高中数学《等比数列前n项和》公开课优秀教学设计

课题:等比数列的前 n 项和 一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修 5)》(北 师大版)第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来:看《等比 数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中 有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导 过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都 是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 二、学情分析 从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式 的形成、 特点等方面进行类比, 这是积极因素, 应因势利导。 不利因素是: 本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同, 这对学 生的思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学生往往容易忽 视, 尤其是在后面使用的过程中容易出错。 教学对象是刚进入高中的学生, 虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成, 但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、 不严谨。 三、设计思想 本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引 导下,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,深入探 讨。让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知, 在“探究”中创新。设计思路如下: 创设情境 布疑激趣 观察实验 建立模型 探寻特例 提出猜想 深入思考 证明猜想 简单应用 总结评估 四、教学目标 1、掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相 关问题。 2、通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类 讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价 值、应用价值,发展数学的理性思维。 五、教学重点与难点 重点:掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决 相关问题。 难点:错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 六、教学过程 (一)复习回顾 1、(提问)等比数列的定义?通项公式?性质? 2、(提问)等差数列前 n 项和公式是什么? (二)创设问题情景 引例:“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人 一口答应了下来,但提出了如下条件:在 30 天中,富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但 借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后每天所还的钱数都是上 一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想 到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。 ”请在座的同学思考 讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入 到研究者的角色中来!启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。] 学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出: (1 ? 30) ? 30 ' ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ? ? 465 (万元) 穷人 30 天借到的钱: S 30 2 穷人需要还的钱: S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求 S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? ?的问题让学生探 究: S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ①若用公比 2 乘以上面等式的两边,得到 2S30 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? 230 ② 若②式减去①式,可以消去相同的项,得到: (分) ≈1073(万元) > 465(万元) S30 ? 230 ? 1 ? 1073741823 答案:穷人不能向富人借钱 (三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式?(学生很自然地模仿 以上方法推导) 学生 A: S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 (1) qSn ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?1 ? a1q n (2) (1)-(2)有 (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n q ?1 ?na1 , ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ? 学生 B: , q ?1 sn ? a1 ? a1q ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 ? a1 ? q a1 ? a1 q ? ? ? a1 q n ? 2 ? a1 ? qs n ?1 ? a1 ? q ?s n ? a n ? ? a1 ? qs n ? a n q ? ? ? sn ? qsn ? a1 ? an q ? sn ? a1 ? an q (q ? 1) 1? q 推导等比数列前 n 项和 S n 的公式,引导学生类比前面的特例完成以 上推导课本上的推导方法后, 教师:还有没有其他推导方法?(经过几分钟的思考,有学生举手发 言) 学生 C: ? a2 ? a3 ? ? ? a n ? q a1 a2 a n ?1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 即 s n ? a1 a ? an q ? q ? sn ? 1 (q ? 1) sn ? an 1? q 。 [“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路! 教师让学生进行各种尝试,探寻公式的推导的方法,同时抓住机会或创设 问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥 了组织者、推进者和指导者的作用,而学生却是实实在在的主体活动者、 成为发现者、创造者!让学生享受成功的喜悦! ] 【基础知识形成性练习】 1. 在公比为 q 的

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