2015届江西省鹰潭一中高三第二次模拟考试数学(理)试题 word版


2015 届江西省鹰潭一中高三第二次模拟考试数学(理)试题 试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? x y ? ln ?1 ? 2 x ? , 集合N ? y y =e x ?3 ? x ? R 则C R M ? N ? ( A. ? x | x ?

?

?

?

?

)

? ?

1? ? 2?

B. ? y | y ? 0?

C. ? x | 0 ? x ?

? ?

1? ? 2?
) D.33

D. ? x | x ? 0?

2. 如图,按英文字母表 A、B、C、D、E、F、G、H、…的顺序 有规律排列而成的鱼状图案中,字母“O”出现的个数为( A.27 B.29 C.31

D C D B C D A B C D B C D C D D

3.从随机编号为 0001,0002,?????? 5000 的 5000 名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系 统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析,已知样本中编号最小的两个编号分别为 0018,0068,则样本中最大的编号应该是( A.4966 其中正确的是( B.4967 ) ) D.4969 C.4968

4.写出不大于 1000 的所有能被 7 整除的正整数 ,下面是四位同学设计的程序框图, ...

A. 5.函数 f ( x) ? ( ) x ? A. (0, ) 6 .实数 a 使得复数 ( )

B.

C. )

D.

1 3

x 的零点所在区间为 (
B. ( , )

1 3

1 1 3 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1,2)

a?i 是纯虚数, b ? 1? i
B. a ? c ? b

?

1 0

2 xdx, c ? ? 1 0 1 ? x dx 则 a, b, c 的大小关系是

A. a ? b ? c

C. b ? c ? a ( )

D. c ? b ? a

7.下列四种说法中,错误的个数有

①命题“ ?x ∈R,均有 x 2 ? 3 x ? 2 ≥0”的否定是:“ ?x ∈R,使得 x2—3x-2≤0” ②方程 x ? 1? | y ? 1| ? (2 z ? 1) 2 ? 0 的解集为 ? ?1,1, ? ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; ④集合 A ? {0,1} , B ? {0,1, 2,3, 4} ,满足 A ? C ? B 的集合 C 的个数有 7 个 A.0 个 8.已知 sin x ? A. B.1 个 C.2 个 D.3 个

? ?

1? 2?

m?3 9?m

m?3 4 ? 2m ? x ) , cos x ? ( ? x ? ? ), 则 tan ? ( m?5 m?5 2 2 m?3 1 B. | C. - 或5 D. 5 | 9?m 5

9.先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有、2 、3 、4 、5 、6 个点)两次,落在水平 桌面后,记正面朝上的点数分别为 x , y ,设事件 A 为“ x ? y 为偶数”, 事件 B 为
“ x , y 中有偶数且 x

? y ”,则概率 P( B | A) 等于(
B.

) D.

A.

1 3

1 2

C.

1 6

1 4

10.已知 a ? 0 ,若不等式 log a ? 3 x ? log a ?1 x ? 5 ? n ? x 的取值范围是( A. [1, ??)
2

6 对任意 n ? N * 恒成立,则实数 n
D. [1,3]

) B. (0,1] C. [3, ??)

11.已知 ? ( x) ? x( x ? m) 在 x ? 1 处取得极小值,且函数 f ( x) , g ( x) 满足

f (5) ? 2, f '(5) ? 3m, g (5) ? 4, g '(5) ? m ,则函数 F ( x) ?
的切线方程为( A. 3 x ? 2 y ? 13 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 12.已知函数 f ( x ) ? )

f ( x) ? 2 的图象在 x ? 5 处 g ( x)

B. 3 x ? 2 y ? 13 ? 0 或 x ? 2 y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0 或 2 x ? 3 y ? 13 ? 0

2015( x ?1) ? 2017 ? 2015sin x 在 x ? [?t , t ] 上的最大值为 M ,最小 2015 x ? 1


值为 N ,则 M ? N 的值为(

A. 0

B. 4032

C. 4030

D. 4034

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若 ? 是第二象限角,其终边上一点 P ( x, 5) ,且 cos ? ?

2x ,则 sin ? ? 4



? ?x ? 0 ? y ?1 1 14.设 x,y 满足约束条件 ? y ? 0 ,若 z ? 的最小值为 ( x 2 ? 3 )5 的展开 x ?1 x ?x y ? ? ? 1(a ? 0) ? 3a 4a
1 ,则实数 a 的值为 . 40 4? 15.已知一个正三棱柱,一个体积为 的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的 3
式的常数项的 表面 积是 16.设双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线交两渐 a 2 b2

近线于 A 、 B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若

uuu r uur uuu r 3 OP ? ? OA ? ? OB(? , ? ? R) , ?? ? ,则该双曲线的离心率为 16



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,点 An (n,

an ?1 ) 在直线 y ? kx ? 1 上,当 n ? 2 时,均有 an

an ?1 a ?1 ? n an an ?1
(1)求 ?an ? 的通项公式 (2)设 bn ?

2an ? 3n , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n (n ? 1)!

18. (本小题满分 12 分) 我市“水稻良种研究所”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。他们 分别记 录了 3 月 21 日至 3 月 25 日的昼夜温差及每天 30 颗水稻种子的发芽数,并得到如下资料 日期 温差 x( 0 C ) 3 月 21 日 10 3 月 22 日 11 3 月 23 日 13 3 月 24 日 12 3 月 25 日 9

发芽数 y(颗)

15

16

17

14

13

(1)请根据以上资料,求出 y 关于 x 的线性回归方程;据气象预报 3 月 26 日的昼夜温差为 14 C ,请你预测 3 月 26 日浸泡的 30 颗水稻种子的发芽数(结果保留整数) 。 (2)从 3 月 21 日至 3 月 25 日中任选 2 天, 记种子发芽数超过 15 颗的天数为 X, 求 X 的概率 分布列,并求其数学期望 EX 和方差 DX。 (参考公式及参考数据
b?
0

?x
i ?1 n i

n

i

yi ? n x? y
2 i

, a ? y ? bx ,

?x

? nx

2

? xi yi ? 832, ? xi2 ? 615 )
i i

n

n

19. (本小题满分 12 分) 一个四棱椎的三视图如图所示: (1)请画出此四棱锥的直观图,并求证:PC⊥ BD; (2)在线段 PD 上是否存在一点 Q,使二面角 Q-AC-D 的平面角为 30o?若存在, 求

DQ DP

的值;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O , 焦点在 x 轴上, 离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线: y ? kx ? m(k ? R ) ,使得

1 , 右焦点到右顶点的距离为. 2

OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,
请说明由.

21. (本小题满分 12 分) 已知
' f ( x) ? x 3 ? 9 x 2 cos ? ? 48 x cos ? ? 18sin 2 ? , g ( x) ? f ( x) ,且对任意的
?|t |

实数均有 g (1 ? e

) ? 0, g (3 ? sin t ) ? 0 ,

(1)求 cos ? ? 2 cos ? 的值。 (2)若 ? ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 cos ? ? x cos ? ,设 h( x) ? ln ? ' ( x) ,对于任意的 x ? [0,1] , 3 不等式 h( x ? 1 ? m) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, A 、 B 是圆 O 上的两点, ?AOB ? 120 ? , C 是 AB 弧的中点. (1)求证: AB 平分 ?OAC ; (2)延长 OA 至 P 使得 OA ? AP ,连接 PC ,若圆 O 的半径 R ? 1 ,求 PC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, 直线 l : ? cos ? ? (1)求∠ AOB 的大小. (2)设把曲线 C 向左平移一个单位再经过伸缩变换 ? 为曲线 C ? 上任一点,求 x
2
' ? ?x ? 2x 得到曲线 C ? ,设 M ( x, y ) ' y ? y ? ?

1 与曲线 C: ? ? 2 cos ? 相交于 A、 B 两点, O 为极点。 2

? 3xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应点 M 的坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (1)若 f ( x) 的最小值为 3 ,求 a 的值; (2)当 a ? 1 时, 若 g ( x) ?

2x ?1 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围 f ( x ) ? 2m

数学(理科)答案
一、选择题:1—5 二、填空题: 13. ABCBB 6 —10 CCDAA 11—12 14.-1 15. 18 3 CB

10 4

16.

2 3 3

三、解答题:17.解: (1)点 An (n,

an ?1 ) 在直线 y ? kx ? 1 上,当 n ? 1 或 n ? 2 时有 an
,当 n?2 时有,

a3 ? a3 a2 ? a2 ? 2 k ?1 ? a2 ? k ?1 ? ? ? k a2 a1 ? ? a1

a3 a2 ? ? 1 , ?k ? 1 , a2 a1

a2 ? k ?1 ? 2 。 a1


an ?1 a a a a ? 1 ? n ? n ?1 ? n ? 1 ? n ? n ,因为 an an ?1 an an ?1 an ?1 an ? an an ?1 a2 ? ??? ? a1 ? n !,即 an ? n ! …………………6 分 an ?1 an a1

(2) bn ?

2an ? 3n ? 2n ? 3n …………………8 分 (n ? 1)!

1 3 ………………12 分 2 2 832 ? 5 ?11?15 18. 解: (1) 因为 x ? 11, y ? 15 所以 b ? ? 0.7, 于是a ? 15 ? 0.7 ? 11 ? 7.3 615 ? 5 ?112
利用乘公比错位相减法求的 sn ? (n ? ) ? 3n ?1 ? 故线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 7.3 ………………3 分 当 x ? 14, y ? 0.7 ? 14 ? 7.3 ? 17.1 ? 17 , 即 3 月 26 日浸泡的 30 颗水稻种子的发 芽 数 17 颗……………6 分 (2) 因 为

X ? 0,1,2 p( x ? 0) ?

C3 C5

2 2

?

3 p ( x ? 1) ? 10

C3 ? C 2 C5
2

1

1

?

6 C 1 p ( x ? 2) ? 2 2 ? 10 10 C5
2

2

X P

0

1

3 10

6 10

1 10
9 …………12 分 25

所以 EX ?

4 ………10 分 5

DX ? EX 2 ? ( EX ) 2 ?

19.解: (1)由三视图可知 P-ABCD 为四棱锥,底面 ABCD 为正方形,且 PA=PB=PC=PD, 连接 AC、BD 交于点 O,连接 PO .PD=PB,OB=OD ? PO ⊥BD (……2 分) 因为 BD⊥AC,BD⊥PO,所以 BD⊥平面 PAC,即 BD⊥PC. …………………6 分 (2)由三视图可知,BC=2,PA=2 2 ,假设存在这样的点 Q, 因为 AC⊥OQ,AC⊥OD,所以∠DOQ 为二面角 Q-AC-D 的平面角,……………8 分 在△POD 中,PD=2 2 ,OD= 2 ,则∠PDO=60 , 在△DQO 中,∠PDO=60 ,且∠QOD=30 .所以 DP⊥OQ. 所以 OD= 2 ,QD= 20. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 依题意 e ?
o o o

Q O

DQ 1 2 ? ……………12 分 . 所以 DP 4 2

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,半焦距为 c . a 2 b2

c 1 ? ,由右焦点到右顶点的距离为,得 a ? c ? 1 . a 2

解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 . 所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1 .…………4 分 4 3

(Ⅱ)解:存在直线,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?4

? ? (8km) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m 2 .
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 若 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立, 即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB ,等价于 OA ? OB ? 0 . 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,…………6 分
2 2

4m 2 ? 12 8km x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ,

(1 ? k 2 ) ?
将 k2 ?

4m 2 ? 12 8km ? km ? ? m 2 ? 0 , 化简得, 7 m 2 ? 12 ? 12k 2 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

7 2 7 m ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m 2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 , 12 12 3 12 解得, m 2 ? .又由 7 m 2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 , m 2 ? , 4 7 12 2 2 从而 m 2 ? ,m ? 21 或 m ? ? 21 . 7 7 7 2 2 所以实数 m 的取值范围是 (??, ? 21] [ 21, ??) ………12 分 7 7
21. 解: (1)

g ( x) ? f ' ( x) ? 3 x 2 ? 18 x cos ? ? 48cos ?

1 ? e ?|t| ? (1, 2],3 ? sin t ? [2, 4] 由题意知 g ( x) ? 0 在 x ? (1, 2] 恒成立
g ( x) ? 0 在 x ? [2, 4] 恒成立
即 故 g (2) ? 0且g(4) ? 0 有

g( 2 ? ) ? 1 2? ?3 6 ? c ?o s 4 8 c o s 0 ?3 6? 3 ? 6 c ?o s ?? 0 g( 4 ? ) ? 4 8? ?7 2 ? c ?o s 4 8 c o s 0
由 cos ? ? 1 ? cos ? ? (2)由(1)知 ? ( x) ?

?c ? o ? s

1 ?

c o s

1 2

cos ? ? 2 cos ? ? 2 …………6 分

1 3 x ? x 2 ? x ? ? ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 3

h( x) ? ln ? ' ( x) ? ln( x ? 1) 2 ? 2 ln | x ? 1|
h( x ? 1 ? m) ? 2 ln | x ? m |, h(2 x ? 2) ? 2 ln | 2 x ? 1| x ? [0,1] ?| 2 x ? 1|? 2 x ? 1,? ln | 2 x ? 1|? ln(2 x ? 1)

h( x ? 1 ? m) ? h(2 x ? 2) ? 0 ?| x ? m |? 2 x ? 1

2 x ?1? x ? m ? 2 x ?1 ? x ?1? m ?3 x ?1 ?? ? ? ? x?m x?m
当 x ? [0,1] 时, ? x ? 1 ? [?2, ?1],3 x ? 1 ? [1, 4] ? ?1 ? m ? 1

x ? m,? m ? [0,1]
22. 选修 4—1:几何证明选讲

综上 所以 ?1 ? m ? 0 …………12 分

解: (1) 证明: 连接 OC, ∵∠AOB=120°, C 是 AB 弧的中点, ∴∠AOC=∠BOC=60°, ∵OA=OC,∴△ACO 是等边三角形,∴OA=AC,同理 OB=BC,

∴ OA=AC=BC=OB,∴ 四边形 AOBC 是菱形,∴ AB 平分∠ OAC;……5 分 (2)解:连接 OC,∵C 为弧 AB 中点,∠AOB=120°,∴∠AOC=60°, ∵OA=OC,∴OAC 是等边三角形 ∵OA=AC,∴AP=AC,∴∠APC=30°, ∴ △ OPC 是直角三角形, 23. 选修 4—4:坐标系与参数方程 解; (1)画图易求得∠AOB= .…………10 分

2? …………5 分 3

(2) 曲线 C: ? ? 2 cos ? 化为直角坐标方程为

? x' ? 2 x ? 得到曲线 ( x ? 1) ? y ? 1 ,向左平移一个单位再经过伸缩变换 ? ' ? ?y ? y
2 2

C ? 的直角坐标方程为 x ? y 2 ? 1 ,
4
设 M (2 cos ? ,sin ? ) 所以 x
2

2

? ? 3xy ? 2 y 2 = 3 ? 2 cos(2? ? )
3

? ? k? ?

?
3

时, x

2

? 3xy ? 2 y 2 的最小值为 1

? ? 3 ? …………10 分 此时点 M 的坐标为 ? 1, 3 ? 或 ? ? ?1, ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?
24. 解;(1) | x ? 4 | ? | x ? a |?| ( x ? 4) ? ( x ? a) |?| a ? 4 |

?| a ? 4 |? 3 ? a ? 1或a ? 7 …………5 分
(2)当 a ? 1 时, g ( x) ? 恒成立 即 f ( x) ? 2m ? 0 在 R 上无解,因为 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 1|? 3 所以

2x ?1 的定义域为 R, f ( x) ? 2m ? 0 在 R 上 f ( x ) ? 2m

2m ? ?3
即m ? ?

3 …………10 分 2


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