2010年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题答案


上海市普陀区 2011 届上学期高三年级期末调研考试数学试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分) 1. 设平面向量 2. 已知函数 ,则 3. 已知集合 4. 若数列 对任意的 . , 都有 ,则 ,且 ,则直线 的倾斜角为 . ,则 = . . . , , ,则 ,若 . 的反函数 的图像经过点

5. 若直线 的一个法向量为 6. 已知 ,其中

是第四象限角,则

7. 已知一个球的半径为 离为 ,则

,一个平面截该球所得小圆的半径为 ,该小圆圆心到球心的距 . 的一个焦点, .

关于 的函数解析式为

8. 抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆 则此抛物线的焦点到其准线的距离为

9. 若函数

,则

.

10. 某种电子产品的采购商指导价为每台 200 元,若一次采购数量达到一 定量,还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框 图,则该程序运行时,在输入一个正整数 实际意义是 元. 11. 方程为 为 . 的曲线上任意两点之间距离的最大值 之后,输出的变量 表示的

;若一次采购 85 台该电子产品,则

12. 高一数学课本中,两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即

. (填入推导的步骤) 13. 已知函数 范围是 . 在区间 上存在零点,则实数 的取值

14. 在正方体的顶点中任意选择 4 个顶点,对于由这 4 个顶点构成的四面体的以下判断中, 所有正确的结论是 (写出所有正确结论的编号) ① 能构成每个面都是等边三角形的四面体; ② 能构成每个面都是直角三角形的四面体; ③ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体; ④ 能构成三个面为不都全等的直角三角形,一个面为等边三角形的四面体. 二、选择题(本大题满分 20 分) 15. “ ”是“ ”的 ( )

A. 充分非必要条件; B. 必要非充分条件; C. 充要条件; D. 既非充分又非必要条 件. 16. 设 ( ) A. 函数 C. 区间 一定是个偶函数; 一定是 B. 函数 一定没有最大值; 不可能有三个零点. 为非零实数,则关于函数 , 的以下性质中,错误的是 ..

的单调递增区间; D. 函数

17. 双曲线 A. 0 个;

上到定点 B. 2 个;

的距离是 6 的点的个数是 C. 3 个;





D. 4 个.

18. 若对于任意角

,都有

,则下列不等式中恒成立的是(



A.



B.



C.



D.

.

三、解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 10 分)

已知数列





),试判定:依据 、 的不同取值,

集合

含有三个元素,并用列举法表示集合

.

20. (本题满分 14 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 为了贯彻节能减排的理念,国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为 例,该节能型冰箱使用一天(24 小时)耗电仅 度,比普通冰箱约节省电能 ,达到

国家一级标准.经测算,每消耗 100 度电相当于向大气层排放 树在 60 年的生命周期内共可以吸收 1 吨二氧化碳.

千克二氧化碳,而一棵大

(1)一台节能型冰箱在一个月(按 排放多少千克的二氧化碳(精确到

天不间断使用计算)中比普通冰箱相当于少向大气层 千克)?

(2)某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡”补贴政策支持下,若每 月月初都有 150 户居民“以旧换新”换购节能型冰箱,那么至少多少个月后(每月按 30 天 不间断使用计算) 该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过 150 棵大树在 , 60 年生命周期内共吸收的二氧化碳的量? 21. (本题满分 14 分,其中第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) 已知 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 、 、 .

(1)若当

时,

取到最大值,求

的值;

(2)设 大值.

的对边长

,当

取到最大值时,求

面积的最

22.(本题满分 16 分,其中第 1 小题 9 分,第 2 小题 7 分) 如图, 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 1, 高为 ( 上移动.设 与侧面 所成的角为 . ) 动点 , 在侧棱

(1)当

时,求点

到平面

的距离的取值范围;

(2)当 .

时,求向量



夹角的大小.

23. (本题满分 20 分,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 10 分.)

平面直角坐标系 上的 个点( (1)若数列 (2)若点 (3)若点

中,已知 , 、 均为非零常数).

,?,

是直线

成等差数列,求证:数列 是直线 上一点,且 满足

也成等差数列; ,求 ,我们称 的值; 是向量 , ,?,

的线性组合, 当 是向量

是该线性组合的系数数列. , ,?, 的线性组合时,请参考以下线索: 会落在直线 上?

① 系数数列 ② 若点

需满足怎样的条件,点

落在直线 上,系数数列

会满足怎样的结论? 满足的条件,确定在直线 上的点 的个数或坐

③ 能否根据你给出的系数数列

标? 试提出一个相关命题(或猜想)并开展研究,写出你的研究过程.【本小题将根据你提 出的命题(或猜想)的完备程度和研究过程中体现的思维层次,给予不同的评分】

高三调研数学试卷参考答案及评分标准 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分):

1. 6.

; (或

2. 4;

3. ); 7.



4. (文,理)40; , ;

5.



8. 4;

9.理:

;文:

; 10.表示一次采购共需花费的金额;



11. 13. 理:



12. ;文:2; 14. 理:①②③④;文:①②③.



二、选择题(每题 4 分,满分 16 分): 题号 15 16 答案 B C 三、解答题: 19.(本题满分 10 分)

17 B

18 D

(理科)解:由结论:“当 时, ”且根据本题条件 本题需根据变量 和常数 1 的大小比较进行分类讨论: (1)当 (2)当 时, 时, ; ;

,故 ?3

?6

?9 (3)当 或 时,有 . ?10 故集合 含有以上三个元素, 用列举法表示集合 . (文科)解:如图,延长 DA 至 E,CB 至 F,使得 DA=AE,CB=BF. 联结 AF,PF,EF, DF. 因为 ABCD 是正方形, 所以 AD//BF, AD=BF, 且 所以 AF//BD. 故 为异面直线 与 (或其补角)的大小即 所成角的大小. , . . ?7 ?3

又 正 方 形 边 长 为 2 , PD=1 , 故 , 所以,

于是,



?9 ?10

所以异面直线



所成角的大小为

.

20.(本题满分 14 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 解:(1)由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能 小时)消耗的 ,故一台节能型冰箱一天( ?3

度电相当于比普通冰箱少消耗的电能,即一台节能型冰箱在一个

月中比普通冰箱要少消耗电: (度); 设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放 千克的二氧化碳,则 (千克). 故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约 (2)设 个月后( 在 年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意,有 千克的二氧化碳. ),这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过 150 棵大树

?6

?10 ,因为 ,故可解得 . 所以,至少经过 10 个月后,这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过 150 棵大 树在 年生命周期内共吸收的二氧化碳的量. ?14

21. (本题满分 14 分,其中第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) ?2

解:(1)因为

?5 故当 时, 原式取到最大值, 即三角形的内角 , 此时 , 当且仅当 时, 最大值为 . . 时等号成立. ?7

(2) (1) 由 结论可得 又 , 因此

?9

所以

.故

面积的最大为

.

?12 ?14

22.(本题满分 16 分,理科:第 1 小题 9 分,第 2 小题 7 分;文科:第 1 小题 3 分,第 2 小题 6 分, 第 3 小题 7 分) (理科)解: (1)设 BC 的中点为 D,连结 AD、DM, 则有

?3

于是,可知 因为,点 到平面

即为 AM 与侧面 BCC1 所成角 的距离为

. , .

?6

,不妨设

在 Rt△ADM 中,

.



,

,故

.

而当

时,



?9



?11 ,

所以,点

到平面

的距离

的取值范围是

.

?13

(2)解法一:当

时,由(1)可知

,

?15

故可得 设向量

, 与 的夹角为 ,因为

.

.

所以



?16 故向量 与 夹角的大小为 中点 O 为原点, 轴, . 所在的直 所在直线为 ?10

解法二:如图,以 线为 轴,

所在的直线为 为

轴(其中点

中点),建立空间直角坐标系. 时, .

由(1)可知,当

所以有,



, ?13

,

,即



.

设向量



夹角为

,则

?16

故向量



夹角的大小为 作 // , 交 于

. . .

解法三: 如图, 过点 联结

.因为是正三棱柱,故可得

当 故可得

时,由(1)可知 . 中,不难求得

,

在等腰三角形

?11

,即异面直线 而图中不难发现, 与



所成角为

, 与 所成角的补 ?14

夹角的大小为异面直线

角,即



夹角的大小为

.

?16

(文科)解:(1) 即 于是得 对 对

为偶函数, 恒成立,又 . ,



恒成立,

恒成立,

?3 (2) 由(1)得 可知,当 时,单调递增区间为 ,单调递减区间为 ; ?6 当 时,单调递增区间为 和 ,

单调递减区间为



. 在区间 上也必定有零点,即方程 ?9 , 上单调递增, ?12

(3)解法一:由偶函数的性质得:函数 在区间 设 ,可知函数 上有实数解,则 在区间



, 解法二:若函数 在区间

. 上存在零点,则必有 ?14 ?16



. ?13 ?16

23. (本题满分 20 分,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 10 分) 解:(1)证:设等差数列 因为 所以 (2)证:因为点 于是, 为定值,即数列 、 和 也成等差数列. ( ) 的公差为 , , ?4 ?6

都是直线 上一点,故有

?9





,则有 满足要求 ,

. ,

?10

(3)(文科)假设存在点 则有 又当 时,恒有

?12

,则又有 ,

所以 又因为数列 于是 所以, 成等差数列, ,

?15

?18 故 , 同理 , 且点 在直线上 (是 、

的中点),即存在点 (3)(理科) 提出命题:(在本题大前提下)若点 系数数列的和 证明:设 先证充分性:“当 因为 ,由条件 满足

满足要求.

?20

,则

是点

在直线 上的充要条件. , 时,点 , 在直线 上”.

故 而 ( ),所以

当 再证必要性:“若点 因为

时,即有 在直线 上,则 ,

,即点

在直线 上. .”

故 而因为 ( ),所以

又因为点

在直线 上,所以满足

,故 上任一点 .

. ,若满足

补充:由以上证明进一步可知,对于直线 ,则都有 【评分建议】

1. 若能提出一个由题中三条线索出发的相关猜想或命题,但没有任何研究过程,则 无论对错都给 2 分; 2. 若能提出上述的充要条件命题,且证明过程准确、完备,则最高得 10 分;(不 说明“补充”的内容不扣分) 3. 若能提出一个满足充分性或满足必要性的相关命题(或猜想),且证明过程正确, 则最高得 7 分; 4. 若能根据三条线索,提出其他条件约束更多的相关命题(或猜想),且有正确的 研究过程,则最高得 5 分. 5. 若还有其他答题情况,则根据具体内容酌情给出评分参考.


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