山东省德州市某中学2016届高三数学上学期1月月考试题 文

高三月考 数学(文)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 已知全集为 R , 集合 A ? x x ? 2 ,x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为集合 B , 则 A ? (CR B) ? ( ) A. ? 0,3? B. ? 2,3? C. ? 2,3? D. ?3, ?? ?

?

?

2. 下列判断正确的是( ) A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ sin ? ?

1 ? ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 2 6
x

D. 命题“ ?x ? R, 2x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 3. 把函数 y ? sin( x ? 向右平移

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

2 f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集是 4. 若 f ( x) 为奇函数且在 (0,?? ) 上递增, 又 f (2) ? 0 , 则 ( x A. (?2,0) ? (0,2) B. (??,2) ? (0,2) C. (?2,0) ? (2,??) D. (??,?2) ? (2,??)
5.若点 (4 , tan ? ) 在函数 y ? log2 x 的图像上,则 2cos ? ? (
2

A. x ?

? 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 ? ? ?
8
B. x ? ?

1 倍(纵坐标不变) ,再将图象 2
) D. x ? ?

4

C. x ?

?


4

)

1 3 D. 2 5 2 p x [1, ?? ) 6.已知命题 :关于 的函数 y = x ? 3ax ? 4 在 上是增函数,命题 q :函数 ) y = (2a ? 1) x 为减函数,若 p ? q 为真命题,则实数 a 的取值范围是(
A. B. C.

2 5

1 5

a?
A.

2 3

0?a?
B.

1 2

1 2 ?a? 3 C. 2
C. 70

1 ? a ?1 D. 2
) D. 以上都不对

7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若a2 ? a8 ? a11 ? 30 ,那么 S13 值的是( A. 130 B. 65 8. 在 V ABC 中, sin A ? A.8

4 , AB ? AC ? 6 ,则 V ABC 的面积为(). 5 12 B. C.6 D.4 5
,f (?7) ?

1 ) ?? 2 9. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 若 f (?
则实数 a 的取值范围为 ( )

a ?1 , 3 ? 2a

-1-

A.

B. (﹣2,1) C.
x

D. )

10.若存在负实数使得方程 2 ? a ? A. (2,??) B. (0,??)

1 成立,则实数 a 的取值范围是( x ?1 C. (0,2) D. (0,1)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (2016) =_____. x 3 ? 1, x ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 12. 已知向量 a, b 夹角为 60? ,且 a =1, 2a ? b = 7 ,则 b =_____. 13. 设数列 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和,已知 a2 a4 ? 1 , S3 ? 7 ,则

? f ( x ? 2), x ? 0

S5 ? _____.
14. 在△ ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 15.关于函数 f ( x ) ? lg

1 ,则 sin B =________ . 4

x2 ? 1 ( x ? 0) ,有下列命题: | x|

①其图象关于 y 轴对称; ②当 x ? 0 时, f ( x ) 是增函数;当 x ? 0 时, f ( x ) 是减函数; ③ f ( x ) 的最小值是 lg 2 ; ④ f ( x ) 在区间 (?1,0)和(1,??) 上是增函数; ⑤ f ( x ) 无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(12 分)设函数 f ( x) ? 2 sin x cos -1. (Ⅰ)求 ? 的值;若 x ? ? ?
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值

? ? ?? ,求 f ( x ) 的单减区间; , ? 4 4? ?

(Ⅱ)把 f ( x ) 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再向左平移 位得的图像 g ( x) ,求 g ( x) 在区间 ? ?

? 个单 6

? ? ?? , 上的最大值和最小值. ? 4 4? ?

b、 n = (sin B , 17.(12 分)已知 ? ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a 、 设向量 m = ( a , b) , c,

??

?

?? sin A) , p = ( b ?2 , a ?2 ) . ? ? ? (Ⅰ)若 n / / p ,求证: ? ABC 为等腰三角形; ?? ?? ? (Ⅱ) 若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 ,角 C = ,求 ? ABC 的面积 . 3

-2-

18.(12 分)已知等差数列{ an }的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

4 ,求数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,求证 Tn ? 2 an an ?1

19. (12 分)已知递增等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a1 , a4 , a10 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? 3n } 的前 n 项和 Sn .

20.(13 分)设 f ( x) ? a ln x ? x ?1, (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1, x ? 1 时,求证曲线 f ( x ) 恒在直线 y ?

3 ( x ? 1) 的下方. 2

21. (14 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x ?1
2

(Ⅰ)若 f '(1) ? 1 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? b ? x ?1? 在 ? , ?? ? 上恒成立,其中 a , b 为实数,求 a 的 取值范围.

?

?

?1 ?e

? ?

-3-

数学(文)答案 一、选择题: 二、填空题: 三、解答题 16. 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2 sin x CDDDA 11. 0 CADDC 12. 3 13.

31 4

14.

15 4

15. ①③④

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2 ? sin x cos? ? cos x sin ? ? sin(x ? ? ) ??????3 分 因为函数 f ( x) 在 x ? ? 处取得最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,
由诱导公式知 sin ? ? 1 , 所以 f ( x) ? sin( x ? 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

,

?
2

) ? cos x ??????5 分

? ? ?? ? ?? ? x ? ? ? , ? ,? f ( x) 的单减区间是 ?0, ? ??????6 分 ? 4 4? ? 4? (Ⅱ)因为 f ( x) ? cos x , f ( x ) 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变) ? 得 y ? cos 2 x ,向左平移 个单位得 6 ? ? ? ? g ( x) ? cos ? 2( x ? ) ? ? cos(2 x ? ) ??????8 分 3 6 ? ? ? ? ? ? 5? ,? ? ? 2 x ? ? ??????10 分 ?? ? x? 4 4 6 3 6 ? ? 当 2 x ? ? 0 即 x ? 时, g ( x)max ? 1 3 6 ? 5? ? 3 当 2x ? ? 即 x ? 时, g ( x)min ? ? ??????12 分 3 6 4 2 ? ?? 17. (Ⅰ)证明:? n ∥ p ? sin B(a ? 2) ? sin A(b ? 2) b(a ? 2) ? a(b ? 2) 由正弦定理可得 ?a ?b
所以 ?ABC 为等腰三角形?????????4 分 (Ⅱ) (2)? m ? p

??

? ?

?? ?? ? m · p =0,即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

? a ? b ? ab ????????????????6 分 2 2 2 2 2 2 由 c ? a ? b ? 2ab cos C 可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ???8 分

? (ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ? ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

???????10 分 ???????12 分

18. 解 : ( Ⅰ ) ? 公 差

d ? 2 , ? S1 ? a1

S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? 2d

S4 ? a1 ? a 2 ?a3 ? a4 ? 4a1 ? 6d ???2 分

? S1 , S2 , S4 成等比数列,
? S1S4 ? S22 ?a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 ???3 分
-4-

? ? ? 5 分 ?a1 ? 1 ?2a1d ? d 2 ? d ?2 ?an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 ???6 分 4 4 1 1 证明:(Ⅱ)? bn ? ? ? 2( ? ) ???9 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ) ???11 分 ? Tn ? 2 ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? 2 ???12 分 ? 2n ? 1 ? 1 2 2 19. 解 : ( Ⅰ ) 由 条 件 知 a4 ? a1 a1 ,0? 1 ? 3 d ? ? 1 ? 9d , 解 得 d ? 或 d ? 0 ( 舍 ) 3 1 2 ? an ? n ? .???6 分 3 3 (Ⅱ)? an ? 3n ? (n ? 2) ? 3n?1 ,???7 分

Sn ? 3? 30 ? 4 ? 31 ? 5? 32 ???? ? n ? 2? ? 3n?1 ----①
3Sn ? 3? 31 ? 4 ? 32 ? ?? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n ----②

①—②得:

?2Sn ? 3 ? (3 ? 32 ? ?3n?1 ) ? ? n ? 2? ? 3n
? 3? 3(1 ? 3n?1 ) ? (n ? 2) ? 3n 1? 3

???8 分

???9 分

?

3 ? 3 ? (1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 2) ? 3n 2 3 1 ? 3 ? ? ? 3n ? (n ? 2) ? 3n 2 2 3 1 ? ? 3n ( ? n ? 2) 2 2 3 2n ? 3 n ? ? ?3 2 2 2n ? 3 n 3 Sn ? ?3 ? 4 4

???11 分 ???12 分

? ?? ???1 分 20. (Ⅰ)解:定义域为 ?0,
a 1 ? 2a ? x ???2 分 f ' ( x) ? ? x 2 = x 2 2x 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ???3 分
2 2 当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 解得 x ? 4a ;令 f ' ( x) ? 0 , 0 ? x ? 4a ???5 分

1

(0, ? ?) 综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间为
-5-

当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间为 , f ( x ) 的递减区间为 ??6 (4a 2, ? ?) (0,4a 2) 分 (Ⅱ)证明:记 g(x)= f ( x) ? 1 1

3 3 ( x ? 1) ? lnx+ x-1- (x-1). ???8 分 2 2
3

g′(x)= + - ,当 x>1 时, g '( x) ? 0 x 2 x 2 ? g(x)在(1,+∞)上单调递减. ???10 分
又 g(1)=0,有 g(x)<0,即 f ( x) ? 所以曲线 f ( x ) 恒在直线 y ? 21. 解: (Ⅰ) f
'

3 ( x ? 1) ? 0 ???12 分 2

3 ( x ? 1) 的下方. ???13 分 2

a ? 2 x ,???1 分 x ? f ' ?1? ? a ? 2 ? f '(1) ? 1 ? a ? 2 ? 1 ???3 分

? x? ?

又 f ?1? ? 0 ,

所以曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为: y ? 0 ? 1? ? x ?1? 即 x ? y ? 1 ? 0 ????5 分 (Ⅱ) 设 g ? x ? ? f ? x ? ? b ? x ?1? 又 g ?1? ? 0 有 g ? x ? ? g ?1? 恒成立 即 g ? x ? ? 0 在 ? , ?? ? 上恒成立

?

?

?1 ?e

? ?

即 x ? 1 处取得极小值,得 g ' ?1? ? a ? 2 ? b ? 0 ????7 分 所以 b ? a ? 2 , 从而 g ? x ? ?
'

? x ? 1? (2 x ? a)
x

a ????8 分 2 a 1 ?1 ? (1)当 ? 时, g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ? x ? ? g ?1? 即 2 e ?e ? 2 a ? ????9 分 e 1 a ?1 a? ?a ? (2) ? ? 1时,g ? x ? 在 ? , ? 上单调递增, 在 ? ,1? 单调递减, 在 ?1, ?? ? 上单调递增, e 2 ?2 ? ?e 2? 2 1 a 1 2 ?1? 则只需 g ? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? 0 , 解得 ? a ? e ? ? 2 ????12 分 e e e e e ?e? a ?1 ? ? a? (3)当 ? 1 时, , g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递增, ?1, ? 单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, 2 ?e ? ? 2? ?a? 由 g ? ? ? g ?1? ? 0 知不符合题意, ?2? 1 综上, a 的取值范围是 a ? e ? ? 2 ????14 分 e
令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ?

-6-


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