(新课程)高中数学《2.4等比数列》第2课时课件 新人教A版必修5_图文

第2课时 等比数列的性质及应用
【课标要求】 1.理解等比数列的性质并能应用. 2.了解等比数列同指数函数间的关系. 3.会用等比数列的性质解题. 【核心扫描】 1.等比数列的性质及应用.(重点) 2.等比数列与等差数列的综合应用.(重点) 3.与函数、方程、不等式等结合命题.(难点)

自学导引
1. 等比数列的项与序号的关系以及性质 设等比数列{an}的公比为q. amqn-m (1)两项关系:an=_______(m,n∈N*). apaq (2)多项关系:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=____. (3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时,am,an,ap成等比数 列. 2. 等比数列的项的对称性 有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两 a 项的积(若有中间项则等于中间项的平方),即 a1·n=a2· n-1 a _____ a =ak· n-k+1 _______=
(n 为正奇数).

3. 等比数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公比为q的等比数列,则 q (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为__的等比数列; q2 (2)奇数项数列{a2n-1}是公比为__的等比数列; q2 偶数项数列{a2n}是公比为__的等比数列; (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项,按原来顺序组成新 数列,则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.

:如果等比数列{an}中,m+n=2k(m,n,k∈N*), 那么am·n=ak2是否成立?反之呢? a 提示:如果等比数列的三项的序号成等差数列,那么对应 的项成等比数列. 事实上,若m+n=2k(m,n,k∈N*), 则am·n=(a1·m-1)· 1·n-1)=a12·m+n-2=a12(qk-1)2=ak2. a q (a q q 在等比数列{an}中,若am·n=ap·q=ak2,不一定有m+n a a =p+q=2k,如非零常数列.

名师点睛
1. 等比数列的单调性 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,等比数列{an}是递增数列. (2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,等比数列{an}是递减数列. (3)当q=1时,等比数列{an}是常数列. (4)当q<0时,等比数列{an}是摆动数列. 2. 等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为q的等比数列,则 ①{c·n}(c是非零常数)是公比为q的等比数列; a ②{|an|}是公比为|q|的等比数列;
?1 ? 1 ? ?是公比为 的等比数列; ③数列 q ?an?

④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列. 特别地,若数列{an}是正项等比数列时,数列{anm}(m是实 数常数)是公比为qm的等比数列. (2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列 {an·n}是公比为q1q2的等比数列. b (3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lg an}是 公差为lg q的等差数列.

题型一

等比数列性质的应用

【例1】 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值; (2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式. [思路探索] 应用等比数列的性质:a2a4=a32,a4a6=a52, a1a3=a22,化简已知,可求解. 解 (1)法一 ∵an>0,∴a1>0,q>0. 又∵a2a4+2a3a5+a4a6=36, ∴a1q·1q3+2a1q2·1q4+a1q3·1q5=36, a a a 即a12q4+2a12q6+a12q8=36,

∴a12q4(1+2q2+q4)=36,即a12q4(1+q2)2=36, ∴a1q2(1+q2)=6, ∴a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(1+q2)=6. 法二 ∵a2a4+2a3a5+a4a6=36, ∴a32+2a3a5+a52=36, ∴(a3+a5)2=36,∴a3+a5=6. (2)∵a22=a1a3代入已知,得a23=8,∴a2=2. 2 2 设前三项为 ,2,2q,则有 +2+2q=7. q q

1 整理,得 2q -5q+2=0,∴q=2 或 q= . 2
2

?a =1, ? 1 ∴? ?q=2 ?

?a1=4, ? 或? 1 ∴an=2n-1 或 an=23-n ?q=2. ?

在等比数列的有关运算中,常常涉及到 次数较高的指数运算.若按常规解法,往往是建 立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦,通过本例 可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换, 会起到化繁为简的效果.

【变式1】在递增等比数列{an}中,a1a9=64,a3+a7=20,求 a11的值. 解 在等比数列{an}中, ∵a1·9=a3·7, a a ∴由已知可得:a3·7=64与a3+a7=20联立得: a
?a3=4, ? ? ?a7=16, ? ?a3=16, ? 或? ?a7=4. ?

∵{an}是递增等比数列,∴a7>a3. ∴取a3=4,a7=16,∴16=4q4,∴q4=4. ∴a11=a7·4=16×4=64. q

题型二

等差数列与等比数列的综合应用

【例2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等 比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与 第三个数的和是12,求这四个数. [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质,设出未知 数,结合题中条件求解即可. ?a+d?2 解 法一 设四个数依次为 a-d, a+d, a, , a

?a+d? ? ?a-d+ =16, a 由条件得? ?a+?a+d?=12, ?
2

?a=4, ? 解得? ?d=4 ?

?a=9, ? 或? ?d=-6. ?

所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16; 当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 2a a 法二 设四个数依次为 -a, ,a,aq(a≠0), q q

?2a ? q -a+aq=16, 由条件得? ?a+a=12, ?q

?a=8, ? 解得? ?q=2 ?

?a=3, ? 或? 1 ?q=3. ?

当a=8,q=2时,所求四个数为0,4,8,16; 1 当 a=3,q= 时,所求四个数为 15,9,3,1. 3 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

合理地设出所求数中的三个,根据题意得 出另一个是解决这类问题的关键,一般地,三个数 a 成等比数列,可设为 ,a,aq;三个数成等差数列, q 可设为 a-d,a,a+d.

【变式2】 三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三 个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数. a 解 设三个数依次为 ,a,aq, q
a ∵ · aq=512,∴a=8. a· q
?a ? ∵? -2?+(aq-2)=2a, ?q ?

1 ∴2q -5q+2=0,∴q=2 或 q= , 2
2

∴这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.

题型三

等比数列的实际应用

【例3】 某市2010年新建住房400万平方米,其中250万平方米 是中低价房,预计今年后的若干年内,该市每年新建住房 面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低 价房的面积比上一年增加50万平方米,那么到哪一年底 (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的 第一年)将首次不少于4 750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%. 审题指导 本题主要考查构建数学模型解决实际问题,通 过阅读之后,找出题目中的相关信息,构造等差数列和等 比数列.

[规范解答] (1)设中低价房面积构成数列{an},由题意可 知,{an}是等差数列,其中a1=250,d=50, (2分)

n?n-1? 则 Sn=250n+ ×50=25n2+225n; 2
令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0, 解得n≤-19或n≥10,而n是正整数. ∴n≥10. (4分) 故到2019年年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首 次不少于4 750万平方米. (6分)

(2)设新建住房面积构成数列{bn}, 由题意可知,{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400×(1.08)n-1, (8分) 由题意可知an>0.85bn, 即250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85满足上述不等式 的最小正整数n=6. (10分) 故到2015年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%. (12分)

【题后反思】 本题将实际问题抽象出一个数列问题,解 决数列应用题的关键是读懂题意,建立数学模型,弄清问 题的哪一部分是数列问题,是哪种数列.在求解过程中应 注意首项的确立,时间的推算.不要在运算中出现问题.

【变式3】 始于2007年初的美国次贷危机,至2008年中期,已经 演变为全球金融危机.受此拖累,国际原油价格从2008年 7月每桶最高的147美元开始大幅下跌,9月跌至每桶97美 元.你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗?若按此 计算,到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)? 解 设每月平均下降的百分比为x,则每月的价格构成了等 比数列{an},记:a1=147(7月份价格), 则8月份价格:a2=a1(1-x)=147(1-x); 9月份价格:a3=a2(1-x)=147(1-x)2. ∴147(1-x)2=97,解得x≈18.8%. 设an=34,则34=147· (1-18.8%)n-1, 解得n=8. 即从2008年7月算起第8个月,也就是2009年2月国际原油价 格将跌至34美元每桶.

误区警示
? ? ?

因没数清数列的项数致误
? ? ?

a 【示例】已知等比数列 an 满足 an>0,n=1,2,…,且 a5·2n-5 =22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 等于 ( ).

A.(n-1)2 B.n2 C.(n+1)2 D.n(2n-1) [错解] 易得an=2n,且log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+(2n-1) 1+2n-1 =1+3+ …+(2n-1)= (2n-1)=n(2n-1). 2
从而错选 D.

对等差数列1,3,…,2n-1的项数没

数清. [正解] ∵a5·2n-5=22n=an2,an>0, a ∴an=2n,∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+(2n-1) =log22n2=n2.故选B. 答案 B

解决此类问题时,可根据通性通 法,但有时用等比数列的性质,能加快解题 速度,提高解题效率,达到事半功倍的效 果.


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