3章 3节三角函数的图像与性质

课时作业
一、选择题 1.函数 y=|sin x|的最小正周期为( A.π π C. 2 答案:A

三角函数的图象与性质
) B.2π π D. 4

2.M,N 是曲线 y=πsin x 与曲线 y=πcos x 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( A.π C. 3π B. 2π D.2π

)

π 2π 解析:当|MN|最小时,点 M,N 必为两曲线的相邻的两个交点,所以可设为 M( , ), 4 2 5π 2π N( ,- ),根据两点间距离公式得|MN|= 4 2 答案:C 1 π π 3.函数 f(x)=tan x+ ,x∈{x|- <x<0 或 0<x< }的图象为( tan x 2 2 ) π2+? 2π?2= 3π.

解析:∵f(-x)=tan(-x)+ π < }关于原点对称, 2

1 1 π =-tan x- =-f(x),定义域{x|- <x<0 或 0<x tan x 2 tan?-x?

∴f(x)为奇函数,图象关于原点对称. π π 又∵x∈(0, ),tan x>0,∴x∈(0, ),f(x)>0,故选 A. 2 2

答案:A π π π 4.(2011 山东高考)若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单 3 3 2 调递减,则 ω=( 2 A. 3 C.2 ) 3 B. 2 D.3

π π π 解析:由 f(x)在[0, ]上为单调递增,在区间[ , ]上单调递减,再结合 f(x)=sin ωx(ω>0) 3 3 2 ωπ π 的图象可知, = , 3 2 3 ∴ω= . 2 答案:B 5.将函数 f(x)= 3sin x-cos x 的图象向左平移 m(m>0)个单位,若所得图象对应的函数 为偶函数,则 m 的最小值是( 2π A. 3 π C. 8 ) π B. 3 5π D. 6

π 解析:将 f(x)= 3sin x-cos x=2sin(x- )的图象向左平移 m(m>0)个单位,所得图象对应 6 π π π 的函数解析式为 y=2sin(x- +m), 若使得此函数为偶函数, m- =kπ+ (k∈Z), m=kπ 则 即 6 6 2 + 2π 2π (k∈Z),又 m>0,所以 m 的最小值是 . 3 3 答案:A 6.(2011 天津高考)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最 π 小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( 2 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 2π 1 π 解析:∵函数 f(x)的最小正周期为 6π,∴ =6π,得 ω= ,在 x= 时,函数 f(x)取得最 ω 3 2 )

1 π π π 大值,∴ × +φ=2kπ+ .又∵-π<φ≤π,∴φ= . 3 2 2 3 1 π π 1 π π 5 1 ∴f(x)=2sin( x+ ).由 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 6kπ- π≤x≤6kπ+ π(k∈Z). 3 3 2 3 3 2 2 2 5 π 5 π ∴f(x)的增区间是[6kπ- π,6kπ+ ](k∈Z).取 k=0,得[- π, ]是 f(x)的一个增区间. 2 2 2 2 ∴函数 f(x)在区间[-2π,0]上是增函数. 答案:A 二、填空题 7.定义一种运算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数 f(x)=( 3,2sin x)?(cos x,cos 2x) 的图象向左平移 n(n>0)个单位长度, 所得图象对应的函数为偶函数, n 的最小值为______. 则 π 解析: 由新定义可知 f(x)= 3cos 2x-sin 2x=2cos(2x+ ), 将函数 f(x)的图象向左平移 n(n 6 π π >0)个单位长度后得到 y=2cos(2x+2n+ )的图象,该函数为偶函数,则 2n+ =kπ(k∈Z),即 6 6 kπ π 5π n= - ,又 n>0,所以 n 的最小值为 . 2 12 12 5π 答案: 12 π 8. (理用)已知函数 f(x)=msin x+ncos x, f( )是它的最大值(其中 m, 为常数, mn≠0), 且 n 且 4 给出下列命题: π ①f(x+ )为偶函数; 4 7π ②函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称; 4 3π ③f(- )是函数 f(x)的最小值; 4 m ④函数 f(x)的图象在 y 轴右侧与直线 y= 的交点按横坐标从小到大依次记为 P1,P2,P3, 2 P4,…,则|P2P4|=π; m ⑤ =1. n 其中真命题的是______.(写出所有真命题的序号). n π 解析:由题意得 f(x)=msin x+ncos x= m2+n2sin(x+φ)(其中 tan φ= ).因为 f( )是它的 m 4

π π π 最大值,所以 +φ=2kπ+ (k∈Z),φ=2kπ+ , 4 2 4 π π n π n 所以 f(x)= m2+n2sin(x+2kπ+ )= m2+n2sin(x+ ), tan φ= =tan(2kπ+ )=1, 且 即 4 4 m 4 m =1. π 故 f(x)= 2|m|sin(x+ ). 4 π π π ①f(x+ )= 2|m|· sin(x+ + )= 2|m|cos x,为偶函数,①正确; 4 4 4 7π 7π π 7π ②当 x= 时,f( )= 2|m|sin( + )= 2|m|sin2π=0, 4 4 4 4 7π 所以函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称,②正确; 4 3π π 3π π ③f(- )= 2|m|sin( - )=- 2|m|sin =- 2|m|, 4 4 4 2 f(x)取得最小值,③正确; π ④根据 f(x)= 2|m|sin(x+ )可得其最小正周期为 2π, 由题意可得 P2 与 P4 相差一个周期 2π, 4 m 即|P2P4|=2π,④错误;⑤ =1,显然成立,⑤正确. n 答案:①②③⑤ 8.(文用)给出下列命题: ①函数 y=sin|x|不是周期函数; ②函数 y=tan x 在定义域内为增函数; 1 π ③函数 y=|cos 2x+ |的最小正周期为 ; 2 2 π π ④函数 y=4sin(2x+ ),x∈R 的一个对称中心为(- ,0). 3 6 其中正确命题的序号为________. 解析:①由于函数 y=sin|x|是偶函数,作出 y 轴右侧的图象,再关于 y 轴对称即得左侧图 象,观察图象可知没有周期性出现,即不是周期函数;②错,正切函数在定义域内不单调,整 π 1 π 个图象具有周期性,但不单调;③错,由周期函数的定义 f(x+ )=|-cos 2x+ |≠f(x),故 不 2 2 2 π π 是函数的周期; ④由于 f(- )=0, 故根据对称中心的意义可知(- , 0)是函数的一个对称中心, 6 6 故只有①④是正确的.

答案:①④ 三、解答题 9.(2012 杭州质检)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+1-2sin2x,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,把所得到的图 2 π π 象再向左平移 单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间?0,8?上的最小值. ? ? 6 解:(1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+1-2sin2x π = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?. ? ? 函数 f(x)的最小正周期为 T=π. π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 3 6 5π (2)根据条件得 g(x)=2sin?4x+ 6 ?, ? ? π 5π 5 4 当 x∈[0, ]时,4x+ ∈[ π, π], 8 6 6 3 π 所以当 x= 时,g(x)min=- 3. 8 10.(金榜预测)已知函数 f(x)=2cos ωx(sin ωx-cos ωx)+1(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间; π π 3π (2)若函数 g(x)=f(x)-f( -x),求函数 g(x)在区间[ , ]上的最小值和最大值. 4 8 4 解:(1)f(x)=2cos ωx(sin ωx-cos ωx)+1 π =sin 2ωx-cos 2ωx= 2sin(2ωx- ). 4 2π 由于函数 f(x)的最小正周期为 T= =π, 2ω π 故 ω=1,即函数 f(x)= 2sin(2x- ). 4 π π kπ 3π 令 2x- =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8 即为函数 f(x)图象的对称轴方程.

π π 3π 令 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z), 2 4 2 得 3π 7π +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z), 8 8

3π 7π 即函数 f(x)的单调递减区间是[ +kπ, +kπ](k∈Z). 8 8 π (2)g(x)=f(x)-f( -x) 4 π π π = 2sin(2x- )- 2sin[2( -x)- ] 4 4 4 π =2 2sin(2x- ), 4 π 3π 由于 x∈[ , ], 8 4 π 5π 则 0≤2x- ≤ , 4 4 π π 3π 故当 2x- = 即 x= 时,函数 g(x)取得最大值 2 2; 4 2 8 π 5π 3π 当 2x- = 即 x= 时,函数 g(x)取得最小值-2. 4 4 4


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