2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系


一、选择题 1.异面直线是指( )

A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 [答案] D

[解析] 对于 A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行 (共面),另一个是异面.∴A 应排除. 对于 B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也 可异面,如右图,就是相交的情况,∴B 应排除. 对于 C,如右图的 a,b 可看做是平面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b,显然它们是相交直线,∴C 应排除.只有 D 符合 定义.∴应选 D. 规律总结:解答这类立体几何的命题的真假判定问题,一方 面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理;另一方面要善于 寻找特例,构造相关特例模型,能快速、有效地排除相关的选择项.

2.a,b 为异面直线,且 a?α,b?β,若 α∩β=l,则直线 l 必 定( ) A.与 a,b 都相交 C.至少与 a,b 之一相交 [答案] C [解析] 若 a,b 与 l 都不相交,则 a∥l,b∥l,即 a∥b,与 a, b 是异面直线矛盾.故选 C. 3.直线 a 与直线 b 相交,直线 c 也与直线 b 相交,则直线 a 与 直线 c 的位置关系是( A.相交 C.异面 [答案] D ) B.平行 D.以上都有可能 B.与 a,b 都不相交 D.至多与 a,b 之一相交

[解析] 如图所示, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB 与 AA1 相交, A1B1 与 AA1 相交,所以 AB∥A1B1;又 AD 与 AA1 相交,所以 AB 与 AD 相交;又 A1D1 与 AA1 相交,所以 AB 与 A1D1 异面.故选 D. 4. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 与对角线 AC1 异面的棱有( A.3 条 C.6 条 [答案] C [解析] 画一个正方体,不难得出有 6 条. B.4 条 D.8 条 )

5.下列命题中,正确的结论有(

)

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角 相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组 直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两 边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于 第三条直线,那么这两条直线互相平行. A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] ②④是正确的. 6. 空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AC、BD 中点,若 CD= 2AB,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角为( A.30° C.60° B.45° D.90° ) B.2 个 D.4 个

[答案] A [解析] 取 AD 的中点 H, 连 FH、 EH, 在△EFH 中 ∠EFH=90° , HE=2HF,从而∠FEH=30° , 故选 A. 7.正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,BD 与 B1C 所成的角是( )

A.30° C.60° [答案] C

B.45° D.90°

[解析] ∵A1D∥B1C,∴A1D 与 BD 所成的锐角(或直角)即为所 求角,连接 A1B.∵△A1DB 为正三角形, ∴∠A1DB=60° . 8.空间四边形 ABCD 中,AB、BC、CD 的中点分别为 P、Q、R, 且 AC=4,BD=2 5,PR=3,则 AC 和 BD 所成的角为( A.90° C.45° [答案] A B.60° D.30° )

[解析] 如图,P、Q、R 分别为 AB、BC、CD 中点,∴PQ∥AC, QR∥BD, ∴∠PQR 为 AC 和 BD 所成角 1 又 PQ=2AC=2, 1 QR=2BD= 5,RP=3

∴PR2=PQ2+QR2,∴∠PQR=90° 即 AC 和 BD 所成的角为 90° ,故选 A. 二、填空题 9.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________,不平 行的两条直线的位置关系是________,两条直线没有公共点,则它们 的位置关系是________ ,垂直于同一直线的两条直线的位置关系为 ________. [答案] 平行、相交、异面 相交、异面 相交、异面. 10.若 AB∥A′B′,AC∥A′C′,则下列结论: ①∠ACB=∠A′C′B′; ②∠ABC+∠A′B′C′=180° ; ③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180° . 一定成立的是________. [答案] ③ 11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a、M、N、P、Q 分别为 棱 AB、BC、C1D1 和 CC1 的中点,则 ①MN 与 PQ 的位置关系为________, 它们所成的角为________. ②DB1 与 MN 的位置关系为________, 它们所成的角是________. [答案] ①相交 60° ②异面 90° [解析] ①连接 AC、D1C 由于 P、Q 分别为 C1D1、C1C 的中点, 平行、异面 平行、

所以 PQ∥D1C, 同理 MN∥AC, 则 AC 与 D1C 所成角即为 MN 与 PQ 所成角,∠D1CA=60° . ②连接 AC、BD 交于 O, 取 BB1 的中点 H,连 OH,则 OH∥B1D,

连 AH,HC,则 AH=HC,∴OH⊥AC, 又 MN∥AC,OH∥B1D,∴MN⊥B1D. 12.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中

①AC 和 DD1 所成角是________度. ②AC 和 D1C1 所成的角是________度. ③AC 和 B1D1 所成的角是________度. ④AC 和 A1B 所成的角是________度. ⑤O 为 B1D1 中点,AC 和 BO 所成角是________度. ⑥A1B 和 B1D1 所成角是________度. [答案] ①90° ,②45° ,③90° ,④60° ,⑤90° ,⑥60° . [解析] ①DD1⊥面 ABCD,∴DD1⊥AC; ②D1C1∥DC,∠DCA=45° ,∴D1C1 与 AC 成 45° 角; ③B1D1∥BD,BD⊥AC,∴B1D1⊥AC; ④A1B∥D1C,△D1AC 为等边三角形,∴成 60° 角; ⑤在正方体中,∵O 是 B1D1 中点,∴O 为 A1C1 中点, 又 A1B=BC1∴BO⊥A1C1, 又 AC∥A1C1,∴BO⊥AC,∴AC 与 BO 成 90° 角; ⑥B1D1∥BD,△A1BD 为等边三角形,∴成 60° 角. 三、解答题

13.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中的面 A1C1 内有一 点 P,经过点 P 作棱 BC 的平行线,应该怎样画?并说明理由. [分析] 由于 BC∥B1C1,所以平行于 BC 的直线只需要平行于 B1C1 即可. [解析] 如图所示,在面 A1C1 内过 P 作直线 EF∥B1C1,交 A1B1 于点 E,交 C1D1 于点 F,则直线 EF 即为所求. 理由:∵EF∥B1C1,BC∥B1C1,∴EF∥BC.

14.如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,D、E 分别是 VB、VC 的中点,求异面直线 DE 与 AB 所成的角. [解析] 由已知得 BC⊥AC, 又 BC=AC,∴∠ABC=45° . 又在△VBC 中,D、E 分别为 VB、VC 中点, ∴DE∥BC,∴DE 与 AB 所成的角为∠ABC=45° .

15.如右图,等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° ,BC= 2,DA ⊥AC,DA⊥AB,若 DA=1,且 E 为 DA 的中点.求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值. [分析] 根据异面直线所成角的定义,我们可以选择适当的点, 分别引 BE 与 DC 的平行线,换句话说,平移 BE(或 CD).设想平移 CD,沿着 DA 的方向,使 D 移向 E,则 C 移向 AC 的中点 F,这样

BE 与 CD 所成的角即为∠BEF 或其补角,解△EFB 即可获解. [解析] 取 AC 的中点 F,连接 BF、EF,在△ACD 中,E、F 分 别是 AD、AC 的中点, ∴EF∥CD, ∴∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角). 1 1 5 在 Rt△EAB 中,AB=1,AE=2AD=2,∴BE= 2 . 1 1 1 2 在 Rt△AEF 中,AF=2AC=2,AE=2,∴EF= 2 . 1 5 在 Rt△ABF 中,AB=1,AF=2,∴BF= 2 . 1 2 EF 2 4 10 在等腰△EBF 中,cos∠FEB= BE = = 10 , 5 2 10 ∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 . 16.如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、E1、F1 分 别为棱 AD、AB、B1C1、C1D1 的中点. 求证:∠EA1F=∠E1CF1.

[证明] 如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,取 A1B1 的中点

1 M,则 BF=A1M=2AB.

又∵BF∥A1M, ∴四边形 A1FBM 为平行四边形. ∴A1F∥BM. 而 F1、M 分别为 C1D1、A1B1 的中点, 则 F1M 綊 C1B1, 而 C1B1 綊 BC,∴F1M∥BC,且 F1M=BC. ∴四边形 F1MBC 为平行四边形, ∴BM∥F1C.又 BM∥A1F,∴A1F∥CF1. 同理取 A1D1 的中点 N,连接 DN,E1N, 则 A1N 綊 DE, ∴四边形 A1NDE 为平行四边形. ∴A1E∥DN. 又 E1N∥CD,且 E1N=CD, ∴四边形 E1NDC 为平行四边形. ∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1. ∴∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行, 且方向都相反.

∴∠EA1F=∠E1CF1. 规律总结:证明角的相等问题,等角定理及其推论是较常用 的方法.另外,通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的 证明,如本例还可通过证明△EA1F 与△E1CF1 全等来证明角相等.


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