第一章集合与函数概念复习学案

集合与函数章末复习案

第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1.集合的含义___________________________________________ 2.集合的中元素的三个特性:______、______、_______ 3.集合的表示: (1)用拉丁字母表示集合 (2)集合的表示方法:_______、_______、_______。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:__ 正整数集 __或___ 整数集__ 有理数集__ 实数集__ 4、集合的分类: (1)有限集:含有____个元素的集合 (2)无限集:含有____个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ 。 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果_____,且_____,那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③(传递性) :如果 A?B, B?C ,那么_______ 2. “相等”关系:若_______且_______,则称集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B。 规定: 空集是任何集合的_____。空集是任何_________的真子集。 含有 n 个元素的集合,含有___个子集,_____个真子集,______个非空真子集。 三、集合的运算 运 交 集 并 集 补 集 算 设 S 是一个集合,A 是 S 的 由所有___________ 由所有__________ 一个子集,由 S 中所有 _______的元素所组 ______的元素所组成 成的集合,叫做 A,B ______的元素组成的集合, 定 的集合,叫做 A,B 的交 的并集.记作:A ? B 叫做 S 中子集 A 的补集(或 集. 记作 A ? B (读作 ‘A 余集) 义 (读作‘A 并 B’,即 ) 交 B’,即 A ? B= ) 记作 C S A ,即 A ? B ={x|x ? A,或 {x|x ? A,且 x ? B} . x ? B}). CSA= {x | x ? S , 且x ? A} 韦 恩 图 示 性 质
A B

例题练习: 1、下列各组中各个集合的意义是否相同,为什么? (1){1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)}; (2){x|x=0},{0},{(x,y)|x=0,y∈R}; (3){x|x2-ax-1=0}与{a|方程 x2-ax-1=0 有实根}.

1 2、设 a,b∈R,集合 ?a, , ? ={a2,a+b,0},则 a=____,b=_____.
3、设 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. 1 (1)若 a= ,试判定集合 A 与 B 的关系; 5 (2)若 B?A,求实数 a 组成的集合 C.

? ?

b a

? ?

4、设全集 U 是实数集 R,M={x|x2>4},N={x|log2(x-1)<1},则图中阴影部分 所表示的集合是 ( ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 5、设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q 等于 A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 6、若集合 A= ? x log 1 x ? ( )

? ?

2

1? ? 2?

? 1? ? x log 12 ? ? ,则?RA= 2? ?
? ? C.(-∞,0]∪ ? 2 , ? ? ? ? ? 2 ?

(

)

A.(-∞,0]∪ ? 2 ,? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

? ? B. ? 2 , ? ? ? 2 ? ? ? ?

? ? D. ? 2 ,? ? ? ? ? 2 ?

A

B

S A

7、设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是

?

图1

图2

A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B
A?B ? A ? A ? B

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A? B ?A A? B ?B
A? B ? A ? B ? A

(CuA) ? (CuB)=Cu(A ? B) (CuA) ? (CuB)=Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)=Φ Cu(CuA)=A
1

8、已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ, 求 m 的值。

集合与函数章末复习案

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的_____,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 ____一个____,在集合 B 中都有_________的数_____和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A. 定义域:能使函数式有意义的_________________称为函数的定义域。 值域:___________的集合叫做函数的值域。 2.函数的三要素:_________、__________、_____________。 3.两个函数的相等:如果两个函数的________________并且____________________,就 称这两个函数相等。 4.映射: 一般地,设 A、B 是两个非空的____,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的____ 一个____,在集合 B 中都有________的______与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) ? B” :A 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有对应元素,并且对应元素是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的元素可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有元素对应。 5.函数与映射的区别与联系 (1)函数是一种_____的映射,其特殊性在于,集合 A 与集合 B 只能是非空___集,即函数是 非空数集 A 到非空数集 B 的映射。 (2)映射是函数概念的______,映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集, 则这个映射便不是函数。 6.分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因___________不同而分别用几个不同的式子 来表示,这种函数就称为分段函数。 分段函数的定义域等于 x 的各段范围的____集,值域等于各段 y 的范围的____集。 7.复合函数 如果函数 y=f(u)的定义域为 A,函数 u=g(x)的定义域为 D,值域为 C,且 C?A 时, 称函数 y=f(g(x))为 f 与 g 在 D 上的复合函数,其中 u 叫做中间变量,u=g(x)内函数,y=f(u)叫做 外函数。 8. 相同函数的判断方法:①表达式_____(与表示自变量和函数值的字母无关) ;②定义域_____ (两点必须同时具备) 9.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式中,分母_______; (2)偶次方根中,被开方数_____; (3)对于 y=x0,要求 x_____; (4)对数式中,真数______0,底数_____0 且_______1; (5)由实际问题确定的函数,其定义域要受_________的约束. (6)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系. (7)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义 的___的值组成的集合. 10.求函数的值域 : 先考虑其定义域(即定义域优先考虑) (1)观察法 (2)配方法 (3)图像法 (4)换元法 (5)单调性法 (6)分离常数法 11.函数的解析表达式
2

函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间 的对应法则,二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有: (1)凑配法 (2)待定系数法 (3)换元法 (4)构造方程组法 三、函数图象知识归纳 1.函数图像的画法 (1)描点法: (2)图象变换法 2.常用图象变换 (1)平移变换:左___右___,上___下___。 (2)翻折变换:y=f(|x|)的图像是把 y=f(x)图像在_________的部分去掉,再把在_________的部分 翻折到____的___边, 连同__________的部分构成的; y=|f(x)| 的图像是把 y=f(x)图像在________ 的部分翻折到_____的___方,连同原来________方的部分构成的。 (3)对称变换:函数 y=f(-x)与函数 y=f(x)的图象关于_____对称;函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)的图象 关于____对称。 四、函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 ______时,都有_________,那么就说 f(x)在区间 D 上是___函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调___ 区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当______ 时,都有_________,那么就说 f(x) 在这个区间上是___函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调___区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是_____的,减函数的图象从左到右是_____的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同___ 异___” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并 集. 2.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数

集合与函数章末复习案

一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有____________,那么 f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有____________,那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于___轴对称;奇函数的图象关于____对称. (4)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性______. (5)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有_______. (6)若 f(x)为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f x

2.求下列函数的定义域: (x-1)0 (1)y= x+1+ lg(2-x)

(2) f ( x ) ?

1 log 1 ?2 x ? 1?
2

(3) y ?

log 0.5(4 x ? 3)

? ?

(7)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. (8)既奇又偶的函数有无穷多个(例如 f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集). (9)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是________; ②两个偶函数的和、积都是________; ③一个奇函数,一个偶函数的积是_______. 性质的推广 (1)如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(a-x)=f(a+x), f(x)=f(2a-x), f(x) 或 则 的图象关于直线_____对称.特别地,当 a=0 时,f(x)即为____函数。 (2)如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(a-x)=-f(a+x), f(x)的图象关于点(a, 则 0)对称.特别地,当 a=0 时,f(x)即为____函数。 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的______,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 若 则 若 ○作出相应结论: f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, f(x)是偶函数; f(-x) =-f(x)

3.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _

4.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2 , 3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是

5. 设函数 f ( x ) ? ? A.[-1,2]

? 21? x ,

x ? 1,
B.[0,2]

?1 ? log 2 x, x ? 1,

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 C.[1,+∞)

( D.[0,+∞)

)

或 f(-

6.求下列函数的值域: (1) y ? x 2 ? 2 x ? 3 x ? [1, 2] (3) y ? 3 log 1 x ? 1, x ?
4

x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于 原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=± 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 1 四、函数最大(小)值 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

?

1 16

, 64 ?

(2) y ? x ? 1 ? 2 x (4) y ?

1 ? 2x

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 ___值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 ___值 f(b); 例题与练习:

7.已知函数 f ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式

? x 2 ( x ? 1) 1. 若 f ( x) ? ? x ,则 f(f(2))=______. 1 ?? 2 ? ( x ? 1)
3

8. 若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)= A.x-1 B.x+1 C.2x+1

( D.3x+3

)

集合与函数章末复习案

9.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) =

( 14.若函数 y ? x ? 2 a ? 1)x ? 3 在(??, 2)上是减函数,求 a 的取值范围。
2

f ( x) 在 R 上的解析式为

15.若函数 f ( x ) ? ?

?a x ,

x ? 0

?log a( x ? 2), x ? 0

是增函数,求 a 的取值范围。

16.用图像变换法画出下列函数的图像 10.求下列函数的单调区间: (1) y ? 2
x2 ? 2x ? 4

(1) y ? lg x
2

(2) y ? 2

?x ?2

(2) y ? log 1(2 x ? 1)

(3) y ? x 2 ? 6 x ? 1

?1? (3) y ? ? ? ?2? ? ?

x

(4) y ? 2

x?2

(5) y ?

x ?2 x ?1

17.若函数 f(x)= 11.判断函数 y ? ? x ? 1 的单调性并证明你的结论.
3

x 为奇函数,则 a= (2 x ? 1)( x ? a)
2 B. 3 3 C. 4 D.1

(

)

1 A. 2

18.定义在(-1, 1)上的奇函数 f(x)是减函数,若 f (1 ? a) ? f 1 ? a 12.判断下列函数的奇偶性
x (1) f ( x) ? e ? 1 ex ? 1

?

2

? ? 0 ,求 a 的取值范围。

(2) f ( x) ? lg x ?

?

x

2

? 1?

4 ? x2 (3) f ( x) ? x ?1 ?1

19.若非零函数 f(x)对任意实数 a, 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b), b 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 。 (1)求证: f ( x) ? 0 ; (2)求证: f (x )为减函数; (3)当 f (4) ?

1 1 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5) ? 。 4 16

13.我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算制定一项水费措施,规定每季度 每人用水不超过 5 吨时,每吨水费的价格(基本消费价)为 1.3 元,若超过 5 吨而不超过 6 吨时, 超过部分的水费加收 200%,若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费加收 400%,如果某 人本季度实际用水量为 x(x≤7)吨,试计算本季度他应缴纳的水费.

20.已知函数 f ( x) ? (1)当 a ?

x2 ? 2x ? a , x ? ?1, ? ? ? . x

1 1 时,求函数 f(x)的最小值;(2)若对于任意 x ? ? , ? ? ?, f ( x) ? 0 恒成立,试求 2

实数 a 的取值范围.

4


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