2013年二轮:不等式与推理证明(江苏专用)

专题 11 不等式与推理证明 回顾 2009~2012 年的考题,解一元二次不等式作为一个重要的代数解题工具,是考查的热点,多与 集合、函数、数列相结合考查.另一个 C 级知识点基本不等式是必考内容,主要考查用基本不等式求解最 值或在代数综合问题中判断多项式的大小关系等.线性规划考查不多,但会出现与其他知识综合的考查. 预测在 2013 年的高考题中:[来源:学+科+网 Z+X+X+K] ?1?填空题主要考查基本不等式、不等式与集合问题以及以不等式为载体的恒成立问题. ?2?在解答题中,恒成立问题依然是命题的重点. [来源:学*科*网 Z*X*X*K] 1.若不等式(m+1)x2-(m+1)x+3(m-1)<0 对一切实数 x 均成立,则 m 的取值范围为________. 解析:当 m+1=0,即 m=-1 时, 不等式变为-6<0 恒成立;当 m+1≠0 时, ? ?m+1<0, 由题意知? 2 ?Δ=?m+1? -12?m+1??m-1?<0, ? 解不等式组得 m<-1,从而知 m≤-1. 答案:(-∞,-1] 1 4 2.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1,则 + 的最小值 m n 为________. 解析:设正项等比数列{an}的公比为 q, 由 a7=a6+2a5,得 q2-q-2=0,解得 q=2. 由 aman=4a1,得 2m +n-2 =24,即 m+n=6. 1 4? 5 1?4m n ? 5 4 3 1 4 1 故 + = (m +n)? ?m+n?=6 +6? n +m?≥ 6+6=2,当且仅当 n=2m 时等号成立. m n 6 3 答案: 2 x 3.某车间分批生产某种产品,每批产品的准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 8 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的准备费用与仓储费用之和最小,每批应生 产产品________件. 解析:设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 800 x y= + ≥2 x 8 800 x · =20. x 8 800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时等号成立. x 8 答案:80 4.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间中,若两 个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 解析:∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是 两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,∴它们的体积比为 1∶8. 答案:1∶8 3x-4y+3≥0 ? ?? ? ? 5.已知集合 P=??x,y???4x+3y-6≤0 ? ?y≥0 ? ?? ? ,Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2,r>0},若“点 M ∈P”是“点 M∈Q”的必要条件,则当 r 最大时,ab 的值是________. 解析:依题意 Q?P, 在坐标平面内画出 P 中不等式组表示的平面区域,结合图形分析可知,当(x- 3 ? 5 3 ?3 6? a)2+(y-b)2=r2 恰好是 Rt△ABC(其中点 A(-1,0)、B? ?2,0?、C?5,5?,AB=2,BC=2,CA=2)的内切圆 ?b=r=2, CA+BC-AB 1 时,r 取得最大值,此时 r= = ,? 2 2 3a-4b+3 1 ? 5 =2, 1 答案: 4 1 1 1 由此解得 a=b= ,所以 ab= . 2 4 [典例1] 已知不等式 ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1,或 x>b}. (1)求 a,b; x-c (2)解不等式 >0(c 为常数). ax-b [解] (1)由题知 1,b 为方程 ax2-3x+2=0 的两个根, ?b=a, 即? 3 ?1+b=a, 2 ?a=1, ? 解得? ?b=2. ? (2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0, 当 c>2 时, 解集为{x|x>c, 或 x<2}; 当 c<2 时, 解集为{x|x>2, 或 x<c}; 当 c=2 时,解集为{x|x≠2,x∈R}. 本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系及分式不等式的解法. (1)由二 次方程的根可写出相应不等式的解集;由二次不等式的解集,也可写出方程的根,从而可求得 方程中的系数. (2)分式不等式一般化为整式不等式求解. [演练1] ?-2xx+1,x>0, 已知 f(x)=? 1 ?x,x<0, 2 则 f(x)>-1 的解集为________. -2x+1 解析:依题意,若 >-1,则 x>0,且 x≠1; x2 1 若 >-1,则 x<-1. x 综上所述,x∈(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞) [典例2] y≤x+2, ? ? (1)在直角坐标平面上,不等式组?y≥0, ? ?0≤x≤t 5 所表示的平面区域的面积为 ,则 t 的值为________; 2 ?0≤x≤ (2)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y OA 的最大值为________. 点 A 的坐标为( 2,1),则 z= OM · y≤x+2, ? ? [ 解析 ] (1) 不等式组?y≥0, ? ?0≤x≤t 2, 给定, 若 M(x, y)为 D 上的动点, ???? ? ??? ? 所表示的平面区域如图中 阴影部分 所示. ? ?y=x+2, 由? 解得交点 B(t,t+2),在 y=x+2 中,令 x=0,得 y=2, ?x=t ? 即直线 y ?2+t+2?×t 5 =x+2 与 y 轴的交点为 C(0,2).由平面区域的面积 S= = ,得 t2+4t-5=0,解得 t=1 或 t= 2 2 -5(不合题意,舍去).

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