黑龙江省大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题

大庆市 2019 届高三第一次模拟考试数学(文)试题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。) 1.若集合 A ? x 0 ? x ? 2? , B ? x x ? 1? , 则 A B ?
2

?

?

A

? x x ? 0或x ? ?1? B ? x 1 ? x ? 2?
1 i 1 i 2

C

? x 0 ? x ? 1? D ? x 0 ? x ? 2?

2.已知复数 z ? i ? , (其中 i 是虚数单位) ,则 z = A. 0 B. C. -2i D. 2i

3.已知命题 p: ?x ? R, 有 cosx ? 1, 则 A. ?p : ?x0 ? R, 使 cos x0 ? 1 C. ?p : ?x0 ? R, 有 cos x0 ? 1 B. ?p : ?x ? R, 有 cos x0 ? 1 D. ?p : ?x ? R, 有 cos x ? 1

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.6

B. 2 3

C.3

D. 3 3

5.将函数 y=sinx 的图像上所有点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 10
x ? ) 2 10
D. y ? sin( ?

的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 A. y ? sin(2 x ?

?
10

)

B. y ? sin(2 x ?

?
5

)

C. y ? sin( ?

x 2

?
20

)

6. 一直两个非零向量 a与b, 定义 a? b ? a bsin? ,其中 ?

为 a与b 的夹角,若 a ? ? ?3, 4?

b ? ? 0, 2? 则 a ? b 的值为
A.-8 B.-6 C.8 D.6

7.已知抛物线 x2 ? 4 3 y 的准线经过双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的一个焦点,则双曲线的离心率为 2 m
·1·

A. 3

B.

6 2

C.

3 2 4

D. 3 3

8.若 an ? 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S11 ? A.

?

22? ,则 tan a6 的值为 3
D. ?

3

B. ? 3

C. ? 3

3 3

? 2 x ? y ? 10 ? 9.若 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 则 z=4x+3y 的最小值为 ?0 ? y ? 8 ?
A.20 B.22 C. 24 D.28 10.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则判断框中应填 A. n ? 7 B. n ? ? C. n ? 6 D. n ? 6

11.直线 y=kx+3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点。若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围
2 2

是 A. ? ?

3? ? 3 ? ? , 0 ? B. ? ??, ? ? 4? ? 4 ? ?
x

?0, ?? ?

C. ? ?

? ?

3 3? ? 2 ? , ? D. ? ? , 0 ? 3 3 ? ? 3 ?

12.不等式 e ? x ? ax 的解集为 P,且 ?0,2? ? P ,则实数 a 的取值范围是 A. ? ??, e ?1? B. ? e ?1, ??? C. ? ??, e ? 1? D. ? e ? 1, ??? 第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活
·2·

动,则他们选择相同小组的概率为 14. 设函数 f ? x ? ? sin ?



?? ?? x ? ? ? x ? R ? ,若存在这样的实数 x1 , x2 ,对任意的 x ? R ,都有 3? ?2
。 。 上 存 在 x0 ? a ? x0 ? b ? ,满足

f ? x1 ? ? f ? x ? ? f ? x2 ? 成立,则 x1 ? x2 的最小值为
15.奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,f(1)=2,则 f(3)= 16. 定 义 : 如 果 函 数 y=f(x) 在 定 义 域 内 给 定 区 间 ? a, b?

f ? x0 ? ?

f ?b? ? f ? a ? ,则称函数 y=f(x)是 ? a, b? 上的“平均值函数” , x0 是它的一个均值点。 b?a
2

例如 y ? x4 是 ??1,1? 上的平均值函数, 0 就是它的均值点。现有函数 f ? x ? ? ?x ? mx ? 1 是

??1,1?

上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)在 ? ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a= 2 3 , A ? (Ⅰ)若 b= 2 2 ,求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c=2,求边 b 的长。

?
3

.

18. (本小题满分 12 分)已知各项均为证书的数列 ?an ? 前 n 项和为 s n , 首项为 a1 , 且 an 是

1 和 2

s n 的等差中项。
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 a n ? ?

?1? ? ?2?

bn

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 : 四 棱 柱 A B C D - A1B1C1D1

中,侧棱垂直与底面,

A B? ? C D , AD ?

A , B A? B 2,

, A ?D 2 , 1 A ?A 3 E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3,

(Ⅰ)证明: BE ? 平面BB1C1C ; (Ⅱ)求点 B1 到平面 EAC 1 1 的距离。

·3·

20. (本小题满分 12 分)已知某单位由 50 名职工,将全体职工随机按 1-50 编号,并且按编号顺序 平均分成 10 组,先要从中抽取 10 名职工,各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样。 (Ⅰ)若第五组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (Ⅱ)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤) ,获得体重数据的茎叶图如图所示,求该样本的 平均数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从体重不轻于 73 公斤( ? 73 公斤)的职工中随机抽取两名职工,求被 抽到的两名职工的体重之和等于 154 公斤的概率。

21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A ? 2, 0 , B 线 EA 与直线 EB 的斜率之积为 ?

?

? ?

2, 0 , E 为动点,且直

?

1 。 2

(Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F(1,0)的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M,N.若点 P 在 y 轴上,且 PM ? PN , 求点 P 的纵坐标的取值范围。 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 的导函数为 f
'

1 3 x ? 2 x 2 ? ax ? b, g ? x ? ? e x ? cx ? d ? ,且函数 f ? x ? 3

? x?

,若曲线 f ? x ? 和 g ? x ? 都过点 A(0,2),且在点 A 处有相同的切线 y=4x+2.

(Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若 x ? ?2 时, mg ? x ? ? f
'

? x? ? 2

恒成立,求实数 m 的取值范围。

·4·

数学答案(文科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 B 9 B 10 D 11 A 12 A 答案 B C C D C D B 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 4

14.2

15. ?2

16. ? 0, 2 ?

三.解答题(本题共 6 大题,共 70 分) 17(本小题满分 10 分) 解: (I) 由正弦定理

a b 2 23 2 2 ? , 得 , 解得 sin B ? . . ………………………2 ? sin A sin B 2 i n B 3 s 2

分 由于 B 为三角形内角, b ? a ,则 B ? 所以 C ? ? ?

?
4



………………4 分 . . . ………………………5 分 , 整理得 b ? 2b ? 8 ? 0 . …………7
2

?
3

?

?
4

?

5? , 12

(II) 依题意,cos A ? 分

b2 ? c 2 ? a 2 1 b 2 ?4 ? 1 2 , 即 ? 2 4b 2bc

又 b ? 0 ,所以 b ? 4 . 另解: 由于

………………………10 分

a c 1 2 3 2 ? ,所以 ,解得 sin C ? , ? sin A sin C 2 3 sin C 2

……………7 分

由于 a ? c ,所以 C ? 由A?

?
6

, . ,解得 b ? 4 .

. . . . ………………………8 分

?
3

,所以 B ?
2 2

?
2

2

由勾股定理 b ? c ? a 18. (本小题满分 12 分)

. ………………………10 分

解: (1)由题意知 2an ? Sn ? 1 , an ? 0 , 2 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? 1 2
? a1 ? 1; 2
·5·

……………………………1 分 ……………………………2 分

当 n ? 2 时, Sn ? 2an ? 1 , Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 , 2 2 两式相减得 an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 ,整理得: an ? 2 ,
an ?1

…………………5 分

∴数列 ?an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. 2
1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n?1 ? 2 n ?2 , 2
2 (Ⅱ)由 an ? 2?b ? 22 n ?4 得 bn ? 4 ? 2n ,
n

………………………………6 分 ………………………………9 分

所以, bn?1 ? bn ? ?2(n ? N * ) , 所以数列 ?bn ? 是以 2 为首项, ?2 为公差的等差数列,

?Tn ? ?n2 ? 3n .
19. (本小题满分 12 分)

………………………………12 分

解:(I)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F ,则 BF ? AD ? 2, EF ? AB ? DE ? 1, FC ? 2 在 Rt ?BEF 中, BE ? 3 ,在 Rt ?BCF 中, BC ? 6 .
2 2 2 在 ?BCE 中,因为 BE ? BC =9=EC ,所以 BE ? BC .

由 BB1 ? 平面 ABCD ,得 BE ?BB 1 ,所以 BE ? 平面 BB1C1C . …………………… 6分

D1 A1 B1 D A E B F

C1

(II)三棱锥 E ? A1B1C1 的体积 V ?

1 AA1 ? S?A1B1C1 ? 2 , 3
2 2

C

A C = A1 D1 ? D1C1 =3 2 在 Rt ?AC 1 1D 1 中, 1 1
同理,

EC1= EC 2 ? CC12 =3 2 , EA1= AD 2 ? ED 2 ? AA12 =2 3
因此 S?A C E ? 3 5 . 1 1 10 分
·6·

--------------------------

d ,则三棱锥 B1 ? EAC 设点 B1 到平面 EAC 1 1 的体积 1 1 的距离为

1 V= ? d ? S?A1EC1= 5d 3
--------------------------12 分 20.(本小题满分 12 分) 解: (I)由题意,第 5 组抽出的号码为 22.

,





5d ? 2, d ?

10 5

因为 2+5×(5-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2,抽出的 10 名职工的号码依 次 分 别 为 : 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.

-------------------------- 4 分 - 1 (II)这 10 名职工的平均体重为: x = ×(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71 10 -----------------------7分 (III)从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工,共有 10 种不同的取法: (73,76), (73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79), (78,81), (79,81) , 其 中 体 重 之 和 大 于 等 于 154 公 斤 的 有 7 种 . 故 所 求 概 率 P = --------------------------12 分 7 . 10

21. (本小题满分 12 分) 解: (I)设动点 E 的坐标为 ( x, y)( x ? ? 2) ,依题意可知

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) , 整理得 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) ,………………4 分 所以动点 E 的轨迹 C 的方程为 2 ( II ) 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 满 足 条 件 的 点 P 的 纵 坐 标 为
0 ; ………………………………5 分
当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

·7·

将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1并整理得, 2
? ? 8k 2 ? 8 ? 0

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .

4k 2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , 2k 2 ? 1
设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ? 所以 Q(

k 2k 2 , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
……………………………8 分

2k 2 k ,? 2 ) . 2 2k ? 1 2k ? 1 由题意可知 k ? 0 ,
又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 令 x ? 0 解得 yP ?

1 2k 2 ? ? ( x ? ). 2k 2 ? 1 k 2k 2 ? 1 k
……………………………10 分

k 2k ? 1
2

?

1 2k ? 1 k

当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 1 2 ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? ; ? k 4 2 2 1 1 2 ? ?2 2 ,所以 0 ? yP ? ? ?? k 4 2 2

当 k ? 0 时,因为 2k ?

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [?

2 2 , ] ……………………12 分 4 4

22. (本小题满分 12 分) 解: (I)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x) ? x ? 4 x ? a, g ?( x) ? e (cx ? d ? c)
2 x

故 b ? 2, d ? 2, a ? 4, c ? 2 (2)令 ? ( x) ? 2me ( x ?1) ? x ? 4 x ? 2 ,
x 2

……………………………4 分

则 ??( x) ? 2me ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(me ?1)
x x

·8·

因 ? (0) ≥ 0 ,则 m ≥ 1 令 ? ?( x) ? 0 得 x1 ? ? ln m, x2 ? ?2 ①
2

………………………………6 分

≤m ? e ,则 ?2 ? x1 ≤ 0 ,从而 x ? (?2, x1 ) 时 ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , ??) 时 ? ?( x) ? 0, 即 若1

? ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 ? ( x) 在 [?2, ??) 的最小值 ? ( x1 )
?( x1 ) ? 2mex ( x1 ?1) ? x12 ? 4x1 ? 4 ? 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 ? ?x12 ? 2x1 ? ?x1 ( x1 ? 2) ≥ 0
1

故当 x ≥ ?2 时 ? ( x) ≥ 0, 即 mg ( x) ≥ f ?( x) ? 2 恒成立。
2

………………………8 分

② 若m ? e , 则 ? ?( x) ? 2e2 ( x ? 2)(e x ? e?2 ) , 从而当 x ≥ ?2 时 ? ?( x) ≥ 0 , 即 ? ( x) 在 [?2, ??) 单 调递增,而 ? (?2) ? 0 ,故当 x ≥ ?2 时 ? ( x) ≥ 0, 即 mg ( x) ≥ f ?( x) ? 2 恒成立。
2 若m ? e , 则 ? (? 2 ) ?2 ? m e ?2 2 ? ? 2? e( ? m e ? ) 2 0 ? ,从而当 x ≥ ?2 时,mg ( x) ≥ f ?( x) ? 2
2

不可能恒成立。

…………………………11 分
2

综上: m 的取值范围是 [1, e ]

…………………………12 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·9·


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