高中数学 第二章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例 全方位聚焦正余弦定理的应用素材 北师大版5 精

全方位聚焦正余弦定理的应用 正、 余弦定理是研究三角形的边和角之间的关系, 是解决三角形问题的有力工具和重要 手段,下面将对正余弦定理的应用进行全方位扫描. 一、合理选用定理解三角形: 求解三角形是典型问题,问题涉及三角形的若干几何量,解题时要注意边与角的互化. 一般地,已知三角形的三个独立条件(不含已知三个角的情况),应用两定理,可以解三角 形,具体可以解决的类型如下: 已知两角一边(唯一解) 正弦定理 已知两边一对角(不唯一) 已知两边一夹角(唯一解) 余弦定理 已知三边(唯一解) 例 1.在三角形 ABC 中,已知 a ? 3, b ? 2, B ? 45? ,解此三角形. 分析:本题是一类已知两边一对角的解三角形问题,可用正弦定理,也可用余弦定理. 解法一:利用正弦定理,得 3 2 3 ,则 sin A ? . ? sin A sin 45? 2 由于 a ? b ,根据大边对大角,得 A ? 60? 或 120 ? . 当 A ? 60? 时,得 C ? 75? , c ? b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? ; sin B sin 45? 2 b sin C 2 sin 15? 6? 2 ? ? . sin B sin 45? 2 当 A ? 120 ? 时,得 C ? 15? , c ? 解法二:利用余弦定理,得 ( 2 ) 2 ? ( 3) 2 ? c 2 ? 2c ? 3 ? cos45? , 1 整理得 c 2 ? 6c ? 1 ? 0 ,得 c ? 6? 2 . 2 当c ? b2 ? c2 ? a2 1 6? 2 ? ,所以 A ? 60? ,则 C ? 75? ; 时, cos A ? 2bc 2 2 b2 ? c2 ? a2 1 6? 2 ? ? ,所以 A ? 120 ? ,则 C ? 15? . 时, cos A ? 2bc 2 2 当c ? 点评: 已知三角形的两边一对角这一类型, 是同学们在学习过程中感到最困难的一种类 型,这种类型的题,正弦和余弦定理都可以解决. (1)用正弦定理解,往往通过大边对大角这个性质,来判断解的个数; (2)用余弦定理解,一般转化为关于某条边的一元二次方程,利用 ? 或根的正负性来 判断解的个数. 二 判断三角形的形状 解此类问题时, 往往利用正弦或余弦定理转化到边或角, 再通过边来判断或角来判断此 三角形的形状. 例 2 在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 分析: 利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将 角用边来表示.从中找到三角形中的边角关系,判断出三角形的形状. 解 1:由扩充的正弦定理:代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA, sinAcosB-cosAsinB=0 , sin(A-B)=0, 则 A-B=0,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形。 a2 ? c2 ? b b2 ? c2 ? a a? ? b? a 2 ? b 2 ∴ a ? b , 即△ABC 2ac 2bc 解 2:由余弦定理: 为等腰三角形. 点评:法一将已知条件全部转化成角的关系,法二则将已知条件全部转化成边的关系, 这样更有利于寻求到角与角或边与边存在的内在联系, 这种方法在解其它有关三角形的问题 中也是常用的,不同的思维有助于学生建立属于自己的良好的认知结构. 三 解决与面积有关的问题 2 2 B C 中, B C 例 3. 在 ?A 若 a ? 4, b ? c ? 5, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tanB , 求 ?A 的面积. 解析:由已知得 tan(A ? B) ? tan A ? tan B 3 (tan A tan B ? 1) ? ?? 3 1 ? tan A tan B 1 ? tan A tan B 2 ? A ? B ? 1200 ,得 C ? 600 2 2 2 0 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos60 ,又 b ? c ? 5 因此 c ? 16 ? (5 ? c) ? 4(5 ? c) ? c ? 2 2 3 7 ,从而 b ? 2 2 因此, ?ABC 的面积 ? 1 1 3 3 3 3 absin C ? ? 4 ? ? ? 2 2 2 2 2 点评: 本题有一定的难度, 首先要用和角的正切公式产生 A ? B 的值, 进一步产生角 C ; 其次要灵活运用条件及余弦定理产生 b , 然后再求三角形的面积, 可以说是一道小型综合题, 不能全面把握基础知识是难以完成求解的. 四、求值 例 4 在 ?ABC 中,求 解一:原式 ? b cos C ? a sin C ? 的值 b cos A ? c sin A 2 R sin B cosC ? 2 R sin A sin C sin B cosC ? sin(B ? C ) sin C ? ? ? 2 R sin B cos A ? 2 R sin C sin A sin B cos A ? sin(B ? A) sin A ? cos B sin C sin C ? ?0 cos B sin A sin A a2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a2 c ?a c 2ab ? 2 R ? ? 2 2a ? ?0 解二:原式 ? 2 2 2 2 2 a a b ?c ?a b ?c ?a b? ?c 2R 2bc 2c b? 点评:本题是一个“纸老虎”,看模样,有点吓人,但真正动手求解,也很顺利,正弦 定理与余弦定理均可达到目的. 五、证明恒等式 例 5 在 ?ABC 中,求证: 证明:右边 ? a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? sin C c2 sin A cos B ? cos A sin B sin A sin B a ? ? cos

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