【走向高考】(春季发行)高三数学第一轮总复习 12-3不等式选讲配套课件 新人教B版_图文

走向高考· 数学 人教B版 ·高考一轮总复习 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第十二章 选考部分 第十二章 第三节 不等式选讲 基础梳理导学 3 考点典例讲练 思想方法技巧 4 课堂巩固训练 5 课后强化作业 基础梳理导学 重点难点 引领方向 重点:不等式的性质、基本不等式、含绝对值不等式的解 法和不等式的基本证明方法. 难点:1.含绝对值的三角不等式; 2.不等式的基本证明方法. 夯实基础 稳固根基 一、不等式的性质及数学归纳法前面已复习过不再赘述 二、几个重要的不等式 (1)定理 1 a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取 等号. (2)定理 2(基本不等式) a+b ≥ ab(a,b∈R+),仅当 2 a=b时取等号. (3)定理 3(平均数定理) a+b+c 3 ≥ abc(a,b,c∈R+), 3 当且仅当 a=b=c 时取等号. n 1 + ( a + a +…+ a ) ≥ a a … a ( a ∈ R ,i=1,2,…,n), 2 n 1 2 n i n 1 当且仅当 a1=a2=…=an 时取等号. 2. 绝对值三角不等式 ①定理 1 |a|+|b|≥|a+b|(a,b∈R),仅当 ab≥0 时等 号成立. ②定理 2 如果 a、b、c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. ③||a|-|b||≤|a+b|. 3.分式不等式 b-n b b+m 若 a>b>n>0,m>0,则 <a< . a-n a+m 三、不等式的解法 (1)含绝对值不等式解法 ①|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c, |ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c 或 ax+b≤-c, ②|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 型不等式解法. 解法 1(分类讨论思想):S1 式为 0,求出相应的根. S2 区间. S3 令每个绝对值符号里的一次 把这些根由小到大排序, 它们把实数轴分成若干个小 在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号, 讨论所得的不等式在这个区间上的解集. S4 这些解集的并集就是原不等式的解集. 解法 2(函数与方程思想):构造函数 f(x)=|x-a|+|x-b| -c, 写出 f(x)的分段解析式作出图象, 找出使 f(x)≤0(或 f(x)≥0) 的 x 的取值范围即可. 解法 3(数形结合思想):利用绝对值的几何意义求解,|x -a|+|x-b|表示数轴上点 P(x)到点 A(a)、B(b)距离的和.关键 找出到 A、B 两点距离之和为 c 的点,“≤”取中间,“≥” 取两边. 注意这里 c≥|a-b|,若 c<|a-b|,则|x-a|+|x-b|≤c 的 解集为?,|x-a|+|x-b|≥c 解集为 R. 四、不等式的证明方法 (1)比较法: 依据 a>b?a-b>0, a<b?a-b<0 来证明不等 式的方法称作比较法. 其基本步骤:作差→配方或因式分解→判断符号→得出 结论. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理论证得出命题成立的方法.它是 由因导果法. (3)分析法:从要证明结论出发,逐步寻求使它成立的充 分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定 义、公理或已证明过的定理、性质等),从而得出要证明的命 题成立的方法,它是执果索因的方法. 分析法与综合法常常结合起来运用,看由已知条件能产 生什么结果,待证命题需要什么条件,两边凑一凑找出证明 途径. 常常是分析找思路,综合写过程. (4)反证法:证明不等式时,首先假设要证明的命题不成 立,把它作为条件和其它条件结合在一起,利用已知定义、 定理、公理、性质等基本原理进行正确推理,逐步推证出一 个与命题的条件或已证明过的定理、性质,或公认的简单事 实相矛盾的结论,以此说明原假设不正确,从而肯定原命题 成立的方法称为反证法. (5)放缩法:证明不等式时,根据需要把需证明的不等式 的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明 目的,这种方法称为放缩法. ※五、柯西不等式 1.一般形式: 2 设 a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn 为实数,则(a2 1+a2+… 2 1 2 2 2 1 +an) (b1+b2+…+bn) ≥|a1b1+a2b2+…+anbn|. 2 2 a1 a2 an 其中等号成立? = =…= (当某 bj=0 时,认为 aj= b1 b2 bn 0,j=1,2,…,n). 2.二维形式的柯西不等式: (1)定理 1(代数形式) 设 a1、a2、b1、b2 均为实数,则 2 2 2 2 (a1 +a2 )( b + b ) ≥ ( a b + a b ) 2 1 2 1 1 2 2 . 上式等号成立?a1b2=a2b1. (2)定理 2(向量形式) |α||β|≥|α· β|. 当 α 及 β 为非零向量时,上式中等号成立?向量 α 和 β 共线?存在实数 λ≠0,使得 α=λβ. 当 α 或 β 为零向量时,上面结果仍成立. 设 α、β 为平面上的两个向量,则 2 2 2 (3)定理 3 设 a1、 a2 、 b1、 b2 为实数, 则 a2 1+a2+ b1+b2 ≥ ?a1+b1?2+?a2+b2?2,等号成立?存在非负实数 λ 及 μ,使 μa1=λb1,μa2=λb2. (4)定理 4(平面三角不等式) 设 a1、a2、b1、b2、c1、c2∈R,则 ?a1-b1?2+?a2-b2?2+ ?b1-c1?2+?b2-c2?2≥ ?a1-c1?2+?a2-c2?2, 等号成立?存在非负实数 λ 和 μ, 使 μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)成立,其几何意义是三角形两边之和大于 第三边.

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