100测评网高三数学复习江苏省新海高级中学2008—2009学年度第一学期期末考试


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江苏省新海高级中学 2008—2009 学年度第一学期期末考试 高三数学模拟试卷(二) 班级__________姓名__________得分_________
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1 、 已 知 向 量 a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? ( 2 cos?, 2 sin ? )(? ? R) , 实 数 m, n 满 足 则 (m ? 3)2 ? n2 的最大值为 m a? n b ? ,c
2

. .

2、对于滿足 0 ? a ? 4 的实数 a ,使 x ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒成立的 x 取值范围_

3、 扇形 OAB 半径为 2 , 圆心角∠AOB=60°, 点 D 是弧 AB 的中点, 点 C 在线段 OA 上, 且 OC ? 3 .则 CD ? OB 的值为 4、已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x ) ? cos( 2 x ?

?

? ?? ) ,直线 x=t(t∈ ?0, ? )与函数 f(x)、 6 ? 2?

g(x)的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值是 . 5、对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即“[ x ]是不超过 x 的最大整数” .在 实数轴 R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x .这 个函数[ x ]叫做“取整函数” ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么

[log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? [log2 4] ? ? ? [log2 1024 ] =__________ .
6. 已知抛物线的顶点在原点 ,焦点在 x 轴的正半轴上, F 为焦点, A, B, C 为抛物线上的 三点,且满足 FA ? FB ? FC ? 0 , FA ? FB ? FC ? 6 ,则抛物线的方程为 7、方程 2
sin ?

? cos? 在 ?0,2? ? 上的根的个数

8、 y ?| log2 x | 的定义域为 [a, b] , 值域为 [0, 2] 则区间 [a, b] 的长度 b ? a 的最小值为
? 2? 9、若数列 an 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? ?5?

??

2n ? 2

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

( n ? N ? ) , an 的最大值为第 x 项,最

??

小项为第 y 项,则 x+y 等于

? R, 不 等 式 10 、 若 定 义 在 R 上 的 减 函 数 y ? f ( x) , 对 于 任 意 的 x, y

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f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) 成 立 . 且 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 点 (1, 0) 对 称 , 则 当
1 ? x ? 4 时,

y 的取值范围 x

.

11、已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 , f ? x ? 1? ? 则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ?

1? f ? x? , 1? f ? x?
.

? f ? 2007? 的值为

12 、 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最小值为 ? 2 ,则 ? 的取值范围 3 4

是 . 13、与圆 x2 + y2-4x=0 外切,又与 Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 14、 设集合 Sn ? ?1, 2,3,

若 X ? Sn , 把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量 (若 X , n? ,

中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0) 。若 X 的容量为 奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集。若 n ? 4 ,则 Sn 的所有奇子集的容量之和为 ____ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 为角,A,B,C 所对的三边,已知 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc, (1)求角 A; (2)若 BC=2 3 ,内角 B 等于 x,周长为 y,求 y ? f ( x) 的最大值.

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16、(本小题满分 14 分) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,一条斜率等于 1 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两点 (1) 求弦 AB 最长时直线 L 的方程 (2)求 ?ABC 面积最大时直线 L 的方程 (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 L 在 y 轴上的截距范围

17、(本小题满分 16 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? AC ? AA1 ? 3a ,BC ? 2a ,D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点,且 CF ? 2a . (1)求证: B1 F ? 平面 ADF ; (2)求三棱锥 D ? AB1 F 的体积; (3)试在 AA 1 上找一点 E ,使得 BE // 平面 ADF .

C1 A1
F

B1

C
D
A B

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18、(本小题满分 16 分) 某公司有价值 a 万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就要对其进行 技术改造,改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价。假设售价 y 万元与 技术改造投入 x 万元之间的关系满足: ① y 与 a ? x 和 x 的乘积成正比; ③0 ? ②x ?

a 时 y ? a2 ; 2

x ? t. 其中 t 为常数,且 t ? [0,1] 。 2(a ? x)

(1)设 y ? f ( x) ,试求出 f ( x) 的表达式,并求出 y ? f ( x) 的定义域; (2)求出售价 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值.

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19、(本小题满分 16 分) 数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , Sn , an 2 成等差 数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e? ( e 是

常数, e = 2. 71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2; (3) 正数数列 ?cn ? 中, an?1 ? ?cn ?
n?1

, (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 中的最大项.

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20、(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 . (1)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

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附加题

(共 40 分)

1、 (本小题满分 10 分) ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1 ? 2 ,E 是 侧棱 BB1 的中点.(1)求证: AE ? 平面 A1D1E ; (2)问在棱 DD1 上是否存在一点 P, 使平面 PBC1∥平面 AD1E,若存在确定 P 点位置,若不存在说明理由;

D1 B1

C1

A1

D

E

C

A

B

2、 (本小题满分 12 分) 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第 一次烧制合格后方可进入第二次烧制, 两次烧制过程相互独立. 根据该厂现有的技术水平, 经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5 , 0.6 , 0.4 ,经过第二 次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6 , 0.5 , 0.75 . (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的期望.

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3、(坐标系与参数方程.本小题满分 10 分) 已知直线 l 的参数方程: ?

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4

x?t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? y ? 1 ? 2t

(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

4、( 矩阵与变换. 本小题满分 10 分) 试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式,其中 M = ?

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0? . , N = ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ?

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江苏省新海高级中学 2008—2009 学年度第一学期期末考试 高三数学模拟试卷(二)参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1 、 已 知 向 量 a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? ( 2 cos?, 2 sin ? )(? ? R) , 实 数 m, n 满 足 则 (m ? 3)2 ? n2 的最大值为 16 . m a? n b ? ,c 2 2 、 对 于 滿 足 0 ? a ? 4 的 实 数 a , 使 x ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒 成 立 的 x 取 值 范 围 (??,?1) ? (3,??) _ _ 3、 扇形 OAB 半径为 2 , 圆心角∠AOB=60°, 点 D 是弧 AB 的中点, 点 C 在线段 OA 上, 且 OC ? 3 .则 CD ? OB 的值为

3

? ?? ) ,直线 x=t(t∈ ?0, ? )与函数 f(x)、 6 ? 2? g(x)的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值是 . 3
4、已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x ) ? cos( 2 x ? 5、对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即“[ x ]是不超过 x 的最大整数” .在 实数轴 R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x .这 个函数[ x ]叫做“取整函数” ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么 [log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? [log2 4] ? ? ? [log2 1024 ] =____8204______ . 6、已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上, F 为焦点, A, B, C 为抛物线上的三 点,且满足 FA ? FB ? FC ? 0 , FA ? FB ? FC ? 6 ,则抛物线的方程为 7、方程 2
sin ?

?

y 2 ? 4x

? cos? 在 ?0,2? ? 上的根的个数 2 8、 y ?| log2 x | 的定义域为 [a, b] , 值域为 [0, 2] 则区间 [a, b] 的长度 b ? a 的最小值为 3 4
? 2? 9、若数列 an 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? ?5?

??

2n ? 2

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

( n ? N ? ) , an 的最大值为第 x 项,最

??

小项为第 y 项,则 x+y 等于 3 10、若定义在 R 上的减函数 y ? f ( x) ,对于任意的 x, y ? R ,不等式

f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) 成立.且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,则当 y 1 1 ? x ? 4 时, 的取值范围 [? ,1 ] . 2 x 1? f ? x? 11、已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 , f ? x ? 1? ? ,则 1? f ? x?

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f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ?

? f ? 2007? 的值为

3

.

12 、 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最小值为 ? 2 ,则 ? 的取值范围是 3 4

3 (??, ?2] [ , ??) 2
14、 设集合 Sn ? ?1, 2,3,

. 若 X ? Sn , 把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量 (若 X , n? ,

13、 与圆 x2 + y2-4x=0 外切, 又与 Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 y2=8x(x>0)或 y=0 (x<0) 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0) 。若 X 的容量为 奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集。若 n ? 4 ,则 Sn 的所有奇子集的容量之和为 ____7__ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、在△ABC 中,a,b,c 为角,A,B,C 所对的三边,已知 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc, (1)求角 A; (2)若 BC=2 3 ,内角 B 等于 x,周长为 y,求 y ? f ( x) 的最大值. 解: (1)由 a 2 ? (b ? c) 2 ? bc得 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?bc

b2 ? c2 ? a2 1 ? ?A? ? cos A ? ? 又0 ? A ? ? 3 2bc 2 AC BC BC 2 3 ? , ? AC ? (2)? ? sin x ? ? sin x ? 4 sin x ? sin x sin A 3 sin 3 2 BC 2? 2? ? sin C ? 4 sin( ? x) ? y ? 4 sin x ? 4 sin( ? x) ? 2 3 同理: AB ? sin A 3 3 ? ? 2? ? 4 3 sin( x ? ) ? 2 3 ? A ? ?0 ? B ? x ? 6 3 3 ? ? 5? ? ? ? ) ? 故x ? ? ? x ? 时, y max ? 6 3 故 x ? ?( , 6 6 6 6 2 3 2 2 16、已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,一条斜率等于 1 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两点 (2) 求弦 AB 最长时直线 L 的方程 (2)求 ?ABC 面积最大时直线 L 的方程
(3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 L 在 y 轴上的截距范围 解(1)L 过圆心时弦长 AB 最大,L 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 (2) ?ABC 的面积 S ? 当∠ACB=

? 时, ?ABC 的面积 S 最大,此时 ?ABC 为等腰三角形 2 3 2 |1? 2 ? m | 3 2 设 L 方程为 y ? x ? m ,则圆心到直线距离为 从而有 ? 2 2 2
m=0 或 m= -6 则 L 方程为 x-y=0 或 x-y-6=0

1 9 CACB sin ?ACB ? sin ?ACB , 2 2

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(1) 设 L 方程为 y ? x ? b

y ? x?b ? 2 x 2 ? 2(b ? 1) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0(?) ?x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 A,B 两点的坐标为方程(*)的解
由?

?

2

2

??0 ? ?? 3 ? 26 ? b ? ?3 ? 26 ??? x1 ? x 2 ? ?b ? 1? ? x1 ? x 2 ? ?b ? 1
AB 的中点坐标为 M ( 由题意知:|OM|<

? b ?1 b ?1 , ) 2 2

AB= 2 9 ? (

| 3?b | 2

)2

1 AB ? b 2 ? 3b ? 4 ? 0 ? ?4 ? b ? 1 2

17、在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? 3a , BC ? 2a , D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点,且 CF ? 2a . (1)求证: B1 F ? 平面 ADF ; (2)求三棱锥 D ? AB1 F 的体积; (3)试在 AA 1 上找一点 E ,使得 BE // 平面 ADF . 17、 (1)证明: AB ? AC , D 为 BC 中点 ? AD ? BC ,又直三棱柱中: BB1 ? 底面 ABC , AD ? 底面 ABC , ? AD ? BB1 , ? AD ? 平面 BCC1 B1 ,
B1 F ? 平面 BCC1 B1 ? AD ? B1F .在 矩形 BCC1 B1 中: C1 F ? CD ? a , CF ? C1 B1 ? 2a B1 F ? FD , ? Rt ?DCF ? Rt ?FC1 B1 ,??CFD ? ?C1 B1 F
AD FD ? D ,? B1 F ? 平面 AFD ;

C1

A1

F

B1

C
D A
??B1 FD ? 90 ,即

B
-----------5 分

1 ? V ? A1 B ? AFD D F ? S 1 ?B D 3 1 1 5 2a 3 = ? B1 F ? FD ? AD ? ; -------10 分 3 2 3 (3)当 AE ? 2a 时, BE // 平面 ADF . 证明:连 EF , EC ,设 EC AF ? M ,连 DM , AE ? CF ? 2a ? AEFC 为矩形,?M ? MD // BE , MD ? 平面 ADF , BE ? 平面 ADF ? BE // 为 EC 中点, D 为 BC 中点, 平面 ADF . 18、某公司有价值 a 万元的一条生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,就要对其 进行技术改造,改造就需要投入资金,相应就要提高生产产品的售价。假设售价 y 万元与 技术改造投入 x 万元之间的关系满足:
(2)解:

AD ? 平面 BCC1 B1

?VD?

A1B F

① y 与 a ? x 和 x 的乘积成正比; ③0 ?

②x ?

a 时 y ? a2 ; 2

x ? t. 其中 t 为常数,且 t ? [0,1] 。 2(a ? x)

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(1)设 y ? f ( x) ,试求出 f ( x) 的表达式,并求出 y ? f ( x) 的定义域; (2)求出售价 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值. 18、解: (1)设 y ? k (a ? x) x, 当x ?

a 时y ? a 2 , 可得 k ? 4,? y ? 4(a ? x) x 2

2at ] , t 为常数, t ? [0,1] 1 ? 2t a 2 2 (2) y ? 4(a ? x) x ? ?4( x ? ) ? a 2 2at a 1 a ? 时,即 ? t ? 1, x ? 时, y max ? a 2 当 1 ? 2t 2 2 2 2at a 1 2at ? 时, 即0 ? t ? 时, y ? 4(a ? x) x在[0, ] 上为增函数 当 1 ? 2t 2 2 1 ? 2t 2at 8at 2 ?当x ? 时, y max ? 1 ? 2t (1 ? 2t ) 2 1 a 从而当 ? t ? 1 时,投入 x ? 时,售价 y 最大为 a 2 万元; 2 2 1 2at 8at 2 当 0 ? t ? 时,投入 x ? 时,售价 y 最大为 万元. 2 1 ? 2t (1 ? 2t ) 2

? 定义域为 [0,

19、数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , Sn , an 2 成 等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ? (3) 正数数列 ?cn ? 中, an?1 ? ?cn ?
*

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e? ( e 是

常数, e = 2. 71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2;
n?1
2

, (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 中的最大项.
①成立

19、 (1)解:由已知:对于 n ? N ,总有 2Sn ? an ? an ∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?1
2

(n ≥ 2)②
2 2

①--②得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1 ∴ an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ? ∴数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列
2

∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ an ? an?1 ? 1 又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a1 ,解得 a1 =1 ∴ an ? n . (n? N )
*

(n ≥ 2)

-------5 分

(2)证明:∵对任意实数 x ? ?1, e? 和任意正整数 n,总有 bn ?

ln n x an
2



1 . n2

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1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 ?n ? 1?n 1? 2 2 ? 3 1 2 n 1 1 1 1 1 1 ? 1?1? ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n 2 (3)解:由已知 a2 ? c1 ? 2 ? c1 ? 2 ,
∴ Tn ?

--------10 分

a 3 ? c 2 ? 3 ? c 2 ? 3 3 , a 4 ? c3 ? 4 ? c3 ? 4 4 ? 2 , a5 ? c 4 ? 5 ? c 4 ? 5 5 易得 c1 ? c2 , c2 ? c3 ? c4 ? ...
5

3

4

猜想 n≥2 时, ?cn ? 是递减数列.令

1 ? x ? ln x ln x 1 ? ln x x f ?x ? ? , 则f ??x ? ? ? 2 x x x2 ∵当 x ? 3时, ln x ? 1, 则1 ? ln x ? 0,即f ??x? ? 0. ∴在 ?3,??? 内 f ?x ? 为单调递减函数. ln?n ? 1? n ?1 由 a n ?1 ? c n 知 ln c n ? . n ?1 ∴n≥2 时, ?ln cn ?是递减数列.即 ?cn ? 是递减数列.
又 c1 ? c2 ,∴数列 ?cn ? 中的最大项为 c2 ? 3 3 . 20、设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 . (1)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln 20、解: (1)由题意知, f ( x) 的定义域为 (?1,??) ,

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1 / / 当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3
b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, x ?1 x ?1 2 即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, ?? ? 4 ? 8b ? 0 1 2 设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ? ,解之得 0 ? b ? ; 2 ? g (?1) ? 0
(2)由题意 f ( x) ? 2 x ?
/

(3)对于函数 f ?x? ? x ? ln(x ? 1) ,令函数 h?x? ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln(x ? 1)
2 3 3 2

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1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? ,?当x ? [0,??)时,h / ?x? ? 0 x ?1 x ?1 所以函数 h?x ? 在 [0,??) 上单调递增,又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时,恒有 h?x ? ? h(0) ? 0 1 1 1 1 即 x 2 ? x 3 ? ln(x ? 1) 恒成立.取 x ? ? (0,?? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n n 1 1 1 显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n
则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ?
/ 2

附加题答案 1、 ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1 ? 2 , E 是侧棱 BB1 的中点. (1) 求证: AE ? 平面 A1D1E ; (2 ) 问在棱 DD1 上是否存在一点 P, 使平面 PBC1∥平面 AD1E,若存在确定 P 点位置,若不存在说明理由; (1)证明:? ABCD ? A1 B1C1 D1 为长方体,? A1 D1 ? AE 又? E 是 BB1 的中点,且 BE ? EB1 ? AB ? 1 ,? A1 E ? AE ? 又 AA , AE ? A1 E ? AA1 ,? A1 E ? AE ……… 1 ? 2, 在?A 1 EA中
2 2 2

2

又? A1 D1 ? A1 E ? A1且A1 D1 , A1 E ? 平面A1 D1 E

? AE ? 平面A1 D1 E ……………………………
(2)P 为 DD1 的中点时, 使平面 PBC1∥平面 AD1E, 证明(略) … 2、某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制, 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术 水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5 , 0.6 , 0.4 ,经 过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6 , 0.5 , 0.75 . (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的期望. 解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A 1 , A2 , A 3, (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则

(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0.3 ,

? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.38 .

P(E) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

0.3) , 所以 ? ~ B(3,
故 E? ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A,B,C ,则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 , 所以 P(? ? 0) ? (1 ? 0.3) ? 0.343 ,
3

P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441, P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 . 于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 .

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3、已知直线 l 的参数方程: ?

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4

x ?t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? y ? 1 ? 2t

(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 解: (1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ;----

4 ? 两边同乘以 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2 -----------------------(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,

| 2 ?1?1| 2 2 ? 12

?

2 5 ? 2, 5
?1 ? ?1 0 ? ? 2 0? . , N = ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ?

所以直线 l 和⊙ C 相交.---------4、 试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式, 其中 M = ?

?1 0? ? 1 0? ? 1 0? 4.解:MN = ? ? ? 2 ? = ? 2 ? ,---------------0 2 ? ? ? ? ?? ? 0 1? ? 0 2? ? x? ? x ?? ? ? 1 x ? ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ??? ? ? 2 ? ,-------y ? ? ? ?y ? ? ?2y ? 1 则 y ?? ? sin 2 x ?? , 2 即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x .-----

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