河北省石家庄2018届高三教学质量检测数学(理)试题(二)含答案

河北省石家庄 2018 届高三教学质量检测数学(理)试题(二)含答案
河北省石家庄 2018 届高三教学质量检测(二) 理科数学 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 A ? ?x ?1 ? x ? 2? , B ? ?x x ? 0? ,则下列结论正确的是( A. ?CR A? C. A
B ? ?x ?1 ? x ? 2?

)

B. A B ? ?x ?1 ? x ? 0? D. A B ? ?x x ? 0? )

?CR B ? ? ?x x ? 0?

2.已知复数 z 满足 zi ? i ? m ? m ? R ? ,若 z 的虚部为 1 ,则复数 z 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.14 ) D.第四象限

3.在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a5 ? 16 ,则 a6 ? ( A.28 B.32 C.64

4.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“ log a b ? 1 ”是“ b ? a ”的( A.必要不充分条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件

5.我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽,是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人,他创立了“割圆 术”,得到了著名的“徽率”,即圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14 ,如图就是利用“割圆术”的思想 设计的一个程序框图, 则输出的 n 值为(
sin15 ° ? 0.2588 , sin 7.5° ? 0.1305 , sin 3.75° ? 0.0654 ) )(参考数据:

1

A.24

B.36

C.48

D.12 )

6.若两个非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 b ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为( A.

? 3
5

B.

2? 3

C.

5? 6

D. ) D. 25

? 6

7.在 ?1 ? x ? ? 2x ? 1? 的展开式中,含 x4 项的系数为( A. ?5 B. ? 15 C. ? 25

8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为 ( )

A.

8 3

B. 3

C.8

D.

5 3

9.某学校 A、B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下,通过茎叶图比较两个班数 学兴趣小组成绩的平均值及方差

2

①A 班数学兴趣小组的平均成绩高于 B 班的平均成绩 ②B 班数学兴趣小组的平均成绩高于 A 班的平均成绩 ③A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于 B 班成绩的标准差 ④B 班数学兴趣小组成绩的标准差小于 A 班成绩的标准差 其中正确结论的编号为( A.①④ ) C.②④ D.①③

B.②③

?? ? 10.已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ?? ? 0, ? ? ? ? 的部分图象如图所示,已知点 A 0, 3 , B ? , 0 ? ,若将它的 ?6 ?

?

?

图象向右平移

? 个单位长度,得到函数 g ? x ? 的图象,则函数 g ? x ? 的图象的一条对称轴方程为( 6

)

A. x ?

?
4

B. x ?

?
3
2 2

C. x ?

2? 3

D. x ?

?
12

11.倾斜角为

x y ? 的直线经过椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 右焦点 F ,与椭圆交于 A 、 B 两点,且 AF ? 2FB ,则该 4 a b
) B.
2 2

椭圆的离心率为( A.
2 3

C.

3 3

D.

3 2

12.已知函数 f ? x ? 是定义在区间 ? 0, ?? ? 上的可导函数,满足 f ? x ? ? 0 且 f ? x ? ? f ' ? x ? ? 0 ( f ' ? x ? 为函数的导函 数),若 0 ? a ? 1 ? b 且 ab ? 1 ,则下列不等式一定成立的是( A. f ? a ? ? ? a ? 1? f ? b ? C. af ? a ? ? bf ?b ? )

B. f ? b ? ? ?1 ? a ? f ? a ? D. af ? b ? ? bf ? a ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.用 1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数,若用 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 分别表示五位数的万位、千位、
3

百位、十位、个位,则出现 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 特征的五位数的概率为_____________.
?x ? 3 ? 0 y ?1 ? 14.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,则 的最大值为_____________. x ?y ? 2 ? 0 ?

? 1? 15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ? ? ? ,如果存在正整数 n ,使得 ? m ? an ?? m ? an?1 ? ? 0 成立,则实数 m 的取 ? 2?

n

值范围是_____________.
AB ? 3 , BC ? 4 , AC ? 5 , 16.在内切圆圆心为 M 的 △ ABC 中, 在平面 ABC 内, 过点 M 作动直线 l , 现将 △ ABC

沿动直线 l 翻折,使翻折后的点 C 在平面 ABM 上的射影 E 落在直线 AB 上,点 C 在直线 l 上的射影为 F ,则
EF CF

的最小值为_____________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 △ ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a , b, c ,且 (1)求角 A 的大小; (2)设 AD 为 BC 边上的高, a ? 3 ,求 AD 的范围. 18.随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化, 促销费用也不断增加,下表是某购物网站 2017 年 1-8 月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据: 月份 促销费 用x 产品销 量y (1) 根据数据可知 y 与 x 具有线性相关关系,请建立 y 关于 x 的回归方程 y ? bx ? a (系数精确到 0.01 ); 1 1 2 3
3.5

3c ? tan A ? tan B . a cos B

1 2

2 3

3 6

4 10

5 13

6 21

7 15

8 18

5

4

4.5

z ? ?1800, 2000 ? , (2) 已知 6 月份该购物网站为庆祝成立 1 周年, 特制定奖励制度: 以 z (单位: 件)表示日销量,
则每位员工每日奖励 100 元; z ? ? 2000, 2100 ? ,则每位员工每日奖励 150 元; z ?? 2100, ??? ,则每位员工 每日奖励 200 元.现已知该网站 6 月份日销量 z 服从正态分布 N ? 0.2,0.0001? ,请你计算某位员工当月奖励 金额总数大约多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位). 参考数据: ? xi yi ? 338.5 , ? xi 2 ? 1308 ,其中 xi , y i 分别为第 i 个月的促销费用和产品销量, i ? 1, 2,3,...8 .
i ?1 i ?1 8 8

4

参考公式: (1) 对于一组数据 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其回归方程 y ? bx ? a 的斜率和截距的最小二乘估计分

别为 b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

, a ? y ? bx .

2

i

(2) 若随机变量 Z 服从正态分布 N ?,? 2 ,则 P ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0.6827 , P ? ? ? 2? , ? ? 2? ? ? 0.9545 . 19.如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 BB1C1C 为 ∠CBB1 ? 60° 的菱形, AB ? AC1 .

?

?

(1)证明:平面 AB1C ? 平面 BB1C1C . (2)若 AB ? B1C ,直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ° ,求直线 AB1 与平面 A1 B1C 所成角的正弦值. 20.已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ?
2 2

9 的圆心 C 在抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上,圆 C 过原点且与抛物线的准线相切. 4

(1)求该抛物线的方程; (2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点,分别在点 A, B 处作抛物线的两条切线交于 P 点,求三角形

PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程.
21.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ln x . ? a ? R ? (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 f ? x ? ? x ? ax ln x 存在极大值,且极大值为 1,证明: f ? x ? ? e? x ? x2 .
? x ? 1 ? cos ? x2 y 2 22.在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? (其中 ? 为参数), 曲线 C2 : ? ? 1 .以原点 O 为 8 4 ? y ? sin ?

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1 、 C2 的极坐标方程; (2)射线 l : ? ? ? ? ? ? 0? 与曲线 C1 、 C2 分别交于点 A, B (且 A, B 均异于原点 O )当 0 ? ? ? 最小值. 23.已知函数 f ? x ? ? 2x ? a ? 2x ? 1 . (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? ? 2 的解集;
5

?
2

时, 求 OB ? OA 的

2

2

? 1 a? (2)若 g ? x ? ? 4x2 ? ax ? 3 ,当 a ? ?1 ,且 x ? ? ? , ? 时, f ? x ? ? g ? x ? ,求实数 a 的取值范围. ? 2 2?

6

石家庄市 2017-2018 学年高中毕业班第二次质量检测试题 理科数学答案 一、选择题 1-5BABCC 6-10DBAAD 二、填空题 13. 15. 11-12AC

1 20 1 3 (? , ) 2 4

14. 3 16.

8 10 ? 25

三、解答题

17.解:(1)在△ABC 中

3c 3 sin C sin A sin B ? tan A ? tan B ? ? ? a cos B sin A cos B cos A cos B

3 sin C sin A cos B + sin B cos A 即: ? sin A cos B cos A cos B 3 1 ? ? ? 则: tan A= 3 ? A= sin A cos A 3
(2)

S?ABC ?

1 1 AD ? BC ? bc sin A, 2 2

1 ? AD ? bc 2 1 b 2 ? c 2 ? a 2 2bc ? 3 = ? 2 2bc 2bc ? 0 ? bc ? (当且仅当 3 b=c时等号成立) 3 ? 0 ? AD ? 2 由余弦定理得: cos A ?
18(1)由题可知 x ? 11, y ? 3 ,

?? 将数据代入 b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

?? 得b

2

i

? nx 2

338.5 ? 8 ? 11 ? 3 74.5 ? ? 0.219 1308 ? 8 ? 121 340

? ? 3 ? 0.219 ?11 ? 0.59 ? ? y ? bx a
? ? 0.22 x ? 0.59 所以 y 关于 x 的回归方程 y

7

(2)由题 6 月份日销量 z 服从正态分布 N ?0.2,0.0001? ,则

0.9545 ? 0.47725 , 2 0.6827 ? 0.34135 , 日销量在 [2000, 2100) 的概率为 2 1 ? 0.6827 ? 0.15865 , 日销量 [2100, ??) 的概率为 2
日销量在 [1800, 2000) 的概率为 所以每位员工当月的奖励金额总数为 (100 ? 0.47725 ? 150 ? 0.34135 ? 200 ? 0.15865) ? 30

? 3919.725 ? 3919.73 元.

19.证明:(1)连接 BC1 交 B1C 于 O ,连接 AO 侧面 BB1C1C 为菱形,? B1C ? BC1

AB ? AC1 , O 为 BC1 的中点,? AO ? BC1
又 B1C ? AO ? O ,? BC1 ? 平面 AB1C

BC1 ? 平面 BB1C1C ? 平面 AB1C ? 平面 BB1C1C .

(2)由 AB ? B1C , BO ? B1C , AB ? BO ? B , ? B1C ? 平面 ABO , AO ? 平面 ABO

? AO ? B1C
从而 OA , OB , OB1 两两互相垂直,以 O 为坐标原点, OB 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示空间直角坐 标系 O ? xyz

直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ,? ?ABO ? 30
0

0

8

设 AO ? 1 ,则 BO ? 3 ,又 ?CBB1 ? 600 ,? △ CBB1 是边长为 2 的等边三角形

? A(0,0,1), B( 3,0,0), B1(0,1,0), C(0, ?1,0) ,

AB1 ? (0,1, ?1), B1C ? (0, ?2,0), A1B1 ? AB ? ( 3,0, ?1)
设 n ? ( x, y, z) 是平面 A1B1C 的法向量,则 ? 令 x ? 1 则 n ? (1,0, 3) 设直线 AB1 与平面 A1B1C 所成的角为 ? 则 sin ? ?| cos ? AB1 , n ?|?|

? ?n ? A1 B1 ? 0 ? ?n ? B1C ? 0

即?

? 3x ? 0 ? y ? z ? 0 ? ? ?0 ? x ? 2 y ? 0 ? z ? 0

AB1 ? n 6 |? 4 | AB1 | ? | n |
6 . 4
p 3 p ,焦点 F (0, ) ,准线 y ? ? 2 2 2

? 直线 AB1 与平面 A1B1C 所成角的正弦值为

20.解:(1)由已知可得圆心 C : (a, b) ,半径 r ? 因为圆 C 与抛物线 F 的准线相切,所以 b ? 且圆 C 过焦点 F,

3 p ? , 2 2

又因为圆 C 过原点,所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上, 即b ?

p 4
3 p p ? ? ,即 p ? 2 ,抛物线 F 的方程为 x 2 ? 4 y 2 2 4

所以 b ?

(2)易得焦点 F (0,1) ,直线 L 的斜率必存在,设为 k,即直线方程为 y ? kx ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? y ? kx ? 1 2 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , ? ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ? 2 ?x ? 4 y
对y?

x x2 x ' 求导得 y ? ,即 k AP ? 1 2 2 4 x1 x 1 2 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x1 , 2 2 4

直线 AP 的方程为 y ? y1 ?

同理直线 BP 方程为 y ?

x2 1 2 x ? x2 2 4

9

设 P( x0 , y0 ) ,

x1 ? x 2 ? x ? ? 2k 0 ? ? 2 联立 AP 与 BP 直线方程解得 ? ,即 P(2k ,?1) x x 1 2 ?y ? ? ?1 0 ? 4 ?
所以 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 4(1 ? k ) ,点 P 到直线 AB 的距离 d ?
2 2
3

2k 2 ? 2 1? k
2

? 2 1? k 2

所以三角形 PAB 面积 S ?

1 ? 4(1 ? k 2 ) ? 2 1 ? k 2 ? 4(1 ? k 2 ) 2 ? 4 ,当仅当 k ? 0 时取等号 2

综上:三角形 PAB 面积最小值为 4,此时直线 L 的方程为 y ? 1 . 21.解: (Ⅰ)由题意 x ? 0 , f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,函数 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; ② 当 a ? 0 时 , 函 数 f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x 单 调 递 增 , f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x ? 0 ? x ? e
?1? 1 a

? 0 ,故当

? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? x ? ? 0, e a ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? e a , ?? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? ? 0, e a ? 上单调 ? ? ? ? ? ?
递减,函数 f ( x ) 在 x ? ? e

? ?

?1?

1 a

? , ?? ? 上单调递增; ?
?1?

③ 当 a ? 0 时 , 函 数 f ?( x) ? 1? a ? a l n x 单 调 递 减 , f ?( x) ? 1 ? a? a l n x ? 0 ? x ?

,故当 ea ? 0

1

? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? x ? ? 0, e a ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? e a , ?? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? ? 0, e a ? 上单调递 ? ? ? ? ? ?
增,函数 f ( x ) 在 x ? ? e

? ?

?1?

1 a

? , ?? ? 上单调递减. ?
?1? 1 a

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知若函数 f ( x) ? x ? ax ln x 存在极大值,则 a ? 0 ,且 e

? 1 ,解得 a ? ?1 , 故此时

f ( x) ? x ? x ln x ,
要证 f ( x) ? e 设 h ? x? ? e
?x
?x

? x2 ,只须证 x ? x ln x ? e? x ? x 2 ,及证 e? x ? x2 ? x ? x ln x ? 0 即可,

? x2 ? x ? x ln x , x ? 0 .

h? ? x ? ? ?e? x ? 2x ? ln x ,令 g( x) ? h? ? x ?
10

g ? ? x ? ? e? x ? 2 ?

1 ? 0 ,所以函数 h? ? x ? ? ?e? x ? 2x ? ln x 单调递增, x

1 ? 2 1 ?1? ? 又 h ? ? ? ?e e ? ? 1 ? 0 , h? ?1? ? ? ? 2 ? 0 , e e ?e?

故 h? ? x ? ? ?e

?x

?1 ? ? 2x ? ln x 在 ? ,1? 上存在唯一零点 x0 ,即 ?e? x0 ? 2x0 ? ln x0 ? 0 . ?e ?

所以当 x ? ? 0, x0 ? , h?( x) ? 0 , 当 x ? ? x0 , ??? 时, h?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 x ? ? 0, x0 ? 上单调递减,函 数 h ? x ? 在 x ? ? x0 , ??? 上单调递增, 故 h ? x ? ? h ? x0 ? ? e
? x0

? x02 ? x0 ? x0 ln x0 , ? x02 ? x0 ? x0 ln x0 ? 0 即可,

所以只须证 h ? x0 ? ? e 由 ?e
? x0

? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 ,得 e? x0 ? 2x0 ? ln x0 ,

所以 h ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? x0 ? ln x0 ? ,又 x0 ? 1 ? 0 ,所以只要 x0 ? ln x0 ? 0 即可, 当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e? x0 ? ?e? x0 ? x0 ? 0 所以 ?e? x0 ? x0 ? x0 ? ln x0 ? 0 与 ?e 故 x0 ? ln x0 ? 0 ,得证.
? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 矛盾,

(另证) 当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e? x0 ? ?e? x0 ? x0 ? 0 所以 ?e? x0 ? x0 ? x0 ? ln x0 ? 0 与 ?e
? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 矛盾;

当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e? x0 ? ?e? x0 ? x0 ? 0 所以 ?e? x0 ? x0 ? x0 ? ln x0 ? 0 与 ?e
? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 矛盾;
? x0

当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e 得 ?e
? x0

? ?e? x0 ? x0 ? 0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 ,故 x0 ? ln x0 ? 0 成立,
?x

得 h ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? x0 ? ln x0 ? ? 0 ,所以 h ? x ? ? 0 ,即 f ( x) ? e

? x2 .

22.解:(1)曲线 C1 的普通方程为 (x ?1) ? y ? 1 , C1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,
2 2

11

8 2 C2 的极坐标方程为 ? ? 1 ? sin 2 ?
(2)联立 ? ? ? ( ? ? 0) 与 C1 的极坐标方程得 OA
2

? 4 cos 2 ? ,

8 8 2 OB ? ? 2 2 联立 ? ? ? ( ? ? 0) 与 C2 的极坐标方程得 cos ? ? 2 sin ? 1 ? sin 2 ? , 8 8 2 2 2 4 1 - sin 2? ) 则 OB ? OA = 1 ? sin 2 ? - 4cos ? = 1 ? sin 2 ? - ( 8 4 1 ? sin 2? ) - 8 = 1 ? sin 2 ? ? (

8 ?2 ( ) ? 4(1 ? sin 2 ? ) ? 8 ? 8 2 ? 8. (当且仅当 sin ? ? 1 ? sin 2 ?
所以 OB ? OA 的最小值为 8 2 ? 8. 23.
2 2

2 ? 1 时取等号).

1 ? ? ? 4 x, x ? ? 2 , ? 1 1 ? 解: (1) 当 a ? 1 时, f ( x ) ? ?2,? ? x ? , 2 2 ? 1 ? 4 x, x ? . ? 2 ?
1 时, f ( x) ? 2 无解; 2 1 1 1 1 当 ? ? x ? 时, f ( x) ? 2 的解为 ? ? x ? ; 2 2 2 2 1 当 x ? ? 时, f ( x) ? 2 无解; 2
当x?? 综上所述, f ( x) ? 2 的解集为 ? x ?

? ?

1 ?x? 2

1? ? 2?

? 1 a? ( 2) 当 x ? ?? , ? 时, f ( x) ? (a ? 2 x) ? (2 x ? 1) ? a ? 1 ? 2 2?
所以 f ( x) ? g ( x) 可化为 a ? 1 ? g ( x)
2 又 g ( x) ? 4 x ? ax ? 3 的最大值必为 g (- ) 、 g ( ) 之一

1 2

a 2

1 ? a ? 1 ? g (? ) ? ? 2 ?? …………………9 分 a ? a ?1 ? g( ) ? ? 2

a ? ?2 ? 4 ? 4 ?? ? a ? 2 即 ? ? a ? 2. 3 ? 即? 3

12

又 a ? ?1, 所以 ? 1 ? a ? 2. 所以 a 取值范围为 ?? 1,2?

石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次质量检测试题 理科数学答案 一、选择题 1-5BABCC 6-10DBAAD 二、填空题 13. 15. 11-12AC

1 20 1 3 (? , ) 2 4

14. 3 16.

8 10 ? 25

三、解答题

17.解:(1)在△ABC 中

3c 3 sin C sin A sin B ? tan A ? tan B ? ? ? a cos B sin A cos B cos A cos B
4分

2分

3 sin C sin A cos B + sin B cos A 即: ? sin A cos B cos A cos B 3 1 ? ? ? 则: tan A= 3 ? A= sin A cos A 3
……………6 分 (2)

S?ABC ?

1 1 AD ? BC ? bc sin A, 2 2 8分

1 ? AD ? bc 2

1 b 2 ? c 2 ? a 2 2bc ? 3 = ? 2 2bc 2bc ? 0 ? bc ? (当且仅当 3 b=c时等号成立) 10分 3 ? 0 ? AD ? 12分 2 由余弦定理得: cos A ?
18(1)由题可知 x ? 11, y ? 3 ,
13

………… 1 分

?? 将数据代入 b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

?? 得b

2

i

? nx 2

338.5 ? 8 ? 11 ? 3 74.5 ? ? 0.219 1308 ? 8 ? 121 340

………3 分

? ? 3 ? 0.219 ?11 ? 0.59 ? ? y ? bx a
? ? 0.22 x ? 0.59 所以 y 关于 x 的回归方程 y

…………4 分 ……………… 5 分

? ? 0.22, (说明:如果 b

? ? 0.58 , y ? ? 0.22 x ? 0.58 ,第一问总体得分扣 1 分) a

(2)由题 6 月份日销量 z 服从正态分布 N ?0.2,0.0001? ,则

0.9545 ? 0.47725 , 2 0.6827 ? 0.34135 , 日销量在 [2000, 2100) 的概率为 2 1 ? 0.6827 ? 0.15865 , 日销量 [2100, ??) 的概率为 2
日销量在 [1800, 2000) 的概率为

……………… 8 分

所以每位员工当月的奖励金额总数为 (100 ? 0.47725 ? 150 ? 0.34135 ? 200 ? 0.15865) ? 30 ....10 分

? 3919.725 ? 3919.73 元.………………… 12 分

19.证明:(1)连接 BC1 交 B1C 于 O ,连接 AO 侧面 BB1C1C 为菱形,? B1C ? BC1

AB ? AC1 , O 为 BC1 的中点,? AO ? BC1
又 B1C ? AO ? O ,? BC1 ? 平面 AB1C

…………2 分

BC1 ? 平面 BB1C1C ? 平面 AB1C ? 平面 BB1C1C .…………4 分
(2)由 AB ? B1C , BO ? B1C , AB ? BO ? B , ? B1C ? 平面 ABO , AO ? 平面 ABO

? AO ? B1C …………………6 分
从而 OA ,OB ,OB1 两两互相垂直, 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴 正方向,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz
14

直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ,? ?ABO ? 30
0

0

设 AO ? 1 ,则 BO ? 3 ,又 ?CBB1 ? 600 ,? △ CBB1 是边长为 2 的等边三角形

? A(0,0,1), B( 3,0,0), B1(0,1,0), C(0, ?1,0) ,
………………………8 分

AB1 ? (0,1, ?1), B1C ? (0, ?2,0), A1B1 ? AB ? ( 3,0, ?1)
设 n ? ( x, y, z) 是平面 A1B1C 的法向量,则 ? 令 x ? 1 则 n ? (1,0, 3)

? ?n ? A1 B1 ? 0 ? ?n ? B1C ? 0

即?

? ? 3x ? 0 ? y ? z ? 0 ? ?0 ? x ? 2 y ? 0 ? z ? 0

…………10 分

设直线 AB1 与平面 A1B1C 所成的角为 ? 则 sin ? ?| cos ? AB1 , n ?|?|

AB1 ? n 6 |? 4 | AB1 | ? | n |
6 . 4
…………12 分

? 直线 AB1 与平面 A1B1C 所成角的正弦值为

20.解:(1)由已知可得圆心 C : (a, b) ,半径 r ? 因为圆 C 与抛物线 F 的准线相切,所以 b ? 且圆 C 过焦点 F,

p 3 p ,焦点 F (0, ) ,准线 y ? ? 2 2 2

3 p ? ,……………………2 分 2 2

又因为圆 C 过原点,所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上, 即b ?

p 4

………………………4 分

所以 b ?

3 p p ? ? ,即 p ? 2 ,抛物线 F 的方程为 x 2 ? 4 y 2 2 4

…………………5 分

(2)易得焦点 F (0,1) ,直线 L 的斜率必存在,设为 k,即直线方程为 y ? kx ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? y ? kx ? 1 2 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , ? ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ………… ? 2 ?x ? 4 y
x x2 x ' 对y? 求导得 y ? ,即 k AP ? 1 2 2 4
15

6分

直线 AP 的方程为 y ? y1 ?

x1 x 1 2 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x1 , 2 2 4

同理直线 BP 方程为 y ? 设 P( x0 , y0 ) ,

x2 1 2 x ? x2 2 4

x ? x2 ? x0 ? 1 ? 2k ? ? 2 联立 AP 与 BP 直线方程解得 ? ,即 P(2k ,?1) ……………… ? y ? x1 x 2 ? ?1 0 ? 4 ?
所 以

8分

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 4(1 ? k 2 )





P





线

AB







d?

2k 2 ? 2 1? k
2

? 2 1? k 2

……………………10 分
3

所以三角形 PAB 面积 S ?

1 ? 4(1 ? k 2 ) ? 2 1 ? k 2 ? 4(1 ? k 2 ) 2 ? 4 ,当仅当 k ? 0 时取等号 2
………………12 分

综上:三角形 PAB 面积最小值为 4,此时直线 L 的方程为 y ? 1 . 21.解: (Ⅰ)由题意 x ? 0 , f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x

④ 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,函数 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增;………1 分 ⑤ 当 a ? 0 时 , 函 数 f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x 单 调 递 增 , f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x ? 0 ? x ? e
?1? 1 a

? 0 ,故当

? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? x ? ? 0, e a ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? e a , ?? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? ? 0, e a ? 上单调 ? ? ? ? ? ?
递减,函数 f ( x ) 在 x ? ? e

? ?

?1?

1 a

? , ?? ? 上单调递增; ………3 分 ?
?1? 1 a

⑥ 当 a ? 0 时 , 函 数 f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x 单 调 递 减 , f ?( x) ? 1 ? a ? a ln x ? 0 ? x ? e

? 0 ,故当

? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? a a a x ? ? 0, e ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? e , ?? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? ? 0, e ? 上单调 ? ? ? ? ? ?
递增,函数 f ( x ) 在 x ? ? e

? ?

?1?

1 a

? , ?? ? 上单调递减.………5 分 ?
?1? 1 a

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知若函数 f ( x) ? x ? ax ln x 存在极大值,则 a ? 0 ,且 e
16

? 1 ,解得 a ? ?1 , 故此时

f ( x) ? x ? x ln x ,………6 分
要证 f ( x) ? e? x ? x2 ,只须证 x ? x ln x ? e? x ? x 2 ,及证 e? x ? x 2 ? x ? x ln x ? 0 即可, 设 h ? x? ? e
?x

? x2 ? x ? x ln x , x ? 0 .

h? ? x ? ? ?e? x ? 2x ? ln x ,令 g( x) ? h? ? x ?
g ? ? x ? ? e? x ? 2 ? 1 ? 0 ,所以函数 h? ? x ? ? ?e? x ? 2x ? ln x 单调递增, x

1 ? 1? 2 1 ? 又 h? ? ? ? ?e e ? ? 1 ? 0 , h? ?1? ? ? ? 2 ? 0 , e e ?e?

故 h? ? x ? ? ?e

?x

?1 ? ? 2x ? ln x 在 ? ,1? 上存在唯一零点 x0 ,即 ?e? x0 ? 2x0 ? ln x0 ? 0 . ?e ?

………………8 分 所以当 x ? ? 0, x0 ? , h?( x) ? 0 , 当 x ? ? x0 , ??? 时, h?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 x ? ? 0, x0 ? 上单调递减,函 数 h ? x ? 在 x ? ? x0 , ??? 上单调递增, 故 h ? x ? ? h ? x0 ? ? e
? x0

? x02 ? x0 ? x0 ln x0 , ? x02 ? x0 ? x0 ln x0 ? 0 即可,

所以只须证 h ? x0 ? ? e 由 ?e
? x0

? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 ,得 e? x0 ? 2x0 ? ln x0 ,

所以 h ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? x0 ? ln x0 ? ,又 x0 ? 1 ? 0 ,所以只要 x0 ? ln x0 ? 0 即可, ………10 分 当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e? x0 ? ?e? x0 ? x0 ? 0 所以 ?e? x0 ? x0 ? x0 ? ln x0 ? 0 与 ?e
? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 矛盾,

故 x0 ? ln x0 ? 0 ,得证.………12 分

(另证) 当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e 所以 ?e
? x0

? x0

? ?e? x0 ? x0 ? 0

? x0 ? x0 ? ln x0 ? 0 与 ?e? x0 ? 2x0 ? ln x0 ? 0 矛盾;
? x0

当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e
17

? ?e? x0 ? x0 ? 0

所以 ?e? x0 ? x0 ? x0 ? ln x0 ? 0 与 ?e

? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 矛盾;

当 x0 ? ln x0 ? 0 时, ln x0 ? ? x0 ? x0 ? e? x0 ? ?e? x0 ? x0 ? 0 得 ?e
? x0

? 2x0 ? ln x0 ? 0 ,故 x0 ? ln x0 ? 0 成立,

得 h ? x0 ? ? ? x0 ? 1?? x0 ? ln x0 ? ? 0 ,所以 h ? x ? ? 0 ,即 f ( x) ? e? x ? x2 .

22.解:(1)曲线 C1 的普通方程为 (x ?1) 2 ? y 2 ? 1 , C1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? , ….3 分

8 2 C2 的极坐标方程为 ? ? 1 ? sin 2 ? ………5 分
(2)联立 ? ? ? ( ? ? 0) 与 C1 的极坐标方程得 OA 联立 ? ? ? ( ? ? 0) 与 C2 的极坐标方程得 OB
2
2

? 4 cos 2 ? ,
2

?

8 8 ? 2 cos ? ? 2 sin ? 1 ? sin 2 ? ,……7 分

2 2 2 4 1 - sin 2? ) 则 OB ? OA = 1 ? sin 2 ? - 4cos ? = 1 ? sin 2 ? - (

8

8

8 4 1 ? sin 2? ) - 8 = 1 ? sin 2 ? ? (

………………………9 分

8 ?2 ( ) ? 4(1 ? sin 2 ? ) ? 8 ? 8 2 ? 8. (当且仅当 sin ? ? 2 1 ? sin ?
所以 OB ? OA 的最小值为 8 2 ? 8. …….10 分 23.
2 2

2 ? 1 时取等号).

1 ? ? ? 4 x, x ? ? 2 , ? 1 1 ? 解: (1) 当 a ? 1 时, f ( x ) ? ?2,? ? x ? , 2 2 ? 1 ? 4 x, x ? . ? 2 ?
………………………2 分

1 时, f ( x) ? 2 无解; 2 1 1 1 1 当 ? ? x ? 时, f ( x) ? 2 的解为 ? ? x ? ; 2 2 2 2 1 当 x ? ? 时, f ( x) ? 2 无解; 2
当x?? 综上所述, f ( x) ? 2 的解集为 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? ………….5 分 2 2?

18

? 1 a? ( 2) 当 x ? ?? , ? 时, f ( x) ? (a ? 2 x) ? (2 x ? 1) ? a ? 1 ,…….6 分 ? 2 2?
所以 f ( x) ? g ( x) 可化为 a ? 1 ? g ( x) ………….7 分 又 g ( x) ? 4 x 2 ? ax ? 3 的最大值必为 g (- ) 、 g ( ) 之一

1 2

a 2

1 ? a ? 1 ? g (? ) ? ? 2 ?? …………………9 分 ? a ?1 ? g( a ) ? ? 2

a ? ?2 ? 4 ? 4 ?? ? a ? 2 即 ? ? a ? 2. 3 ? 即? 3

又 a ? ?1, 所以 ? 1 ? a ? 2. 所以 a 取值范围为 ?? 1,2? ………10 分

19


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