2018版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.7离散型随机变量及分布列模拟演练理

2018 版高考数学一轮总复习 第 10 章 计数原理、概率、随机变量及 分布列 10.7 离散型随机变量及分布列模拟演练 理
[A 级 基础达标](时间:40 分钟) 1.[2017·武汉江夏区模拟]若随机变量 η 的分布列如下:

则当 P(η <x)=0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 C.1<x≤2 答案 C

)

B.1≤x≤2 D.1<x<2

解析 由离散型随机变量的概率分布列知 P(η <-1)=0.1,P(η <0)=0.3,P(η <1)= 0.5,P(η <2)=0.8,则当 P(η <x)=0.8 时,实数 x 的取值范围是 1<x≤2. 2.[2017·邯郸模拟]从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则 P(ξ ≤1)等于( A. C. 1 5 3 5
1 2

) B. D. 2 5 4 5

答案 D C4C2 4 解析 P(ξ ≤1)=1-P(ξ =2)=1- 3 = . C6 5 3.某贫困县辖有 15 个小镇中有 9 个小镇交通比较方便,有 6 个不太方便.现从中任意 C6C9 选取 10 个小镇,其中有 X 个小镇交通不太方便,下列概率中等于 10 的是( C15 A.P(X=4) C.P(X=6) 答案 A C6C9 解析 X 服从超几何分布,则 10 =P(X=4). C15 4.某班级在 2017 年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目,共有 6 名选手依次演讲,则 选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( A. C. 1 6 1 2 B. D. ) 1 3 2 3
4 6 4 6

)

B.P(X≤4) D.P(X≤6)

答案 D

1

解析

6 名选手依次演讲有 A6种方法,选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方
5

6

4A5 2 5 法有 4A5, 所以 6 名选手依次演讲, 则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为 6 = . A6 3 5.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从这 10 件产品中任取两件,用 ξ 表示取到次品的 件数,则 E(ξ )等于( A. C. 3 5 14 15
x 2-x

) B. 8 15

D.1

答案 A C3C7 C7 21 7 解析 ξ 服从超几何分布 P(ξ =x)= 2 (x=0,1,2),∴P(ξ =0)= 2 = = , C10 C10 45 15
2

P(ξ =1)=

C7C3 21 7 C3 3 1 = ,P(ξ =2)= 2 = = . 2 = C10 45 15 C10 45 15

1 1

2

7 7 1 9 3 ∴E(ξ )=0× +1× +2× = = . 15 15 15 15 5 故选 A. 6.[2017·安康质检]设随机变量 X 的概率分布列为

则 P(|X-3|=1)=________. 答案 5 12

1 1 1 1 1 1 5 解析 由 +m+ + =1,解得 m= ,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= + = . 3 4 6 4 4 6 12 7.[2017·临汾联考]口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任意取 3 只球,以 X 表 示取出的球的最大号码,则 X 的分布列为________.

答案 解析 X 的取值为 3,4,5. 1 1 又 P(X=3)= 3= , C5 10

2

P(X=4)= 3= , P(X=5)= 3= .
∴随机变量 X 的分布列为 C4 3 C5 5
2

C3 3 C5 10

2

8.已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球.设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数,则 P(ξ =2)=________. 答案 3 10
2 2

解析 ξ 可能取的值为 0,1,2,3, C3C4 1 P(ξ =0)= 2 2= , C4C6 5 C3C4+C3C2C4 7 P(ξ =1)= = , 2 2 C4C6 15 C3 1 又 P(ξ =3)= 2 2= , C4C6 30 1 7 1 3 ∴P(ξ =2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =3)=1- - - = . 5 15 30 10 9.[2015·福建高考]某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银 行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡 的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密 码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解 5 4 3 1 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件 A,则 P(A)= × × = . 6 5 4 2
1 1 2 2 1 1

(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3. 1 又 P(X=1)= , 6

P(X=2)= × = , P(X=3)= × ×1= .
所以 X 的分布列为 5 4 6 5 2 3

5 1 6 5

1 6

3

1 1 2 5 所以 E(X)=1× +2× +3× = . 6 6 3 2 10.[2017·广西模拟]一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片 的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列. 解 6 . 7 6 所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 . 7 (2)由题意随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. C3 1 C4 4 P(X=1)= 4= ,P(X=2)= 4= , C7 35 C7 35
3 3

C2C5+C2C5 (1)设“取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片”为事件 A, 则 P(A)= = 4 C7

1 3

2 2

P(X=3)= 4= ,P(X=4)= 4= ,
所以随机变量 X 的分布列是

C5 2 C7 7

3

C6 C7

3

4 7

[B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11. [2017·烟台模拟]一只袋内装有 m 个白球, n-m 个黑球, 连续不放回地从袋中取球, ?n-m?Am 直到取出黑球为止,设此时取出了 ξ 个白球,下列概率等于 的是( 3 An A.P(ξ =3) C.P(ξ ≤3) 答案 D ?n-m?Am 解析 依题意知, 是取了 3 次,所以取出白球应为 2 个. 3 An 12.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n= 1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号.若 η =aξ -2,E(η )=1,则 a 的值
4
2 2

)

B.P(ξ ≥2) D.P(ξ =2)

为(

) A.2 答案 A 解析 由题意知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,则 ξ 的分布列为 B D.3 . - 2 C . 1.5

1 1 1 3 1 3 ∴E(ξ )=0× +1× +2× +3× +4× = ,∵η =aξ -2,E(η )=1,∴aE(ξ ) 2 20 10 20 5 2 3 -2=1,∴ a-2=1,解得 a=2. 2 13. [2017·信阳模拟]如图所示,A,B 两点由 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过 的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总 量为 X,则 P(X≥8)=________.

答案

4 5
2 1

解析 解法一:(直接法)由已知得,X 的取值为 7,8,9,10, C2C2 1 ∵P(X=7)= 3 = , C5 5

P(X=8)= P(X=9)=

C2C1+C2C2 3 = , 3 C5 10 C2C2C1 2 C2C1 1 , 3 = ,P(X=10)= 3 = C5 5 C5 10
1 1 1 2 1

2 1

1 2

∴X 的概率分布列为

∴P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
5



3 2 1 4 + + = . 10 5 10 5

解法二:(间接法)由已知得,X 的取值为 7,8,9,10, 故 P(X≥8)与 P(X=7)是对立事件, C2C2 4 所以 P(X≥8)=1-P(X=7)=1- 3 = . C5 5 14.将编号为 1,2,3,4 的四个材质和大小都相同的球,随机放入编号为 1,2,3,4 的四个 盒子中,每个盒子放一个球,ξ 表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数. (1)求 1 号球恰好落入 1 号盒子的概率; (2)求 ξ 的分布列. A3 1 解 (1)设事件 A 表示“1 号球恰好落入 1 号盒子”,P(A)= 4= ,所以 1 号球恰好落 A4 4 1 入 1 号盒子的概率为 . 4 (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,4. 3×3 3 4×2 1 4 = ,P(ξ =1)= 4 = , A4 8 A4 3 C4 1 A4 4
2 3 2 1

P(ξ =0)=

P(ξ =2)= 4= ,P(ξ =4)= 4= .
所以随机变量 ξ 的分布列为

1 A4

1 24

6


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