2013年北京西城区高三上学期期末考试理科数学试题及答案

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 2013.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列 出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. B ? {x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0}, 1. 已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ? 1} , 则 A? B ? ( ) (A) (0, ) (C) (??, ?1) ? ( , ??) 1 2 1 2 (B) (?1,1) (D) (??, ?1) ? (0, ??) 2.在复平面内,复数 5i 的对应点位于( 2?i ) (D)第四象限 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 3.在极坐标系中,已知点 P(2, ) ,则过点 P 且平行于极轴的直线的方 程是( ) ( (A) ? sin ? ? 1 (B) ? sin ? ? 3 (C) ? cos ? ? 1 D ) ? 6 ? cos? ? 3 4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中 ① 处可以填入( (A) k ? 2 ) (B) k ? 3 (C) k ? 4 (D) k ? 5 5.已知函数 f ( x) ? x ? b cos x ,其中 b 为常数.那么“ b ? 0 ”是“ f ( x) 为 奇函数”的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 6. 已知 a , b 是正数, 且满足 2 ? a ? 2b ? 4 . 那么 a 2 ? b 2 的取值范围是 ( (A) ( , ) 4 16 5 5 ) (B) ( ,16) 4 5 (C) (1,16) (D) ( 16 , 4) 5 7.某四面体的三视图如图所示.该四面体的 六条棱的长度中,最大的是( (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2 ) 8.将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两 组中各数之和相等的概率是( ) (A) 2 21 (B) 4 63 (C) 1 21 (D) 2 63 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. b ? (?2,1) , c ? (3, 2) .若向量 c 与向量 ka ? b 共线, 已知向量 a ? (1,3) , 则实数 k ? _____. 10.如图, Rt △ ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? 3 , BC ? 4 .以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ,则 BD ? ; CD ? ______. 11. 设等比数列 {an } 的各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn . 若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 ,则 k ? ______. 12.已知椭圆 x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点是 F1 , F2 ,点 P 在该椭圆上.若 4 2 | PF1 | ? | PF2 | ? 2 ,则△ PF1F2 的面积是______. 13.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 x ? [? , a] .当 a ? 时, f ( x) 的值 域是______;若 f ( x) 的值域是 [ ? ,1] ,则 a 的取值范围是______. 1 2 π 6 π 6 ? 3 14 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R . 若 ? 常 数 c ? 0 , 对 ?x ? R , 有 f ( x ? c) ? f ( x ? c) , 则称函数 f ( x) 具有性质 P . 给定下列三个函数: ① f ( x) ? 2x ; ② f ( x) ? sin x ; ③ f ( x) ? x3 ? x . 其中,具有性质 P 的函数的序号是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 3 sin 2B ? 1 ? cos 2B . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC ? 2 , A ? ,求△ ABC 的面积. ? 4 16.(本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形,PA ? PD ,PA ? 平 面 PDC , E 为棱 PD 的中点. (Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值. 17.(本小题满分 13 分) 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等 于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行检 测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B [70,76) 8 [76,82) 12 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 7 18 6 (Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏 损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求 随机变量 X 的分布列和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率. 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ,其中 b ? R . x ?b 2 (Ⅰ)求 f ( x)

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