2019年最新高三题库 上海南汇中学2019学年度高一第二学期期末考试数学试题与答案

上海南汇中学第二学期期末考试 高一数学 一、 填空题(每小题 3 分,共 12 题,共 36 分) 1.若 ? ? 2013 ,则与角 ? 具有相同终边的最小正角为 213o o 2.一个扇形的半径是 2 cm ,弧长是 4 cm,则圆心角的弧度数为 3.已知 sin ? ? 3 cos ? ,则 2 cos 2? ? 1 ? sin 2? ? 1 2 4.用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示: … ① ② ③ 602 按照上面的规律,第 100 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 5.已知 ?ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则 ?ABC 的最大内角的大小为____ ? ? arccos 角函数表示) 2 ___(用反三 4 2n 2 2 6.已知等比数列 {an } 为递增数列,且 a5 , a5 ?? a10 a10 , 2( , 2( ana? ana )2 ? )? 5a 5n a n ? ?n 2? ?n 1?1 ,则数列 {a n } 的通项公式 an ? 7.设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列,若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2013 项的和 2 S 2013 ? ___2013__ A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值为___ 3 _____ 2 2 2 2 ? ABC a ? cos A ? b ? cos B ? ABC 9.给出问题:已知 满足 ,试判定 的形状.某学生的解答如下: 8.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 依次成等差数列,则 tan 解: (i)由余弦定理可得, a? ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a 2 ? b 2 ?? a 2 ? b 2 ? ? c2 ? a 2 ? b2 故 ?ABC 是直角三角形. (ii)设 ?ABC 外接圆半径为 R .由正弦定理可得,原式等价于 b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? b? 2bc 2ac 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ? sin 2 A ? sin 2 B ? A ? B 故 ?ABC 是等腰三角形. 由(i) (ii)得, ?ABC 是等腰直角三角形. 请问:该学生的解答是否正确?若正确,请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确,请在下 面横线中写出你认为本题正确的结果: 等腰或直角三角形 10.已知函数 y ? sin(? x ? ? 3 )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,若将该函数的图像向左平移 m (m ? 0) 个单位后,所得图 ? 3 像关于原点对称,则 m 的最小值为 11.在共有 2009 项的等比数列 ?an ? 中,有等式 差数列 ?bn ? 中,相应的有等式 (b1 ? b3 ? b5 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a2009 ? a1005 成立;类比上述性质,在共有 2013 项的等 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? ? ? a2008 ? b2013 ) ? (b2 ? b4 ? ? b2012 ) ? b1007 成立 12.对于函数 f ( x) ,在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为函数 f ( x) 的“下确界” ,则函 数 f ( x) ? sin 2 x ? sin x ? csc2 x ? csc x 的“下确界”为 0 二、选择题(每小题 3 分,共 4 题,共 12 分) 13.设 a 、 b 、 c 是三个实数,则“ b ? ac”是“ a, b, c 依次成等比数列”的( B ) 2 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 14.下列命题中正确的是( D ) A.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 B.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数 C.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数 D.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 ? ? ?? ,则函数 f ( x) 的最小值是( B ) , ? 2 2? ? 1 9 A. ? 1 B.0 C. D. 8 2 n? 16.数列 {an } 的通项公式 an ? n cos ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2013 等于( C ) 2 15.设函数 f ( x) ?| sin x | ? cos 2 x, x ? ?? A.0 B.503 C.1006 D.2012 三、解答题(8+10+10+12+12=52 分) 17.三角比内容丰富,公式很多.若仔细观察、大胆猜想、科学求证,你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下 问题: (1)计算: cos 2? cos88? cos 5? cos85? cos12? cos 78? ? ? _____; ? ? ____; ? ? ____ sin 47? sin133? sin 50? sin130? sin 57? sin123? . (直接写答案,别忘记把计算器设置成“角度” ! ) (2)根据(1)的计算结果,请你猜出一个一般性的结论: (用数学式子加以表达,并证明你的结论,写出推理过程. ) 解: (1) 2 ; 2; 2 (3 分) ? cos( ? x) ? 2 ? ? 2. 其中 x ? k ? ? , k ? z (5 分) (2)猜想: ? 3? 4 sin( x ? ) sin( ? x) 4 4 ? 3? 3? ? 证明: Q ( x ? ) ? ( ? x) ? ? , ?sin( ? x) ? sin( x ? ) , 4 4 4 4 ? 2 sin( x ?

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