高三数学三轮复习测试卷(三)(含详细解答)

和文中学高 2014 届三轮复习数学试卷(三) 命题人:罗永云
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.已知全集为 R,集合 A ? x | 2x ? 1 , B ? x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 , 则A ? CR B ? (

?

?

?

?



A. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2, 或x ? 4} 2.已知复数 Z ? A.第一象限

B. R D. {x | 0 ? x ? 2, 或x ? 4} )
开始

5i (i是虚数单位),则复述 Z的共轭复述 Z 对应 的点所在象限是( 1 ? 2i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

1 3. 记等比数列{ an}的前 n项和为 Sn , 若a1 ? , S2 ? 2, 则S3 ? ( 2 13 A.2 B.6 C.16 D. 2
4.已知向量 a ? (cos ? ,?2), b ? (sin ? ,1), 且a // b, 则 tan( ? ? A.3

S=1,k=1 k>a? 否 是

?

4

)等于
( )

1 B. 3

C.-3

1 D. ? 3
9 ,则( 5 D. a ? 7


1 S=S+ k(k+1) k=k+1

5. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A. a ? 4 B. a ? 5 C. a ? 6

输出 S

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 6.设变量x, y满足约束条件? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数z ? y ? ax(a ? 0) ?y ? 3 ? 0 ?
的最小值为-7,则参数 a 的值是( A.-1 B.-2 C.)

结束 (第 5 题图)

1 3
3 4

D. ?

1 2

7.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几何 体的体积为 ( ) A.

7 8

B.

5 8

C.

5 6

D.

8.已知点M(a, b) , 在圆O:x 2 ? y 2 ? 1外,则直线 ax ? by ? 1与圆O的位置关系是(
A.相切 B.相交 C.相离 D.不能确定 9. 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 A.2 B.4 C.5 D.10


2

PA ? PB PC
2

2

=(



2 ? ln x 10.已知函数f ( x) ? , 对函数f ( x)定义域内的任意 x,都有xf ( x) ? m恒成立,则 x ?1 实数m的取值范围是() A.(1,+ ? ) B.(- ? ,1) C.(6,+ ? ) D.不确定
二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,共 25 分)

11. 已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 12.当 x ? (1 , 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是
2
2 13.已知抛物线 y ? 8 x的准线过双曲线 2 2

。 .

x y ? 2 ?( 1 a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且双曲线的离心率为 2, 2 a b


则双曲线的焦点到其渐近线的距离是 14. 在区间

? ?3,3? 上随机取一个数 x ,使得 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 成立的概率为______.

15.定义平面向量的一种运算: a ? b ?| a | ? | b | sin ? a, b ?, 则下列命题:

(? a) ? b ① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b) ?

③ (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ④若 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ),则 a ? b ? | x1 y2 ? x2 y1 |
其中真命题的是 。 三.解答题(共 6 小题,16-19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16.已知向量 m ? (2 cos x,1), n ? (cosx, 3 sin 2x),函数f ( x) ? m ? n ? 2012 .

f ( x)的单调增区间; (1)化简 f ( x)的解析式,求函数
(2)在?ABC中,a, b, c分别是角A, B, C的对边,已知 f ( A) ? 2014 , a ? 4, ?ABC 的面积为4 3,试判定?ABC的形状,并说明理由 .

17.已知数列 {an }满足a1 ? 2, an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ? 2n (n ? N ? ). an ? 2n , 证明:数列 {bn }为等差数列,并求数列 {an }的通项公式; 3n (2)求数列 {an }的前n项和Sn (1)设bn ?

18.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三 视图的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角 梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (Ⅰ)若 N 是 BC 的中点,求证: AN // 平面 CME ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD ; (Ⅲ)求出该几何体的体积。

D

M E

4 2

C

A

N

B

直观图

侧视图

2
2
俯视图

19. 某公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成 绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙 部门”工作。 (I)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (II)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?

20.已知函数f ( x) ? e x ? 1 ? x. (1)求函数在点( 1, f (1))处的切线方程; 4 (2)若存在x0 ? [?1, ln ], 满足a ? e x ? 1 ? x ? 0, 求a的取值范围 3

x2 y 2 3 21.椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直 a b 2
线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴 于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直 线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明

1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk2

和文中学高 2014 届数学三轮复习试题(三)答案与提示 1.C; 2.D; 3.D.4.C;5. A;

7.C

8.B解析:因为点 M (a, b)在圆O:x 2 ? y 2 ? 1外,所以a 2 ? b 2 ? 1,圆心O(0,0)到直线 ? 1 ? r , 故直线与圆相交。 1 a 2 ? b2 9. D 【 解 析 】 将 直 角 三 角 形 放 入 直 角 坐 标 系 中 , 如 图 , 设 l : ax ? by ? 1的距离d ? 1 ? 1

a b a b A(a,0), B(0, b), a, b ? 0 , 则 D ( , ) , P ( , ) , 所 以 2 2 4 4 2 2 a b a b a b a 2 9b2 2 2 PC ? ( )2 ? ( )2 ? ? PB ? ( )2 ? ( ? b)2 ? ? , 4 4 16 16 4 4 16 16 a b 2 9a 2 b2 2 2 PA ? ( ? a) ? ( ) ? ? , 4 4 16 16

PA ? PB a 2 9b 2 9a 2 b 2 a 2 b2 2 ? ? ? ? 10( ? ) ? 10 PC ,所以 ? 10 所以 PA ? PB ? 2 16 16 16 16 16 16 PC
2 2

2

2

10.A 解析: f ( x) ?

2 ? ln x 2 x ? x ln x ( x ? 0), 由xf ( x) ? m ? ? m, ( x ? 0), x ?1 x ?1 2 x ? x ln x 1 ? x ? ln x 令g ( x) ? ? g ' ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 1 ‘ ( x) ? ?1 ? ? 0, 故h( x)在 /(0,??)是减函数 令h( x) ? 1 ? x ? ln x 则h x 当0 ? x ? 1时,h( x) ? h(1) ? 0,当x ? 1时,h( x) ? h(1) ? 0

从而当 0 ? x ? 1时,g ' ( x) ? 0,当x ? 1时,g ' ( x) ? 0 故当0 ? x ? 1时,g( x)递增, 当x ? 1时,g( x)递减

所以,g ( x) max ? g (1) ? 1 2 x ? x ln x 要使 ? m成立,只需 m ? 1. x ?1 11.答案: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0。解析:命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题, 又(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 2 12.答案: m ? ?5 解析:构造函数: f ( x) ? x ? mx ? 4, x ?[1 , 2] 。由于当 x ? (1, 2) 时, 2 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立。则 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,

13. 答案:3解析:抛物线准线为 x ? ?2,因为双曲线的一个焦点 在x ? ?2上,所以 c c ? 2, 又因双曲线的离心率为 2,即e ? ? 2, 所以a ? 1, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3, 根据焦点到 a 准线的距离等于 b, 所以答案是 3.
1 14.答案: 解析: | x ? 1 | ? | x ? 2 | 表示数轴上到- 1的距离与到2的距离的差,所以 3 3 ?1 1 | x ? 1 | - | x ? 2 |? 1的解为[1,??), 又因x ? [?3,3], 所以不等式的解为 [1,3], P ? ? 3 ? (?3) 3
15.答案:①④

解析:由定义可知 b ? a ?| b | ? | a | sin ? a, b ?? a ? b, ①正确; 当? ? 0时, ? ? a,b ?? ? ? ? a, b ?, 所以(? a) ? b ?| ? a | ? | b | sin ? ? a, b ? ? ?? | a | ? | b | sin ? a, b ?, 而?(a ? b) ? ? | a | ? | b | sin ? a, b ? , 所以②不成立;
因为 | a ? b | 不一定等于| a | ? | b | ,所以③不成立;

(a ? b) 2 ?| a | 2 ? | b |2 sin 2 ? a, b ? ?| a |2 ? | b |2( 1 - cos2 ? a, b ?)
?| a |2 ? | b |2 ? | a |2 ? | b |2 cos2 ? a, b ? ?| a |2 ? | b |2 ? (a ? b) 2

? ( x1 ? y1 )(x2 ? y2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y 2 ) 2 ? ( x1 y2 ? x2 y1 ) 2 , a ? b ? | x1 y 2 ? x2 y1 |
④成立。真命题是①④

2

2

2

2

(1) f ( x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2012 ? 2 sin( 2 x ? 16. 解:

?
6

) ? 2013

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

? k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

故f ( x)的单调递增区间为 [k? ?
(2)因为f ( A)2 sin(2 A ?

?
3

, k? ?

?
6

], k ? Z .

? ? 1 ) ? 2013 ? 2014 ,? sin(2 A ? ) ? . 6 6 2 ? ? ? ? 5? ? 又 ? ? 2 A ? ? 2? ? ,? 2 A ? ? ,? A ? . 6 6 6 6 6 3 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 4 3, 2 ? bc ? 16,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,? b 2 ? c 2 ? 32, ? b ? c ? 4,? ?ABC为等边三角形 . n ?1 a ?2 a ? 2 n 3an ? 3n?1 ? 2 n ? 2 n?1 a n ? 2 n 17解: (1) ? bn?1 ? bn ? n?1 n?1 ? n n ? ? ?1 3 3 3n?1 3n ?{bn }为等差数列 .又因b1 ? 0,? bn ? n ? 1.
? a n ? (n ? 1) ? 3n ? 2 n. (2)设Tn ? 0 ? 31 ? 1 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n 则 3Tn ? 0 ? 32 ? 1 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1
2 3 n n ?1 相减得 ? 2Tn ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? (n ? 1) ? 3 ?

9(1 ? 3 n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 n ?1 1? 3

? Tn ?

(2n ? 3) ? 3 n ?1 ? 2 n ?3 ? 1 4 (2n ? 3) ? 3 n ?1 ? 2 n ?3 ? 1 4

? S n ? Tn ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ?

18.解:(Ⅰ)连接 MN ,则 MN // CD, AE // CD, 又 MN ? AE ? 1 CD ,所以四边形 ANME 为平行四边形,? AN // EM ??2 分 2 ? AN ? 平面 CME , EM ? 平面 CME , 所以, AN // 平面 CME ; ?????4 分 (Ⅱ)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC 又平面 ABC ? 平面 BCD ????????6 分 ? AN ? 平面 BCD 由(Ⅱ)知: AN // EM ? EM ? 平面 BCD 又 EM ? 平面 BDE 所以,平面 BDE ? 平面 BCD . ?8 分 (Ⅲ)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC 所以, AB ? 平面 ACDE ???????10 分 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: V ? 1 S ACDE ? AB ? 1 ? (4 ? 2) ? 2 ? 2 ? 4 ??12 分 3 3 2 19、

20.

c 3 2b 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a2 ? 4, b2 ? 1 21.解答: (1)由已知得, ? , a a 2 2 x ? y2 ? 1 所以椭圆方程为: 4 PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM 2 (2)由题意可知: = , = ,设 P( x0 , y0 ) 其中 x0 ? 4 ,将向量坐 | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
2 3 2 标代入并化简得:m( 4 x0 ? 4, ?16) ? 3x0 ?12x0 ,因为 x0

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? ( ? , ) 2 2 4

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

y0 y0 x0 x x 1 1 ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? ,代入 中得: , k2 ? ? 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3

x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0


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