【2019年整理】届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减法

第五章

平面向量

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●考点目标定位 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则. 3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则. 4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南 向量是数学中的重要概念,它广泛应用于生产实践和科学研究中,其重要性逐渐加强. 从近几年高考试题可以看出,主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向 量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用, “平 面向量”将会成为命题的热点,一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其 运算律.本单元试题的常见类型有: (1)与“定比分点”有关的试题; (2)平面向量的加减法运算及其几何意义; (3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算,用向量的知识解决几何问题; (4)正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意: (1)向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关 系,同向且等长的有向线段都表示同一向量. (2)共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构, 它们是进一步研究向量的基础. (3)向量的加、减、数乘积是向量的线性运算,其结果仍是向量.向量的数量积结果是 一个实数.向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角,判 断相应的两条直线是否垂直. ( 4)向量的运算与实数的运算有异同点,学习时要注意这一点,如数量积不满足结 合律 . (5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用. (6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点,复习中要注意培养准确 的运算能力和灵活运用知识的能力.

5.1

向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

●知识梳理 1.平面向量的有关概念: (1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指 的方向表示向量的方向.用字母 a,b,…或用 AB , BC ,…表示. (3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或| AB |. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向不确定. (5)单位向量:长度为 1 个长度单位的向量叫做单位向量. (6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线. (7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法: (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. (2)法则:三角形法则;平行四边形法则. (3)运算律:a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). 3.向量的减法: (1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. (2)法则:三角形法则;平行四边形法则. 4.实数与向量的积: (1)定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a,规定:|λ a|=|λ ||a|.当λ >0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同;当λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当λ =0 时,λ a 与 a 平行. (2)运算律:λ (μ a)=(λ μ )a, (λ +μ )a=λ a+μ a,λ (a+b)=λ a+λ b. 5.两个重要定理: (1)向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ,使 得 b=λ a,即 b∥a ? b=λ a(a≠0). (2)平面向量基本定理:如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a,有且仅有一对实数λ 1、λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. ●点击双基 1.(2004 年天津, 理 3)若平面向量 b 与向量 a=(1, -2) 的夹角是 180°, 且|b|=3 5 , 则 b 等于 A.(-3,6) C.(6,-3)

B.(3,-6) D.(-6,3)

解析:易知 a 与 b 方向相反,可设 b=(λ ,-2λ ) (λ <0).又|b|=3 5 = ? 2 ? 4? 2 , 解之得λ =-3 或λ =3(舍去).∴b=(-3,6). 答案:A 2.(2004 年浙江,文 4)已知向量 a=(3,4) ,b=(sinα ,cosα ) ,且 a∥b,则 tanα

等于 A.
3 4

B.-

3 4 3 . 4

C.

4 3

D.-

4 3

解析:由 a∥b,∴3cosα =4sinα .∴tanα = 答案:A

3.若 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,且 AB =a, AD =b,则 BE 等于 A.b+ C.a+
1 a 2 1 b 2

B.b- D.a-

1 a 2 1 b 2

解析: BE = AE - AB = AD + DE - AB = AD +

1 1 AB - AB =b- a. 2 2

答案:B 4.e1、e2 是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,则 a 与 b 共线的充要条件是实数 k 等于 A.0 B.-1 C.-2 D.±1 解析:a 与 b 共线 ? 存在实数 m,使 a=mb,
?mk ? 1, 即 e1+ke2=mke1+me2.又 e1、e2 不共线,∴ ? ∴k=±1. ?m ? k .

答案:D 5.若 a=“向东走 8 km” ,b=“向北走 8 km” ,则|a+b|=_______,a+b 的方向是_______. 解析:|a+b|= 64 ? 64 =8 2 (km). 答案:8 2 km 东北方向 ●典例剖析 【例 1】 已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于 A.1 B. 2 C. 5 D. 6

剖析:欲求|a+b|,一是设出 a、b 的坐标求,二是直接根据向量模计算. 解法一:设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,则 x12+y12=1,x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1-y2) , 2 2 ∴(x1-x2) +(y1-y2) =4. ∴x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4. ∴1-2x1x2-2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1. ∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6. ∴|a+b|= 6 . 解法二:∵|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2) , ∴|a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-b|2=2(1+4)-22=6. ∴|a+b|= 6 .故选 D.

深化拓展

此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理. 【例 2】 如图,G 是△ABC 的重心,求证: GA + GB + GC =0.

剖析:要证 GA + GB + GC =0,只需证 GA + GB =- GC ,即只需证 GA + GB 与 GC 互为 相反的向量. 证明:以向量 GB 、GC 为邻边作平行四边形 GBEC,则 GB + GC = GE =2 GD .又由 G 为 △ABC 的重心知

AG =2 GD ,从而 GA =-2 GD .
∴ GA + GB + GC =-2 GD +2 GD =0. 评述:向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义,能进一步 加深对“向量”的认识,并能体会用向量处理问题的优越性.

深化拓展
此题也可用向量的坐标运算进行证明. 【例 3】 设 OA 、 OB 不共线,点 P 在 AB 上,求证: OP =λ OA +μ OB 且λ +μ =1, λ 、μ ∈R. 剖析: ∵点 P 在 AB 上, 可知 AP 与 AB 共线, 得 AP =t AB .再用以 O 为起点的向量表示. 证明:∵P 在 AB 上,∴ AP 与 AB 共线. ∴ AP =t AB .∴ OP - OA =t( OB - OA ). ∴ OP = OA +t OB -t OA =(1-t) OA +t OB . 设 1-t=λ ,t=μ ,则 OP =λ OA +μ OB 且λ +μ =1,λ 、μ ∈R. 评述:本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量的理解及应用.

深化拓展
①本题也可变为 OA ,OB 不共线,若 OP =λ OA +μ OB ,且λ +μ =1,λ ∈R,μ ∈R, 求证:A、B、P 三点共线. 提示:证明 AP 与 AB 共线.

②当λ =μ =

1 1 时, OP = ( OA + OB ) ,此时 P 为 AB 的中点,这是向量的中点公式. 2 2

【例 4】 若 a、b 是两个不共线的非零向量(t∈R).
1 (1)若 a 与 b 起点相同,t 为何值时,a、tb、 (a+b)三向量的终点在一直线上? 3

(2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60°,那么 t 为何值时,|a-tb|的值最小?
1 2m m 解: (1)设 a-tb=m[a- (a+b) ] (m∈R) ,化简得( -1)a=( -t)b. 3 3 3

3 ? 2m ? ? 1 ? 0 ?m ? , ? ? 3 ? 2 ?? ∵a 与 b 不共线,∴ ? m 1 ? ?t ?0 ?t ? . ? ? ? 2 ?3

∴t=

1 1 时,a、tb、 (a+b)的终点在一直线上. 2 3 1 时,|a-tb| 2

(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+t2-t)|a|2,∴t= 有最小值

3 |a|. 2 评述:用两个向量共线的充要条件,可解决平面几何中的平行问题或共线问题.

思考讨论
两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样? ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年广东,1)已知平面向量 a=(3,1) ,b=(x,-3)且 a⊥b,则 x 等于 A.3 B.1 C.-1 D.-3 解析:由 a⊥b,则 3x-3=0,∴x=1. 答案:B 2.若 a、b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则有 A.a∥b 且 a、b 方向相同 B.a=b C.a=-b D.以上都不对 解析:a、b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,∴a∥b 且方向相同. 答案:A 3.在四边形 ABCD 中, AB - DC - CB 等于 A. AC B. BD C. AD D. AC

解析: AB - DC - CB = AB - DB = AB + BD = AD . 答案:C 4.设四边形 ABCD 中,有 DC = A.平行四边形 C.等腰梯形
1 AB 且| AD |=| BC |,则这个四边形是 2

B.矩形 D.菱形

解析:∵ DC =

1 AB ,∴DC∥AB,且 DC≠AB.又| AD |=| BC |,∴四边形为等腰梯形. 2

答案:C 5.l1、l2 是不共线向量,且 a=-l1+3l2,b=4l1+2l2,c=-3l1+12l2,若 b、c 为一组基底, 求向量 a. 解:设 a=λ 1b+λ 2c,即-l1+3l2=λ 1(4l1+2l2)+λ 2(-3l1+12l2) ,
?4? ? 3? 2 ? ?1, 即-l1+3l2=(4λ 1-3λ 2)l1+(2λ 1+12λ 2)l2,∴ ? 1 ?2?1+12? 2=3.

解得λ 1=-

1 7 1 7 ,λ 2= ,故 a=- b+ c. 18 27 18 27

6.设两向量 e1、 e2 满足|e1|=2, |e2|=1, e1、 e2 的夹角为 60°, 若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 解:e12=4,e22=1,e1·e2=2×1×cos60°=1, ∴(2te1+7e2) · (e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1·e2+7te22=2t2+15t+7.∴2t2+15t+7<0. ∴-7<t<-
?2t ? ? 14 1 ? 2t2=7 ? t=- .设 2te1+7e2=λ (e1+te2) (λ <0) ? ? , 2 2 ?7 ? t?

∴λ =- 14 . ∴当 t=-
14 时,2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为π . 2 14 14 1 )∪(- ,- ). 2 2 2

∴t 的取值范围是(-7,-

思考讨论
向量 a、b 的夹角为钝角,则 cos〈a,b〉<0,它们互为充要条件吗? 培养能力 7.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1、e2 不共线,向量 c=2e1-9e2.问是否存在这 样的实数λ 、μ ,使向量 d=λ a+μ b 与 c 共线? 解:∵d=λ (2e1-3e2)+μ (2e1+3e2)=(2λ +2μ )e1+(-3λ +3μ )e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc,
?2? ? 2? ? 2k, 即(2λ +2μ )e1+(-3λ +3μ )e2=2ke1-9ke2,由 ? 得λ =-2μ . ?? 3? ? 3? ? ?9k,

故存在这样的实数λ 、μ ,只要λ =-2μ ,就能使 d 与 c 共线. 8.如图所示,D、E 是△ABC 中 AB、AC 边的中点,M、N 分别是 DE、BC 的中点,已 知 BC =a, BD =b,试用 a、b 分别表示 DE 、 CE 和 MN .

解:由三角形中位线定理,知 DE 故 DE =
1 1 BC ,即 DE = a. 2 2

1 BC. 2

CE = CB + BD + DE =-a+b+ MN = MD + DB + BN =
探究创新

1 1 a=- a+b, 2 2

1 1 1 1 1 ED + DB + BC =- a+ a-b= a-b. 2 2 4 2 4

9.在△ABC 中,AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN 与 CM 交于点 E, AB =a, AC =b, 用 a、b 表示 AE .

解:由已知得 AM =

1 1 AB , AN = AC . 3 4

设 ME =λ MC ,λ ∈R,则 AE = AM + ME = AM +λ MC . 而 MC = AC - AM ,∴ AE = AM +λ ( AC - AM )=
1 ? ∴ AE =( - ) AB +λ AC . 3 3 1 1 AB +λ ( AC - AB ). 3 3

同理,设 NE =t NB , t∈ R ,则 AE = AN + NE = =
1 1 AC +t( AB - AC ). 4 4

1 1 AC +t NB = AC +t( AB - AN ) 4 4

∴ AE =(

1 t - ) AC +t AB . 4 4

1 ? 1 t ∴( - ) AB +λ AC =( - ) AC +t AB . 3 3 4 4

?1 ? ? ? t, ? ?3 3 由 AB 与 AC 是不共线向量,得 ? ?? ? 1 ? t , ? 4 4 ?
2 ? ?? , ? ? 11 ∴ AE = 3 AB + 2 AC , 解得 ? 3 11 11 ?t ? . ? ? 11

即 AE =

3 2 a+ b . 11 11

评述:此题所涉及的量较多,且向量与向量之间的关系较为复杂,因此对学生来说确有

一定困难.通过共线向量,增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在,即对基本定 理的深化及应用. ●思悟小结 1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时, 与有向线段起点的 位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量. 2.共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们 是进一步研究向量的基础. 3.对于两个向量平行的充要条件: a∥b ? a=λ b,只有 b≠0 才是正确的.而当 b=0 时,a∥b 是 a=λ b 的必要不充分条件. 4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系,从而可用“数”来证明“形”的问题. 5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力. ●教师下载中心 教学点睛 1.本课复习的重点是:理解向量的基本概念,掌握向量的加法、减法运算,掌握实数与 向量的积的运算. 2.复习时要构建良好的知识结构. 3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算,又要注重代数运算. 4.强化数学思想的教学,尤其是数形结合思想、化归思想等. 拓展题例 【例题】 对任意非零向量 a、b,求证:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 证明:分三种情况考虑. (1)当 a、b 共线且方向相同时,|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|,|a|-|b|=|a-b|<|a|+|b|. (2)当 a、b 共线且方向相反时,∵a-b=a+(-b) ,a+b=a-(-b) ,利用(1)的结 论有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,|a|-|b|<|a-b|=|a|+|b|. (3)当 a,b 不共线时,设 OA =a, OB =b,作 OC = OA + OB =a+b, BA = OA - OB =a -b ,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得 ||a|- |b||< |a ±b|< |a|+|b|. 综上得证.

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