湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二 (上) 期中数学试卷 (文 科)
一、选择题(每小题 5 分,计 50 分) 1.已知 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

2.某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 3.程序的输出结果为( )

)

A.3,4 B.7,7 C.7,8 D.7,11

4.在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“﹣1≤log A. B. C. D.

(x+ )≤1”发生的概率为(

)

5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50) , [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直 方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( )

A.588 B.480 C.450 D.120 6.若圆心在 x 轴上、半径为 ) 程是( 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方

A. (x﹣

)2+y2=5 B. (x+

)2+y2=5

C. (x﹣5)2+y2=5 )

D. (x+5)2+y2=5

7.执行程序框图,如果输入的 t∈[﹣1,3],则输出的 s 属于(

A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5] 8.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; ) 其中真命题为( A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 9.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员 151] 按成绩由好到差编为 1﹣35 号, 再用系数抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139, ) 上的运动员人数是(

A.3

B.4

C.5

D.6

10.若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x﹣3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取 ) 值最多有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

11.过平面区域

内一点 P 作圆 O:x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,记

∠APB=α,则当 α 最小时 cosα 的值为( A. B. C. D.

)

12.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x﹣

4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离 心率的取值范围是( A. (0, ] B. (0, ] ) C.[ ,1) D.[ ,1)

二、填空题(每小题 5 分,计 20 分) 13.用“秦九韶算法”计算多项式 f(x)=4x5﹣3x4+4x3﹣2x2﹣2x+3 的值,当 x=3 时, V3=__________. 14.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5,则表中 t 的值为 __________. 15.某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 __________(用数字作答) .

16.椭圆若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点,又焦 点到同侧长轴端点的距离为 ,求椭圆的方程__________.

三、解答题(共 6 大题,计 70 分,要求写出详细解答过程) 17.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相 同,随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数) 18.已知圆 O:x2+y2=1 和点 M(1,4) . (1)过点 M 向圆 O 引切线,求切线的方程; (2)求以点 M 为圆心,且被直线 y=2x﹣8 截得的弦长为 8 的圆 M 的方程. 19.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函数 f(x)= (3﹣2a)x 是增函数,若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 a 的取值范围. 20.有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组,各组的人数如下: C D E 组别 A B 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其 中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. A B C D E 组别 50 100 150 150 50 人数 6 抽取人数 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 21.已知过点 A(1,0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 交于 M,N 两点. (I)求 k 的取值范围: =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. (Ⅱ)

22.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α,β, 且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二(上)期中数 学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,计 50 分) 1.已知 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】ab=100 时,lga+lgb=2 不一定成立;反之,lga+lgb=2,则 a>0,b>0,根据对数的运 算法则,ab=100 一定成立,故 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的必要而不充分条件. 【解答】解:ab=100 时,lga+lgb=2 不一定成立, 例如 a=﹣5,b=﹣20,有 ab=100, 但是 lga+lgb=2 不成立; 反之,lga+lgb=2,则 a>0,b>0, 根据对数的运算法则,lgab=2,ab=100, 所以 ab=100 一定成立, 故 a,b 为实数,“ab=100”是“lga+lgb=2”的必要而不充分条件. 故选 B. 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用,是基础题.解题时要认真 审题,仔细解答,注意对数的运算法则的灵活运用. 2.某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 )

【考点】互斥事件与对立事件. 【专题】常规题型. 【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶,它的互斥事件是两次都 不中靶,实际上它的对立事件也是两次都不中靶. 【解答】解:∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶, 它的互斥事件是两次都不中靶, 故选 C. 【点评】本题考查互斥事件和对立事件,对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件, 遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率. 3.程序的输出结果为( )

A.3,4 B.7,7 C.7,8 D.7,11 【考点】赋值语句. 【专题】图表型. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算 x,y 的值并输出. 【解答】解:程序在运行过程中各变量的结果如下表示: x=3 第一行 y=4 第二行 x=7 第三行 y=11 第四行 x=7 y=11 第五行 故程序的输出结果为 7,11 故选 D. 【点评】本题考查赋值语句,考查顺序结构,求解本题的关键是从图形中看出程序解决的是 什么问题以及程序中提供的运算方法是什么,然后根据所给的运算方法进行正确推理得出答 案.

4.在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“﹣1≤log A. B. C. D.

(x+ )≤1”发生的概率为(

)

【考点】几何概型. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】先解已知不等式,再利用解得的区间长度与区间[0,2]的长度求比值即得. 【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度. ∵﹣1≤log ∴ 解得 0≤x≤ , ∵0≤x≤2 ∴0≤x≤ (x+ )≤1

∴所求的概率为:P= 故选:A 【点评】本题主要考查了几何概型,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50) , [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直

方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( )

A.588 B.480 C.450 D.120 【考点】频率分布直方图. 【专题】图表型. 【分析】根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率,然后根据频数=频率×总数可求出所 求. 【解答】解:根据频率分布直方图, 成绩不低于 60(分)的频率为 1﹣10×(0.005+0.015)=0.8. 由于该校高一年级共有学生 600 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级模块测 试成绩不低于 60(分)的人数为 600×0.8=480 人. 故选 B. 【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及运算求解能力. 6.若圆心在 x 轴上、半径为 ) 程是( 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方

A. D. (x﹣ )2+y2=5 B. (x+ )2+y2=5 C. (x﹣5)2+y2=5 (x+5)2+y2=5 【考点】圆的标准方程. 【专题】直线与圆. 【分析】先看圆心,排除 A、C,在 B、D 中选一个验证直线 x+2y=0 相切即可. C 不符, 0) 【解答】 解: 因为圆 O 位于 y 轴左侧, 显然 A、 (﹣5, 到直线 x+2y=0 的距离为 故选 D. 【点评】本题采用回代验证方,法解答灵活.还可以数形结合估计法,直接推得结果. 7.执行程序框图,如果输入的 t∈[﹣1,3],则输出的 s 属于( )



A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5] 【考点】程序框图;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图 所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为 t<1 我们可得, 分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式. 【解答】解:由判断框中的条件为 t<1,可得: 函数分为两段,即 t<1 与 t≥1, 又由满足条件时函数的解析式为:s=3t; 不满足条件时,即 t≥1 时,函数的解析式为:s=4t﹣t2 故分段函数的解析式为:s= ,

如果输入的 t∈[﹣1,3],画出此分段函数在 t∈[﹣1,3]时的图象, 则输出的 s 属于[﹣3,4]. 故选 A.

【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分析 条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标准; ③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分类进行 总结,写出分段函数的解析式. 8.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; ) 其中真命题为( A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】写出“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题判断真假; 写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假; 通过若 q≤1,则方程 x2+2x+q=0 有实根,根据二次方程根的存在性,即可得到其真假,然后利 用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误. 利用原命题与逆否命题同真同假判断即可. 【解答】解:对于①,“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题是:若 x,y 互为相反数, 则 x+y=0.它是真命题. 对于②,“全等三角形的面积相等”的否命题是:若两个三角形不是全等三角形,则这两个三 角形的面积不相等.它是假命题. 对于③,若 q≤1,则△ =4﹣4q≥0,故命题若 q≤1,则方程 x2+2x+q=0 有实根是真命题;它的逆 否命题的真假与该命题的真假相同,故(3)是真命题. 对于④,原命题为假,故逆否命题也为假. 故选:B. 【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定,解题时要注意四种命题的相互转化, 和真假等价关系,属基础题.

9.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员 151] 按成绩由好到差编为 1﹣35 号, 再用系数抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139, ) 上的运动员人数是(

A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】 对各数据分层为三个区间, 然后根据系数抽样方法从中抽取 7 人, 得到抽取比例为 , 然后各层按照此比例抽取. 【解答】解:由已知,将个数据分为三个层次是[130,138],[139,151],[152,153],根据 系数抽样方法从中抽取 7 人,得到抽取比例为 , 所以成绩在区间[139,151]中共有 20 名运动员,抽取人数为 20× =4; 故选 B. 【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法;关键是正确分层,明 确抽取比例. 10.若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x﹣3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取 ) 值最多有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆. 【分析】三直线不能构成三角形时共有 4 种情况,即三直线中其中有两直线平行或者是三条 直线经过同一个点,在这四种情况中,分别求出实数 m 的值. 【解答】解:当直线 l1:4x+y=4 平行于 l2:mx+y=0 时,m=4. 当直线 l1:4x+y=4 平行于 l3:2x﹣3my=4 时,m=﹣ , 当 l2:mx+y=0 平行于 l3:2x﹣3my=4 时,﹣m= ,此时方程无解. , )代入 l3:2x﹣3my=4 得:

当三条直线经过同一个点时,把直线 l1 与 l2 的交点( ﹣3m× =4,解得 m=﹣1 或 m= ,

综上,满足条件的 m 有 4 个, 故选:C 【点评】本题考查三条直线不能构成三角形的条件,三条直线中有两条直线平行或者三直线 经过同一个点.

11.过平面区域

内一点 P 作圆 O:x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,记

∠APB=α,则当 α 最小时 cosα 的值为( A. B. C. D.

)

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据数形结合求确定当 α 最小时,P 的位置,利用余 弦函数的倍角公式,即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,要使 α 最小, 则 P 到圆心的距离最大即可, 由图象可知当 P 位于点 D 时,∠APB=α 最小, 由 ,解得 ,即 D(﹣4,﹣2) ,

此时|OD|= 则 ,即 sin = =1﹣2( , )2=1﹣ =

,|OA|=1,

此时 cosα=1﹣2sin2 故选:C



【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键,要求熟练掌握两 角和的倍角公式.

12.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x﹣

4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离 心率的取值范围是( A. (0, ] B. (0, ] ) C.[ ,1) D.[ ,1)

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】开放型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】如图所示,设 F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′是平行四边形, 可得 4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a.取 M(0,b) ,由点 M 到直线 l 的距离不小于 ,可得

,解得 b≥1.再利用离心率计算公式 e= =

即可得出.

【解答】解:如图所示,设 F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′是平行四边 形, ∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a,∴a=2. 取 M(0,b) ,∵点 M 到直线 l 的距离不小于 ,∴ ,解得 b≥1.

∴e= =



=



∴椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选:A.



【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,计 20 分) 13.用“秦九韶算法”计算多项式 f(x)=4x5﹣3x4+4x3﹣2x2﹣2x+3 的值,当 x=3 时,V3=91. 【考点】秦九韶算法. 【专题】计算题;转化思想;算法和程序框图. 【分析】先将多项式改写成如下形式:f(x)=( ( ( (4x﹣3)x+4)x﹣2)x﹣2)x+3,将 x=3 代入并依次计算 v0,v1,v2,v3,的值,即可得到答案.

【解答】解:多项式 f(x)=4x5﹣3x4+4x3﹣2x2﹣2x+3 =( ( ( (4x﹣3)x+4)x﹣2)x﹣2)x+3, 当 x=3 时, v0=4, v1=9, v2=31, v3=91, 故答案为:91 【点评】本题考查的知识点秦九韶算法,其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则,是解答本题 的关键. 14.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x y 2 30 4 40 5 60 6 t 8 70

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5,则表中 t 的值为 50. 【考点】线性回归方程. 【专题】计算题. 【分析】计算样本中心点,根据线性回归方程恒过样本中心点,即可得到结论. 【解答】解:由题意, , =40+

∵y 关于 x 的线性回归方程为 =6.5x+17.5, ∴40+ =6.5×5+17.5 ∴40+ =50 ∴ =10 ∴t=50 故答案为:50. 【点评】本题考查线性回归方程的运用,解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点 15.某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的, 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 (用 数字作答) . 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的 全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,则小张比小王至少 早 5 分钟到校事件 A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则 求解即可.

【解答】解:设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试 验的全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,对应的面积 S=20×20=400, 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,则符合题意的区域 为△ ABC,联立 得 C(45,50) ,联立 得 B(30,35) ,则 S△ ABC= ×15×15,

由几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为

=



故答案为:



【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率,求解的关键是掌握两种求概率的方法 的定义及规则,求出对应区域的面积是解决本题的关键. 16.椭圆若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点,又焦 点到同侧长轴端点的距离为 ,求椭圆的方程 .

【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题;分类讨论;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意推出椭圆的关系,b=c,利用焦点到同侧长轴端点距离为 ,求出 a,b, 即可求出椭圆的方程. 【解答】解:因为椭圆的对称轴在坐标轴,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点, 所以 b=c,a= b,又焦点到同侧长轴端点距离为 , 即 a﹣c= ,即 a﹣b= ,解得 a= ,b=c=1, 所以当焦点在 x 轴时,椭圆的方程为: =1;

当焦点在 y 轴时,椭圆的方程为

=1.

故答案为:



【点评】本题考查椭圆的方程的求法,椭圆的基本性质,考查计算能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 大题,计 70 分,要求写出详细解答过程) 17.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相 同,随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数) 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)所有的可能结果(a,b,c)共有 3×3×3=27 种,一一列举即可,而满足 a+b=c 的(a,b,c)有 3 个,由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率. (Ⅱ)所有的可能结果(a,b,c)共有 3×3×3 种,用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字 a, b,c 完全相同”的(a,b,c)共计三个,由此求得“抽取的卡片上的数字 a,b,c 完全相同” 的概率,再用 1 减去此概率,即得所求 【解答】解: (Ⅰ)由题意, (a,b,c)所有的可能为: (1,1,1) , (1,1,2) , (1,1,3) , (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) , (2,1,1) , (1,1,2) , (2,1,3) , (2,2,1) , (2,2,2) , (2,2,3) , (2,3,1) , (2,3,2) , (2,3,3) , 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , (3,3,1) , (3,3,2) , (3,3,3) ,共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A,则事件 A 包括(1,1,2) , (1,2,3) , (2,1, 3) ,共 3 种, 所以 P(A)= = .

因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . (Ⅱ)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件包括(1,1,1) , (2,2,2) , (3,3,3) ,共 3 种. 所以 P(B)=1﹣P( )=1﹣ = .

因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于中档题 18.已知圆 O:x2+y2=1 和点 M(1,4) . (1)过点 M 向圆 O 引切线,求切线的方程; (2)求以点 M 为圆心,且被直线 y=2x﹣8 截得的弦长为 8 的圆 M 的方程. 【考点】圆的切线方程. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)当直线无斜率时,方程为 x=1,满足题意;当直线有斜率时,设直线方程为 y﹣ 4=k(x﹣1) ,由点到直线的距离公式可得 k 值,可得方程; (2)设以点 M 为圆心的圆的半径为 r,由题意可得圆心 M 到直线 2x﹣y﹣8=0 的距离 d 满足 r2=d2+42,由点到直线的距离公式可得 d 值,可得答案.

【解答】解: (1)当直线无斜率时,方程为 x=1,满足直线与圆相切; 当直线有斜率时,设直线方程为 y﹣4=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k+4=0, 由相切和点到直线的距离公式可得 =1,解得 k= ,

代入可得直线方程为 y﹣4=

(x﹣1) ,即 15x﹣8y+17=0,

∴所求切线的方程为 x=1 或 15x﹣8y+17=0; (2)设以点 M 为圆心的圆的半径为 r, ∵该圆被直线 y=2x﹣8 截得的弦长为 8, ∴圆心 M 到直线 2x﹣y﹣8=0 的距离 d 满足 r2=d2+42, 由点到直线的距离公式可得 d= = ,

∴r2=d2+42=36 ∴圆 M 的方程为(x﹣1)2+(y﹣4)2=36. 【点评】本题考查直线圆的位置关系,涉及直线与圆的相切问题,属中档题. 19.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函数 f(x)= (3﹣2a)x 是增函数,若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 a 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;二次函数的性质;指数函数的单调性与 特殊点. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由 p∨q 为真,p∧q 为假,知 p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真.由此利用二元一次 不等式和指数函数的性质,能求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真. ①当 p 为真,q 为假时, ,解得 1<a< . ②当 p 为假,q 为真时, ,解得 a≤﹣2

综上,实数 a 的取值范围是{a|a≤﹣2 或 1<a< }. 【点评】本题考查命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 20.有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组,各组的人数如下: C D E 组别 A B 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其 中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表.

A B C D E 组别 50 100 150 150 50 人数 6 抽取人数 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 【考点】相互独立事件的概率乘法公式;分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数; (Ⅱ)利用古典概型概率计算公式求出 A,B 两组被抽到的评委支持 1 号歌手的概率,因两组 评委是否支持 1 号歌手相互独立,由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到 的评委中分别任选 1 人,2 人都支持 1 号歌手的概率. 【解答】解: (Ⅰ)按相同的比例从不同的组中抽取人数. 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 150 人中抽取 6 人,填表如下: A B C D E 组别 50 100 150 150 50 人数 3 6 9 9 3 抽取人数 (Ⅱ)A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 好歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持 1 号歌手的概率为 . B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持 1 号歌手的概率为 . 现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人,则 2 人都支持 1 号歌手的概率 p= .

【点评】 本题考查了分层抽样方法, 考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式, 若事件 A, B 是否发生相互独立,则 p(AB)=p(A)p(B) ,是中档题. 21.已知过点 A(1,0)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 交于 M,N 两点. (I)求 k 的取值范围: =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. (Ⅱ) 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;向量法;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)用点斜式求得直线 l 的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值,可 得满足条件的 k 的范围. (Ⅱ)由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=k(x﹣1) ,联立直线方程和圆的方程, =12 化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求出 M,N 横纵坐标的积,结合 求出直线的斜率,得到直线方程,再由直线过圆心直接得答案. 【解答】解: (Ⅰ)设过点 A(1,0)的直线方程:y=k(x﹣1) ,即:kx﹣y﹣k=0. 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标(2,3) ,半径 R=1. 故由 =1,解得:k= .

故当 k> 时,过点 A(1,0)的直线与圆 C: (x﹣2)2+(y﹣3)2=1 相交于 M,N 两点; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ;N(x2,y2) ,

由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=k(x﹣1) ,代入圆 C 的方程(x﹣2)2+(y ﹣3)2=1, 可得(1+k2)x2﹣2(k2+3k+2)x+k2+6k+12=0, ∴x1+x2= ,x1?x2= ,

∴y1?y2=k(x1﹣1)?k(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1] = 由 =12, ,解得:k=0(舍)或 k=3, = .

得 x1?x2+y1?y2=

故直线 l 的方程为 y=3x﹣3. ∵圆心 C 在直线 l 上,MN 长即为圆的直径, ∴|MN|=2. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算, 考查学生的计算能力,是中档题.

22.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α,β, 且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. 【考点】椭圆的标准方程;恒过定点的直线;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (1)根据椭圆的离心率求得 a 和 c 的关系,进而根据椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (﹣c,0) ,F2(c,0)又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|,进而求得 c,则 a 和 b 可得,进而求得椭圆的标准方程. (2)设直线 MN 方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立消去 y,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,根 据韦达定理可表示出 x1+x2 和 x1x2,表示出直线 F2M 和 F2N 的斜率,由 α+β=π 可推断两直线 斜率之和为 0,把 x1+x2 和 x1x2 代入即可求得 k 和 m 的关系,代入直线方程进而可求得直线 过定点. 【解答】解: (1)由椭圆 C 的离心率 得 ,其中 ,

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上 ∴|F1F2|=|PF2|,∴ ∴ . 解得 c=1,a2=2,b2=1,

(2)由题意,知直线 MN 存在斜率,设其方程为 y=kx+m.由 消去 y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0.设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 2 2 2 则△ =(4km) ﹣4(2k +1) (2m ﹣2)≥0 2 2 即 2k ﹣m +1≥0 则 ,且

由已知 α+β=π,得 化简,得 2kx1x2+(m﹣k) (x1+x2)﹣2m=0 ∴ 整理得 m=﹣2k.



∴直线 MN 的方程为 y=k(x﹣2) ,因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力.


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