高考数学解答题(十一)

高考数学解答题(十一)
1、设数列 {an } 满足: a1 ? 2, an ?1 ? an ? (I)证明: an ? (II)令 bn ?

1 (n ? N ? ) . an

2n ? 1 对 n ? N ? 恒成立;
(n ? N ? ) ,判断 bn 与 bn ?1 的大小,并说明理由.

an n

解: (1)证法一:当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 2 ?1 ? 1 ,不等式成立, 假设 n ? k 时, ak ?
2

2k ? 1 成立
2

(2 分) ,

当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ?

1 1 (5 分) ? 2 ? 2k ? 3 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 . 2 ak ak

? n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 2(k ?1) ?1 时成立
综上由数学归纳法可知,

an ? 2n ? 1 对一切正整数成立

(6 分)

证法二:当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 1 ,结论成立; 假设 n ? k 时结论成立,即 ak ? 由函数 f ( x) ? x ?

2k ? 1 (2 分) 当 n ? k ? 1 时,

1 ( x ? 1) 的单增性和归纳假设有 x

ak ?1 ? ak ?

1 1 (4 分), ? 2k ? 1 ? ak 2k ? 1
1 ? 2k ? 3 , 2k ? 1 1 1 ) 2 ? 2k ? 3 ? ? 0, 2k ? 1 2k ? 1

因此只需证: 2k ? 1 ?

而这等价于 ( 2k ? 1 ?

显然成立,所以当 n ? k ? 1 是,结论成立; 综上由数学归纳法可知,

an ? 2n ? 1 对一切正整数成立

(6 分)

(2)解法一:

bn?1 a n 1 n 1 n (8 分) ? n?1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? ) bn an n ? 1 2n ? 1 n ? 1 an n ? 1

1 1 (n ? ) 2 ? 2 n(n ? 1) 2(n ? 1) n 2 4 ?1 ? ? ? 1 2n ? 1 (2n ? 1) n ? 1 n? 2
又显然 bn ? 0(n ? N ? ) ,故 bn?1 ? bn 成立 解法二: bn ?1 ? bn ?
2 2

(10 分)

(12 分) (8 分)

2 an a2 a2 1 1 2 ?1 ? n ? (an ? 2 ? 2) ? n n ?1 n n ?1 am n

2 1 1 an 1 1 2n ? 1 ? (2 ? 2 ? ) ? (2 ? ? ) n ?1 am n n ?1 2n ? 1 n

(10 分)

?

1 1 1 ( ? )?0 n ? 1 2n ? 1 n
(12 分)

2 2 故 bn ?1 ? bn ,因此 bn ?1 ? bn

2、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , PA ? AB ,

PA ? AB , ?ABC ?

?
3

, ?BCA ?

?
2

, 点D ,E

分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC , (I)求证: BC ? 平面 PAC ; (II)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (III)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由. 解:如图,以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 PA ? a ,

由已知可得 P(0,0, a) , A(0, 0, 0) , B(?

1 3 3 a, a, 0) , C (0, a, 0) . 2 2 2

(Ⅰ)∵ AP ? (0,0, a) , BC ? ( a, 0, 0) ,∴ AP ? BC ? 0 , ∴BC⊥AP.又∵ ?BCA ? 90 ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC.(4 分)
?

1 2

3、已知函数 f(x)=x-ln(x+a). (a 是常数) (I)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 (II) 当 y ? f ( x) 在 x=1 处取得极值时,若关于 x 的方程 f(x)+2x=x +b 在[ ,2]上恰 2 有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围; (III)求证:当 n ? 2, n ? N + 时 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1? 1 ? 2 ?...... ?1 ? 2 ? ? e . 2 ?? 2 ?? 3 ? ? n ?
1 x ? a ?1 ? , x?a x?a

解:(I) 由已知由函数 f ? x ? 的定义域为 x ? ?a , f ?? x ? ? 1 ?

? ?a ? ?a ? 1 ,

? 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?a ? 1 ,
由 f ?( x) ? 0, 得 ? a ? x ? ?a ? 1 ,

所以函数 f ( x) 的减区间为 ?? a,?a ? 1? ,增区间为 ?? a ? 1,??? . (II)由题意,得 f ??1? ? 0 ,? a=0 . ……5 分

…4 分

? 由(Ⅰ)知 f(x)=x-lnx,
∴f(x)+2x=x2+b ,即 x-lnx+2x=x2+b ,? x2-3x+lnx+b=0, 设 g ?x ? =x2-3x+lnx+b(x>0), 则 g ?? x ? =2x-3+ = x 1 2x2-3x+1 (2x-1)(x-1) = , x x

当 x ? ? , 2 ? 变化时, g ?? x ? , g ?x ? 的变化情况如下表: 2

?1 ?

? ?

(III)由(I) 和(II)可知当 a ? 0, x ? ? , ?? ? 时, f ( x) ? f (1) ,即 ln x ? x ? 1 ,

?1 ?2

? ?

? 当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 .
令 x ? 1?

……… 10 分

1 1? 1 ? * ( n ? 2, n ? N ),则 ln?1 ? 2 ? ? 2 . 2 n ? n ? n
*

所以当 n ? 2, n ? N 时,

1? 1? 1? 1 1 1 ? ? ? ln?1 ? 2 ? ? ln?1 ? 2 ? ? .......? ln?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ......? 2 n ? 2 ? ? 3 ? ? n ? 2 3
? 1 1 1 1 ? ? ......? ? 1 ? ? 1, 1? 2 2 ? 3 n ? ?n ? 1? n

即 ln?1 ?

? ?

1 ?? 1? 1? ? 1 ? 2 ?....... ?1 ? 2 ? ? 1 , 2 ?? 2 ?? 3 ? ? n ?
……12 分

1 ?? 1? ? 1? ? ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ?...... ?1 ? 2 ? ? e . ? 2 ?? 3 ? ? n ?
4、如图,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD , 线段 CD 为圆 O 的弦, AE 垂直于圆 O 所在平面, 垂足 E 是圆 O 上异于 C . D 的点, AE ? 3 ,圆 O 的直径为 9. (I)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ; (II)求二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值. 解: (I)证明:∵ AE 垂直于圆 O 所在平面, CD 在圆 O 所在平面上, ∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE . ∵ CD ? 平面 ABCD , ∴平面 ABCD ? 平面 ADE . (II)∵ CD ? 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ? DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE ? 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a , 在 Rt △ CDE 中, DE ? CE ? CD ? 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE ? AD ? AE ? a ? 9 ,
2 2 2 2

由 81 ? a ? a ? 9 ,解得, a ? 3 5 .
2 2

∴ DE ?

AD2 ? AE 2 ? 6 .

5、已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(I)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (II)若 a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根,求实 2 2
*

数 b 的取值范围; (III)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N . 求证: an ? 2 ? 1
n

解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). x
2

依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立.

1? 2x 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立, 2 x x 1 2 即 a ? (( ? 1) ? 1) min ( x ? 0) x 1 2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ?1 x
则a ? ∴ a 的取值范围是 (??, ?1] …… 4 ?

(3)设 h( x) ? ln x ? x ?1, x ? ?1, ?? ? ,则 h?( x ) ?

1 ?1 ? 0 x

? h( x) 在 ?1, ?? ? 为减函数,且 h( x)max ? h(1) ? 0, 故当 x ? 1 时有 ln x ? x ? 1 .

a1 ? 1. 假设 ak ? 1(k ? N * ), 则 ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 ,故 an ? 1(n ? N * ).
从而 an?1 ? ln an ? an ? 2 ? 2an ? 1.?1 ? an?1 ? 2(1 ? an ) ? 即 1 ? an ? 2 ,∴ an ? 2 ? 1
n n

? 2n (1 ? a1 ).

………… 12?


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