高中数学第二章平面向量向量的概念教学设计新人教B版必修4(数学教案)

2015 高中数学 第二章 平面向量向量的概念教学设计 新人教 B 版必 修4 1.向量概念的形成 1.1 让学生感受引入概念的必要性 引子:生:去录播室怎么走?师:出了楼门走 50 米就到了. 意图:向量概念不是凭空产生的.用这一简单、直观例子中的“位移不仅有大小,而且 有方向” ,让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在,自然引出学习内容. 问题 1 你能否再举出一些既有方向,又有大小的量? 意图:激活学生的已有相关经验. (学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量. ) 追问:生活中有没有只有大小,没有方向的量?请你举例. 意图:形成区别不同量的必要性. (学生所举的例子有年龄、身高、面积等. ) 概念抽象需要典型丰富的实例. 让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟, 形成对 概念的初步认识,为进一步抽象概括做准备. T: 由同学们的举例可见, 现实中有的量只有大小没有方向, 有的量既有大小又有方向. 类 似于从一支笔、一本书、一棵树……中抽象出只有大小的数量 1,数学中对位移、力……这 些既有大小又有方向的量进行抽象,就形成一种新的量——向量(板书概念) . 演练回馈一【概念辨析】 1、身高是一个向量( ) 2、温度含零上和零下温度,所以温度是向量( ) 3、坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量( ) 4、有人说,由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示,海平面以下的高度用负数表 示,所以海拔也是向量,你认为对吗? 1.2 向量的几何表示 问题 2 数学中,定义概念后,通常要用符号表示它.怎样把你所举例子中的向量表示 出来呢? 意图:让学生先尝试向量的表示方法,自觉接受用带有箭头的线段(有向线段)来表示 向量. T:看来大家都认为用带箭头的线段表示向量比较好.在初中,常用 AB,CD,a,b,c 等表示线段.现在,我们加上箭头,用, , , ,等表示向量.以前 AB 与 BA 表示同一线段,现 在和表示同一向量吗?为什么? S:不.向量和起点、终点正好相反. T:对,方向是向量的本质属性之一.向量的另一本质属性是大小,我们用||表示,称 为向量的模.同样,用||来表示向量的模.因为向量有大小和方向两个要素,只用代数形式 或几何形式是无法确定的,必须两者结合. 思考:既然向量可以用有向线段表示,那么向量是否就是有向线段? 1.3 零向量与单位向量 T:现在,我们已经建立了一个向量的集合.就象每个人都有名字一样,这个集合中的 每一个向量都有了名称.那么 问题 3 你认为在所有向量组成的集合中,哪些向量较特殊? 意图:引导学生学会观察一组对象.面对一组对象,首先注意特殊对象是自然的. 1 (学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的. ) T:大家为什么认为它们最特殊?你们是怎么想的? 意图:挖掘结果背后的思维过程.企图引导学生把向量集合与实数集类比. (课堂中,学生从长度这个角度进行了解释,认为零向量的长度是 0,单位向量的长度 是 1,最为特殊.这表明他们已经在把向量集与实数集作类比.从实数集的认知经验出发, 自然会想到零向量、单位向量的特殊性. ) T:是的.类比实数的学习经验有利于向量的学习.在实数中,0 是数的正负分界点, 有 0 就可定义相反数;1 是“单位” ,作用很大.对实数的研究经验告诉我们, “引进一个新 的数就要研究它的运算;引进一种运算就要研究运算律” .可以预见,引进向量就要研究向 量的运算,进而就要研究相应的运算律或运算法则.所以,对于向量,还有许多内容等待我 们去研究. 2.相等向量、平行向量、共线向量、相反向量概念的形成 问题例 2 观察图 1 中的正六边形 ABCDEF.给图中的一些线段加上箭头表示向量,并说 说你所标注的向量之间的关系. (举例) 意图:不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义,再做练习巩固, 而是让学生参与概念的定义过程,使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物. 留给学生足够的时间,并提出问题 5,组织学生交流. 问题 5 你是怎样研究的?比如,你画了哪几个向量?你认为它们有怎样的关系? 意图:不仅关注结果,更要关注过程.尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程. (课堂中,有的学生首先关注大小;有的学生首先画出向量与,认为它们长度相等且方 向相同,是相等的向量;也有学生首先画出向量 与,认为它们是共线的向量;等.教师 适时介入,解释数学中的向量是自由向量,可以平移,因此,与也称为共线向量. “平行向 量”的产生比较顺利,但“相反向量”的产生有困难,其间还类比了“相反数” . ) 归纳得到: (1)从“方向”角度看,有方向相同或相反,就是平行向量,记为 ∥; (2)从“长度”角度看,有模相等的向量,||=||; (3)既关注方向,又关注长度,有相等向量=,相反向量=-. T:我们规定:零向量与任意向量都平行,即∥. 问题 6 由相等向量的概念知道,向量完全由它的方向和模确定.由此,你能说说数学 中的向量与物理中的矢量的异同吗?另外,向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联 2 系与区别? 意图:让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分,真正抓住向量的本质特 征,完成“数学化”的过程. 3.阅读课本 请同学们把课本看一遍, 看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致, 有什么遗漏?有什 么不同? 意图:通过阅读,对本课的内容再一次进行归整、明晰.引导学生重视课本. 4.课堂练习 5.课堂小结 问题 7(引导学生自己小结)能否画个图,把今天学的内容梳理一下? (有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分, 与图 2 所呈现的内容基本一致, 只是 把“特殊关系”说成了“向量的性质” ,这也是正确的.教师肯定了她的结论,展示了图 2. ) T:今天我们学习向量的概念及其表示方法,并初步研究了向量这个集合,发现了其中 的两个特殊向量,以及向量之间的一些特殊关系.同学们要认真体会其中的基本思路,即: 从同类具体事例中抽象出

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