

高一数学必修 4 活页作业(19)
? ? c =(-1,2),则 c 等于( ) ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? b b C、 a ? b D、 ? a + 2 2 2 2

13、平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q ? (cos x,1), x ? [?

? ?

, ]. 4 4

(1)求向量 OP和OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (2)求 ? 的最值、 A 、

2、已知,A(2,3) ,B(-4,5) ,则与 AB 共线的单位向量是 (
e ? (? 3 10 10 , ) 10 10



B、 e ? ( ?

3 10 10 3 10 10 , )或( ,? ) 10 10 10 10

C、 e ? (?6,2)

D、 e ? (?6,2)或(6,2) ( )
★14、设 OA ? (2 sin x, cos2x), 其中 x∈[0, OB ? (? cos x, 1),

3、已知 a ? (1,2),b ? (?3,2), k a ? b与a ? 3b 垂直时 k 值为 A、17 B、18 C、19 D、20

4、已知向量 OP =(2,1), OA =(1,7), OB =(5,1),设 X 是直线 OP 上的一点(O 为坐标原点),那么 XA ? XB 的最小值是 A、-16 B、-8 ( ) C 、0 D 、4

? ]、 2

5、若向量 m ? (1, 2), n ? (?2, 1) 分别是直线 ax+(b-a)y-a=0 和 ax+4by+b=0 的方向向 量,则 a, b 的值分别可以是 ( ) A、-1 ,2 B、 - 2 , 1 C、 1 ,2 D、 2,1 6、若向量 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ? ,sin? ? ) ,则 a 与 b 一定满足 ( ) A、a 与 b 的夹角等于 ? - ? B、(a+b)⊥(a-b) C、a∥b D、a⊥b ? ? ? ? 7 、 设 i , j 分 别 是 x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , OP ? 3 cos?i ? 3sin ?j , ? ? ? ? (0, ), OQ ? ?i 。若用?来表示 OP 与 OQ 的夹角,则?等于 ( ) 2 ? ? A、 ? B、 ? ? C、 ? ? D、 ? ? ? 2 2 8、设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1 ? ?cos? , sin ? ?,
OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P 1P 2 长度的最大值是(

(1)求 f(x)= OA· OB 的最大值和最小值; ??? ? ??? ? ??? ? (2)当 OA ⊥ OB ,求| AB |、

★15、已知定点 A(0 ,1 ) 、 B(0 , ? 1) 、 C (1, 0 ) ,动点 P 满足:
? ?? ? ??

AP? BP ? k | PC | 2 、
? ?? ? ??

? ??



(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的图形; (2)当 k ? 2 时,求 | AP ? BP | 的最大值和最小值、

A、 2

B、 3

C、 3 2

D、

9、已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 运动,则使 AP ? BP 取得最 小值的点 P 的坐标是 、 ? 10、把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象,按向量 a ? ? ?m, n? (m>0)平移后所得的图 象关于 y 轴对称,则 m 的最小正值为__________________、 11、已知向量 OA ? (?1,2),OB ? (3, m),若OA ? AB, 则m ? 12、求点 A(-3,5)关于点 P(-1,2)的对称点 A 。
/



19

高一数学必修 4 活页作业(20)
1.若 a ? 2, b ? A.
1 2
? ? ?

? ? 1 ? ? 0 , a、 b 的夹角为 60 ,则 a ? b 等于 ( 2
C. 1
?



B.

1 4

__________________ ? ? ? ? ? 13. a ? 4, a与b的夹角为300,则a在b方向上的投影为____ ? ? ? ? ? ? 14.已知 a ? b =12,且 a =3, b =5 则 b在a 方向上的投影为________。

D.2 )

? ? ? ? 2. 若 a =12, b =9, a ? b =-54 2 ,则 a 与 b 的夹角 ? 为(

D.1200 ? ? ? ? 3.已知 ?ABC , AB ? a , AC ? b ,当 a ? b <0 时, ?ABC 为( A.钝角三角形 B.直角三角形 C. 锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.已知 a ? b ? ?12 2 , a ? 4, a与b的夹角为 1350 ,则 b 等于 (

A.450

B.1350

C.600

??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? 15.已知平行四边形ABCD, AB ? a, BC ? b,且 a ? b ,试用a, b表示BD, AC, ★ ??? ? ???? ??? ? ???? 并计算BD ? AC,并判定BD与AC的位置关系.





A.12 B.3 C.6 D.3 3 5.边长为 2 的等边三角形 ABC 中,设 ) AB ? c , BC ? a,CA ? b ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a 等于( A.0 B.1 C.3 D.-3 3 6.已知 b =3, a 在 b 方向上的投影是 ,则 a ? b 为 ( ) 2 9 1 A.3 B. C.2 D. 2 2 7. 已知 a.b 都是单位向量,下列结论正确的是( ) ?? ? ?? ? 2 2 A. a ? b=1 B. a =b ? ? ? ? ? ? a ?b? C.a=b D. a ? b=0 8. ?ABC 中, a ? 5, b ? 4, ?C ? 45 , 则 BC ? CA
?

★16.已知 a ? 6, e 为单位向量, 当 a , e 之间的夹角 ? 分别为 450 ,900 ,1350 时, 画图表示 a 在
?

?

?

? ?

?

e 方向上的投影,并求其值.

(

) )

D、 ?20 2 ??? ? ???? 9.在四边形 ABCD 中, AB ? BC ,且 AB ? DC ,则四边形 ABCD 是 ( A、梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 10.下列命题中正确的是 ( ) ? ? ? ? ? ? A、若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ? ? ? ? B、若 a ? b ? 0 ,则 a // b ? ? ? ? 2 ? ? C、若 a ? b ,则 a ? b ? a ? b ? ? ? ? ? ? D、若 a, b 共线,则 a ? b ? a b A、 10 2 B、 20 2

C、 ?10 2

? ?

11.已知 p ? 8, q ? 6, p 、 q 的夹角为 600 ,求 p? q =_______.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12. 下面四个关系式① 0 =0 ;② a ? b c=a(b ? c); ③ a ? b=b ? a, ④ 0 ? a ? 0 ,其中正确的有

?

?

? ?

? ?

? ?

20

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1.已知 a ? 2, b ? 1, a 与 b 的夹角为 60 ,又 c ? ma ? 3b, d ? 2a ? mb, 且 c ? d 则 m 的值为
( ) A、0 B、6 或-6 C、1 或-6 D、6 或-1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ?e3 e? 2 e 的夹角为( 2. e1 , e2 是夹角为 60 的单位向量,则 a ? 2e1 ? e2 , b ? 2 2 ? 3e 1
? ? ? ?

高一数学必修 4 活页作业(21)



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13.已知 x ? a ? b , y ? 2a ? b ,且 a ? b ? 1, a ? b, 则 x 与 y 的夹角的余弦是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14.已知 a, b 都是非零向量,且 a ? 2b 与 a ? b 垂直, a ? 2b 与 a ? b 垂直,则 a 与 b 的夹角 是 ? ? ? ? ? ? ? ★15. 已知 a , b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,求 a 与 ? ? a ? b 的夹角。

A、 30 B、 60 C、 120 D、 150 ? ?? ?? ?? 3.已知 a, b, c 为非零向量,且 a? ( ) c ? b? c, 则有 ? ? ? ? A、 a ? b B、 a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? C、 a ? b ? c D、 a ? b 或 a ? b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 4.下列命题: ① | a ? b |?| a || b | ② a ? a ; ③ a ? b ? c ? a ? b ? c ; ④ a ? ? b ? ? a ? b . 其中正确

?

?

?

?

? ?

? ?

? ? ? ?


命题的个数为 ( ) A、1 B、2 C、3 D、4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.非零向量 a, b 满足 a ? b , 且 a // b ,则向量 a ? b 与 a ? b 的位置关系 ( B、垂直 C、共线且同向 D、共线且反向 ? ? ? ? ? ? ? ?? 6.已知非零向量 a, b, c 两两夹角相等,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 等于( B、1 C、 3 D、 0 或 3 ? ? ? ? ? ? ? 7.已知向量 a ? e , e ? 1 ,满足:对任意 t ? R ,恒有 a ? t e ? a ? e ,则 (
? ? A、 a ? e

A、平行



★16.设两向量 e1 , e 2 满足 e1 ? 2, e 2 ? 1 e1 , e 2 的夹角为 60 ,若向量 2te1 ? 7e 2 与向量 e1 ? te2
0

?? ?? ?

??

?? ?

?? ?? ?

??

?? ?

??

?? ?

A、0

的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围。 )

? ? ? B、 a ? ( a ? e )

? ? ? ? D、 (a ? e ) ? (a ? e ) ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 8.若 O 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,则 ?ABC 的形

? ? ? C、 e ? (a ? e )

?

??

?

状是( ) A、正三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、以上均不对 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 9.向量 a, b, c 满足 a ? b ? c, 且 c ? a ? 2, c ? a, 则 b ? ? ? b 与 c 的夹角为 ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 10.已知向量 OA ? e1 ? 2 e 2 ,OB ? 3e1 ? m e 2 若 OA ? AB , ( e1 , e 2 是垂直的两个单位向量 ) ? ? ? ? ? ? 11.已知 a ? b ? a ? b ? 1, 则 a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 12.若向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0, 且 a ? 3, b ? 1, c ? 4, 则 a ? b ? b ? c ? c ? a ? 则 m=
21
? ?

★17.向量 a, b, c 的模为 1,两两夹角为 120 ,

? ??

?

? ? ? (1)求证: a ? b ? c ; ? ? ? (2) ka ? b ? c ? 1. ? k ? R ? ,求 k 的取值范围。

?

?

高一数学必修 4 活页作业(22)
1.设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列命题错误的是( ? ? 2 2 2 2 A. | a | = x 1 ? y 1 B. | b | = x 2 ? y 2 ? ? ? ? C. a ? b =x1x2+y1y2 D. a ? b ? x1x2+y1y2 =0 ?????? 2.已知 M(2a,0),N(0,1-a2),则 | MN | 是 ( )
? ?

? ? ? ? ? ? ? 14.已知 a =(-1,-3) , b =(2,-5) ,且 a ? c =5, b ? c =1,求向量 c 的坐标



A 1+a2 B (1+a2)2 C 1 ? a 2 D a2 ? 3.下列各向量中,与向量 a =(3,2)垂直的向量是( ) A (3,-2) B (2,3) C(-4,6) D (-3,2) ? ? ? ? ? 4.若 a =(3,-4), b =(-2,3),则 a ? ( a + b )的值为( ) A –13 B 7 C 6 D 13 ? ? 5.如果 a =(2x-2,-3), b =(x+1,x+4)互相垂直,则实数 x=( ) 1 7 1 7 7 A B C 或 D 或-2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 6.若 a =(-2,1) , b =(-2,-3) ,则 a 在 b 方向上的投影为( ) 13 13 A B C 0 D 1 13 ? 13 ? ? ? ? ? 7.给定两个向量 a =(3,4) , b =(2,1) , ,且( a -x b ) ? ( a - b ),则 x 的值为 ( ) A 2, B5 C3 D?4 ? ? ? 8. 已知 a ? (?2, ?1), b ? (?,1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角则 ? 的取值范围是 1 1 1 A (? , 2) ? (2, ??) B (2, ??) C (? , ??) D (??, ? ) 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9.若 a =x1 i +y1 j , b ? x2 i ? y 2 j ,则 a ? b = ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 10. OA =—4 7 i +3 j , OB =—3 i +4 7 j , ????? 则 | AB | = ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 11.已知 OA =(-1,2) , OB =(3,m),若 OA ? OB ,则 m= ???? ? ???? 12.在 ? A BC 中, AB =(2,3) , AC =(1,k) ,且 ?ABC 的内角 B 为直角,则 k 的值为 ________________ ? ? 13.已知 | a | =3, b =(-2,3) ? ? ? (1)若 a ? b ,求 a ? ? ? (2)若 a ∥ b ,求 a

★15.已知 a =(-2 2 ,1) , | b | =2, a 与 b 的夹角为 120 , c =m a +5 b , d =3 a - b ,当 c 与

?

?

?

?

0

?

?

? ? ?

? ?

?

? ? d 垂直时,求实数 m 的值

22

8.化简

sin 7? ? cos15? sin8? . cos 7? ? sin15? sin8?

高一数学必修 4 活页作业(23)
1.sin
11π 11π 5π 25π cos -cos sin 的值是( 6 12 6 12
2 2

)
π 12

9. 求值: (1)sin75° ; (2)sin13° cos17° +cos13° sin17° . D.sin
π 12

A.-

B.

2 2

C.-sin

2.若 sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.± 1 3.已知
3π 3 3π 5 π π π < α< , 0< β< , cos( + α) =- , sin( + β) = ,求 sin 4 5 4 13 4 4 4

10. 求 sin

7π 2π 2π π cos -sin sin 的值. 18 9 9 9

( α+β)的值.

11. 在足球比赛中,甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进(如下图) ,试问甲方边 锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大?(设乙方球门两个端点分别为 A、B)
A B O

π π a sin ? b cos 5 5 =tan 8 π ,求 b . 4.已知非零常数 a、b 满足 π π 15 a a cos ? b sin 5 5

C

5.已知0<α<

cos 2? 5 π π ,sin( -α)= ,求 的值. π 13 4 4 cos( ? ? ) 4

12. 已知

3π 12 3 π <α<β< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α 的值. 4 13 5 2

6.已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求

2 3

3 4

tan ? 的值. tan ?

★13. 证明 sin (α+β) sin (α-β) =sin α-sin β, 并利用该式计算 sin 20° +

2

2

2

sin80° · sin40°

的值.

7.已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角且 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2.试判断此三角形 的形状特征.

★14. 化简: [2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° ) ]· 2 sin2 80? .

★15. 已知函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2,

(1)若 x∈R,求函数的最大值和最小值;
23

(2)若 x∈[0,

π ] ,求函数的最大值和最小值. 2

24

高一数学必修 4 活页作业(24)
1.Sin165?等于 A. ( ) D. )
1 2
1 6? 2 3 B. C. 2 4 2 2.Sin14? cos16? +sin76? cos74?的值是(

6? 2 4

13.A、B、C 是一条直路上的三点,AB 与 BC 各等于 1 km.从三点分别遥望塔 M, 在 A 处见塔在东北方向,在 B 处见塔在正东方向,在 C 处见塔在南偏东 60° ,求塔与路的 最短距离.

A. 3.sin

3 2

B.

1 2

C.

3 2

D.-

? ? - 3 cos 的值是. 12 12
B. — 2 C.



) 2 sin

5? 12 4.△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是 ( )

A.0

2

D.


★14. 求 tan15° 、tan75° 的值.

A. 2 ? 2
?

B. 2 ? 2

C.0

D. 1

1 ? tan15 =__________________________. 1 ? tan15? 12 3 ? ? ? (? , ? ) ,那么 cos (? ? ) =________. 7.如果 cos ? = 13 2 4 1 11 8.已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? = cos (? ? ? ) = - , 则 cos ? =_________. 7 14

6.

9.tan20? +tan40? + 3 tan20? tan40?的值是____________. ? 10.函数 y=cosx+cos(x+ )的最大值是__________. 3 1 4 2 .求 cot ? 的值. 11.若 ? , ? 是同一三角形的两个内角,cos ? = ,cos( ? ? ? ) =3 9

★15.求

sin15? ? cos15? 的值. sin15? ? cos15?

12.在△ABC 中,若 cosA=

3 5

,cosB=

12 , 试判断三角形的形状. 13

25

高一数学必修 4 活页作业(25)
1.若 π<α<
5 2 4 11 ? π,sin2α=- ,求 tan ________________ 5 4 ?

10. 求 sin15° ,cos15° ,tan15° 的值.

2.已知 sinθ=- ,3π<θ<
?
?

3 5

7π ? ,则 tan 的值为___________. 2 ?

11. 设-3π<α<-

1 ? cos(? ? π ) 5π ,化简 . 2 2

3.已知 sin

+cos

?
?

=-

3 5π ? ,且 <α<3π,则 cot 的值为____________. 2 ? 5

4.已知 α 为钝角、β 为锐角且 sinα= ,sinβ=
? ? ? ?

4 5

12 ? ?? ,则 cos 的值为____________. 13 ?

12. 求证:1+2cos2θ-cos2θ=2.

5. 设 5π<θ<6π,cos =a,则 sin 的值等于________________ 二、解答题 6.化简
1 ? sin 2? ? cos 2? . 1 ? sin 2? ? cos 2?

13. 求证:4sinθ· cos2 ? =2sinθ+sin2θ.

?

★14. 设 25sin x+sinx-24=0,x 是第二象限角,求 cos

2

x 的值. 2

7.求证:2sin(

π π -x)· sin( +x)=cos2x. 4 4
12 4 ? ,sin(α+β)= ,α 与 β 均为锐角,求 cos . 13 5 ?

★15. 已知 sinα=

8.求证:

1 ? 2 sin? ? cos? 1 ? tan? . ? cos2 ? ? sin2 a 1 ? tan?

A tan 2 a ? cos B ? b 2 ? a?b . 9.在△ABC 中,已知 cosA= ,求证: B a ?b a ? b ? cos B tan 2 2

26

高一数学必修 4 活页作业(26)
1.已知 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 的值为( ) A.-
2 3

1 3

B.-

C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( )

1 3

C.

1 3

D.

2 3

5 sin x 1 11.已知 f(x)=- + 2 ,x∈(0,π) . 2 2 sin x 2

(1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; (2)求 f(x)的最小值.

A.等边三角形 C.不等边三角形 3.sinα+sinβ= A.-
2π 3

B.等腰三角形 D.直角三角形

3 (cosβ-cosα) ,且 α∈(0,π) ,β∈(0,π) ,则 α-β 等于( ) 3 2π π π B.- C. D. 3 3 3

12. 已知△ABC 的三个内角 A、 B、 C 满足: A+C=2B, 的值.

1 1 2 A?C ? ?? , 求 cos cos A cos C cos B 2

4.已知 sin(α+β)sin(β-α)=m,则 cos2α-cos2β 等于( ) A.-m B.m C.-4m D.4m 5.sin20° cos70° +sin10° sin50° =_________. 6.已知 α-β=
2π 1 ,且 cosα+cosβ= ,则 cos(α+β)等于_________. 3 3

7.求证:4cos(60° -α)cosαcos(60° +α)=cos3α.

★13. 已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,

求证: (2cos2A+1)2=a2+b2.

8.求值:tan9° +cot117° -tan243° -cot351° .
★14. 求证:cos x+cos (x+α)-2cosxcosαcos(x+α)=sin α.
2 2 2

9.已知 tan

???
2

?

6 13 ,tanαtanβ= ,求 cos(α-β)的值. 2 7

★15. 求函数 y=cos3x· cosx 的最值.

10.已知 sinα+sinβ= 2 ,cosα+cosβ=

2 ,求 tan(α+β)的值. 3

27

作业 1 1、C.

1.1.1 角的概念的推广答案

3.C ,析: ? ? ? ?3 ? ?

?

因为钝角的范围为 (900 ,1800 ) ,在第二象限,所以 C 正确 2、B. 因为 ? 2011 ? ?360 ? 6 ? 149 3. C 因为 ? 20020 ? ?3600 ? 6 ? 1580 ,?202 ? ?3600 ? 1580.
0 0 0

2 4、D ,析;可分别令 k ? ?1和0 11? 11? ? ? ? 2k? ?k ? ? ?,?? ? ?2k? ? 5、A 析: ? 4 4 11 ? 3? ,令 k ? ?1 , ? ? ? ,所以选 A ? ? ? 2k? ? 4 4
6、B 析:? 2k? ?

,所以在第三象限

4、 A. -200

.析转过的角度为 360 ?
0

1 40 ? ? 20 0 ,因为为顺时针所以为负. 12 60

?
2

? ? ? 2k? ? ? , k ? Z .

5、D,在 y 轴负半轴上
0 0 0 0 6、B. ①中(4k±1) 180 =( 2 ? 2k ? 1 ) 180 或 [2 ? (2k ? 1)] ? 180 与(2k+1) 180 表示角

? k? ?

?
4

?

?
2
?

? k? ?

?
2

, k ? Z .?

?
2

为一、三象限的角

相同 ②相同,方法同①;③ k ?180 ? 30 可表示 210 度,但 k ? 360 ? 30 不能,所以表示角不同;④相 同. 7、D ? 到 ? 可以通过顺时针旋转也可以通过逆时针旋转. 8.{α |α =k3600-1360(k∈Z)} 三 2240 ,-1360 9. 答案 5 个 -1800,1800,5400,9000,12600
0 0 0 0

? ?2k? ?

?
2

?
2

? ? ? ?2k? , k ? Z .?

?
2

? ? 为第四象限的角.

7、C,析:? 0 ? ? ?

因为 ? 180 ? 900 ? k ? 360 ? 1260 ? ?3 ? k ? 1
0 0 0 0

? ? k ? 180 ? 180 ? 11? 22 . 10. -220 11. 600,1200,1800 解:设这个正角为 ? ,6? ? 3600 ? k ,


0

0

0

,? 0 ? 2? ? ? ,答案为 C. 2 ? 20 2? ? 8. ,析:? 2? ? ,方向为逆时针,所以为正 18 60 3 ? ? 7? 3? 4? ? 9. ?? ,? , , ? ? 5 10 10 5 ? 10. ? + ? =(2k+1)π , k∈Z 析: ? ? ? ? 2k? ? ?
11.等于,析: k 为奇数时:令 k=2m+1 m ? Z 则

?

所以 ? ? 600 ,1200 ,1800 , 2400 ,3000
0 0 12. k ? 360 ? 90 ? ? ? k ? 360 ? 180 , k ? Z , ? k ? 180 ? 45 ?

0

0

0

0

?
2

? k ? 180 0 ? 90 0 , k ? Z ,

k 为奇数时,在第三象限 k 为偶数时,在第一象限. 综上所述,

? 是第一或三象限的角. 2
0 0

? ? ? ? A ? ? x x ? (2m ? 1)? ? ? 2m? ? , m ? ??, 2 2 ? ? k 为偶数时:令 k=2m, m ? Z 则 ? ? ? A ? ? x x ? 2m? ? , m ? ??, 2 ? ? ? ? ? A ? ? x x ? k? ? , k ? ??, 即 2 ? ? ? A、B 集合相同
12.解统一化为弧度制,

13(1) S ? {? | ? ? 180 ? 360 ? k,k ? Z} .(2) S ? {? | ? ? 270 ? 360 ? k,k ? Z}
0 0

(3) S ? {? | ? ? 90 ? k,k ? Z}
0

12 10 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、解 (1) ?? | k ? ? ?

? ? 15 0 ?

?

,? ?

?

, ? ? 1, ? ?

7? 7? ? ? 7? ,? ? , 显然 ? ?1? 12 12 12 10 12

(4) S ?
?

?? | ? ? 45
?

0

? 3600 ? k , k ? Z

?

14. C ? A ? B 作业 2 1.1.2 弧度制(1)答案: 1、D,析:应是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小是 1 弧度. 2、B 。析:略

? ? ? ? ? ? ? k ? ? ? , k ? z? 6 3 ? ? ? ? ? ? (2) ?? | 2k ? ? ? ? ? ? 2k ? ? ? , k ? z ? 3 6 ? ? 73 ? ? ? ? 14.解: ?1??? ? ? ? 2k? , k ? ???2? ? 5,?6?3? 12 12 ? ?
28

15. 解:

?? ? 2k? ? ?

?
3

, k ? Z,

?
3

?
?

2k? ? ? ? 2? , 3 3 9 1 17 ?? ? k ? 6 6 ? k ? 0,1,2 , ? ? 7? 13? , , 所以与 终边相同的角为 , 3 9 9 9
令0 ?

2k? ? ? , 3 9

100? 400? ? 12 ? (cm ) 9 3 ? 200? ? 12 ? (cm ) (3) l ? ? ? R ? 1000 ? 180 3
(2) l ? ? ? R ? 13. 解:A 点 2 分钟转过 2θ ,且π <2θ < π 14 分钟后回到原位,∴14θ =2kπ , θ =
4 ? 3 2k? 5 ,且 <θ < π ,∴θ = π 或 π 2 4 7 7 7
3 2

?

2r ? l ? 6 1 450 225 14. ? ? ?? ? 2?r ? 30 ? S 扇 ? ?r 2 ? ? ? 4 2 4 ?l ? ?r ? ? ?4 ?

当? ?

4

?

时,即 ? =2 时,扇形面积最大,此时

作业 3 1、B。析:由? ? ?

1.1.2 弧度制(2)答案

l ,知该扇形圆心角不变。 r ? ? R2 ? R2 2、B.析:??R ? 2 R ? 4 R,?? ? 2, s ? 2
3、C .析:面积比为半径比的平方,为周长比的平方 4、C 析:设圆的半径为 r,解三角形得内接正三角形的边长为

r?

30 15 225 ? (cm ), S 扇 max ? ? ?2 2 4
作业 4

1. B

2. A
4 5

3. C 8. [

1.2 任意角的三角函数(1)参考答案 4. D 5. A 6 . C 9. 0 10.二

7. ± 4 ±
3 3 ? 2r ? 3r ,所以弧长为 r, 2 2

3π π , ] 2 2

?? ?

3r ? 3 r
0

11.解:∵tanx>0,∴x 在第一或第三象限. 若 x 在第一象限,则 sinx>0,cosx>0,∴sinx+cosx>0. 若 x 在第三象限,则 sinx<0,cosx<0,与 sinx+cosx>0 矛盾,故 x 只能在第一象限. 因此角 x 的集合是{x|2kπ<x<2kπ+ ,k∈Z}. 12.解:依题意,点 P 到原点 O 的距离为 |OP|= (? 3 ) 2 ? y 2 ,∴sinα=
3 y y = y. ? 4 r 3 ? y2
21 . 3

150 ? 1 ? 3? ? ? ,? s ? ? ? 36cm 2 ? cm 2 0 12 2 12 2 180 4 1 2 2 6、B. 析: r ? ? 2cm ,? s ? ? 2 ? 2 ? 4cm 2 2
5、B.析: 15 ? 7 、 A . 析 : 弓 形 的 弦 和 两 个 半 径 构 成 等 边 三 角 形 , 所 以 三 角 形 的 半 径 为 2cm ,

π 2

1 ? 1 3 2? s ? ? ? 22 ? ? ? 22 ? ? 3. 2 3 2 2 3 1 2 8.2rad. 析:? ? ? r ? 1,2r ? ? ? r ? 4,? r ? 1, ? ? 2, 2
9 2 10. cm 16

∵y≠0,∴9+3y2=16.∴y2= ,y=± ∴点 P 在第二或第三象限. 当点 P 在第二象限时,y=

7 3

9.100. 析: 5 秒钟转过 25 弧度, P 在半径为 4cm 的圆周上运动, 所以转过的弧长为 25 ? 4 ? 100 cm .
2

21 7 x 3 ,cosα= =- ,tanα=- ; 3 3 r 4
21 7 x 3 ,cosα= =- ,tanα= . 3 3 r 4

3 1 9 ? 3? 析: 2r ? 2 ? r ? 3,? r ? , s ? ? 2 ? ? ? ? 4 2 ? 4 ? 16 0 ? 2 ? ? ? ? 6 ? cm. 11. cm .析; 0 15 15 180 50 50 100 ? 2? ? ?. 12.解: 解: (1)因 3 分钟转 1000 圈,故 1 秒转 圈,故平均角速度为 9 9 9
29

当点 P 在第三象限时,y=-

13.解析:本题初看之下,觉得无从下手,但如果借助单位圆,利用面积公式,便 可得如下简捷证法: 如下图所示单位圆中,

y

B 20 O
o

P1

3? 4

y

A x

O

A x P2 T

7? 4

S△AOB= × 1× sin20° = sin20° , S 扇形 AOB= ×
1 2

1 2

1 2

(4) 这是一个三角不等式, 所求的不是一个确定的角, 而是适合条件的角的范围. 如 下图,作出正弦值等于 的角 α 的终边,正弦值大于 的角的终边与单位圆的交点在劣 弧 P1P2 上,所以所求角的范围如下图中的阴影部分, α 的取值集合是 {α|2kπ+ 2kπ+
5π ,k∈Z}. 6
y

1 2

1 π 20 π × 12 = × . 2 9 180
1 2

1 2

1 2

∵S△AOB<S 扇形 AOB, ∴ sin20° < × < ×
7 ∴sin20° < . 20
1 1 14.解: ( 1)已知角 α 的正弦值,可知 MP= ,则 P 点的纵坐标为 .所以在 y 2 2 1 轴上取点( 0, ) ,过这点作 x 轴的平行线,交单位圆于 P1、P2 两点,则 OP1、OP2 是 2 5π π 角 α 的终边,因而角 α 的取值集合为{α|α=2kπ+ ,或 α=2kπ+ ,k∈Z} .如下图. 6 6
y 5? 6 P2 O 1 (0,-) 2 ? 6 P1 x

π < α< 6

π 9

1 2

7 . 20

P2 O

P1 x

?sin x ? 0, ?sin x ? 0, 15.解:由 ? 即? ? 1 ?2 cos x ? 1 ? 0, ?cos x ? , 2 ? ?2kπ ? x ? 2kπ ? π , ∴? . ? π π (k∈Z) 2kπ ? ? x ? 2kπ ? ? 3 3 ? π π ∴2kπ≤x<2kπ+ (k∈Z) .故此函数的定义域为{2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z}. 3 3
作业 5

(2)因为 OM= ,则在 x 轴上取点( ,0) ,过该点作 x 轴的垂线,交单位圆于 P1、 P2 两点,OP1、OP2 是所求角 α 的终边,α 的取值集合为{α|α=2kπ± ,k∈Z} .如下图.
y ? P1 3

1 2

1 2

1.2

任意角的三角函数(2)参考答案

π 3

一、选择题 1.B 2.D 3. D 二、填空题 6. [0,

4. D 5. A

M O P2 - ? 3 x

π π ?π 3π 3π π ]∪( , ]∪( ,2π) 7. ( , ) 4 2 4 2 4 4

(3)在单位圆过点 A(1,0)的切线上取 AT=-1,连结 OT,OT 所在直线与单位 圆交于 P1、P2 两点,OP1、OP2 是角 α 的终边,则角 α 的取值集合是{α|α=2kπ+ 或 α=2kπ+
7π 3 ,k∈Z}={α|α=kπ± π,k∈Z} .如下图. 4 4 3π , 4

三、解答题 8.分析:三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向看出三角 函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值.比较两个三角函数值的大小,可以借助 三角函数线. 解: (1)sin1<sin ; (2)cos
π 3
4π 5π 9π 9π π π >cos ; (3)tan <tan ; (4)sin <tan . 7 7 8 7 5 5

9.分析:若 α 是第三象限的角,则有① cosα<0,且-1<cosα<0;② sinα<0,且 -1<sinα<0. 在此基础上可确定 sin (cosα) 与 cos (sinα) 的符号, 进而即可确定 sin (cosα) · cos
30

(sinα)的符号. 解:∵α 是第三象限角,∴-1<cosα<0,-1<sinα<0. ∴sin(cosα)<0,cos(sinα)>0.∴sin(cosα)· cos(sinα)<0. 10.解: (1)由 lg(cosx)≥0,得 cosx≥1,又 cosx≤1, ∴cosx=1. ∴x=2kπ,k∈Z.故此函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z}. (2)∵sin2x>0,∴2kπ<2x<2kπ+π(k∈Z) . ∴kπ<x<kπ+ (k∈Z) . 又 9-x2≥0,∴-3≤x≤3. 故 y=lgsin2x+ 9 ? x 2 的定义域为{x|-3≤x<-
π π 或 0<x< }. 2 2

又四边形 OAPB 被扇形 OAB 所覆盖, ∴S△OAP+S△OPB<S 扇形 OAB,
sin? cos? π ? ? . 2 2 4 π ∴sinθ+cosθ< . 2



π 2



11. 分析:利用代数方法很难得证.若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等 式,则可迎刃而解. 解:如下图,在直角坐标系中作出单位圆,α 的终边与单位圆交于点 P,α 的正弦线、 正切线为 MP、AT,则 MP=sinα,AT=tanα.
y P ? O M A x T

(2)∵0<x<1,0<y<1, ∴0<cosθ<1,0<sinθ<1. ∵函数 y=ax(0<a<1)在 R 上是减函数, ∴cos3θ<cos2θ,sin3θ<sin2θ. ∴cos3θ+sin3θ<cos2θ+sin2θ. ∵sin2θ+cos2θ=x2+y2=1, ∴sin3θ+cos3θ<1. 13. 解:∵θ∈(2kπ+ ,2kπ+π) (k∈Z) , ∴cosθ<0. ∴x=-3cosθ,y=4cosθ,r= x 2 ? y 2 = (?3 cos? )2 ? (4 cos? )2 =-5cosθ. ∴sinα=- ,cosα= ,tanα=- ,cotα=- ,secα= ,cscα=- . 14. 解: (1)由 x=3,y=4,得 r= 32 ? 42 =5.
4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4

π 2

∵S△AOP = OA· MP= sinα,S 扇形 AOP = α· r2= α,S△OAT = OA· AT= AT= tanα. 又 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT, ∴ sinα< α< tanα,即 sinα<α<tanα. 12. 证明: (1)设角 θ 的终边与单位圆交于 P(x,y) , 过点 P 作 PM⊥Ox,PN⊥Oy,M、N 为垂足. ∵y=sinθ,x=cosθ,
y B N ? O M A x y) P(x,

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

∴sinα= = ,cosα= = ,tanα= = ,cotα= = ,secα= = ,cscα= (2)由 x=3t,y=4t,得 r= (3t ) 2 ? (4t ) 2 =5|t|. 当 t>0 时,r=5t. 因此 sinα= ,cosα= ,tanα= ,cotα= ,secα= ,cscα= ; 当 t<0 时,r=-5t.
4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4

y r

4 5

x r

3 5

y x

4 3

x y

3 4

r x

5 3

r 5 = . y 4

1 2

1 2

1 2

4 5

3 5

4 3

3 4

5 3

5 4

因此 sinα=- ,cosα=- ,tanα= ,cotα= ,secα=- ,cscα=- . 15. 设 P(x,y),则依题意知|y| :|x| =3 :4 ∵sinα<0 ∴α 终边只可能在第三、四象限或 y 轴负半轴上 若 P 点位于第三象限,可设 P(-4k,-3k) , (k>0) 4 3 ∴r=5k,从而 cos ? ? ? , tan ? ? 5 4 若 P 点位于第四象限,可设 P(4k,-3k) , (k>0) 4 3 ∴r=5k,从而 cos ? ? , tan ? ? ? 5 4 又由于|y| :|x| =3 :4,故 α 的终边不可能在 y 轴的负半轴上
31

1 1 1 2 2 2 1 1 1 S△OPB= |OB|· |NP|= x= cosθ, 2 2 2

S△OAP= |OA|· |PM|= y= sinθ,

S 扇形 OAB=

π R2 π ? . 4 4

4 4 3 3 综上所述:知 cosα 的值为 或 ? ,tanα 的值为 ? 或 5 5 4 4 作业 6 1.3 三角函数的诱导公式(1)参考答案 1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B

7.1 8.-sinα-cosα 9. 10.
3 +1. 4

89 2

5 π m ?1 7.± 8. 9.[(2k-1) ? ,2k ? ] 10.2 m ?1 6 ? sinα (?sin? ) cos( π ?α ) sin 2α (? cos α) 11.原式= = = sinα sin( π ?α ) · (? cos α) sinα ?( ? cos α) 11 12. 16

6.

3 2

13.解: (1)sin
?2 sin? cos? ? ? cos2 ? ? sin2 ?

11.证明:左边= =-

3 7π π π =sin(2π+ )=sin = . 2 3 3 3

(2)cos

(sin? ? cos? ) 2 sin? ? cos? ? , (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) sin? ? cos?

2 17 π π π =cos(4π+ )=cos = . 2 4 4 4
3 23π π π )=cos(-4π+ )=cos = . 2 6 6 6 2 . 2

右边=

? tan? ? ? tan? ? ? sin? ? cos? , ? ? ? tan? ? ? tan? ? ? sin? ? cos?

(3)tan(-

左边=右边,∴原等式成立. 12.证明:∵cos(α+β)=1,∴α+β=2kπ. ∴cos(2α+β)=cos(α+α+β)=cos(α+2kπ)=cosα= . 13.解: = = =
1 ? 2 sin 290? cos 430? sin 250? ? cos 790?

(4)sin(-765° )=sin[360° × (-2)-45° ]=sin(-45° )=-sin45° =-

1 3

注:利用公式(1) 、公式(2)可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第 二象限的角的三角函数,从而求值. 14.解: (1)sin =(-sin )· cos
π 3
4π 5π 25π π π π · cos · tan =sin(π+ )· cos(4π+ )· tan(π+ ) 3 4 6 3 6 4
3 3 3 π π · tan =(- )· · 1=- . 2 2 4 6 4 3 2π 2π π ]=sin(π- )=sin = . 2 3 3 3

1 ? 2 sin(?70? ? 360?) cos(70? ? 360?) sin( 180? ? 70?) ? cos(70? ? 2 ? 360?)
1 ? 2 sin 70? cos 70? cos 70? ? sin 70?

(2)sin[ (2n+1)π- 15.解:f(θ)= = = = = =

(sin 70? ? cos 70?) 2 cos 70? ? sin 70? sin 70? ? cos 70? = =-1. cos 70? ? sin 70?
tan(?? ) sin(?? ) cos(?? ) (? tan? )(? sin? ) cos? ? 14.证明:左边= =tanθ=右边, (? cos? )(? sin? ) cos? sin?

2 cos3 ? ? sin2 ? ? cos? ? 3 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

2 cos3 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos? ? 3 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 cos3 ? ? 2 ? (cos2 ? ? cos? ) 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2(cos3 ? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2 ? 2 cos 2 ? ? cos? 2(cos? ? 1)(cos2 ? ? cos? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

∴原等式成立. 15.
3π π π 证明: (1)sin( -α)=sin[π+( -α) ]=-sin( -α)=-cosα. 2 2 2 3π π π (2)cos( +α)=cos[π+( +α) ]=-cos( +α)=sinα. 2 2 2
作业 7

(cos? ? 1)(2 cos2 ? ? cos? ? 2) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=cosθ-1, ∴f(
1 1 π π )=cos -1= -1=- . 2 2 3 3
作业 7

1.C

2 . A 3. C

1.3 三角函数的诱导公式(2)参考答案 4. C 5. A
32

1.4 三角函数的图像与性质(1)参考答案 1.B 2. B 3.D 4. C 5. C 6.B 7. D 8.B 9.A 10. C 11.分析:同名函数比较大小时,应化为同一单调区间上两个角的函数值后,应用

函数的单调性解决;而对于不同名函数,则应先化为同名函数再按上面方法求解. 解: (1)tan9=tan(-2π+9) , 因为 <2<-2π+9<π, 而 y=tanx 在(
π ,π)内是增函数, 2 π 2

kπ 5 π kπ π ≤x≤ ? (k∈Z) . ? 3 18 3 18 kπ 5 π kπ π 在区间[ ? , ? ] (k∈Z)上是单调减函数. 3 18 3 18



15.解:欲求函数定义域,则由
2 ? ?? 2 cos x ? 3 cos x ? 1 ? 0, ? 2 ? ?36 ? x ? 0,

所以 tan2<tan(-2π+9) , 即 tan2<tan9.
3π π (2)cot4=tan( -4)=tan( -4) , 2 2 3π π 0< -4<1< , 2 2 π 而 y=tanx 在(0, )内是增函数, 2 3π 所以 tan( -4)<tan1, 2

即?

?(2 cos x ? 1)(cos x ? 1) ? 0, ?? 6 ? x ? 6,

也即 ? ?2

?1

? cos x ? 1,

? ?? 6 ? x ? 6, π ? π ?? ? 2kπ ? x ? ? 2kπ (k ? Z), 解得 ? 3 3 ? ?? 6 ? x ? 6.

即 cot4<tan1. 点评:比较两个三角函数值的大小,应先将函数名称统一,再利用诱导公式将角转 化到同一个单调区间内,通过函数的单调性处理. 12.证明:∵tanα<cotβ,
3π -β) . 2 π π 3π 又∵ <α<π, < -β<π, 2 2 2 3π ∴α 与 -β 落在同一单调区间. 2 3π 3π ∴α< -β,即 α+β< . 2 2

取 k=-1、0、1,可分别得到
5π 5π π π )或 x∈[- , ]或 x∈[ ,6) , 3 3 3 3 5π 5π π π 即所求的定义域为(-6,- )∪[- , ]∪[ ,6) 3 3 3 3

x∈(-6,-

∴tanα<tan(

作业 8

1.4

三角函数的图像与性质(2)参考答案 7. 5

1.C 2.D 3.C 5. <

4.B 1 3π 1 π 6.( kπ+ , kπ+ ) (k∈Z) 2 8 2 8

13.解:设 t=tanx,由正切函数的值域可得 t∈R, 则 y=t2+t+1=(t+ )2+ ≥ .
3 ∴原函数的值域是[ ,+∞) . 4

1 2

3 4

3 4

π π 8. y=tan(x+ ) 9. 奇函数 10. 4 4 11.分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图象. 解:当 sinx≠0,即 x≠kπ(k∈Z)时,有 y=cotxsinx=cosx,即 y=cosx(x≠kπ,k∈Z). 其图象如下图.
y 1 ? 2 ? O 1 ? ? 2 x

点评:由于正切函数的值域为 R,所以才能在 R 上求二次函数的值域.
kπ π , ? (k∈Z) 3 18 kπ π π ∴所求的函数定义域为{x|x≠ ? (k∈Z)},值域为 R,周期为 , 3 18 3

14.解:由 3x+ ≠kπ+ ,得 x≠

π 3

π 2

π ? ?tan x,x ? [kπ ,kπ ? 2 ), ? 12.解:由于 y=|tanx|= ? (k∈Z) , ?? tanπ ,x ? (kπ ? π ,kπ ) ? 2 ?

它既不是奇函数,也不是偶函数. kπ-
π π π ≤3x+ ≤kπ+ (k∈Z) , 2 3 2
33

所以其图象如图所示,单调增区间为[kπ,kπ+ kπ) (k∈Z).

π π ] (k∈Z) ;单调减区间为(kπ- , 2 2

y

? -3 2

-?

-? 2

O ? 2

? ? 3 2 x

4π 8π π )在(4kπ- ,4kπ+ ) (k∈Z)内单调递增, 3 3 6 x 4π 8π π ∴y=-3tan( - )在(4kπ- ,4kπ+ ) (k∈Z)内单调递减. 4 3 3 6 4π 8π 故原函数的周期为 4π,递减区间为(4kπ- ,4kπ+ ) (k∈Z). 3 3

∵3tan( -

x 4

13.解:根据自变量 x 满足的条件列出不等式组,解之即可. 由题意得
π π π π ? ? ? ?kπ ? 4 ? x ? kπ ? 2 ?kπ ? 4 ? x ? kπ ? 2 , ?tan x ? 1 ? ? ? π π ? ? π ? ? ? x ? kπ ? , ?tan(x ? ) ? 0 ? ? x ? ? kπ 6 6 6 ? ? ? π π π ? π ? ? x ? ? kπ ? ? ? x ? kx ? 3 ? x ? kπ ? 3 , 6 2 ? ? ? π π π π 所以定义域为[kπ+ ,kπ+ )∪(kπ+ ,kπ+ ) (k∈Z). 4 3 3 2 1 3 14.解: (1)y=2(cosx+ )2- . 2 2

将其看作关于 cosx 的二次函数,注意到-1≤cosx≤1, ∴当 cosx=- 时,ymin=- ; 当 cosx=1 时,ymax=3. ∴y∈[- ,3]. 本题结合了二次函数求最值这一知识,但应注意 cosx 的取值范围. (2)由原式得 cosx=
y ?1 . 2( y ? 1) y ?1 ≤1. 2( y ? 1)

1 2

3 2

3 2

∵-1≤cosx≤1,∴-1≤ ∴y≥3 或 y≤ .
1 3

∴值域为{y|y≥3 或 y≤ }. 15.解:y=3tan( ∴T=
π ?

1 3

x x π π - )=-3tan( - ) , 4 4 6 6

π =4π. ? 1 4 x π π π 由 kπ- < - <kπ+ (k∈Z)得 4 2 6 2 4π 8π 4kπ- <x<4kπ+ (k∈Z). 3 3
34

1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)的图像(1)参考答案 1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 1 1 2π 1 1 3 π π 6.(-∞,+ ∞),(- , ), , , , ,- ; 7.a=-1; 8.y=sin2(x+ ); 5 5 3 5 5 2π 3 6 π 9.右, ;10.(1)(3) 2 π π 11.y=sin(2x+ )=sin[2(x+ )] 3 6 π 先向左平移 个单位,横坐标再缩小到原来的一半而得到. 6 12.(1)要使 f(x)有意义,需满足 π cos(2x- )>0 3 π π π ∴ 2kπ- <2x- <2kπ+ 2 3 2 π 5π ∴ kπ- <x<2kπ+ 12 12 π 5π ∴ f(x)的定义域为{x|kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z} 12 12 2π 7π (2)当 a>1 时,f(x)的单调增区间是(kπ+ , kπ+ ) 3 6 2π 单调减区间是(kπ, kπ+ ) (k∈Z) 3 2π 当 0<a<1 时,f(x)的单调增区间是(kπ,kπ+ ) (k∈Z) 3 2π 7π 单调减区间是(kπ+ , kπ+ ) (k∈Z) 3 6 π π (3) f(-x)=logacos[-2x- ]=loga(2x+ ) 3 3 ∵ f(-x)≠f(x) 且 f(-x)≠-f(x) ∴f(x) 不具有奇偶性。 (4)f(x)是周期函数,最小正周期是 π.
作业 9

13.解:已知信号最大、最小的波动幅度为 6 和-6,∴A=6;又根据图象上相邻两点

5π 5π π π 和 ,间距相当于 y=Asin(ωx+ ? )的图象的半个周期,∴T=2( - ) 6 6 3 3 2π 2π π =π.∵T= ,令 T= =π,解得 ω=2;观察图象,点( ,0)是五个关键点中的第三 ? ? 3 π π π 个点,∴ × 2+ ? =π,解得 ? = .综上所述,y=6sin(2x+ ). 3 3 3

的坐标为

解得[- 1.A

3π π +4kπ, +4kπ] ,k∈Z 为此函数的单调递增区间. 2 2
作业 10

2.B

1.5 3.D
)

函数 y=Asin(ωx+ψ) 的图像(2)参考答案 4.B 5.C 6.D 7.B 8.B 11.4π 12.①③④⑤

9. y ? 2 sin( 2 x ? 13.① A ?

?
6

10.a<c<b

14.解: (1)
y 3 2 1 O

? 1 2 2 3 4

? 3 2

? 7 2

x

(2)方法一:“先平移,后伸缩”. 先把 y=sinx 的图象上所有的点向右平移 把 y=sin(x-
π π 个单位,得到 y=sin(x- )的图象;再 4 4

π )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin 4 1 1 π π ( x- )的图象;最后将 y=sin( x- )的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 2 2 4 4 1 π 倍(横坐标不变) ,就得到 y=3sin( x- )的图象. 2 4

方法二:“先伸缩,后平移”. 先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin
1 2 π - )= 2

( x)的图象;再把 y=sin( x)图象上所有的点向右平移 sin( ? )的图象;最后将 y=sin( x-
x π 2 4

1 2

1 π 个单位,得到 y=sin (x 2 2

1 π )的图象上所有点的纵坐标 2 4 1 π 伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) ,就得到 y=3sin( x- )的图象. 2 4 2π 2π π ? (3)周期 T= =4π,振幅 A=3,初相是- . 1 ? 4 2 1 π (4)由于 y=3sin( x- )是周期函数,通过观察图象可知,所有与 x 轴垂直并 2 4 1 π π 且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴,即令 x- = +kπ,解得直线方程为 2 4 2 3π x= +2kπ,k∈Z; 2 π 所有图象与 x 轴的交点都是函数的对称中心, 所以对称中心为点 ( +2kπ, 0) , k∈Z; 2 1 1 π π π π x 前的系数为正数,所以把 x- 视为一个整体,令- +2kπ≤ x- ≤ +2kπ, 2 2 4 2 4 2
35

1 3 T ? ? ? 5? 6 3 ( y max ? y min ) ? , ? ? ? (? ) ? , ? ? .易知 b ? , 2 2 2 ? 2 3 6 5 2 3 6 3 ? 11 ? ? y ? sin( x ? ? ) ? , 将点( ,0)代入得? ? 2k? ? (k ? Z )又 | ? |? ? , 则k ? 1, 2 5 2 2 10 ② 9? 3 9? 3 ?? . ? y ? sin(x ? )? . 10 2 10 2 ? 6 9? ? 5k? 7? 5k? ? ? 6 令2k? ? ? x ? ? 2k? ? ? ? ?x? ? .令2k? ? ? x ? 2 5 10 2 3 6 3 3 2 5 9? 3? 5k? ? 5k? ? 5k? 7? 5k? ? ? 2k? ? ? ? ?x? ? .(k ? Z ) ? [ ? , ? ]( k ? Z ) 是 单 10 2 3 3 3 2 3 6 3 2 5k? ? 5k? ? 调递增区间, [ ? , ? ]( k ? Z )是单调递减区间 . 3 3 3 2 ? y ? ? a cos 2 x ? 3a sin 2 x ? 2a ? b ? ?2a sin(2 x ? ) ? 2a ? b 6 14. ? ? ? 7? 1 ? ? x ? [0, ],? ? 2 x ? ? ,? ? ? sin(2 x ? ) ? 1,? a ? 0 2 6 6 6 2 6 ?3a ? b ? 1 ? ? 有b ? ?2a sin(2 x ? ? 2a ? b ? 3a ? b,?函数的值域为 [?5,1],? ? ? a ? 2, b ? ?5 15. 6 ?b ? ?5 T 2? ? 16. ① 设f1 ( x) ? A sin(?x ? ? ).显然 A ? 2又6 ? (?2) ? (T为周期 ). ? T ? 2 ?

?? ?

?

, 所以f1 ( x) ? 2 sin( x ? ? )因为(?2,0)在图象上, 代入得? ? ? f1 ( x) ? 8 8 4

?

?

2 sin( x ? . 8 4

? ?

?

在y ? f 2 ( x)上任取一点 ( x, y ),则(16 ? x, y )在y ? f1 ( x)上, 于是y ?



2 sin[ (16 ? x) ? ] ? ? 2 sin( x ? ),即f 2 ( x) ? ? 2 sin( x ? ). 8 4 8 4 8 4 ?x y ? f 1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2 cos . ]
8

?

?

?

?

?

1.6 三角函数模型简单应用(1)参考答案 1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 4 ? 6.1 7.3 8. 0? ? ? ? 30? 9. ? 10. ? ? k? ? , k ? Z 2 3
作业 11

11. (1) I ? 300 sin(100?t ?

?
3

) (2) ? ? 629

12. f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin 2 x ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2(1 ? cos2 x)
a a2 ( a ? R) ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? 1 ? 2a ? 2(cos x ? ) 2 ? 1 ? 2a ? 2 2

2 ? 不是单调的函数.综上所述 ? ? 或2, ? ? 3 2 作业 12 1.6 三角函数模型简单应用(2)参考答案 1. 略 ? 7? 11? 7? 7? 2 . (1) ? ? ? (2) ? ? 或 ?? (3) ? ? ? 2k? , k ? Z (4) ? ? ? 2k? , k ? Z 或
6
6 6
6 6

(1)函数 f ( x) 的最小值为 g (a)
a a a2 1. 当 ? ?1时 即a ? ?2时 ,由cos x ? ?1得 g (a) ? 2(?1 ? )2 ? 1 ? 2a ? ?1 2 2 2
? ??

?
6

? 2 k? , k ? Z 。

a2 g (a) ? ?1 ? 2a ? 2 a a a2 3. 当 ? 1时 即a ? 2时 , 由cos x ? 1 , 得g (a) ? 2(1 ? ) 2 ? 1 ? 2a ? = 1 ? 4a 2 2 2 (a ? ?2) ?1 ? a2 ? (?2 ? a ? 2) 综上所述得 g (a ) ? ?-1 ? 2a ? 2 ? ? ?1 ? 4a ( a ? 2)
a a 2. 当 ? 1 ? ? 1时 即 ? 2 ? a ? 2时 , 由 cos x ? 得 2 2

(1) 2 ?sin ? ? cos ? ? k 3.由已知得: ? (1) ? 2 ? (2) 得 1 ? 2(k ? 1) ? k 2 ?sin ? cos ? ? k ? 1 (2) 2 ∴k -2k-3=0 即 k=3 或 k=-1. 又 sin ? ? 1, cos ? ? 1 则 sin ? ? cos ? ? k ? 2 ,因此 k=3 舍去。 3? ∴k=-1, 则 sin ? ? cos ? ? ?1 , sin ? cos ? ? 0 , ∴ ? ? 或? ? ?
2

(2)? g (a ) ?

1 a2 1 ? ?2 ? a ? 2 有 -1-2a ? ? 得 a 2 ? 4a ? 3 ? 0 2 2 2 ? a ? ?1或a ? ?3 (舍) 1 1 a a2 得f ( x) ? 2(cos x ? ) 2 ? 将a ? ?1代入f ( x) ? 2(cos x ? )2 ? 1 ? 2a ? 2 2 2 2 当cos x ? 1 即 x ? 2k? (k ? Z )时 得 f ( x)max ? 5

13.(1)由 f ( x ? 2) ? f(x+8)=f(x+4+4)= ? (2)由 f(x+4) = ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

,故 f(x+4)=

1 ? f ( x ? 2) 1 =? f ( x) 1 ? f ( x ? 2)

1 =f(x),即 8 为函数 f ( x) 的周期 f ( x ? 4)

1 3 1 3 ,得 f(5) = ? ∴f(2005)=f(5+250× 8)=f(5)= ? f ( x) 3 f (1) 3 ? 14. 由 f(x)为偶函数,知|f(0)|=1,结合 0 ? ? ? ? ,可求出 ? ? . 2 3?? ? 3? ? ? 3? ? ?0 又由图象关于 M ? ,0 ? 对称,知 f ? ? ? 0 ,即 cos 4 ? 4 ? ? 4 ? 3?? ? 2 ? ? k? ?k ? 0,1,2,??,? ? ? ?2k ? 1??k ? 0,1,2? . 又? ? 0 及 4 2 3 2 ? ?? ? ?? 当 k=0,1 即 ? ? ,2 时,易验证 f(x)在 ?0, ? 上单减;k≥2 时,f(x)在 ?0, ? 上 3 ? 2? ? 2?
36

4.由已知 A+C=?,A+B+C+D=2? ? 得 A=?-C,则 sinA=sin(?-C) =sinC, 又 A+B=2?-(C+D) , 故 cos(A+B)=cos[2?-(C+D)]=cos(C+D). tan(A+B+C)=tan(2?-D)=-tanD. 5.设出厂价波动函数为 y1=6+Asin(ω1x+φ1) ? 3? ? ? ? ? 易知 A=2 T1=8 ω1= +φ1= ? φ1=∴y1=6+2sin( x- ) 4 4 2 4 4 4 设销售价波动函数为 y2=8+Bsin(ω2x+φ2) ? 5? ? 3? 易知 B=2 T2=8 ω2= +φ2= ? φ2=4 4 4 2 ? 3? ∴y2=8+2sin( x) 4 4 ? 3? ? ? 每件盈利 y=y2-y1=[8+2sin( x)]-[6+2sin( x- )] 4 4 4 4 ? =2-2 2 sin x 4 ? ? ? 当 sin x=-1 ? x=2kπ- ? x=8k-2 时 y 取最大值 4 4 2 当 k=1 即 x=6 时 y 最大 ∴估计 6 月份盈利最大 6.略 7.弯脖的直径为 12 cm,则周长为 12? cm ,周长正是函数 y ? a cos 的一个周期,即
a
T ? 2? a ? 12? ,得 a ? 6cm .

x

8.解:f (x)=|sin2x|

f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x) ∴f (x)为偶函数
? 4 ? T= 2 ? ? ]上单调递减 4 2

1

(2)g(x)=2sin(

? ? x- ) 4 4

在[0, ]上 f (x)单调递增;在[ , SP= 2 sinθ,OS= 2 cosθ 矩形的宽 SP= 2 sinθ ? 因∠ROQ= 4 所以 OR=RQ=SP= 2 sinθ

9.解: (1)在直角三角形 OPS 中

矩形的长 RS=OS-OR= 2 cosθ- 2 sinθ 所以面积:y=( 2 cosθ- 2 sinθ) 2 sinθ 10. 1000 3 11.1) y ? 3 sin 2)由 3 sin
? t ? 10 6

(0﹤θ<

? ) 4

? ? 1 ? ? 5? t ? 10 ? 11 .5 ,即 sin t ? ,解得 ? 2k? ? t ? ? 2k?, k ? z 6 6 2 6 6 6 12k ? 1 ? t ? 12k ? 5(k ? z) ,在同一天内,取 k=0,1 得 1 ? t ? 5,13 ? t ? 17

∴该船希望在一天内安全进出港,可 1 时进港,17 时离港,它至多能在港内停留 16 小时。
-? B c D b A
??

o

?

x

12.解:
a C

2.1 平面向量的实际背景及基本概念(1)参考答案 1、D;2、C;3、D;4、C;5、B;6、C;7、C 8、不一定 9、不一定 10、零向量 11、零向量 12、平行向量 13、长度相等且方向相同 1 14、解:∵E、F 分别是 AC、AB 的中点 ∴EF∥BC 且 EF= BC 2 又因为 D 是 BC 的中点 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ∴①与 EF 共线的向量有: FE, BD, DB, DC, CD , BC, CB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ②与 EF 的模大小相等的向量有 FE, BD, DB, DC, CD ??? ? ??? ? ??? ? ③与 EF 相等的向量有: DB, CD . ???? ??? ? ??? ? ??? ? 15、解: (1) AO ? BF , BO ? AE ; ???? ??? ? ??? ? ??? ? (2)与 AO 共线的向量为: BF , CO, DE ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3)与 AO 模相等的向量有: CO, DO, BO, BF , CF , AE, DE ???? ??? ? (4)向量 AO 与 CO 不相等.因为它们的方向不相同. 作业 14 2.1 平面向量的实际背景及基本概念(2)参考答案
作业 13

1?如图:设 AC 边上的高 h=asinC 2?当 C=90?时[sinC]max=1 13. (1)当 x ? [ ?
?
, 2

∴[S△ABC]max= ab

1 2

2 ? ? ] 时, f ( x) ? sin( x ? ) ,当 x ? [ ? ? , ? ] 时 f ( x) ? ? sin x 3 3 6 3

14.设需 x 秒上升 100cm .则 15 .

x 15 ? 4 ? 2? ? 50 ? 100 ,? x ? (秒) 60 ?

(1)f(x)=2sin(

? 4

x+

? 4

)
37

一、选择题 1、D;2、A;3、D;4、B;5、A;6、D 二、填空题 7、必要非充分? 8、 c∥b 9、不共线 10、一条直线两点? 11、 3

12、菱形 三、解答题 13、(略)? 14、(1)如图所示? (2)450 m

? ? ? 2、B 解:由向量的平行四边形法则可得: a ? b ? c 3、D 解:由向量的三家型法则可得 P 在 AC 边上 4、C 解:由运算法则可得化简结果为零向量的是 ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ???? ???? (1) AB ? BC ? CA (2) AB ? AC ? BD ?CD ???? ? ??? ? ????? ???? (4) NQ ? QP ? MN ? NP ???? ??? ? ???? ???? 5、B 解:由向量的运算法则可得 | AB ?CA |?| BC ? AB | 正确。 ???? ? ????? ???? ???? ? 6、D 解:有运算法则可得:化简后不是 AD 的是 ?BM ? DA ? MB ? ? ? ? 7、A 解:由向量的运算法则可得 | a ? b |?| a | ? | b | 。
8、D 解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得 6 3 9、C 解:由向量的运算法则可得 | a | ? | b |?| a ? b | 10 、解 :由 向 量的 三角 形 法则 和 平行 四边形 法 则可 得 在平 行四边 形 ABCD 中 , 若 ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? AB ? a, AD ? b , 且 | a ? b |?| a ? b | ,四边形的形状是矩形。 ? ? 11 、 解 : 由 向 量 的 三 角 形 法 则 和 平 行 四 边 形 法 则 可 得 已 知 a ,b 是 非 零 向 量 , 则 ? ? ? ? | a ? b |?| a | ? | b | 是应满足的条件是反向 12、 解: 由向量的三角形法则和平行四边形法则可得在 ?ABC 中, D,E, F 分别为 BC,CA,AB ???? ? ???? ? ???? ? ???? 的中点,点 M 是 ?ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC 等于 4 MF ??? ? ???? ??? ? 13、解:由向量的运算法则可得:若 AB ? 8 , AC ? 5 则 BC 的取值范围[3,13] 14、解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 ???? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? AB ? a , AD ? b , AC ? c 则 | a ? b ? c | =2 15、解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得正确的编号是:③④. ? ? 16 、 解 : 由 向 量 的 三 角 形 法 则 和 平 行 四 边 形 法 则 可 得 已 知 向 量 a ,b 满 足 : ? ? ? ? ? ? | a |? 3,| a ? b |? 5,| a ? b |? 5,| b | =4 作业 17 2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义答案 B B A B A BA 2 1 9. - 10.4 11. ? 7 4 ? ? 12.(1)13 a -7 b ? ? ? ? ? ? ? (2) x =3 a +2 b , y = a 4+3 b 13.略 ???? ? 1 ? ? ? 14. OM ? (a ? b ? c ) 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 15.(1)由点在直线 AB 上,得 AP ? ? AB ? ? OB ? OA , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 故 OP ? OA ? AP ? (1? ? )OA ? ?OB , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又 OP ? xOA ? yOB ,且在 ?OAB 中, OA, OB 不共线, 所以 x ? 1 ? ? , y ? ? 故 x ? y ? 1

15、{ AC 、 CA 、 BD 、 DB 、 AB 、 AD 、 BA 、 DA }? 作业 15 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义答案 1、B 解:由向量的三角形法则可知:① AB ? BC ? AC ; ④ | AB | ? | BC |?| AC | .正确。 2 、 B 解 : 由 向 量 的 三 角 形 法 则 得 计 算 结 果 是 0 的 式 子 有 ① AB ? BC ? CA ; ④

AB ? CA ? BD ? DC 。
3、C 解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得: AG ? DH 4、A 解:由向量的三角形法则和平行四边形法则可得 ① | AB ? AC |?| BC | ; ② | AB ? BC |?| CA | ; ③ | AB ? CA |?| BC | ; ④ | AB |2 ? | AC |2 ?| BC |2 都正确 5、C 解:由向量的平行四边形法则可得 ② | AB |?| BC |; ③ | AB ? DC |?| AD ? BC | ; ④ | AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB |2 正确 6、C 解:由向量的加法法则可得: AC ? BC = O 7、解:由向量的平行四边形法则可得 | AC ? BD |? 4 ? ? 8、解:由向量的加法法则可得: a ? b ? c ? d ? d 9、解:由向量的加法法则可知可以化简为 AD 的题目的序号是①②③ 10、解:由向量的平行四边形法则可得

| AB ? BC ? AD ? DC | 2 2
11、解:当非零向量 a 和 b 满足条件相等时,使得 a ? b 平分 a 和 b 间的夹角。 12.、解:由向量的三角形法则可得飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为东偏南 150 ,B,C 两 地的距离 300 2km. 13.解:由向量的三角形法则可得:船的航行速度的大小为 8 3 km 每小时,方向为与流 速方向成 120 度。 作业 16 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义答案 1、D 解:由减法法则可得: (1)(2)(3)(4)都正确。
38

?

?

???? ? x ??? ? y ??? ? x y (2) 由题意设 x ? y ? t , t ? (0,1) , 则 ? ?1, 设 P / 为平面内一点, 且 OP / ? OA ? OB , t t t t ???? ? ???? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? y y y y ?x ? 则 AP/ ? OP/ ? OA ? ? ? 1? OA ? OB ? ? OA ? OB ? AB ,所以点 P / 在直线 AB 上, t t t t ?t ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? y 又 ? (0,1) ,所以点 P / 在线段 AB 上,又 OP ? xOA ? yOB ? tOP / ,t ? (0,1) ,即点 P / 在线 t 段 OP / 上,所以点 P 必在 ?OAB 内。

若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,所以 t=- 、 若 P 在第二象限,只需 ? ∴- <t<- 、 (2)因为 OA =(1,2) , PB =(3-3t,3-3t) ,若 OABP 为平行四边形,则 OA = PB 、 由于 ?
?3 ? 3t ? 1 ,无解,故四边形 OABP 不能构成平行四边形、 ?3 ? 3t ? 2 ?1 ? 3t ? 0, ?2 ? 3t ? 0,

1 3

2 3

1 3

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(1)参考答案 1、D;2、A;3、D;4、D;5、A;6、D;7、D;8、C ??? ? 11 9、B(5,14) 10、 DA = (1, ? ) 2 ??? ? 11、解:设点 A(x,y) ,则x=| OA | cos 60? = 4 3 cos 60? = 2 3 , ??? ? y=| OA | sin 60? = 4 3 sin 60? =6, ??? ? 即 A( 2 3 ,6) ,所以 OA =( 2 3 ,6) 、 ??? ? ??? ? 12、 解: 设C (x1, y1) , D (x2, y2) , 由题意可得 AC = (x1+1, y1-2) ,AB ? (3,6) , ??? ? ??? ? DA =(-1-x2,2-y2) , BA =(-3,-6) ???? 1 ??? ? ??? ? ? 1 ??? 1 ∵ AC ? AB , DA ? ? BA ,∴(x1+1,y1-2)= (3,6)=(1,2) 3 3 3 1 (-1-x2,2-y2)=- (-3,-6)=(1,2) ,则有 3 ? x1 ? 1 ? 1 ? x1 ? 0 ? x2 ? ?2 ??1 ? x2 ? 1 和? ,解得 ? 和? 、 ? ? y1 ? 2 ? 2 ? 2 ? y2 ? 2 ? y1 ? 4 ? y2 ? 0 ??? ? ∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0) 、因此 CD =(-2,-4) 、 13、解:设其余三个顶点的坐标为 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,D(x3,y3) 、
作业 18

? ? 15、 (1)证明:设向量 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) , 则 f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2) 、 ? ? 又 mf( a )=(my1,2my1-mx1) ,nf( b )=(ny2,2ny2-nx2) , ? ? 所以 mf( a )+nf( b )=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2) 、 ? ? ? ? 所以 f(m a +n b )=mf( a )+nf( b ) 、 ? ? (2)f( a )=(1,1) ,f( b )=(0,-1) 、 ? ? x ? 1, ? y ? 3, (3)由 ? 得? 所以 c =(1,3) 、
?2 y ? x ? 5, ? y ? 3.

因为 M 是 AB 的中点,所以 3= 解得 x1=8,y1=-1、

?2 ? x1 1 ? y1 ,0= , 2 2
3 ? (?1) 0 ? (?2) =1,y0= =-1,而 O? 既是 AC 的中 2 2

平面向量的基本定理及坐标表示(2)参考答案 1、B;2、B;3、C;4、B;5、D;6、B;7、D;8、C 5? 9、(0,0) 10、 m ? 11、4 6 ? ?3 ? x ? ?1 ? ? x ?1 ? 2 12、解:设 A/ (x,y) ,则有 ? ,解得 ? 、所以 A/ (1,-1) 。 5 ? y y ? ? 1 ? ? ?2 ? ? 2 13、解: (1)
? OP ? OQ ? 2 cos x, | OP || OQ |? 1 ? cos2 x, cos? ? OP ? OQ | OP | ? | OQ | ? 2 cos x ? f ( x) 1 ? cos2 x

作业 19 2.3

设 MN 的中点 O? (x0,y0) ,则 x0= 点,又是 BD 的中点, 所以 x0=

(2) cos ? ? f ( x) ?

x A ? x2 y ?y ?2 ? x2 1 ? y2 ,y0= A 2 ,即 1= ,-1= 、 2 2 2 2

2 cos x ? 1 ? cos 2 x

2 1 cos x ? cos x

且 x ? [?

? ?

2 , ] ,? cos x ? [ ,1] 4 4 2

解得 x2=4,y2=-3、同理解得 x3=-6,y3=-1、 所以 B(8,-1) ,C(4,-3) ,D(-6,-1) 、 14、解: (1) OP = OA +t AB =(1+3t,2+3t) 、 若 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,所以 t=- 、
39

2 ? cos x ?

1 3 2 ? cos x 2

2 2 2 2 2 2 ; ? f ( x) ? 1, 即 ? c o? s ? 1 ? max ? arccos 3 3 3

? min ? 0
14、解:⑴f(x)= OA· OB = -2sinxcosx+cos2x= 2 cos( 2 x ?

2 3

?
4

)、

? ? ? 5? , ∴ ≤2x+ ≤ 、 2 4 4 4 ? ? ∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)max=1; 4 4 ? 3 当 2x+ =π,即 x= π 时,f(x)min= - 2 、 8 4 ? ? ? ⑵ OA ? OB 即 f(x)=0,2x+ = ,∴x= 、 4 2 8
∵0≤x≤ 此时| AB | ? (2 sin x ? cos x) 2 ? (cos 2 x ? 1) 2 = 4 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 sin x cos x ? (cos 2 x ? 1) 2 = = =

? ? ? ? 1 1 1、A,析: a ? b = a b cos? ? 2 ? ? cos600 ? 2 2

a ? b ? 54 2 2 ? ?? 2、B, cos ? = ,?? ? 1350 . ab 12 ? 9 2 ? ? 3、A,由 a ? b <0,得 cos A ? 0,? A ? 900 ,为钝角三角形.
? ? ? ? ? 4、C, a ? b = a b cos? , ? b ? ? ?

? ?

a? b

?

?

a cos?

? 12 2 ?6 4 ? cos1350

7 7 ? cos2 x ? 2 sin 2 x ? cos2 2 x 2 2 7 7 ? ? ? ? cos ? 2 sin ? cos2 2 2 4 4 4

5、D,析 a ? b ? b ? c ? c ? a ? 2 ? 2 cos1200 ? 2 ? 2 ? cos1200 ? 2 ? 2 ? cos1200 ? ?3 ? ? ? ? 3 ? 3 9 6、B, ? ? a cos? , a ? b = a b cos? ? ? 3 ? 2 2 2 7、B, a.b 都是单位向量,即 a ? 1, b ? 1 8、C , BC ? CA ? 5 ? 4 ? cos1350 ? ?10 2 ??? ? ???? 9、B,因为 AB ? DC ,即 AB//CD,且 AB=CD,所以,ABCD 为平行四边形,又因为 AB ? BC , 所以 ABCD 为矩形. ? ? ? ? ? ? ? ? 10、C,解析:A. 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 或 a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.显然不对; C 中 a ? b 则 a ?b ? 0 , 所以成立.D 中 a, b 共线, 若 a, b 成 0 度角, 则 a ?b ? a b , ? ? 若 a, b 成 180 度角, ? ?? ? ? ? ?? b? ? b? aa bb . 则 a ?a 11、24, p? q ? p ? q cos? ? 8 ? 6 cos600 ? 24 12、③,析:①中左边为向量,右边为数量,不相等;②左边为 c 乘以数量,右边为 a 乘 以数量,不相等;
? ?

?

?

1 16 ? 3 2 、 2 15、解:( 1 ) 设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ,

则 AP ? ( x , y ? 1) , BP ? ( x , y ? 1) , PC ? (1 ? x , y ) 、 ∵ AP? BP ? k | PC | 2 ,∴ x 2 ? y 2 ? 1 ? k ( x ? 1) 2 ? y 2 , 即 (1 ? k ) x 2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ? 1 ? 0 。 若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点 (1, 0 ) 且平行于 y 轴的直线、 k 2 1 2 k ) ? y2 ? ( ) ,表示以 ( , 0 ) 为圆心,以为半径 若 k ? 1 ,则方程为 ( x ? 1? k 1? k 1? k
1 的圆、 |1? k |
? ?? ? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

?

?

? ?

?

?

( 2 ) 当 k ? 2 时, 方程化为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 、 AP ? BP ? ( x , y ? 1) ? ( x , y ? 1) ? ( 2 x , 2 y ) ∴ | AP ? BP |? 2 x 2 ? y 2 、 又∵ ( x ? 2) ? y ? 1 ,∴ 令 x ? 2 ? cos? , y ? sin ? ,则
2 2
? ?? ? ??

③中 a ? b ? a ? b cos ? a , b ?, b ? a ? b ? a cos ? b , a ?, 所以相等. ④中应为 0 ? a ? 0 . 13. 2 3 ,析: a cos300 ? 4 ?
? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

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? ??

?

3 ? 2 3. 2
? ?

| AP ? BP |? 2 x ? y ? 2 5 ? 4 cos?
2 2

? ??

? ??

14. 4,析: a ? b ? a ? b cos ? a , b ?? 12,
? ? ? ? ? 4 , 所以 b在a 方向上的投影为 b cos ? a , b ?? 4. 5 ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 17.已知平行四边形 ABCD , AB ? a, BC ? b,且 a ? b , 15. 解: BD ? BA? AC ?? a ? b, AC ? AB? AD ? a ? b ,因为 所以平行四边形为棱 ? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 试用a, b 表示BD , AC ,并计算BD ? AC ,并判定BD 与AC

?

?

∴当 cos ? ? 1时, | AP ? BP | 的最大值为 6 ,当 cos ? ? ?1 时,最小值为 2 。
作业 20

? ??

? ??

cos ? a , b ??

? ?

2.4.1 数量积的物理背景及其含义(1)答案
40

的位置关系.

形,所以 BD ? AC ? 0 , BD与AC 是垂直的位置关系 . 16. 解:图略. a 在 e 方向上的投影= a cos? ,其值分别为 3 2 , 0 , ? 3 2 ,
作业 21
? ? ?2
? ?

?

2.4.1 数量积的物理背景及其含义(2)答案:
? ? ?2

?2 ?2 ? ? ? ? 14、 90 0 .析:( a ? 2b )( a ? b )=0,得 a ? 2 b ? 0, ?2 ?2 ? ? ? ? 所以( a ? 2b ) ( a ? b )= a ? 2 b ? 0, 所以垂直. ?2 ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 15、解:由 a ? b ? a ? b 得 b ? c ? a , 得 b ? 2 a? c ,

1、 D 解析: c ? d ? 2m a ? (6 ? m 2 ) a? b ? 3m b ? 0, 得 m 2 ? 5m ? 6 ? 0 ,? m ? 6 或-1 ? ? ? 7 ? 2、C.解析: a? b ? ? , a ? 7 , b ? 7 , 2 所以 cos ? a , b ??
?
? ? ? ?

同理 a ? 2 a? c , ? a ? b ? 3 b , a? ( a ? b ) ?
?

? 2

? ?

?

? 2

?

?

?

?

3 ?2 a 2

a? b ab
?

? cos? ?

a? ( a ? b )
? ?

?

?

? ?

1 ? ? , 所以夹角为 120 度 2
?

a a? b

?

?

3 ,所以夹角为 60 0 . 2

3、D.由题意得 ( a ? b ) ? c ? 0 4、B.析:其中○ 2○ 4 正确.○ 3 中等号左边是与 c 同向的向量,右边是与 a 同向的向量,所 以不相等. ?2 ?2 ? ? ? ? 5、B 析: ( a ? b ).( a ? b )= a ? b ? 0 . ? ?? 6、A.析: a, b, c 两两夹角相等,即两两夹角为 1200
?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c = a ? b ? c ? 2 a? b ? 2 a? c ? 2 b? c ? 0
? ?

?? ?? ? ?? ?? ? 1 16、解:由( 2te1 ? 7e 2 ) ? ( e1 ? te2 ) ? 0 ,得 ? 7 ? t ? ? . 2 ?? ?? ? ?? ?? ? 14 又因为 2te1 ? 7e 2 与向量 e1 ? te2 共线反向时, t ? ? 2 14 14 1 得 (?7, ? ) ? (? ,? ) 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17.解: (1)证明: ( a ? b ) ? c ? a? c ? b? c ? 0 ,所以 a ? b ? c . ? ? ? (2)由 ka ? b ? c ? 1.,得 ?k ? R?

?

?

7、C.析:由向量的三角形法则,画图可得正确答案 8、B. 设 BC 边的中点为 M, ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,

?

??

?

即 CB? ( AB? AC) ? CB? 2 AM ? 0 ,即 BC 边的中线 AM ? BC ,所以为等腰三角形. 9、2; 450 .析:由题意 b ? c ? a , b ? c ? 2 a? c ? c ? 2 ;
? ?
? ? ?

?

?

?

?

?

1 1 1 k 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2k ? (? ) ? 2k ? (? ) ? 2 ? (? ) ? 1 得 k>2 或 k<0 2 2 2 作业 22 2.4.2 数量积的坐标运算答案 ? 2 2 1、B,析:应该是 | b | = x 2 ? y 2 ?????? 2、A.析: | MN | = (2a) 2 ? (1 ? a 2 ) 2 ? 1 ? a 2 .

?

?2

? ?

?2

b? c ? c ? a? c ? 2 ,所以代入夹角公式,可得夹角为 450 .
? ? ? ? ? ? ?

?2

? ?

10、1;析: AB ? OB? OA ? 2 e ? (m ? 2) e ,? OA? AB ? 0, 得 m=1 11、 3 12、-13.析: b ? c ? a ,由 b ? c ? a , 得 a? c ? ?12,
?2 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? b ? c ? c ? a ? ? b ? c ? a ? ?13.
? ? ?

?

?

?

? ?

x? y 3 10 13. .析:由 cos? ? ? ? 可得. 10 x y
41

? ?

3、C.析:利用 a ⊥ b ? x1 x2? y1 y? 2 0 代入验证可得正确答案 4、B 5、D ? ? ? ? 1 6、B.析: a b =1,| a |= 5 ,| b |= 13 , cos? ? , 5 13 ? ? ? 13 a 在 b 方向上的投影 ? a cos? ? 13 ? ? ? ? 7、C.析: a -x b =(3-2x,4-x), a - b =(1,3),? (3 ? 2 x) ? 3(4 ? x) ? 0 ,得 x=3 ? ? 1 8、A.析:由 a ? b ? 0, 得 ? ? ? ,由,两向量夹角为 1800 得 ? ? 2 ,所以选 A. 2 9.x1x2+y1y2 10.4 14 -3 2

?

?

3 2 ? ? ? 11 12. .析: BC ? (?1, k ? 3) ,由 AB? BC ? 0, 可得 3 ? 9 13 x ?? ? ? ? 2 x ? 3 y ? 0 ? ? 13 13(1)解:设 a ? ( x, y ), ? ? 2 得? 2 ?x ? y ? 9 ? y ? ? 6 13 ? 13 ? ? ? 6 13 6 13 x ? x ? ? ? ? ? ?? 2 y ? 3 x ? ? 13 13 (2) 设 a ? ( x, y ), ? ? 2 得? 或? 2 9 13 ? 9 13 ?x ? y ? 9 ? y ?? y ? ? ? 13 13 ? ? ? ? ?? x ? 3 y ? 5 ?x ? ?2 14.解:设 c ? ( x, y ), ? ? 得? ,? c ? (?2,?1), ?2 x ? 5 y ? 1 ? y ? ?1 ? ? ? 1 15.解:| a |=3, a? b ? 3 ? 2 ? (? ) ? ?3 2 ? ? ?2 ? ? ?2 13 c ? d ? 3m a ? (15 ? m) a? b ? 5 b ? 0 ,代入数值计算得 m= 6

11.

=-[ × (-

4 5

12 3 5 63 )- × ]= . 13 5 13 65 b a 8π π 、 的三角函 15 5

4.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出 ,用 数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.
π π π b π π b π a sin ? b cos sin ? cos sin ? cos 5 5 ? 5 a 5 ,则 5 a 5 ? tan 8 π . 解:由于 π π π b π π b π 15 a cos ? b sin cos ? sin cos ? sin 5 5 5 a 5 5 a 5 8π π 8π π 8π π sin cos ? cos sin sin( ? ) b 15 5 15 5 15 5 =tan π = 3 . 整理,有 ? ? a cos 8 π cos π ? sin 8 π sin π cos(8 π ? π ) 3 15 5 15 5 15 5

5.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运 用以及变角技巧.解题过程中,需要注意到( (
π π π π +α)+( -α)= ,并且( +α)- 2 4 4 4

作业 23

3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式(1)参考答案

1.B 3.解:∵

2. C
π 3π <α< , 4 4

π -α)=2α. 4 π π π 5 π 解:cos( +α)=cos[ -( -α) ]=sin( -α)= , 13 2 4 4 4 π 又由于0<α< , 4 π π π π π 则 0< -α< , < +α< . 2 4 4 4 4

π π ∴ < +α<π. 2 4 π 3 又 cos( +α)=- , 5 4 π 4 ∴sin( +α)= . 5 4 π ∵0<β< , 4
3π 3π < +β<π. 4 4 3π 5 又 sin( +β)= , 4 13 3π 12 ∴cos( +β)=- , 4 13

所以 cos(
π 4

π π 5 12 -α)= 1 ? sin2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 13 13 4
π 4 5 13 12 . 13

sin ( ? ? ) ? 1 ? cos2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ?



∴sin(α+β)=-sin[π+(α+β) ]=-sin[ ( =-[sin(

π 3π +α)+( +β) ] 4 4

π π cos[( ? a) ? ( ? ? )] cos 2? 4 4 因此 ? π π cos( ? ? ) cos( ? ? ) 4 4 π π π π cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 4 = π cos( ? ? ) 4 5 12 12 5 ? ? ? 24 = 13 13 13 13 ? . 5 13 13

π π 3π 3π +α)cos( +β)+cos( +α)sin( +β) ] 4 4 4 4
42

6.分析:当题中有异角、异名时,常需化角、化名,有时将单角转化为复角(和或 差) .本题是将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化. 欲求
tan ? tan ? sin? cos ? ? 的值,需化切为弦,即 ,可再求 sinαcosβ、cosαsinβ 的值. tan ? tan ? cos? sin ?

解:∵sin(α+β)= ,∴sinαcosβ+cosαsinβ= . ∵sin(α-β)= ,∴sinαcosβ-cosαsinβ= . 由(①+②)÷ (①-②)得
tan ? =-17. tan ?

2 3

2 3

① ②

3 4

3 4

7.分析:从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系去 判断角的大小及关系,这是常用的基本方法.可以先化去对数符号,将对数式转化为有 理式,然后再考察 A、B、C 的关系及大小,据此判明形状特征. 解:由于 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2, 可得 lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC, 即 lgsinA=lg2sinBcosC, sinA=2sinBcosC. 根据内角和定理,A+B+C=π, ∴A=π-(B+C) . ∴sin(B+C)=2sinBcosC, 即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 移项化为 sinCcosB-sinBcosC=0, 即 sin(B-C)=0. ∴在△ABC 中,C=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 8.分析:这道题要观察出 7° +8° =15° ,解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、 余弦公式.
sin 7? ? cos15? sin8? cos 7? ? sin15? sin8? sin( 15? ? 8?) ? cos15? sin 8? = cos(15? ? 8?) ? sin15? sin 8?

7π 2π 2π π cos -sin sin 18 9 9 9 7π 2π 7π 2π π =sin cos -sin( - )sin 18 9 18 9 2 7π 2π 7π 2π =sin cos -cos sin 18 9 18 9 7π 2π =sin( - ) 18 9 π =sin 6 1 = . 2

sin

11.解:设边锋为 C,C 到足球门 AB 所在的直线的距离为 CO=x,OB=b,OA=a(a >b>0,a、b 为定值) ,∠ACO=α,∠BCO=β,∠ACB=α-β=γ(0<γ< 则 tanα= ,tanβ= (x>0,
a x b x

π ) , 2

ab >0) . x a b ? tan? ? tan ? a ? b ab a ? b 所以 tanγ=tan(α-β)= ≤ . ? x x ? ? 1 ? tan? tan ? 1 ? ab x x 2 ab x2 ab π 当且仅当 x= ,即 x= ab 时,上述等式成立.又 0<γ< ,tanγ 为增函数,所以 x 2 a?b 当 x= ab 时,tanγ 达到最大,从而∠ACB 达到最大值 arctan . 2 ab

所以边锋 C 距球门 AB 所在的直线距离为 ab 时,射门可以命中球门的可能性最大.

解:

12.解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知 2α=(α-β)+(α+β) .
3π π π π <α<β< ,可得到 π<α+β< ,0<α-β< . 4 2 2 4 4 5 ∴cos(α+β)=- ,sin(α-β)= . 5 13

sin15? cos 8? ? cos15? sin8? ? cos15? sin8? cos15? cos 8? ? sin15? sin8? ? sin15? sin8? sin15? = =2- 3 . cos15?

=

由于

9.解: (1)原式=sin(30° +45° )= sin30° cos45° +cos30° sin45° = ·
2? 6 . 4

1 2

2 3 2 + · = 2 2 2

∴sin2α=sin[ (α+β)+(α-β) ] =sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β) =(- )· +(- )·
3 5 12 13 4 5 5 13

(2)原式= sin(13° +17° )=sin30° = . 10.解:观察分析这些角的联系,会发现
7π π π = - . 18 9 2

1 2

=-

56 . 65

13.证明:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ) (sinαcosβ-cosαsinβ) 2 2 2 2 =sin αcos β-cos αsin β =sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β
43

=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β =sin2α-sin2β, 所以左边=右边,原题得证. 计算 sin220° +sin80° · sin40° , 需要先观察角之间的关系. 经观察可知 80° =60° + 40° =60° -20° , 所以 sin220° +sin80° · sin40° =sin220° +sin(60° +20° )· sin(60° -20° ) 2 2 2 =sin 20° +sin 60° -sin 20° 2 =sin 60° = .
3 4

∵cos( ? ? ? ) =∵cos ? = 1 3

4 2 9

∴sin( ? ? ? ) = 1 ? cos 2 (? ? ? ) = ∴sin ? = 1 ? cos 2 ? =
2 2 3

7 9

20° ,

∴sin ? = sin( ? ? ? ? ? ) =sin( ? ? ? ) cos ? - cos( ? ? ? ) sin ? = ∴cos ? = 1 ? sin 2 ? = ∴tan ? =
sin ? 2 = cos ? 4

1 3

2 2 3

分析:此题目要灵活运用 “化切为弦”的方法,再利用两角和与差的三角函数关系式 整理化简. 14.解:原式=[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° ) ]· 2 sin2 80? =[2sin50° +sin10° (1+ 3 =[2sin50° +sin10° (
sin10? ) ]· 2 cos2 10? cos10?

∴cot ? = 2 2
3 12 12、解:∵在△ABC 中,若 cosA= >0 ,cosB= >0 5 13 4 5 sinA= 1 ? cos2 A = sinB= 1 ? cos2 B = 5 13

∴A,B 为锐角

cos10? ? 3 sin10? ) ]· 2 cos2 10? cos10? cos 50? =(2sin50° +2sin10° · )· 2 cos10° cos10?

∵ cosC=cos[ ? -(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)= ?

16 <0 65

=2 2 (sin50° cos10° +sin10° · cos50° ) =2 2 sin60° = 6. 15.解: (1)设 t=sinx+cosx= 2 sin(x+ )∈[- 2 , 2 ] , 则 t2=1+2sinxcosx.∴2sinxcosx=t2-1.
1 3 3 ∴y=t +t+1=(t+ )2+ ∈[ ,3+ 2 ] 2 4 4 3 ∴ymax=3+ 2 ,ymin= . 4 π (2)若 x∈[0, ] ,则 t∈[1, 2 ] . 2
2

π 4

? < C <? 即 C 为钝角 2 ∴△ABC 为钝角三角形. 13.解:如下图,设塔到路的距离 MD 为 x km,∠BMD=θ,

C B D A M

∴y∈[3,3+ 2 ] , 即 ymax=3+ 2 ymin=3. 作业 24 3.1 两角和与差的正弦余弦正切公式(2)参考答案 1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题:
1 7 2 3 7: ? 8: 9: 3 10: 3 2 26 3 三、解答题: 11、 解:∵ ? , ? 是同一三角形的两个内角 ∴

则∠CMD=θ+30° ,∠AMD=45° - θ ,AB=BD+DA=xtan (45° - θ ) +xtanθ , BC=CD - BD=xtan(30° +θ)-xtanθ. 因为 AB=BC=1, 所以 xtan(45° -θ)+xtanθ=xtan(30° +θ)-xtanθ=1. 解得 x= 所以
1 1 ? . tan? ? tan(45? ? ? ) tan(30? ? ? ) ? tan ?

1 1 ? , 1 ? tan? tan 30? ? tan? tan? ? ? tan? ? ? tan? 1 ? tan 30? tan?

6:

即 0< ? ? ? < ?
44

1 ? tan? 3 ? tan? ? . 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?

解得 tanθ=

3 ?1 . 2

所以 x=

1 ? tan? 7?5 3 ? . 2 13 ? ? tan ? 7?5 3 km. 13

=2sin( =sin(

π π -x)· cos( -x) 4 4

因此塔到路的最短距离为

π -2x) 2

3 1? 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 . 14.解:tan15° =tan(45° -30° )= 6 3 3? 3 1? 3
3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 . tan75° =tan(45° +30° )= 6 3 3? 3 1? 3 1?

=cos2x =右边,原题得证.
1 ? 2 sin? ? cos? cos2 ? ? sin2 ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 sin? ? cos? = (cos? ? sin? ) ? (cos? ? sin? )

8.证明:左边=

= =

(cos? ? sin? ) 2 (cos? ? sin? )(cos? ? sin? )

15. 解: 此题是着重考查学生是否灵活掌握弦与切之间的相互转换原则, 即化弦 (切) 为切(弦) ,并且要注意到正切三角函数值里的一个特殊数字“1”,即 tan45° =1. 把原式分子、分母同除以 cos15° ,有
sin15? ? cos15? tan15? ? 1 = sin15? ? cos15? tan15? ? 1 tan15? ? tan 45? = tan15? tan 45? ? 1

cos? ? sin? cos? ? sin? 1 ? tan? = 1 ? tan?

=右边,原题得证.
a ? cos B ? b , a ? b ? cos B (a ? b) ? (1 ? cos B) ∴1-cosA= , a ? b ? cos B (a ? b) ? (1 ? cos B) 1+cosA= . a ? b ? cos B 1 ? cos A (a ? b) ? (1 ? cos B ) ? ∴ . 1 ? cos A (a ? b) ? (1 ? cos B )

9.证明:∵cosA=

=tan(15° -45° ) =tan(-30° ) =-
3 . 3

作业 25

3.2

简单的三角恒等变换(1)参考答案

一、填空题
5 ?1 . 2 二、解答题

1.

2.-3

3.

1? 5 2

4.

7 65 65

5.-

1? a 2

A 2 sin2 1 ? cos A 2 ? tan 2 A , 而 ? 1 ? cos A 2 cos2 B 2 2 1 ? cos B B ? tan2 , 1 ? cos B 2

6.解:原式= = =

1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? sin 2? ? cos 2?

1 ? 2 sin? ? cos? ? ?1 ? 2 sin2 ? ? 1 ? 2 sin? ? cos? ? ? 2 cos2 ? ? ??

A A (a ? b) tan 2 B ? 2 2 ? a?b . ∴tan 2 ( a ? b) · tan 2 ,即 B a ?b tan 2 2
2

2 sin? ? cos? ? ? sin2 ? 2 sin? ? cos? ? 2 cos2 ? 2 sin? ? ? cos? ? sin? ? = 2 cos? ? (sin? ? cos? )

10.解:因为 15° 是第一象限的角,所以
1 ? cos 30? sin15° = ? 2 1? 3 2 2 ? 2 ? 3 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2) ? 6 ? 2 , 2 2 4 4 4

=tanθ. 7.证明:左边=2sin(
π π -x)· sin( +x) 4 4
45

cos15° = tan15° =

1 ? cos 30? ? 2

1?

3 2 2 ? 2 ? 3 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2) ? 6 ? 2 , 2 2 4 4 4

故 cos

?
?

?

1 ? cos ? 7 65 ? . 2 65

1 ? cos 30? =2- 3 . 1 ? cos 30?

作业 26

1. C 5.
1 4

2. B 6.-
1 2
7 9

3.2 简单的三角恒等变换(2)参考答案 3 . D 4. B

11.解:∵-3π<α<-

5π 3π 5π ? ? ,∴- < <- ,cos <0. 2 2 4 ? ?

又由诱导公式得 cos(α-π)=-cosα,
1 ? cos(? ? π ) 1 ? cos? ? ? ∴ =-cos . 2 ? ?

7.证明:左边=2cosα[cos120° +cos(-2α) ] =2cosα(- +cos2α) =-cosα+2cosα· cos2α =-cosα+cos3α+cosα =cos3α=右边. 8.解:tan9° +cot117° -tan243° -cot351° =tan9° -tan27° -cot27° +cot9°
sin 9? cos 9? sin 27? cos 27? ? ?( ? ) cos 9? sin 9? cos 27? sin 27? sin2 9? ? cos2 9? sin2 27? ? cos2 27? ? = sin 9? cos 9? sin 27? cos 27? 2 2 2(sin 54? ? sin18?) = =4. ? ? sin18? sin 54? sin18? cos 36? sin? sin ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 13 ? ? 9.解:∵tanαtanβ= , cos? cos ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) 7

1 ? cos 2? 12.证明:左边=1+2cos θ-cos2θ=1+2· -cos2θ=2=右边. 2 ? ? 13.证明:左边=4sinθ· cos2 ? =2sinθ· 2cos2 ? =2sinθ· (1+cosθ)
2

=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边. 14.解:因为 25sin2x+sinx-24=0, 所以 sinx=
24 或 sinx=-1. 25 24 7 ,cosx=- . 25 25

=

又因为 x 是第二象限角, 所以 sinx=
x 2

又 是第一或第三象限角,
7 1? 1 ? cos x x 25 =±3 . 从而 cos =± ?? 2 2 2 5 5 π 15.解:∵0<α< ,∴cosα= 1 ? sin2 ? ? . 13 2 π π 又∵0<α< ,0<β< , 2 2 π ∴0<α+β<π.若0<α+β< , 2

∴cos(α-β)=-
???

10 cos(α+β) . 3
1 ? tan 2

∵sin(α+β)<sinα,∴α+β<α 不可能. 故
3 π <α+β<π.∴cos(α+β)=- . 5 2
3 5 4 12 5 13 5 13 33 , 65

∴cosβ=cos[ (α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- · ? · ?
π , 2 ? π ∴0< < . 2 4

∵0<β<

6 1 ? ( )2 1 ? 2 ? ?? , 又 tan ? ? ? ? 5 6 1 ? tan 2 1 ? ( )2 ? 2 10 1 2 从而 cos(α-β)=- × (- )= . 3 5 3 ??? ??? 2 sin cos sin? ? sin ? 2 ? ? =3, 10.解: ,由和差化积公式得 ? ? ? ? ? ?? cos? ? cos ? 2 2 cos cos ? ? 3 ??? 2 tan 2?3 3 ??? ? ∴tan =3,从而 tan(α+β)= ? ?? . 2 ? ? ? 1? 3 4 ? ? ? tan 2 ? 5x x 3x sin ? sin 2 cos sin x 3x x 2 2 2 2 11. 解: (1) f(x) = ? ? 2 cos cos =cos2x+cosx=2cos x+cosx-1. x x 2 2 2 sin 2 sin 2 2 1 2 9 (2)∵f(x)=2(cosx+ ) - ,且-1≤cosx≤1, 4 8
6 ? ,∴cos(α+β)= 2
46

???

∴当 cosx=- 时,f(x)取得最小值- . 12.分析:本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的 能力. 解:由题设条件知 B=60° ,A+C=120° ,
2 =-2 2 , cos 60? 1 1 ∴ =-2 2 . ? cos A cos C

1 4

9 8

∵-

1 2 1 = (2cos22x-1+cos2x) 2 1 1 =cos22x+ cos2x- 2 2 1 2 9 =(cos2x+ ) - . 4 16

= (cos4x+cos2x)

∵cos2x∈[-1,1] , ∴当 cos2x=- 时,y 取得最小值- 当 cos2x=1 时,y 取得最大值 1.
1 4 9 ; 16

将上式化简为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC, 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 2cos
A?C A?C cos =- 2 [cos(A+C)+cos(A-C) ] , 2 2

将 cos (A-C) ,

1 1 2 A?C A?C =cos60° = , cos (A+C) =cos120° =- 代入上式得 cos = - 2 cos 2 2 2 2 2
A?C A?C A?C )-1 代入上式并整理得 4 2 cos2( )+2cos - 2 2 2

将 cos(A-C)=2cos2( 3 2 =0,

A?C A?C - 2] [2 2 cos +3]=0. 2 2 A?C A?C ∵2 2 cos +3≠0,∴2cos - 2 =0. 2 2 2 A?C ∴cos = . 2 2

即[2cos

13.证明:由已知得
?2 sin 3 A cos 2 A ? sin 3 A ? a, ? ?2 cos 3 A cos 2 A ? cos 3 A ? b,

∴?

?sin 3 A(2 cos 2 A ? 1) ? a, ?cos 3 A(2 cos 2 A ? 1) ? b.

两式平方相加得(2cos2A+1)2=a2+b2. 14.证明:左边= (1+cos2x)+ [1+cos(2x+2α) ]-2cosxcosαcos(x+α) =1+ [cos2x+cos(2x+2α) ]-2cosxcosαcos(x+α) =1+cos(2x+α)cosα-cosα[cos(2x+α)+cosα] =1+cos(2x+α)cosα-cosαcos(2x+α)-cos2α =1-cos2α=sin2α =右边, ∴原不等式成立. 15.解:y=cos3x· cosx
47

1 2

1 2

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