2016-2017学年河北衡水中学高一上学期数学期中试卷

2016~2017 学年度上学期高一年级期中考试 数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请 将正确答案的序号填涂在答题卡上。 )
1.若集合 B ? x x ? 0 ,且 A ? B ? A ,则集合 A 可能是( A.{1,2} ?1, 2? 2.函数 f ? x ? ? A. (-2,-1) B. { x | x ? 1 }

?

?

) D. R

C.{ ?1 ,0,1},

1 ? lg ?1 ? x? 的定义域是( 2? x
B. (-1,+∞)



C. (-∞,+∞)

D. (-1,2)

3. 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ? [0 , ?? ) x1 ? x2 , 有

( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 ,则(
A. f (3) ? f ( ?2) ? f (1) C. f ( ?2) ? f (1) ? f (3) 4.已知幂函数 f ? x ? 的图像过点(4, A.

) B. f (1) ? f ( ?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f ( ?2)
1 ) ,则 f ? 8 ? 的值为( 2



2 4

B.64

C. 2 2 )

D.

1 64

5. f ? x ? ? ln A. (1,2) 6.函数 y ?

3x 2 ? 的零点一定位于区间( 2 x
B. (2,3)

C. (3,4) )

D. (4,5)

x ax ( a ? 1) 的图像的大致形状是( x

7.设 a ? log 4 12 , b ? log 5 15 , c ? log 6 18 ,则(



1

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a )

?3x ? 2 ? x ? 2 ? ,若 f (a) ? 1 ,则 的值是( ? 8.函数 f ( x) ? ? a 2 ? ?log 3 ( x ? 1) ? x ? 2 ?
A.2 B.1 C. 1 或 2

D.1 或﹣2

?? x2 ? x, x ? 1 ? 7 9.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 ,若对任意的 x ? R ,不等式 f ? x ? ? 2 m 2 ? m 恒成 1 4 ? ? 3
立,则实数 m 的取值范围是(
1 A. ( ?? , ? ] 8

) C.[1, ?? ) D. [ ?
1 ,1] 8
x

1 B. ( ?? , ? ] ? [1, ?? ) 8

10.若函数 f ( x ) , g ( x ) 分别是 R 上的奇函数和偶函数,且满足 f ( x ) ? g ( x ) ? e ,则有 ( ) B. g (0) ? f (3) ? f ( 2) D. g (0) ? f ( 2) ? f (3)

A. f ( 2) ? f (3) ? g (0) C. f ( 2) ? g (0) ? f (3)

? x 2 ? bx ? c , x ? 0, ? 11.设函数 f(x)= ?log x, x ? 0, 若 f (?2) ? f ? 0 ? , f (?1) ? -3 ,则方程 f ? x ? ? x 的 1 ? ? 2
解的个数是( A.1 ) B. 2 C.3 D.4

12.对于函数 f ( x) ,若在其定义域内存在两个实数 a ,b ( a<b ) ,当 x ? [ a , b ]时, f ( x) 的值域也是[ a , b ],则称函 f ( x) 为“科比函数” 。若函数 f ( x) ? k ? x ? 2 是“科比函数” , 则实数 k 的取值范围( A. (?
9 , ?2 ] 4

) B. (?
9 ,0] 4

C.[ ?2 ,0]

D.[ ?2 , ?? )

2

第Ⅱ卷( 共90分)
二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的横线 上。 ) ........
13.用列举法表示集合:A= ? x | ?1 ? x ? 3 ? 2, x ? Z ? =________。 14 . 某 食 品 的 保 鲜 时 间 y ( 单 位 : 小 时 ) 与 储 藏 温 度 x ( 单 位 : ℃ ) 满 足 函 数 关 系

y ? b ? ekx (e ? 2.718?为自然对数的底数, k,b 为常数)。若该食品在 0

℃时的保鲜时间

是 100 小时, 在 15 ℃时的保鲜时间是 10 小时, 则该食品在 30 ℃时的保鲜时间是__________ 小时。 15.已知 f ? x ? ? log 1 x ? ax ? 3a 在区间 ? 2, ?? ? 上为减函数,则实数 a 的取值范围是
2 2

?

?

____________。 16. 定义在 R 上的函数 f ( x ) , 如果存在函数 g ( x ) ? kx ? b( k , b 为常数) , 使得 f ( x ) ≥ g ( x ) 对一切实数 x 都成立,则称 g ( x ) 为 f ( x ) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x ) ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ② g ( x ) =2 x 为函数 f ( x ) ? 2 的一个承托函数;
x

③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x ) 不存在承托函数。 其中正确命题的序号是____________。

三、解答题(本题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演 算步骤。 )
17 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ( ?1 ? x ? 0 )的值域为集合 B, U ? R 。 (1)求 CU A ? B ; (2)若 C ? { x | a ? x ? 2a ? 1 }且 C ? B ,求实数 a 的取值范围,
1 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数 g ( x) ? ( ) x 2 x ?1 1

3

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 2mx ? 3m ? 4 。 (1) m 为何值时, f ( x ) 有两个零点且均比-1 大; (2)求 f ( x ) 在[0,2]上的最大值 g (m) 。

2

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 ? (Ⅰ)若 f ( x ) ? 2 ?
t

x

2 ,求 x 的值; 2x

1 。 2x

(Ⅱ)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于任意实数 t ? [ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 (0,?? ) ,的函数 f ( x ) 满足: ① x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ; ② f ( ) ? 1 ③对任意的正实数 x,y,都有 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) 。 (1)求证: f ( ) ? ? f ( x ) ; (2)求证: f ( x ) 在定义域内为减函数; (3)求不等式 f ( 2) ? f (5 ? x ) ? ?2 的解集。

1 2

1 x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? log 2 ( 4 x ? 1) ? mx 。 (1)若 f ( x ) 是偶函数,求实数 m 的值; (2)当 m ? 0 时,关于 x 的方程 f [8(log 4 x) 2 ? 2 log 2 两个不同的实数解,求 m 的范围。
1 4 ? ? 4] =1 在区间[1, 2 2 ]上恰有 x m

4

22. (本小题满分 12 分) 定义在 D 上的函数 f ( x) , 如果满足: 对任意 x ? D , 存在常数 M>0 , 都有 | f ( x) |? M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的上界。已知
1 1 函数 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x 。 3 9 1 (1)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 在( ?? ,0)上的值域,并判断函数 f ( x) 在( ?? ,0)上 2

是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f ( x) 在 [0 , ?? )上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

5


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