2014职高数学模拟试题(含答案)


2014 职高数学模拟试题(含答案)
一、选择题(本大题共 15 小题,每题 4 分,共 60 分) 1. 设集合 U ? ?( x,y) x ? R,y ? R?,A ? ?( x, y) 2x ? y ? m ? 0?,B ? ?( x, y) x ? y ? n ? 0?, 那么点 P(2,3) ? A ? (CU B) 的充要条件是( A. m ? ?1,n ? 5 ; C. m ? ?1,n ? 5 ; 2.设命题 ) B. m ? ?1,n ? 5 ; D. m ? ?1,n ? 5

p : c 2 ? c. 命题 q : 对x ? R,x 2 ? 4cx ? 1 ? 0. 若 p 和 q 有且仅有一个
) B. (? , ) ;
1 2 1 1 2 2 1 D. ( ? ,1) . 2

成立,则实数 c 的取值范围是( A.(0,1); C. (? ,0] ? [ ,1) ;
1 2

? ?) 上单调递增的是( 3.下列函数中既是奇函数,又在 (0,



A. y ? sin x ;

B. y ? ? x 2 ;

C. y ? x lg 2 ; D. y ? ? x 3 .

4.已知偶函数 y ? f ( x)满足条件f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), 且当x ? [?1,0]时,
4 f ( x) ? 3 x ? ,则f (log1 5)的值等于( 9 3
A.-1; 5.函数 y ?
ln(x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

) C. )
101 ; 45

B.

29 ; 50

D.1.

的定义域为(

A. (-4,-1) ; B. (-4,1) ; C. (-1,1) ; D. (-1,1]. 6.设 x,y ? R,a ? 1,b ? 1.若a x ? b y ? 3,a ? b ? 2 3,则 ? 的最大值为( A.2; B. ;
3 2

1 x

1 y

)

C.1;

D. .

1 2

7.如果方程 kx2 ? 2(k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 仅有一个负根,则 k 的取值范围是( ) A.(-3,0); B.[-3,0); C.[-3,0]; D.[-1,0].

1

8.已知 a ? log 2 3,b ? 8 ?0.2,c ? sin A. a ? b ? c ;

16? ,则 a,b,c 的大小关系是( 5



B. a ? c ? b ;

C. b ? a ? c ; D. c ? b ? a .
?
3

9.设 f ( x) ? A sin 的图象关于直线 x ? (?x ? ?)(A ? 0,? ? 0 ) 期是 ? ,则 f ( x) 图象上的一个对称中心是( A. ( ,1) ;
3
? ?

对称,它的最小正周


5? ,0 ) ; 12

?

B. (

?
12

,0 ) ;
?

C. (
?

D. ( ?

?
12

,0 ) .

3), b ? (?5, ? 1),若m a ? n b 与 a 垂直,则 10.已知向量 a ? (2,

?

n 等于( m



A.2;

B.1;

C.0;

D.-1.

11.已知 {an } 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,又 S n 表示 {an } 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是( A.21; B.20; ) C.19; D.18.

12.已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 k 的 值是( ) A.1 或 3; B.1 或 5; C.3 或 5; D.1 或 2.

13.直线 2 x ? y ? 0 与圆 C:( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 交于 A、B 两点,则△ABC(C 为圆心) 的面积等于( ) B. 2 5 ; C. 4 3 ; D. 4 5 . )

A. 2 3 ;

14. “m>n>0”是“方程 mx2 ? ny2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件; C.充要条件; B.必要而不充分条件; D.既不充分也不必要条件.

x2 y2 15.椭圆 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, 点 P 为椭圆上一点,已知 PF1 、 4 9

PF2 为方程 x 2 ? m x ? 5 ? 0 的两个根,则实数 m 的值为(



A. 2 5 ;

B. ? 2 5 ;

C.6;

D.-6

2

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 16.设 f ( x) 为定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f (1) ? 0, f (2) ? (a ? 1)(2a ? 3) , 则 实数a的取值范围是 ;

17.5 名篮球运动员比赛前将外衣放在了休息室,由于灯光暗,问:赛后至少有 两人拿对外衣的情况有多少 种; .
1 a 1 b

18.若 1 ? m ? 3, ? 4 ? n ? 2,则m ? n 的取值范围是
a

19.设 a ? 0,b ? 0. 若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 ? 的最小值为 20.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? ay ? 3 ? 0 (a为实数)上任意一点关 于直线l : x ? y ? 2 ? 0 的对称点都在圆 C 上,则 a = .

b



三、解答题(本大题共 4 小题,每题 10 分,共 40 分)
? 2x ? b 21.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a

⑴求 a,b 的值; ⑵若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

22.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元,并且每生产一单位产品,成本 增加 10 万元,又知总收入 k 是单位产品数 Q 的函数, k (Q) ? 40Q ? 润 L(Q ) 的最大值是多少?
1 2 Q ,则总利 20

0)、F2 ( 2, 0)), 23. 已知动点 P 满足 PF2 ? PF1 ? 2(其中F1 (? 2, 当点 P 的纵坐标是

1 2

时,其横坐标是多少?此时点 P 到坐标原点的距离是多少?

2 24.抛物线 y ? 8x 上的点 P0 ( x0,y0 ) 到抛物线的焦点的距离为 3,求 y 0 的值.

3

2015 职高数学模拟试题九参考答案与详解
一、选择题(本大题共 15 小题,每题 4 分,共 60 分)

B ? ?( x, y) x ? y ? n ? 0?, 1. 设集合 U ? ?( x,y) x ? R,y ? R?,A ? ?( x, y) 2x ? y ? m ? 0?,
那么点 P(2,3) ? A ? (CU B) 的充要条件是( A. m ? ?1,n ? 5 ; C. m ? ?1,n ? 5 ; ) B. m ? ?1,n ? 5 ; D. m ? ?1,n ? 5

( x, y) x ? y ? n ? 0? , 【解析】由 P(2,3) ? A ? (CU B) ,得 (2,3) ? A且(2,3) ? CU B ? ?
即4 ? 3 ? m ? 0且2 ? 3 ? n ? 0, ? m ? ?1, n ? 5.
2.设命题 故选 A.

p : c 2 ? c. 命题 q : 对x ? R,x 2 ? 4cx ? 1 ? 0. 若 p 和 q 有且仅有一个

1 1 2 2 1 D. ( ? ,1) . 2

成立,则实数 c 的取值范围是( A.(0,1); C. (? ,0] ? [ ,1) ; 【解析】由
1 2 1 2

B. ( ? , ) ;

p : c 2 ? c. ? 0 ? c ? 1 ;
2 2

2 1 1 ?? ?c? . 由 q : 对x ? R,x ? 4cx ? 1 ? 0. ? (4c) 2 ? 4 ? 0,

法一、∵“p 和 q 有且仅有一个成立”包含以下两种情形: ①p 成立,q 不成立; 或 ②p 不成立,q 成立.
0 ? c ? 1; 1 1 1 ? c ? [ ,1); c ? ? 或c ? ; 2 ? 2 2 ? c ? 0或c ? 1; ? 1 ? 由② ? ? 1 1 ? c ? (? ,0]; ? ?c? ; 2 ? 2 ? 2

由① ? ? ?

?

∴ c ? (? ,0] ? [ ,1) .故选 C 法二、∵“p 和 q 有且仅有一个成立”的对立事件是“p 和 q 同时成立”或“p 和 q 都不成立” ,

1 2

1 2

4

∴可以借助数轴很轻松就判断出“p 和 q 有且仅有一个成立”的 c 的范 围为 (? ,0] ? [ ,1) .故选 C
? ?) 上单调递增的是( 3.下列函数中既是奇函数,又在 (0,
1 2 1 2



A. y ? sin x ;

B. y ? ? x 2 ; C. y ? x lg 2 ;

D. y ? ? x 3 .

? ?) 上单调递增,且 【解析】根据基本初等函数的图象,可以判断 y ? x lg 2 在 (0,

是奇函数.故选 C 4.已知偶函数 y ? f ( x)满足条件f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), 且当x ? [?1,0]时,

4 f ( x) ? 3 x ? ,则f (log1 5)的值等于( 9 3
A.-1; B.
29 ; 50

) D.1.

C.

101 ; 45

【解析】由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), 知 f ( x ? 2) ? f ( x), 所以函数 y ? f ( x) 是以 2 为周期的周期函数. ∵ log1 5 ? (?2,?1), ∴ log1 5 ? 2 ? log1 5 ? log1
3
3 3 3

1 5 ? log1 ? (0,1). 9 9 3

4 x 又 f ( x) 为偶函数,且 x ? [?1,0] 时, f ( x) ? 3 ? , 9 4 ?x ∴当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 3 ? , 9
∴ f (log1 5) ? f (log1 5 ? 2) ? f (log1 )
3 3 3

5 9

?3

?log 1
3

5 9

log3 4 4 5 4 ? ? 3 9 ? ? ? ? 1. 故选 D 9 9 9 9

5

5.函数 y ?

ln(x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为(



A. (-4,-1) ; B. (-4,1) ; C. (-1,1) ; D. (-1,1]. 【解析】由 ?
x ? 1 ? 0; ? ? ?1 ? x ? 1. 故选 C 2 ?? x ? 3x ? 4 ? 0;
5

6.设 x,y ? R,a ? 1,b ? 1.若a x ? b y ? 3,a ? b ? 2 3,则 ? 的最大值为( A.2;
x

1 x

1 y

)

B. ;
y

3 2

C.1;

D. .

1 2

,y ? logb 3. 【解析】∵ a ? b ? 3, ∴ x ? loga 3
1 1 1 1 ? ? ? ? ? log3 a ? log3 b ? log3 ab x y loga 3 logb 3
( a ? b) 2 ? log3 ? log3 3 ? 1. 4

故选 C )

7.如果方程 kx2 ? 2(k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 仅有一个负根,则 k 的取值范围是( A.(-3,0); B.[-3,0); C.[-3,0]; D.[-1,0].

【解析】这类题首先要考虑到二次项系数为 0 的情况.所以分以下两种情况进 行讨论:
? 可以将选项 A、B排除; ⑴当 k =0 时,由原方程得 x ? ? ? 0成立, 3 2

⑵当 k≠0 时,因为仅有一个负根,设两根为 x1、x2 , 则 ? ? 0, 且 x1 ? x2 ? 0,
?[2(k ? 1)]2 ? 4k (k ? 3) ? 0; ? ? ?3 ? k ? 0. 即? k ?3 ? 0; ? k ?

综上所述, ? 3 ? k ? 0 .故选 C 8.已知 a ? log 2 3,b ? 8 ?0.2,c ? sin A. a ? b ? c ;
16? ,则 a,b,c 的大小关系是( 5



B. a ? c ? b ;

C. b ? a ? c ; ∴1 ? a ? 2;

D. c ? b ? a .

【解析】∵ 1 ? log2 2 ? log2 3 ? log2 4 ? 2, 而b ? 8
? 0.2

1 ? ( ) 0.2,显然 0 ? b ? 1 ; 8
16? 6? 6? ? sin( 2? ? ) ? sin ? 0. 5 5 5

由于 c ? sin

因此 a ? b ? c . 故选 A

6

9.设 f ( x) ? A sin 的图象关于直线 x ? (?x ? ?)(A ? 0,? ? 0 ) 期是 ? ,则 f ( x) 图象上的一个对称中心是( A. ( ,1) ;
3

?
3

对称,它的最小正周

) D. (?
?
12 ,0 ) .

?

B. (

?
12

,0 ) ;

C. (

【解析】∵ T ?

2?

5? ,0 ) ; 12

?

? ?,

∴ ? ? 2,
?
3

又∵函数的图象关于直线 x ? ∴有 sin( 2 ? ? ? ) ? ?1,
3

对称,
?
6

?

. ∴ ? ? k1? ? (k1 ? Z)

? ? . 由 sin[ 2 x ? (k1? ? )] ? 0 得: 2 x ? (k1? ? ) ? k 2?(k 2 ? Z) 6 6
∴x ?
? (k 2 ? k1 ) ,当 k1 ? k 2 时, x ? . 12 2 12

?

?

?

∴ f ( x) 图象的一个对称中心为 (
? ?

?

12

,0 ) .
? ?

故选 B.
?

3), b ? (?5, ? 1),若m a ? n b 与 a 垂直,则 10.已知向量 a ? (2,

n 等于( m



A.2;
? ?

B.1;

C.0;

D.-1.

3) ? n(?5, ? 1) ? (2m ? 5n, 3m ? n), 【解析】∵ m a ? n b ? m(2,
又∵ m a ? n b 与 a 垂直,
? ? ?

13m ? 13n, ∴ 2(2m ? 5n) ? 3(3m ? n) ? 0,即

n =1. m

故选 B

11.已知 {an } 为等差数列,a1 ? a3 ? a5 ? 105,a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,又 S n 表示 {an } 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是( A.21; B.20; C.19; ) D.18.

【解析】∵ {an } 为等差数列,设公差为 d, 由 a1 ? a3 ? a5 ? 105 ? a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 ? 99 ? a4 ? 33, ∴ d ? a4 ? a3 ? 33 ? 35 ? ?2 ,即 {an } 是递减数列. 又 an ? a3 ? (n ? 3)d ? 35 ? (n ? 3) ? (?2) ? ?2n ? 41,
7

a n ? 0, ? 2n ? 41 ? 0,n ?

41 , 2

∴当 n ? 20时,an ? 0, ∴ n ? 20时,S n 最大 .故选 B 12.已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 k 的 值是( ) A.1 或 3; B.1 或 5; C.3 或 5; D.1 或 2.

,l2 : ?2 y ? 3 ? 0, 【解析】当 k=3 时, l1 : y ? 1 ? 0 显然平行;
当 k=4 时, l1 : x ? 1 ? 0,l2 : 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,显然不平行; 当 k≠3 且 k≠4 时,要使 l1 // 2 , 应有
k ?3 4?k 1 ? ? ? k ? 5. 2(k ? 3) ?2 3

综上所述,k=3 或 5. 故选 C 13.直线 2 x ? y ? 0 与圆 C:( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 交于 A、B 两点,则△ABC(C 为圆心) 的面积等于( A. 2 3 ; ) B. 2 5 ; C. 4 3 ; D. 4 5 .

【解析】根据条件可知,圆的半径 r =3,圆心 C 的坐标为(2,-1) , 圆心 C 到直线 2 x ? y ? 0 的距离 d ?
2 ? 2 ? (?1) 2 2 ? (?1) 2 ? 5.

则直线被圆截得的弦长为 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 9 ? 5 ? 4 , 所以△ABC 的面积为 S ?
1 1 AB ? d ? ? 4 ? 5 ? 2 5 . 故选 B 2 2

14. “m>n>0”是“方程 mx2 ? ny2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件; C.充要条件; B.必要而不充分条件; D.既不充分也不必要条件.



8

1 1 x2 y2 【解析】把椭圆方程化成 ? ? 1 . 若m ? n ? 0,则 ? ? 0 .所以椭圆的焦点 1 1 n m m n

在 y 轴上.反之,若椭圆的焦点在 y 轴上, 则 ?

1 n

1 ? 0, 即有 m ? n ? 0. m

∴“m>n>0”是“方程 mx2 ? ny2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条 件. 故选 C

x2 y2 15.椭圆 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, 点 P 为椭圆上一点,已知 PF1 、 PF2 4 9

为方程 x 2 ? m x ? 5 ? 0 的两个根,则实数 m 的值为( A. 2 5 ; B. ? 2 5 ; C.6;

) D.-6. 故选 D

【解析】依题意,有 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 ? ?m, ∴ m ? ?6 二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 16. 设 f ( x) 为定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 若 f (1) ? 0, f (2) ? (a ? 1)(2a ? 3) , 则 实数a的取值范围是 【解析】∵ f ( x) 是周期为 3 的奇函数, ∴ f (2) ? f (2 ? 3) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0.
3 ?1 ? a ? . ∴ (a ? 1)( 2a ? 3) ? 0,解得: 2



答案: ? 1 ? a ?

3 . 2

17.5 名篮球运动员比赛前将外衣放在了休息室,由于灯光暗,问:赛后至少 有两人拿对外衣的情况有多少 【解析】这个问题可以进行如下分类: ①有 2 人拿对;有 C52 ? 2 ? 20种; ②有 3 人拿对;有 C53 ? 10种; ③5 人都拿对(没有 4 人拿对而第 5 人拿错的情况) .仅有 1 种. 所以至少有两人拿对外衣的情况共有 20+10+1=31 种. 种;

9

18.若 1 ? m ? 3, ? 4 ? n ? 2,则m ? n 的取值范围是 【解析】∵ ? 4 ? n ? 2, ∴ 0 ? n ? 4 .从而 ? 4 ? ? n ? 0 . ∴ ? 3 ? m ? n ? 3. 注意:只有同向不等式才能相加



19.设 a ? 0,b ? 0. 若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 ? 的最小值为

a

b

1 a

1 b



? 3a?b ? 3 , ? a ? b ? 1; 【解析】依题意,有: ( 3) 2 ? 3a ? 3b,

1 1 a ? b (a ? b) 2 4ab ? ? ? 4. ∴ ? ? a b ab ab ab

即 ? 的最小值为 4.

1 a

1 b

20.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? ay ? 3 ? 0 (a为实数)上任意一点关 于直线l : x ? y ? 2 ? 0 的对称点都在圆 C 上,则 a = .

【解析】由已知条件知圆心必在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上,

, ? 而圆心坐标为 ( ?1
∴答案为:-2.

a a ) ,故有 ? 1 ? ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 . 2 2

三、解答题(本大题共 4 小题,每题 10 分,共 40 分)
? 2x ? b 21.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a

⑴求 a,b 的值; ⑵若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围. 【解析】⑴因为 f ( x) 是奇函数(奇函数的图象关于原点对称,即必过原点) , 所以 f (0) ? 0, 即
?1? b ? 0, 解得 b ? 1. 2?a

? 2x ?1 从而有 f ( x) ? x?1 . 2 ?a

1 ?1 ? 2 ?1 2 又由 f (1) ? ? f (?1), 知 ?? , 4?a 1? a ?

10

解得 a ? 2.

故 a ? 2, b ? 1.
? 2x ?1 . 2 x ?1 ? 2

⑵法一:由⑴知 f ( x) ?

又由题设条件“ f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立”得:

? 2t 2
2

2

? 2t

?1 ?2

t ? 2 t ?1
2

?

? 2 2t 2
2

2

?k

?1 ?2

2 t ? k ?1
2

? 0.
2

即(2 2t

? k ?1

? 2)(?2 t

? 2t

? 1) ? (2 t

? 2 t ?1

? 2)(?2 2t

2

?k

? 1) ? 0.

整理得: 2

3t 2 ?2t ?k

? 1.

因底数 2>1( y ? 2 x 为增函数 ),故 3t 2 ? 2t ? k ? 0. 因为上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0, 解得 k ? ? . 法二:由⑴知 f ( x) ?
? 2 x ? 1 ? (2 x ? 1) ? 2 1 1 ? ?? ? x . x ?1 x 2 2 ?1 2 ?2 2(2 ? 1)
1 3

由上式易知 f ( x) 在 (??,??) 上为减函数. 又因为 f ( x) 是奇函数,从而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价 于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ). 因为 f ( x) 是减函数,所以 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k. 即对于一切的 t ? R ,有 3t 2 ? 2t ? k ? 0. 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0, 解得 k ? ? . 22.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元,并且每生产一单位产品,成本 增加 10 万元,又知总收入 k 是单位产品数 Q 的函数, k (Q) ? 40Q ? 润 L(Q ) 的最大值是多少? 【解析】∵总利润 L(Q) ? 40Q ?
1 2 1 Q ? 10Q ? 2000 ? ? (Q ? 300 ) 2 ? 2500 . 20 20 1 2 Q ,则总利 20 1 3

故 当 Q ? 300时,总利润的最大值为 2500 万元.

11

0)、F2 ( 2, 0)), 23. 已知动点 P 满足 PF2 ? PF1 ? 2(其中F1 (? 2, 当点 P 的纵坐标是

1 2

时,其横坐标是多少?此时点 P 到坐标原点的距离是多少? 【解析】提示:由已知可得动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0), 且 P(? ∴ OP ?
6 . 2 5 1 , ), 2 2

2 24.抛物线 y ? 8x 上的点 P0 ( x0,y0 ) 到抛物线的焦点的距离为 3,求 y 0 的值.

【解析】提示:抛物线的焦点 F (2,0),准线l : x ? ?2, 由题意知, x0 ? 2 ? 3, ∴ x0 ? 1,
2 ∴ y0 ? 8,

∴ y0 ? 2 2 .

12


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