上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科)答案:2014.1.2

杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三模拟测试

2014.1.2

一.填空题(本大题满分 56 分) 1. 1 ; 2. arctan3 ; 3.2;
2

4.

?? ? , 0?

; 5.

3 ; 6. 1 ; 7. ? ; 8. 2;

9. 理 ? 1 ; 10. 30 ; 11. x ? 6 x ? 10 ? 0 ; 12. 理 15 ;13.理 14.理②、③, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题 15. D ; 16. B; 17. A ; 18.理 B; 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题 19. 【解】 (1)因为 B1C // A1 D ,

5 , 9

?直线 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直线 A1 B 与 B1C 所成角. ??2 分
又 ?A1 BD 为等边三角形,

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 60? .

??6 分

(2)四棱锥 A1 ? ABCD 的体积 V ? .

1 2 1 ? a ? a ? a3 3 3

??12 分

1

20. 【解】 (1)由题得 g ? x ? ? m ? n ? ax ? 1 ? 2ax ? a( x ? 1) ? 1 ? a
2 2

??4 分

又 a ? 0 开口向上,对称轴为 x ? 1 ,在区间 x ? ?2 , 3? 单调递增,最大值为 4,

? g ?x ?max ? g ?3? ? 4

所以, a ? 1

??7 分

(2)由(1)的他, f ?x ? ?

g ( x) 1 ? x? ?2 x x

??8 分

x x 令 t ? 3 ,则 t ? ? ,3? 以 f 3 ? k 3 ? 0 可化为 f (t ) ? kt , 3
x

?1 ? ? ?

? ?

即k ?

f (t ) 恒成立, t

??9 分

1 ?1 ? f (t ) 1 1 f (t ) 最小值为 0, ? ( ? 1) 2 且 ? ? ,3? ,当 ? 1 ,即 t ? 1 时 t ?3 ? t t t t

??13 分

?k ? 0
21. 【解】

??14 分

理科 (1)

由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y
2

??5 分 ??6 分 ??7 分

(2) 设 AF ? m ,则点 A(?m sin? , m cos? ? 1) 所以, (?m sin? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin ? ? 4m cos? ? 4 ? 0
2

2

2

2(cos? ? 1) sin 2 ? 2(1 ? sin ? ) 同理: BF ? cos2 ? 2(1 ? sin ? ) DF ? cos2 ? 2(1 ? cos? ) CF ? sin 2 ?
解得

AF ?

??8 分 ??9 分 ??10 分 ??11 分

“蝴蝶形图案”的面积 S ? S ?AFB ? S ?CFD ?

1 1 4 ? 4 sin ? cos? AF ? BF ? CF ? DF ? 2 2 (sin ? cos? ) 2
??12 分

令 t ? sin ? cos? , t ? ? 0 , ? , ? ? ?2,?? ? ? 2 t ? ?

?

1?

1

2

则S ? 4

1? t 1 ? ?1 1 ? ? 4? ? ? ? 1 , ? ? 2 时,即 ? ? “蝴蝶形图案”的面积为 8 2 t t 4 ?t 2?
2

??14 分 22. 【解】 理科

1 ),且 m ? 0 , 2 1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , ?直线 AM 的斜率为 k1= ? 2m 2m
解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

3 ?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

??2 分

2m

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由? 4 得 m 2 ? 1 x 2 ? 4mx ? 0 , 1 ?y ? ? x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

4m ? 4m m 2 ? 1 ? , ?E ? 2 , 2 ?, m2 ? 1 ? m ?1 m ?1 ?

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? 3 ?y ? x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

2 12m , ? F ? 12m , 9 ? m ? ; 2 ? 2 ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

??4 分

据已知, m ? 0, m ? 3 ,
2

m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ?直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

?直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ?? ?x? 2 ?, 2 m ?1 4m ? m ?1 ?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. ② S?AMF ?

??5 分

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
??7 分
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

3

?

5m m ? ,? m?0, 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ? 1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又有 m ? ? 3 ,? m2 ? 3 ? 0 , ?m 2 ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

??10 分

(2) 因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , k

??12 分

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2


,

所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d ?
2 2
2

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

xQ ? xP ? ?

8k 2 k ?4

所以 QP ?

(1 ?

1 64 k 2 8 k2 ?1 ) 2 ? 2 k 2 (k ? 4) 2 k ?4

??14 分

所以 S ?TRQ ?

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?
2

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 ?k?? 时等号成立, 2 2
??16 分

此时直线 l1 : y ? ? 23【解】 (理科)

10 x ?1 2

解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,由 2S n ? ?kn ? b ??a1 ? a n ? ? p 得
3(a1 ? an ) ? 4 ? 2S n

① ②

用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an?1 ) ? 4 ? 2S n?1 ,
4

②—①得, 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an , 在①中令 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴
an ?1 ? 3, an

……2 分

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ Sn =
3n ? 1 2

…….5 分

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,
n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,

③ ④ …….7 分

用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) , ④—③得,
(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

⑤ ⑥

用 n ? 1 去代 n 得, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0 ,

⑥—⑤得, nan? 2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an , ∴数列 {an } 是等差数列.∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 , ∴公差 d ?

…….8 分

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 9?3

……10 分

易知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) . 又 ?an ? 是“ ? 数列” ,得:对任意 m, n ? N* ,必存在 p ? N* 使
a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,

得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, 又由已知, 一方面,当 都有
1 1 11 18 ? ? ,故 ? a1 ? 12 12 S1 18 11

…….12 分

18 ? a1 ? 12 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N* , 11

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S2 S3 Sn S1 12
1 1 1 ? ? , Sn n n ? 1

.…….13 分

另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , 则
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? , S1 S2 S3 Sn n ?1

5

取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意. S1 S2 3 3 18
1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

…….14 分

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

…….15 分

当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

…….16 分 …….17 分
?? 18 分



18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

所以,首项 a1 的所有取值构成的集合为 ?4, 6, 8, 10?

(其他解法,可根据【解】的评分标准给分)

6


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