2004年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)试题(含答案)


2004 年全国高中数学联赛四川省初赛
2004 年 9 月 12 日上午 9∶00——11∶00 一、选择题(每小题 5 分,6 个小题共计 30 分) 2x 1. 函数 f(x)=x+ x 4 -1 A.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.是奇函数但不是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

2. 已知 f(x)对任意的整数 x 都有 f(x+2)=f(x-2),若 f(0)=2003,则 f(2004)= A.2002 B.2003 C.2004 D.2005

3. 已知不等式 m2+(cos2θ-5)m+4sin2θ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4 或 x≤0 D.m≥1 或 m≤0

4. 母线长为 6的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为 A.1 B.2 C.3 D.4

5. 正三棱锥相邻侧面所成二面角,等于侧面与底面所成二面角的两倍,则侧棱与底面边长之比为 3 A. 2 4 B. 3 3 C. 4 2 D. 3

6. 函数 y=cos3x+sin2x-cosx 的最大值等于 32 A. 27 16 B. 27 C. 8 27 D. 4 27

二、填空题(每小题 5 分,6 个小题共计 30 分) 32x 1 2 100 7. 已知函数 f(x)= ,则 f( )+f( )+……+f( )=________________. 101 101 101 3+32x 8. 不等式|x2-2|≤2x+1 的解集为__________________. 9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号,则在这 90000 个车牌照中数字 9 至少出现 一个,并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有____________个. 1 1 1 10.若 0<a、b、c<1 满足条件 ab+bc+ca=1,则 + + 的最小值是_________. 1-a 1-b 1-c 11.已知正四棱锥 V-ABCD 的棱长都等于 a,侧棱 VB、VD 的中点分别为 H 和 K,若过 A、H、K 三点的 平面交侧棱 VC 于 L,则四边形 AHLK 的面积为_______________. 12.已知 a、b、x 是实数,函数 f(x)=x2-2ax+1 与函数 g(x)=2b(a-x)的图象不相交,记参数 a、b 所组 成的点(a,b)的集合为 A,则集合 A 所表示的平形图象的面积为___________. 三、解答题(每小题 20 分,4 个小题共计 80 分)

13.已知数列{an}满足 a1=1,an=2an-1+n-2(n≥2),求通项 an. 14.如图,O、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心,D 是 中点,由 H 向∠A 及其外角平分线作垂线,垂足分别 F.证明:D、E、F 三点共线. 15.设 A={1,2,……,n},用 Sn 表示 A 的所有非空真 个元素之和,Bn 表示 A 的子集个数.
n→∞n

BC 边的
A F

是 E 是

E O B D H

子集中 求
C

lim

2

Sn . · Bn

x2 y2 16.已知椭圆ε : 2+ 2=1(a>b>0), a b 圆Γ :x2+y2=R2,其中 b<R<a.



若 A 是椭圆ε 上的动点,B 是动圆Γ 上的动点,且使直线 AB 与椭圆ε 和动圆Γ 均相切,求 A、B 两点 的距离|AB|的最大值.

2004 年全国高中数学联赛(四川省初赛) 参考答案 一、ABCBDA 二、7、50; 8、{x| 2-1≤x≤3}; 11、 5 2 a; 6 9、4168; 12、π

3(3+ 3) 10、 ; 2 三、

13.解:由已知可得:an+n=2(an-1+n-1)(n≥2)

……5'

令 bn=an+n,则 b1=a1+1=2,且 bn=2bn-1(n≥2) 于是 bn=2· 2n 1=2n,即 an+n=2n


……10' ……15'

故 an=2n-n(n≥2), 因为 a1=1 也适合上述式子, 所以 an=2n-n(n≥1) 14.证明:连结 OA,OD,并延长 OD 交△ABC 的外接圆于 M
A

……20'

︿ ︿ 则 OD⊥BC,BM=MC
G

F

∴A、E、M 三点共线 ∵AE、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线, ∴AE⊥AF 又∵HE⊥AE,HF⊥AF ∴四边形 AEHF 为矩形. 因此 AH 与 EF 互相平分,设其交点为 G 1 1 于是:AG= AH= EF=EG 2 2 而 OA=OM,且 OD∥AH ∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GEA 故 EG∥OA (1) ……15' ……10' ……5'
B

E O H

D

C

M

∵O、H 分别是△ABC 的外心和垂心,且 OD⊥BC 1 ∴OD= AH=AG,因此,若连结 DG,则四边形 AODG 为平行四边形 2 从而 DG∥OA (2)

由(1)和(2)知,D、E、G 三点共线,但 F 在 EG 上 故 D、E、F 三点共线. 15.解:易知 Bn=2n 先考察数字 1 在 A 的所有非空真子集中出现的次数: 在一元子集中只出现 1 次 在二元子集中出现 Cn1-1次, 在三元子集中出现 Cn2-1次, …… ……5'

-2 在 n-1 元子集中出现 Cn n-1次, -2 n 1 故数字 1 在所有子集中出现的次数为 1+Cn1-1+Cn2-1+……+Cn n-1=2 -1 次.……10'


对其余数字有完全相同的结论. n(n+1) n-1 - 于是 Sn=(1+2+3+……+n)(2n 1-1)= (2 -1) 2 ∴ lim n(n+1)(2n 1-1) 1 Sn = lim = 2 Bn n→∞ 2n2· 2n 4 n→∞n ·


……15' ……20'

16.解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为:y=kx+m kx1+m ? ?y1= 2 2 因为 A 既在椭圆上,又在直线 AB 上,从而有?x1 y1 2 + 2 =1 ? ?a b 将(1)代入(2)得:(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0 由于直线与椭圆相切,故△=(2kma2)2-4(a2k2+b2)a2(m2-b2)=0 ka2 从而可得:m2=b2+a2k2,x1=- m 同理,由 B 既在圆上又在直线 AB 上, 可得:m2=R(1+k2),x2=- kR2 m (4) ……10' (3) ……5' (1) (2)

R2-b2 k(a2-R2) 由(3)(4)得:k2= 2 , x - x = m a -R2 2 1 ∴|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2
2 2 2 2 2 2 m2 k(a -R ) (a -R ) R -b = 2· = ·2 2 R m R a -R2

(a2-R2)(R2-b2) 2 2 a2b2 = =a +b -R2- 2 2 R R ab =(a-b)2-(R- )2≤(a-b)2. R 即|AB|≤a-b,当且仅当 R= ab时取等号. 所以,A、B 两点的距离|AB|的最大值为 a-b. ……20' ……15'


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