北京市朝阳区2011届高三数学保温测试文

数 学 试 卷(文史类)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | 2 ? 1} , B ? { x |
x

(A) { x | x ? 1}
2

(B) { x | 0 ? x ? 1}

1 ? 0 } ,则 A I (? U B) = x ?1 (C) { x | 0 ? x ? 1} (D) { x | x ? 1}
(D)2 或 3

(2)若复数 (m ? 3m) ? (m2 ? 5m ? 6)i ( m ? R )是纯虚数,则 m 的值为 (A)0 (B)2 (C)0 或 3

(3)设 a ? log 1 2 , b ? log2 3 , c ? ( ) ,则
0.3

3

1 2

(A) a ? b ? c (A) (B)

(B) a ? c ? b

(C) b ? c ? a

(D) b ? a ? c

(4)已知 a,b 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是

a // b , b // ? ,则 a // ? a, b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ? (C) a ? ? , b // ? ,则 a ? b (D) 当 a ? ? ,且 b ? ? 时,若 b ∥ ? ,则 a ∥ b (5)若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为
(A) n ? 5 (B) n ? 6 (C) n ? 7 (D) n ? 8

(6)要得到函数 y ? sin(2 x ?
(A)向左平移

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象

? ? 单位 (B)向右平移 单位 4 4 ? ? (C)向右平移 单位 (D)向左平移 单位 8 8 2 2 (7)直线 l 过点 (?4, 0) 且与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 交于 A, B 两点,如果 | AB |? 8 ,则直线 l 的方程为
(A) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 (C) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 (8)已知椭圆 (B) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0 (D) 5x ? 12 y ? 20 ? 0 或 x ? 4 ? 0

x2 ? y 2 ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆上一点,且 ?F1PF2 ? 90 ,则点 P 的纵坐标 4 3 2 3 2 6 2 可以是 (A) (B) (C) (D) 3 3 3 3 第二部分(非选择题 共 110 分)
2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)命题: ?x ? R, x ? 0 的否定是 (10)向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (1, cos ? ) ,若 a ? b ? .

3 ,则 sin 2? ? 5

.

? x ? y ? 1 ? 0, ? (11)如果实数 x , y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, 那么 2 x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?



(12)年级举行校园歌曲演唱比赛,七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图 如右图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数 为 ,方差为 .

(13)右图是一个几何体的三视图(单位: cm ) ,根据图中数据,可得该几何 体的体积是 .

(14)知向量 a ? (1, t ), b ? (?1, t ) .若 2a ? b 与 b 垂直, 则 | a |?

.

三、解答题:本大题共 6 小题, 共 80 分.应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? sin x cos x ?

3 ?x ? R ? . 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若 x ? (0,

?

?
2

4

) ,求 f ( x) 的最大值;

(16) 本小题满分 13 分) 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 M 名学生作为样本, 得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: 分组 频数 10 24 频率 0.25 a
频率/组距

[10,15) [15, 20) [20, 25) [25,30)
合计

n
p
0.05 1
0 10 15 20 25 30 次数

m
2

M

(Ⅰ)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (Ⅱ) 若该校高三学生有 240 人, 试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10, 15) 内的人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区 服务次数在区间 [25, 30) 内的概率.

(17) (本小题满分 13 分)如图,棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形 , AC

BD ? O ,侧棱

AA1 ⊥BD,点 F 为 DC1 的中点.
(I) 证明: OF // 平面 BCC1B1 ; (II)证明:平面 DBC1 ? 平面 ACC1 A 1.

D1

C1

A1

B1

F

D
A
O

C

B

(18) (本小题共 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? 4an ? 3 ( n ? N ) .
*

(Ⅰ)证明:数列 ?an ? 是等比数列; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? an ? bn (n ? N* ) ,且 b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

(19) (本小题共 14 分) 已知圆 C 经过点 A(?2,0), B(0, 2) , 且圆心在直线 y ? x 上, 且又直线 l : y ? kx ? 1 与圆C相交于 P , Q 两点.(I)求圆C的方程; (II)若 OP OQ ? ?2 ,求实数 k 的值;

(20) (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 与函数 g ( x) ? a ln x(a ? 0) .
2

(I)若 f ( x), g ( x) 的图象在点 (1,0) 处有公共的切线,求实数 a 的值; (II)设 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值.

高三数学练习题参考答案 (文科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (2)A (3)B (4)C (5)B (6)C (7)D (8)B 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?x ? R , x ? 0
2

(10) ?

4 5

(11)1

(12)85,3.2

(13)4 (14) 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( ) ?

?

4 4 4 3 (1 ? cos2 x) 1 3 (Ⅱ) f ( x) ? ? sin 2 x ? 2 2 2 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ? ? sin( 2 x ? ) . ………………………………………………6 分 3 ? ? ? 2? ? 0 ? x ? , ? ? ? 2x ? ? . 2 3 3 3 5? ? ? 时, f ( x) 的最大值为 1 . …………………8 分 ? 当 2 x ? ? 时,即 x ? 12 3 2
16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知, 所以 M ? 40 .

4

3 sin 2

?

? sin

?

cos

?

?

3 1 ? . 2 2

……………4 分

10 ? 0.25 , M

……………………………………………………………2 分 ……………3 分

因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 24 ? m ? 2 ? 40 , m ? 4 .

p?

m 4 ? ? 0.10 . M 40

……………………………………………………4 分

因为 a 是对应分组 [15, 20) 的频率与组距的商,所以 a ?

24 ? 0.12 . …6 分 40 ? 5

(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. …8 分 (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人, 设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,在区间 [25,30) 内的人为 ?b1 , b2 ? . 则任选 2 人共有 (a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1),

(a2 , b2 ),(a3 , a4 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(b1, b2 ) 15 种情况, ……10 分
而两人都在 [25,30) 内只能是 ? b1 , b2 ? 一种, ………………………………12 分 所以所求概率为 P ? 1 ?

1 14 ? .(约为 0.93 ) 15 15

………………………13 分

17. (共 13 分) 解: (I)? 四边形 ABCD 为菱形且 AC

BD ? O ,

? O 是 BD 的中点 .
又点 F 为 DC1 的中点,

..........................................................................2 分

? 在 ?DBC 1 中, OF // BC 1,

........................................................4 分

? OF ? 平面 BCC1B1 , BC1 ? 平面 BCC1B1 ,

? OF // 平面 BCC1B1 .
(II)? 四边形 ABCD 为菱形,

......................................................................6 分

? BD ? AC .
又 BD ? AA1 , AA 1

................................................................................8 分

AC ? A, 且 AA1, AC ? 平面 ACC1 A1 , .................10 分
.....................................................................11 分

? BD ? 平面 ACC1 A1 . ? BD ? 平面 DBC 1 ,
(18)(共 13 分)

? 平面 DBC1 ? 平面 ACC1 A1 .

...................13 分

(Ⅰ)证明:由 Sn ? 4an ? 3 , n ? 1 时, a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? 1 . 因为 Sn ? 4an ? 3 ,则 Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3 (n ? 2) , 所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 4an?1 , 整理得 an ?

4 an ?1 .又 a1 ? 1 ? 0 , 3
4 的等比数列. 3
……………………………6 分

所以 ?an ? 是首项为 1,公比为 (Ⅱ)解:因为 an ? ( )

4 3

n ?1



由 bn?1 ? an ? bn (n ? N* ) ,得 bn ?1 ? bn ? ( )

4 3

n ?1

.

可得 bn ? b1 ? (b2 ? b`1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )

4 1 ? ( ) n ?1 4 3 =2? ( n ? 2 ). ? 3( ) n ?1 ? 1 , 4 3 1? 3
当 n ? 1 时上式也满足条件. 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3( )

4 3

n ?1

? 1 . ……………………………13 分

19.(本小题共 14 分)解:(I)设圆心 C (a, a), 半径为 r . 因为圆经过点 A(?2,0), B(0, 2) , 所以 | AC |?| BC |? r ,解得 a ? 0, r ? 2 . 所以圆 C 的方程是 x2 ? y 2 ? 4 . ……………………………………………6 分 (II)方法一:因为 OP ? OQ ? 2 ? 2 ? cos?OP, OQ? ? ?2 ,

1 , ?POQ ? 120 , 2 所以圆心到直线 l : kx ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 1 , 1 又d ? ,所以 k ? 0 . …………………… 14 分 k 2 ?1 ? y ? kx ? 1 方法二:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , 因为 ? 2 ,代入消元得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 . 2 ?x ? y ? 4 ? ?? ? 4k 2 ? 4(1 ? k 2 )(?3) ? 0 ? ?2k ? 由题意得: ? x1 ? x2 ? 因为 OP ? OQ = x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? ?2 , 2 1 ? k ? ?3 ? x1 ? x2 ? ? 1? k 2 ? 又 y1 ? y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1 ? x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
所以 cos ?POQ ? ?

?3 ?3k 2 ?2k 2 ? ? ? 1 ? ?2 , 所以, x1 ? x2 ? y1 ? y2 = 1? k 2 1? k 2 1? k 2 化简得: ?5k 2 ? 3 ? 3(k 2 ? 1) ? 0 ,所以 k 2 ? 0, 即 k ? 0 . …………… 14 分
20. (本小题满分 14 分)解: (I)因为 f (1) ? 0, g (1) ? 0 , 所以点 (1,0) 同时在函数 f ( x), g ( x) 的图象上
2

……………………… 1 分

因为 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? a ln x , f '( x) ? 2 x ,…………………………3 分

a a ………5 分 由已知,得 f ' (1) ? g ' (1) ,所以 2 ? ,即 a ? 2 ………6 分 1 x 2 (II)因为 F ( x) ? f ( x) ? 2g ( x) ? x ? 1 ? 2a ln x ( x ? 0) ……………7 分

g '( x) ?

2a 2( x 2 ? a) ? ……………………………………8 分 x x 2 当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,且 x ? a ? 0, 所以 F ' ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, 所以 F ( x) 在 (0,??) 上单调递增, F ( x) 无极值 ……………10 分
所以 F ' ( x) ? 2 x ? 当 a ? 0 时,令 F ' ( x) ? 0 ,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍) ……………11 分 所以当 x ? 0 时, F '( x), F ( x) 的变化情况如下表:

x
F ' ( x) F ( x)
所以当 x ?

(0, a ) ?

a
0 极小 值

( a , ??)
+

……………13 分

a 时, F ( x) 取得极小值,且

F ( a ) ? ( a )2 ? 1 ? 2a ln a ? a ? 1 ? a ln a . 综上,当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在 (0,??) 上无极值;
当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在 x ?

a 处取得极小值 a ? 1 ? a ln a .

………14 分


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