2013-2014学年江苏省扬州中学高一(上)期末数学试卷

2013-2014 学年江苏省扬州中学高一(上)期末数 学试卷

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2013-2014 学年江苏省扬州中学高一(上)期末数 学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A={3,4,5},则?UA= _________ . 2. (5 分)函数 的最小正周期为 _________ .

3. (5 分)幂函数 f(x)=

的定义域为 _________ . ,则实数 m 的值为 _________ . .

4. (5 分)平面直角坐标系 xOy 中,60°角的终边上有一点 P 5. (5 分)已知 a=﹣

,b=log23,c=sin160°,把 a,b,c 按从小到大的顺序用“<”连接起来: _________
2

6. (5 分)半径为 3cm,圆心角为 120°的扇形面积为

_________ cm .

7. (5 分)函数 f(x)=loga(x﹣1) (a>0 且 a≠1)的图象必经过定点 P,则点 P 的坐标为 _________ .

8. (5 分)已知| |=2,

,若 , 的夹角为 60°,则| +2 |=
2 2

_________ .

9. (5 分)已知函数 f(x)=x +(a ﹣1)x+(a﹣2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,则实数 a 的取值范围 _________ .

10. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, E 是边 BC 上一点, G 为 AC 与 DE 的交点, 且 则用 , 表示 = _________ .

, 若

= ,



11. (5 分)若 x∈(﹣∞,﹣1],不等式(m﹣m )?2 +1>0 恒成立,则实数 m 的取值范围为 _________ 12. (5 分)将函数 y=2sinx 的图象先向右平移 不变) ,得到函数 y=f(x)的图象,若 x∈[0,

2

x



个单位,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标 ],则函数 y=f(x)的值域为 _________ .

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www.jyeoo.com 13. (5 分)已知△ ABC 中,BC 边上的中线 AO 长为 2,若动点 P 满足 则( + )? 的最小值是 _________ . (θ∈R) ,

14. (5 分)已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)为单调函数,且 f(x)?f(f(x)+ )=2,则 f(1)=

_________ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知 (1)求 cosα 的值; (2)求 的值. ,且 α 是第一象限角.

16. (14 分)已知 =(1,1) , =(2,3) ,当 k 为何值时, (1)k +2 与 2 ﹣4 垂直? (2)k +2 与 2 ﹣4 平行?平行时它们是同向还是反向?

17. (15 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)求方程 f(x)=0 的解集.

)的部分图象如图所示.

18. (15 分)已知函数 f(x)=loga (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)设
2

(a>0 且 a≠1)的图象经过点 P(﹣ ,2) .

,用函数单调性的定义证明:函数 y=g(x)在区间(﹣1,1)上单调递减;

(3)解不等式:f(t ﹣2t﹣2)<0. 19. (16 分)我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量 P 的关系允许近似的满足: (其中 t 为关税的税率,且 t= 时的市场供应量曲线如图 ) . (x 为市场价格,b、k 为正常数) ,当

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www.jyeoo.com (1)根据图象求 k、b 的值; (2)若市场需求量为 Q,它近似满足 价格控制在不低于 9 元,求税率 t 的最小值. .当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格.为使市场平衡

20. (16 分)已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值范围.

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参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A={3,4,5},则?UA= {1,2,6} . 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 集合. 由全集 U,以及 A,求出 A 的补集即可. 解:∵ 全集 U={1,2,3,4,5,6},A={3,4,5}, ∴ ?UA={1,2,6}. 故答案为:{1,2,6} 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.
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2. (5 分)函数

的最小正周期为



考点: 正切函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 直接利用正切函数的周期公式 T=
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,求出函数的最小正周期. ,所以 T= = . .

解答:

解:因为函数 所以函数 故答案为: .

的最小正周期为

点评: 本题是基础题,考查正切函数的周期的求法,考查计算能力,送分题.

3. (5 分)幂函数 f(x)=

的定义域为 [0,+∞) .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分数指数幂的概念和根式的性质直接求解. 解答: 解:∵ f(x)= = ,
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∴ x≥0, ∴ 幂函数 f(x)= 的定义域为[0,+∞) .

故答案为:[0,+∞) . 点评: 本题考查幂函数的定义域的求法,是基础题,解题时要注意分数指数幂的合理运用.

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www.jyeoo.com 4. (5 分)平面直角坐标系 xOy 中,60°角的终边上有一点 P 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由角 60°的终边上有一点

,则实数 m 的值为 1 .

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,知 tan60°= ,

,再利用诱导公式能求出 m 的值.

解答: 解:∵ 角 60°的终边上有一点 ∴ tan60°= = ,

∴ m=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查三角函数定义的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

5. (5 分)已知 a=﹣

,b=log23,c=sin160°,把 a,b,c 按从小到大的顺序用“<”连接起来: a<c<b .

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的性质判断 b 和 1 的大小关系,再利用三角函数判断 c 和 1 的大小关系,由此能把 a,b,c 按从小到大的顺序排列. 解答: 解:∵ a=﹣ ,
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b=log23>log22=1, 0<c=sin160°<1, ∴ a<c<b. 故答案为:a<c<b. 点评: 本题考查对数值的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数、三角函数的性质的合理运 用. 6. (5 分)半径为 3cm,圆心角为 120°的扇形面积为 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 先求弧长,再求面积即可. 解答: 解:扇形的弧长是:3× =2π,
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3π cm .

2

则扇形的面积是: ×2π×3=3π(cm ) . 故答案为:3π. 点评: 本题考查扇形面积公式的应用,是基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=loga(x﹣1) (a>0 且 a≠1)的图象必经过定点 P,则点 P 的坐标为 (2,0) . 考点: 专题: 分析: 解答: 对数函数的单调性与特殊点. 函数的性质及应用. 令 x﹣1=1,求得 x=2,f(x)=0,从而求得点 P 的坐标.
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2

解:根据函数 y=logax 的图象经过点(1,0) , 对于函数 f(x)=loga(x﹣1) ,令 x﹣1=1,求得 x=2,且 f(2)=0,
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www.jyeoo.com 可得点 P 的坐标为(2,0) , 故答案为: (2,0) . 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.

8. (5 分)已知| |=2,

,若 , 的夹角为 60°,则| +2 |=

2



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算法则及其性质即可得出. 解答: 解:∵ | |=2, , , 的夹角为 60°,
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=

= =

=1. = .

∴ | +2 |=

故答案为: . 点评: 本题考查了数量积运算法则及其性质,属于基础题. 9. (5 分) 已知函数 f (x) =x + (a ﹣1) x+ (a﹣2) 的一个零点比 1 大, 一个零点比 1 小, 则实数 a 的取值范围 (﹣ 2,1) . 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 2 2 分析: 根据函数 f(x)=x +(a ﹣1)x+(a﹣2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,可得 f(1)<0,从而可 建立不等式,即可求出实数 a 的取值范围. 2 2 解答: 解:∵ 函数 f(x)=x +(a ﹣1)x+(a﹣2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小 ∴ f(1)<0
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2

2

∴ 1+a ﹣1+a﹣2<0 2 ∴ a +a﹣2<0 ∴ ﹣2<a<1 ∴ 实数 a 的取值范围为(﹣2,1) 故答案为: (﹣2,1) 点评: 本题考查函数的零点,考查方程根的问题,解题的关键是建立不等式,属于基础题.

2

10. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, E 是边 BC 上一点, G 为 AC 与 DE 的交点, 且 则用 , 表示 = .

, 若

= ,



考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则和向量共线定理、平行四边形的性质即可得出.
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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为: = .



, ,



= .

=



点评: 本题考查了向量的三角形法则和向量共线定理、平行四边形的性质,属于基础题. 11. (5 分)若 x∈(﹣∞,﹣1],不等式(m﹣m )?2 +1>0 恒成立,则实数 m 的取值范围为 ﹣1<m<2 . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 2 将不等式等价转化为 m﹣m >
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2

x

,将不等式恒成立转化为求函数的最值,即可得到结论.
2 x

解答: 解:不等式(m﹣m )?2 +1>0 等价为(m﹣m )?2 >﹣1, 即 m﹣m >
2

2

x



当 x∈(﹣∞,﹣1]时, ∴ ,
2



∴ 要使不等式恒成立,即 m﹣m >﹣2, 2 即 m ﹣m﹣2<0, 解得﹣1<m<2, 故答案为:﹣1<m<2. 点评: 本题主要考查不等式恒成立问题,根据指数函数的单调性将不等式转化为求函数的最值问题是解决本题的 关键.

12. (5 分)将函数 y=2sinx 的图象先向右平移 不变) ,得到函数 y=f(x)的图象,若 x∈[0,

个单位,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标 ],则函数 y=f(x)的值域为 [﹣1,2] .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 令 y=g(x)=2sinx,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得 f(x)=2sin(2x﹣
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) ,从而可求得 x∈[0,

]时,函数 y=f(x)的值域. 解答: 解:令 y=g(x)=2sinx,
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www.jyeoo.com 则 g(x﹣ )=2sin(x﹣ ) , ) ,

∴ f(x)=2sin(2x﹣ ∵ x∈[0, ∴ 2x﹣ ], ∈[﹣ ,

],

∴ sin(2x﹣ ∴ 2sin(2x﹣

)∈[﹣ ,1], )∈[﹣1,2],

即函数 y=f(x)的值域为[﹣1,2]. 故答案为:[﹣1,2]. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查正弦函数的单调性质,考查运算求解能力,属于中档题. 13. (5 分)已知△ ABC 中,BC 边上的中线 AO 长为 2,若动点 P 满足 则( + )? 的最小值是 ﹣2 . (θ∈R) ,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得点 P 在 AO 上,
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, 故有 (

+

) ?

=2

?

=﹣2|

|?|

|. 根据|

|+|

|=|AO|=2,

利用基本不等式可得| 解答: 解:由题意可得 ∴
2 2

|?|

|的最大值,可得要求式子的最小值. (θ∈R) ,

,∵ 点 P 满足 .

又 sin θ+cos θ=1,所以 P、A、O 三点共线,即点 P 在 AO 上. ∵ ,∴ ( + )? =2 ? =﹣2| |?| |.

∴ | |+|

|=|AO|=2,利用基本不等式可得|

|?|

|≤

=1,

∴ ﹣2| 故(

|?| +

|≥﹣2,当且仅当|PO|=|PA|时,等号成立, )? 的最小值为﹣2,

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用,由题意得出 P、M、C 三点共线是解决问题的关键,属 中档题.

14. (5 分)已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)为单调函数,且 f(x)?f(f(x)+ )=2,则 f(1)= 1±



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www.jyeoo.com 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 分析: 由题意,令 x=1 求得 f(1)的取值范围, 设 f(1)=a,表示 f(a+2)= …① ;

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令 x=a+2,得 f(a+2)?f(f(a+2)+ 由① 、② 得 f( + 即 f( + )=a …③ ;

)=2…② ;

)=f(1) ,得 +

=1,从而求出 a 即 f(1)的值.

解答: 解:∵ f(x)的定义域为(0,+∞) , ∴ 当 x=1 时,f(1)?f(f(1)+2)=2, ∴ f(f(1)+2)= ;

f(1)+2 作为 f(f(1)+2)的自变量的一个取值,它必须在定义域内, ∴ f(1)+2>0, 即 f(1)>﹣2; 设 f(1)=a, (其中 a>﹣2) , ∴ f(a+2)= …① ;

令 x=a+2(其中 a>﹣2) , 代入 f(x)?f(f(x)+ )=2 中, 得 f(a+2)?f(f(a+2)+ 把① 代入② ,得 ?f( + 即 f( + ∵ a=f(1) , ∴ f( + 把 + )=f(1) ; 和 1 分别看作函数 f(x)的自变量的 2 个取值, )=2, )=a …③ ; )=2…② ;

由于函数 f(x)是单调函数,要使对应的函数值相等,自变量必须相等; 即 + =1,

解得 a=1+ 或 a=1﹣ ; ∵ 1+ 和 1﹣ 都大于﹣2, ∴ 两个数值都符合题意; 综上,f(1)=1+ 或 f(1)=1﹣ ; 故答案为:1± . 点评: 本题考查了利用函数的单调性与解析式求函数值的问题,是较难的题目. 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知 ,且 α 是第一象限角.

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www.jyeoo.com (1)求 cosα 的值; (2)求 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由 α 是第一象限角,得到 cosα 大于 0,根据 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的 值即可; (2)由 sinα 与 cosα 的值,求出 tanα 的值,原式利用诱导公式化简后,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵ α 是第一象限角, ∴ cosα>0,
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∵ sinα= ∴ cosα=

, = = , =tanα+1= . ;

(2)∵ tanα= ∴ 原式=tanα+

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式及基本关系是 解本题的关键.

16. (14 分)已知 =(1,1) , =(2,3) ,当 k 为何值时, (1)k +2 与 2 ﹣4 垂直? (2)k +2 与 2 ﹣4 平行?平行时它们是同向还是反向?

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的坐标运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出; (2)利用向量共线定理即可得出. 解答: 解: (1) =k(1,1)+2(2,3)=(4+k,6+k) , =2(1,1)﹣4(2,3)=(﹣6,﹣10) ,
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由 ∴ 当 k=﹣ (2)由 此时 时,

,得:﹣6(4+k)﹣10(6+k)=0,化为﹣16k﹣84=0,解得: . ,得﹣6(6+k)+10(4+k)=0,化为 4k+4=0,解得:k=﹣1. =(3,5)=﹣ (﹣6,﹣10)=﹣ ,



∴ 它们方向相反. 点评: 本题考查了向量的坐标运算法则和向量垂直与数量积的关系、向量共线定理,属于基础题.

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www.jyeoo.com 17. (15 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)求方程 f(x)=0 的解集. )的部分图象如图所示.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;综合题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由图知,A=1,T=π,于是知 ω=2;再由 f( )=﹣1,可求得 φ=2kπ+ (k∈Z) ,又|φ|<
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,于

是可得 φ 及函数 y=f(x)的解析式; (2)利用正弦函数的单调性,由﹣ (3)f(x)=0?2x+ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z)可求函数 y=f(x)的单调增区间;

=kπ(k∈Z) ,从而可求得方程 f(x)=0 的解集.

解答: 解: (1)由图知,A=1, ∵ 周期 T=4( ∴ ω= =2, ﹣ )=π,

∴ f(x)=sin(2x+φ) , 又 f( ∴ sin( ∴ )=﹣1, +φ)=﹣1, (k∈Z) , ,

+φ=2kπ+

∴ φ=2kπ+ ∴ φ= ,

(k∈Z) ,又|φ|<

∴ f(x)=sin(2x+ (2)﹣ ∴ ﹣

) ; ≤ +2kπ,k∈Z.

+2kπ≤2x+

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z. +kπ, +kπ]k∈Z.

∴ 函数 y=f(x)的单调增区间为:[﹣ (3)∵ f(x)=0,

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www.jyeoo.com ∴ 2x+ ∴ x=﹣ =kπ,k∈Z. + kπ,k∈Z. + kπ,k∈Z}.

∴ 方程 f(x)=0 的解集为{x|x=﹣

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查正弦函数的单调性与零点,考查综合分析与运 算能力,属于中档题.

18. (15 分)已知函数 f(x)=loga (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)设
2

(a>0 且 a≠1)的图象经过点 P(﹣ ,2) .

,用函数单调性的定义证明:函数 y=g(x)在区间(﹣1,1)上单调递减;

(3)解不等式:f(t ﹣2t﹣2)<0. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用函数图象经过的点列出方程,求出 a,即可求出函数 y=f(x)的解析式;
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(2)设

,用函数单调性的定义,通过作差、化简、比较大小,即可证明:函数 y=g(x)在

区间(﹣1,1)上单调递减; 2 (3)利用函数的解析式,化简不等式:f(t ﹣2t﹣2)<0.通过解分式不等式求出结果即可. 解答: 解: (1) ,解得:a =9,∵ a>0 且 a≠1∴ a=3;…(3 分)
2

(2)设 x1、x2 为(﹣1,1)上的任意两个值,且 x1<x2,则 x1+1>0,x2+1>0,x2﹣x1>0 ∵ g(x1)﹣g(x2)= ∴ g(x1)﹣g(x2)>0, ∴ g(x1)>g(x2) . ∴ 在区间(﹣,1)上单调递减.…(8 分) = …(6 分)

(3)∵



…(10 分)


2 2



得:t ﹣2t﹣2>0 或 t ﹣2t﹣2<﹣1; 由

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www.jyeoo.com 2 得:﹣1<t ﹣2t﹣2<1, 2 ∴ 0<t ﹣2t﹣2<1…(13 分) ∴ 或 . …(15 分) 点评: 本题考查函数的极限的求法,对数函数的单调性,不等式的求法,单调性的应用的应用,考查转化思想以 及计算能力. 19. (16 分)我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量 P 的关系允许近似的满足: (其中 t 为关税的税率,且 t= 时的市场供应量曲线如图 (1)根据图象求 k、b 的值; (2)若市场需求量为 Q,它近似满足 价格控制在不低于 9 元,求税率 t 的最小值. .当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格.为使市场平衡 ) . (x 为市场价格,b、k 为正常数) ,当

考点: 指数函数综合题. 专题: 常规题型;综合题. 分析: 第一问能根据图象求出 k、b 的值.第二问能根据题意构造函数,并能在定义域内求函数的最小值.考查的 知识综合性较强,对学生理解题意的能力也是一个挑战. 解答:
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解: (1)由图可知,

解得

(2)当 P=Q 时,得

解得:



,∵ x≥9,∴ m∈(0, ],则 t= 且开口向下; ,此时 x=9 .



∴ 对称轴 m= ∴ 时,t 取得最小值

∴ 税率 t 的最小值为

点评: 此题是个指数函数的综合题,但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的 知识.考查的知识全面而到位! 20. (16 分)已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R.
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www.jyeoo.com (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)若 a=0,根据函数奇偶性的定义即可判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义和性质,利用二次函数的性质即可求实数 a 的取值范围; (3)根据方程有三个不同的实数根,建立条件关系即可得到结论. 解答: 解: (1)函数 y=f(x)为奇函数. 当 a=0 时,f(x)=x|x|+2x, ∴ f(﹣x)=﹣x|x|﹣2x=﹣f(x) , ∴ 函数 y=f(x)为奇函数;
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(2)f(x)=



当 x≥2a 时,f(x)的对称轴为:x=a﹣1; 当 x<2a 时,y=f(x)的对称轴为:x=a+1; ∴ 当 a﹣1≤2a≤a+1 时,f(x)在 R 上是增函数, 即﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数; (3)方程 f(x)﹣tf(2a)=0 的解即为方程 f(x)=tf(2a)的解. ① 当﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数,∴ 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数 根; …(9 分) ② 当 a>1 时,即 2a>a+1>a﹣1, ∴ f(x)在(﹣∞,a+1)上单调增,在(a+1,2a)上单调减,在(2a,+∞)上单调增, ∴ 当 f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时,关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根; 2 即 4a<t﹣4a<(a+1) , ∵ a>1, ∴ 设 . ,

∵ 存在 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根, ∴ 1<t<h(a)max, 又可证 ∴ <h(a)max= , ∴ 1<t< ③ 当 a<﹣1 时,即 2a<a﹣1<a+1, ∴ f(x)在(﹣∞,2a)上单调增,在(2a,a﹣1)上单调减,在(a﹣1,+∞)上单调增, ∴ 当 f(a﹣1)<tf(2a)<f(2a)时,关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根; 2 即﹣(a﹣1) <t﹣4a<4a, ∵ a<﹣1, ∴ , 在(1,2]上单调增

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www.jyeoo.com 设 ,

∵ 存在 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根, ∴ 1<t<g(a)max, 又可证 ∴ g(a)max= , ∴ 1<t< ; 综上:1<t< . 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,以及函数单调性的应用,综合考查分段函数的应用,综合性较强,运算 量较大. 在[﹣2,﹣1)上单调减,

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: sllwyn; qiss; zlzhan; caoqz; 孙佑中; 刘长柏; maths; wfy814; 742048; ying_0011 (排名不分先后)
菁优网 2015 年 1 月 20 日

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