高中数学完整讲义——函数及其表示1.函数的概念

高中数学讲义

板块一.函数的概念

典例分析
题型一 函数的定义
【例1】判断以下是否是函数:
⑴ y ? 4 x2 ? 5 ;⑵ y ? ? x ;⑶y ? x ? 3 ? 2 ? x ;⑷x2 ? y 2 ? 9 .

【例2】函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是(
A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2



【例3】如图所示,能表示“ y 是 x 的函数”的是
y y y


y

O ①

x

O ②

x

O ③

x

O ④

x

【例4】如下图(1) (2) (3) (4)四个图象各表示两个变量 x, y 的对应关系,其中表示 y 是 x 的函 数关系的有
y 1 ?1


y 1
y
y

1 1x

1

?1

1 x

?1

O
?1

1x

O
?1
(1).

O

?1

O
?1

1x

(2).

(3).

(4).

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【例5】 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的 函数关系的有( ) A、 0 个 B、 1 个
y 2 1 O 1 2 x 2 1 O 1 2 x O y 3 2 1 1 2 x

C、 2 个
y 2 1 O

D、3 个
y

1 2

x

【例6】以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射?如果是映射,是不是一一映射. ⑴ 集合 A ? {P | P 是数轴上的点 } ,集合 B ? R ,对应关系 f :数轴上的点与它所代表的实 数对应; ⑵ 集合 A ? {P | P 是平面直角坐标系中的点 } , 集合 B ? {( x , y) | x ? R , y ? R} , 对应关系 f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; ⑶ 集合 A ? {x | x 是三角形 } ,集合 B ? {x | x 是圆 } ,对应关系 f :每一个三角形都对应它 的内切圆; ⑷ 集合 A ? {x | x 是华星中学的班级 } ,集合 B ? {x | x 是华星中学的学生 } ,对应关系 f : 每一个班级都对应班里的学生.

【例7】下列对应中有几个是映射?

a1

b1

a1

b1

a1

b1

a1

b1

a2

b2 b3

a2

b2 b3

a2

b2 b3

a2

b2

a3

a3

a3

a3

【例8】已知 A ? {a1 , a2 } , B ? {b1 , b2 } ,则从 A 到 B 的不同映射共有( A.4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 )



【例9】设 f : A ? B 是集合 A 到 B 的映射,下列说法正确的是( A、A 中每一个元素在 B 中必有象 C、B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的

B、B 中每一个元素在 A 中必有原象 D、B 是 A 中所在元素的象的集合

【例10】⑴ 若集合 A ? {?1,0,1} , B ? {?2, ?1,0,1, 2} , f :A→B 表示 A 到 B 的一个映射,且满足对任

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意 x ? A 都有 x ? f ( x) 为偶数,则这样的映射有_______ 个. ⑵ 设 f : A ? B 是从集合 A 到 B 的映射, A ? B ? ?( x , y) x ? R , y ? R? ,
f : ( x, y ) ? (kx, y ? b) ,若 B 中元素 (6, 2) 在映射 f 下的原象是 (3, 1) ,

则 k,b 的值分别为________.

【例11】已知集合 A ? ?x 0 ? x ? 4? , 下列从 A 到 B 的对应 f 不是映射的是 ( B ? ? y 0 ? y ? 2? ,
1 A. f : x ? y ? x 2 2 C. f : x ? y ? x 3
1 B. f : x ? y ? x 3 1 D. f : x ? y ? x2 8



【例12】集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是__________,从 B 到 A 的映射个数是__________.

【例13】已知集合 A ? ?1,2,3, k?, B ? ?4,7, a4 , a2 ? 3a? ,且 a ? N * , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a , k 的值分别为( A. 2,3 B. 3, 4 C. 3,5 D. 2, 5 )

【例14】(09 年山东梁山)设 f、g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下) :映射 f 的对应法则是表 1
原象 象 1 3 2 4 3 2 4 1

映射 g 的对应法则是表 2
原象 象 1 4 2 3 3 1 4 2

则与 f [ g (1)] 相同的是(



A. g[ f (1)] ;B. g[ f (2)] ;C. g[ f (3)] ;D. g[ f (4)]

【例15】(07 年北京)已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

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x
f ( x)
1 1 2 3 3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则 f [ g (1)] 的值为

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是

【例16】(06 陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ?密文(加密) ,接收方 由密文 ?明文 (解密) , 已知加密规则为: 明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d. 例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16. 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的 明文为( )

A. 7,6,1, 4 ;B. 4,6,1,7 ;C. 6, 4,1,7 ;D. 1,6, 4,7

【例17】已知 M ? N ? {5,6,7,8,9} ,规定 M 到 N 的一个映射为 f ( x) = ? ⑴ 如果 f [ f (a)] ? 6 ,求 a ; ⑵ 如果 f { f [ f (b)]} ? 6 ,求 b ; ⑶ 如果 f { f ... f (c)} ? 6 ,求 c .
10次

?x ? 1 x ? 9 , x?9 ?5

题型二 函数的定义域
【例18】求下列函数的定义域 (1) f ( x) ?
1 1 ; (2) f ( x) ? 3x ? 2 ; (3) f ( x) ? x ? 1 ? . x?2 2? x

【例19】求下列函数的定义域: (1) y ?

1 ; (2) y ? x ? 2 ?1

x?3
3

x ?1 ? 2

.

【例20】函数 y ? A. x ? 0

1 x ?1

的自变量 x 的取值范围是( C. x ? 0



B. x ? 1

D. x ≥ 0 且 x ? 1

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【例21】函数 y ?
x?2 的定义域 x2 ? 4
( x ? 1)0 x ?x



【例22】函数 y ?

的定义域是___________.

【例23】求函数 f ( x) ?

3

x ?1 的定义域. x ?1

【例24】(2008 年全国 I 卷文理)函数 y ? x( x ? 1) ? x 的定义域是( A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 1} {0}



D. {x | 0 ? x ? 1}

【例25】求下列函数的定义域⑴ y ? x ? 8 ? 3 ? x ;⑵y ?

x2 ? 1 ? 1 ? x2 ;⑶y ? x ?1

1 1? 1? 1 1 x ?x



【例26】若 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 (1, 3] ,求 y ? f ( x) 的定义域.

【例27】已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [?2, 3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(
5 A. [0, ] 2
4] B. [ ?1, 5] C. [ ?5,
3



7] D. [ ?3,

【例28】(1)已知已知函数 f(x)=
A.a>

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax 2 ? ax ? 3



1 3

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

【例29】(1)求下列函数的定义域: f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 6 ?

( x ? 1)0 x? x

的定义域.

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(2)已知函数 f ( x) 的定义域是 (a, b) ,求函数 F ( x) ? f (3x ? 1) ? f (3x ? 1) 的定义域.

【例30】(1)函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) ,求函数 f ( x 2 ) 的定义域; (2)已知函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 (0,1) ,求 f ( x) 的定义域; (3)已知函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,求 f (2 x2 ? 2) 的定义域.

【例31】求下述函数的定义域:
(1) f ( x) ?
2 x ? x2 ? (3 ? 2 x)0 ; lg(2 x ? 1)

(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x2 ? a2 ).

【例32】已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x2 ) ? 23 ;(2) y ?
f ( x2 ) ? 1 log 1 (2 ? x)
2



题型三 函数的值域
一、用非负数的性质 【例33】求下列函数的值域: (1)y=-3x2+2;(2)y=5+2 x ? 1 (x≥-1).

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【例34】函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 的最小值是_________________.

【例35】求函数 y ? x2 ? x ? 1 的值域.

二、分离常数法 对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域. x?2 x2 ? 1 【例36】求下列函数的值域: (1)y= (2)y= 2 . x ?1 x ?1

三、利用函数单调性 已知函数在某区间上具有单调性,那么利用单调性求值域是一种简单的方法. 【例37】求函数 y=3x- 1 ? 2 x 的值域.

四、利用判别式 特殊地,对于可以化为关于 x 的二次方程 a(y)x2+b(y)x+c(y)=0 的函数 y=f(x),可利用
? ? 0且a( y) ? 0, 求出y的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的x值 .

【例38】求函数 y =

3x 的最值. x ?4
2

【例39】利用判别式方法求函数 y ?

2 x2 ? 2 x ? 3 的值域. x2 ? x ? 1

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五、利用数形结合 数形结合是解数学问题的重要思想方法之一,求函数值域时其运用也不例外. 【例40】若(x+ 1 ? y 2 )(y- 1 ? x 2 )=0,求 x-y 的最大、最小值.

六、利用换元法求值域 有时直接求函数值域有困难,我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑. 【例41】求函数 y=2x-5+ 15 ? 4 x 的值域.

七、利用反解函数求值域 因函数 y=f(x)的值域就是反函数 y=f-1(x)的定义域,故某些时候可用此法求反函数的值域. ex ? e? x 【例42】求函数 y= (x>0)的值域. 2

八、利用已知函数的有界性. 5 【例43】求函数 y= 2 的值域. 2x ? 4 x ? 3

九、求值域综合性题目. 【例44】求下列函数的值域:

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⑴y ?

3? x 4? x

⑵y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

⑶ y ? 1 ? 2x ? x .

【例45】求下列函数的值域:
(1) y ? ? x2 ? 4 x ? 2 (1 ? x ? 4) ; (2) y ?

2 ? sin x x2 ? 4 x ? 3 ; (3) y ? 2 . 2 ? sin x x ? x?6

【例46】求下列函数的值域⑴y ? x ?

1 ;⑵y ? x ? x ? 3 . x

【例47】求下列函数的值域:
(1) y ? 4 ? 3 ? 2x ? x2 ; (3) y ? (2) y ? x ? 1 ? 2x ; (4) y ? x ? 3 ? 5 ? x ;

x ? x ?1 ; 2 x2 ? 2 x ? 3
2

【例48】求下列函数的定义域与值域: (1) y ?

3x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? x ? 2 . 5 ? 4x

【例49】求下列函数的值域 2x ? 3 ⑴ y? ;⑵ y ? ?2 x ? 1 , x ? [?1, 3] ; x ?1 ⑶ y ? ?2 x2 ? 3x ? 4 ;⑷ y ? 5 ? 3 ? 2x ? x2 .

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【例50】求下列函数的值域:
(1) y ? 3x2 ? x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? 6x ? 5 ; (3) y ?
3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x2 ; (6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (7) y ?

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 ; ( 8 ) (9) y ? 。 y ? (x ? ) ; 2 ? cos x x2 ? x ? 1 2x ? 1 2

十、应用值域去未知系数取值范围.
?1 x ? 1( x ? 0), ? ? 【例51】设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (a) ? a ,则实数 a 的取值范围是 ?1 ( x ? 0). ? ?x



2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 【例52】函数 f ( x) ? ? 2 的值域是( ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)



A. R

B. ? ?9, ???

C. ? ?8,1?

D. ? ?9,1?

【例53】已知函数 y ? f ( x) ? x2 ? ax ? 3 在区间[ ? 1,1]上的最小值为 ? 3,求实数 a 的值.

【例54】已知函数 f(x)=x2 +mx – 4 在区间〔2,4〕上的两个端点取得最大的最小值。

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(1)求 m 的取值范围; (2)试写出最大值 Y 为 m 的函数关糸式; (3)最大值 Y 是否存在最小值?若有,请求出来;若无,请说明理由。

【例55】若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”, 那么函数解析式为 y ? x 2 、值域为{1,4}的“同族函数”共有 个.

【例56】已知函数 f ( x) ? x ? 5 ? ⑴ 求函数的定义域;

1 x?7

⑵ 求 f (11) , f ? ? 的值; ?4? ⑶ 当 a ? 0 时,求 f (a) , f (a ? 1) 的值.

?5?

【例57】已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,试求函数 f ( x) 的值域.

【例58】已知 xy<0,并且 4x 2 -9y 2 =36.由此能否确定一个函数关系 y=f(x)?如果能,求出其解析 式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.

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【例59】函数 f ( x) ? (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 的定义域为 R ,值域为 ? ??,0? , 则满足条件的实数 a 组成的集合是 .
25 , ? 4] ,则 m 的取值范围是( 4

【例60】若函数 y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [? A. ? 0, 4?
3 B. [ ,4] 2



3 C. [ , 3] 2

3 D. [ , ? ?) 2

【例61】当 x ? _______ 时,函数 f ( x) ? ( x ? a1 )2 ? ( x ? a2 )2 ? ... ? ( x ? an )2 取得最小值.

【例62】设函数 y ? ax ? 2a ? 1 ,当 ?1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负,则实数 a 的范围



【例63】对于任意实数 x ,函数 f ( x) ? (5 ? a) x2 ? 6x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围.

【例64】记二次函数 f ( x) ? ? x2 ? 4mx ? 1 在 [?1, 3] 的最大值为 g (m) ,写出 g (m) 的函数表达式,并求 出 g (m) 的最小值.

题型三 相等函数
【例65】试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x2 ,g(x)= 3 x3 ; (2)f(x)=
x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ? ?1 x ? 0;

(3)f(x)= 2n?1 x2n?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈ N*) ; (4)f(x)= x
x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

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(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1

【例66】下列各组函数中, f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的一组是( A. f ( x) ? x, g ( x) ?
x2 x



B. f ( x) ? x , g ( x) ?| x | D. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ? )
? x( x ? 0) ?? x( x ? 0)

C. f ( x) ?| x | , g ( x) ? x2

【例67】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ( x ? 3)( x ? 5) ⑴ y1 ? , y2 ? x ? 5 ; x?3 ⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)( x ? 1) ;
⑶ f ( x) ? x , g ( x) ? x2 ; ⑷ f ( x) ? 3 x4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ? 1 ; ⑸ f1 ( x) ? ( 2 x ? 5)2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 . A.⑴ 、⑵ B.⑵ 、⑶ C.⑷

D.⑶ 、⑸

.
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