湖大版大学物理第13章

第十三章 静电场
P38. 13.1 如图所示, A 1.8×10-9C,B 点处有点 q1 试求 C 点的场强. E2 [解答]根据点电荷 C θ E1 E 图 13.1 其中 1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2. 点电荷 q1 在 C 点产生的场强大小为

在直角三角形 ABCD 的 A 点处,有点电荷 q1 = 电荷 q2 = -4.8×10-9C,AC = 3cm,BC = 4cm, B q2 的场强大小的公式

E=k

q 1 q , = 2 r 4πε 0 r 2

E1 =

q1 4πε 0 AC 2 1

1.8 × 10 ?9 = 9 × 10 × = 1.8 × 10 4 (N ? C -1 ) , ?2 2 (3 × 10 )
9

方向向下. 点电荷 q2 在 C 点产生的场强大小为

E2 =

| q2 | 4πε 0 BC 2 1

= 9 × 109 ×

4.8 × 10?9 = 2.7 × 104 (N ? C-1 ) , ?2 2 (4 × 10 )

方向向右. C 处的总场强大小为

E = E12 + E22
= 0.9 13 × 10 4 = 3.245 × 10 4 (N ? C -1 ) ,
总场强与分场强 E2 的夹角为

θ = arctan

E1 = 33.69° . E2

13.2 半径为 R 的一段圆弧,圆心角为 60°,一半均匀带正电,另一半均匀带负电,其 电线密度分别为+λ 和-λ,求圆心处的场强. [ 解 答 ] 在 带 正 电 ds 的圆弧上取一弧元 R ds = Rdθ, θ O Ex x 电荷元为 dq = λds, E Ey 在 O 点产生的场强大 小为 y

dE =

1 dq 1 λ ds λ = = dθ , 2 2 4πε 0 R 4πε 0 R 4πε 0 R

场强的分量为 dEx = dEcosθ,dEy = dEsinθ. 对于带负电的圆 弧,同样可得在 O 点的场强的两个分量.由于 弧形是对称的,x 方向 的合场强为零,总场强沿着 y 轴正方向,大小 Ex θ O x 为 E Ey ds R E = 2 E y = dE sin θ y



L

=

π /6 λ π /6 λ sinθ dθ = (? cosθ ) 2πε 0 R ∫ 2πε 0 R 0 0

= (1 ?

3 λ . ) 2 2πε 0 R

13.3 均匀带电细棒,棒长 a = 20cm,电荷线密度为 λ = 3×10-8C·m-1,求: (1)棒的延长线上与棒的近端 d1 = 8cm 处的场强; (2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距 d2 = 8cm 处的场强. [解答](1)建立坐标系,其中 L = a/2 = 0.1(m),x = L+d1 = 0.18(m). 在 细棒上取一线元 dl,所带的电量为 dq = λdl, y 根据点 电荷的场强公式, 电荷元在 P1 点产生的场强的 dl l r 大小为 P1 x -L o L d1

dE1 = k

dq λ dl = 2 r 4πε 0 ( x ? l ) 2

场强的方向沿 x 轴正向.因此 P1 点的总场强大小通过积分得

E1 =

λ 4πε 0
=

dl ∫ ( x ? l )2 ?L
L

L

λ 1 4πε 0 x ? l

?L

=

λ 1 1 ( ? ) 4πε 0 x ? L x + L
2 Lλ . 4πε 0 x 2 ? L2 1


=

将数值代入公式得 P1 点的场强为

E1 = 9 × 109 ×

2 × 0.1 × 3 × 10 ?8 0.182 ? 0.12

= 2.41×103(N·C-1),

方向沿着 x 轴正向. (2)建立 y dE2 在细棒上 dEy θ dq = λdl, P2 dEx 在棒的垂直平 r d2 -L θ o l dl

坐标系,y = d2. 取一线元 dl,所带的电量为 分线上的 P2 点产生的场强的大小为 L x

dE 2 = k

dq λ dl , = 2 r 4πε 0 r 2
dEy = dE2sinθ.

由于棒是对称的,x 方向的合场强为零,y 分量为 由图可知:r = d2/sinθ,l = d2cotθ, 所以 dl = -d2dθ/sin2θ, 因此

dE y =

?λ sin θ dθ , 4πε 0 d 2

总场强大小为

Ey =

?λ 4πε 0 d 2

L

l=? L
L



sin θ d θ

=

λ cos θ 4πε 0 d 2
l

l=?L

λ = 4πε 0 d 2
= 1

L

d 22 + l 2
2 Lλ

l=? L

4πε 0 d 2 d 22 + L2

. ②

将数值代入公式得 P2 点的场强为

E y = 9 × 109 ×

2 × 0.1 × 3 × 10 ?8 0.08(0.08 2 + 0.12 )1/ 2

= 5.27×103(N·C-1). 方向沿着 y 轴正向. [讨论](1)由于 L = a/2,x = L+d1,代入①式,化简得

E1 =

λ a λ 1 , = 4πε 0 d1 d1 + a 4πε 0 d1 d1 / a + 1 λ , 4πε 0 d1

保持 d1 不变,当 a→∞时,可得

E1 →



这就是半无限长带电直线在相距为 d1 的延长线上产生的场强大小. (2)由②式得

Ey =

λ 4πε 0 d 2

a d + ( a / 2) 2
2 2

=

λ 4πε 0 d 2

1 ( d 2 / a ) 2 + (1/ 2) 2



当 a→∞时,得

Ey →

λ , 2πε 0 d 2



这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式. 如果 d1=d2,则有大小关系 Ey = 2E1. 13.4 一均匀带 为何值时,圆心 O 点 [解答 ]设电荷 线 强. 在圆弧上取一 所带的电量为 dq = λds, 在圆心处产生的场 电的细棒被弯成如图所示的对称形状,试问 θ 处的场强为零. 密度为 λ,先计算圆弧的电荷在圆心产生的场 弧元 ds =R dφ,

R O

θ

dφ R 图 13.4 O φ θ x dE

强的大小为

dE = k

dq λ ds λ = = d? , 2 2 r 4πε 0 R 4πε 0 R

由于弧是对称的,场强只剩 x 分量,取 x 轴方向为正,场强为 dEx = -dEcosφ. 总场强为

Ex =

?λ 4πε 0 R

2 π ?θ / 2

θ /2
2 π ?θ / 2



cos ? d ?

=

?λ 4πε 0 R

sin ?

θ /2

=

λ θ sin , 2πε 0 R 2

方向沿着 x 轴正向. 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强. 根据上一题的 公式③可得半无限长带电直线在延长上 O 点产 R 生的场强大小为 E`` x O

θ

E`

E` =

λ , 4πε 0 R

由于两根半无限长带电直线对称放置,它们在 O 点产生的合场强为

` E x = 2 E ` cos

θ
2

=

λ θ cos , 2πε 0 R 2

方向沿着 x 轴负向. 当 O 点合场强为零时,必有 E x = E x ,可得
`

tanθ/2 = 1,

因此 所以

θ/2 = π/4, θ = π/2.

13.5 一宽为 b 的无限长均匀带电平面薄板,其电荷密度为 σ,如图所示.试求: (1)平板所在平 面内,距薄板边缘为 a 处的场强. P a b (2)通过薄板几 何中心的垂直线上与薄板距离为 d 处的场强. [解答](1)建 立坐标系. 在平面薄板上取一宽度为 dx 的带电 y 直线, 电荷的线密度 为 d a b dλ = σd x, 根据直线带电 线的 O dx 图 13.5 得带电直线在 P 点产生的场强为 x PQ 场强公式

E=

λ , 2πε 0 r

dE =

dλ 2πε 0 r

=

σ dx
2πε 0 (b / 2 + a ? x )



其方向沿 x 轴正向. 由于每条无限长直线在 P 点的产生的场强方向相同,所以总场强为

E=

σ 2πε 0

1 dx b/2+a? x ?b / 2

b/2



=

?σ ln(b / 2 + a ? x ) 2πε 0

b/2

?b / 2

=

σ b ln(1 + ) . 2πε 0 a



场强方向沿 x 轴正向. (2)为了便于观察,将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为 dx 的 带电直线, 电荷的线密度仍然为 x dx dλ = σd x, 带电直线在 r θ z Q 点产生的场强为 O d Q dλ σ dx dE , dE = = b 2πε 0 r 2πε 0 (b 2 + x 2 )1/ 2 y 沿 z 轴方向 的分量为

dE z = dE cos θ =

σ cos θ dx , 2πε 0 (b 2 + x 2 )1/ 2 σ dθ 2πε 0

设 x = dtanθ,则 dx = ddθ/cos2θ,因此

dE z = dE cos θ =
积分得

Ez = =

σ dθ 2πε 0 ? arctan( b / 2 d )
arctan( b / 2 d )



σ b arctan( ) . ② πε 0 2d

场强方向沿 z 轴正向. [讨论](1)薄板单位长度上电荷为 λ = σb, ①式的场强可化为

E=

λ ln(1 + b / a ) , 2πε 0 a b/a

当 b→0 时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为

E→

λ , 2πε 0 a



这正是带电直线的场强公式. (2)②也可以化为

Ez =

λ arctan(b / 2 d ) , 2πε 0 d b / 2d
λ , 2πε 0 d

当 b→0 时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为

Ez →

这也是带电直线的场强公式. 当 b→∞时,可得

Ez →

σ , 2ε 0



这是无限大带电平面所产生的场强公式. 13.6 (1)点电荷 q 位于一个边长为 a 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立 方体一面的电通量是多少? (2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上,这时通过立方体各面的电通量是

多少? [解答]点电荷产生的电通量为 Φe = q/ε0. (1)当点电荷放在中心时,电通量要穿过 6 个面,通过每一面的电通量为 Φ1 = Φe/6 = q/6ε0. (2)当点电荷放在一个顶角时,电通量要穿过 8 个卦限,立方体的 3 个面在一个卦限 中,通过每个面的电通量为 Φ1 = Φe/24 = q/24ε0; 立方体的另外 3 个面的法向与电力线垂直,通过每个面的电通量为零. 13. 面电 7 的一点 O 为中 R O 此半球面的电 [解答]设想 图 13.7 成一个球面. 球 q = πR2σ, 通过球面的电通量为 Φe = q/ε0, 通过半球面的电通量为 Φ`e = Φe/2 = πR2σ/2ε0. 荷密度为 σ 的均匀无限大带电平板,以平板上 心,R 为半径作一半球面,如图所示.求通过 通量. 在平板下面补一个半球面,与上面的半球面合 面内包含的电荷为

13.8 两无限长同轴圆柱面,半径分别为 R1 和 R2(R1 > R2),带有等量异号电荷,单位 (2) R1 < r < R2; (3)r > R2 处各点的场强. 长度的电量为 λ 和-λ,求(1)r < R1; [解答 ]由于电荷 分布具 有轴对称性,所以电场分布也具有轴对称性. (1)在内圆柱面内做一 同轴圆柱形高斯面,由于高斯内没有电荷,所以 E = 0, < R1) (r . (2)在两个圆柱之间做 一长度为 l,半径为 r 的同轴圆柱形高斯面,高 斯面内包含的电荷为 q = λl, 穿过高斯面的电通量为

Φe =
根据高斯定理 Φe = q/ε0,所以

? E ? dS = ∫ ∫
S

S

E d S = E 2π rl ,

E=

λ , (R1 < r < R2). 2πε 0 r

(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内电荷的代数和为零,所以 E = 0, > R2) (r . 13.9 一厚度为 d 的均匀带电无限大平板,电荷体密度为 ρ,求板内外各点的场强. [解答]方法一:高斯定理法. (1)由于平板具有面对称性,因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:E = E`. 在 板 面,场强与 d 2r E S1 S0 S2 E` S2 E` S1 S0 E 内取一底面积为 S,高为 2r 的圆柱面作为高斯 上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通

过高斯面的电通量为

Φe = ∫ E ? dS
S

= ∫ E ? dS + ∫ E ? dS + ∫ E ? dS
S1 S2 S0

= ES + E`S + 0 = 2ES ,
高斯面内的体积为 V = 2rS, 包含的电量为 q =ρV = 2ρrS, 根据高斯定理 Φe = q/ε0, 可得场强为 E = ρr/ε0,(0≦r≦d/2).① (2)穿过平板作一底面积为 S,高为 Φe = 2ES, 高斯面在板内的体积为 V = Sd, 包含的电量为 q =ρV = ρSd, 根据高斯定理 Φe = q/ε0, 可得场强为 E = ρd/2ε0,(r≧d/2). ② 方法二:场强叠加法. (1) E1 y 下面平板产 向下.在下 r dy d E2 o 产生的场强 积分得
r

2r 的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为

由于平板的可视很多薄板叠而成的,以 r 为界, 生的场强方向向上,上面平板产生的场强方向 面板中取一薄层 dy,面电荷密度为 dσ = ρdy, 为 dE1 = dσ/2ε0,

E1 =

?d / 2



ρ dy ρ d = ( r + ) ,③ 2ε 0 2ε 0 2

同理,上面板产生的场强为
d /2

E2 =


r

ρ dy ρ d = ( ? r ) ,④ 2ε 0 2ε 0 2

r 处的总场强为 E = E1-E2 = ρr/ε0. (2)在公式③和④中,令 r = d/2,得 E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0, E 就是平板表面的场强. 平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果, 是均强电场, 方向与 平板垂直,大小等于平板表面的场强,也能得出②式. 13. 一半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ρ, 10 若在球内挖去一块半径为 R`<R 的小球体, 如图所 示,试求两球心 O 与 O`处的电场强度,并证明 小球空腔内的电 场为均强电场. R [解答]挖去 一块小球体, 相当于在该处填充一块电荷体密度 R` 为-ρ 的小球体, 因 此, 空间任何一点的场强是两个球体产生的场强 O a O` 的叠加. 对于一个半 径为 R,电荷体密度为 ρ 的球体来说,当场点 P 图 13.10

在球内时,过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程

E 4π r 2 =
P 点场强大小为

1 4 3 πr ρ ε0 3

E=

ρ r. 3ε 0

当场点 P 在球外时,过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程

E 4π r 2 =
P 点场强大小为

1 4 π R3 ρ ε0 3

E=

ρ R3 . 3ε 0 r 2

O 点在大球体中心、小球体之外.大球体在 O 点产生的场强为零,小球在 O 点产生的 场强大小为

EO =

ρ R `3 , 3ε 0 a 2

方向由 O 指向 O`. O`点在小球体中心、大球体之内.小球体在 O`点产生的场强为零,大球在 O 点产生的 场强大小为

EO ` =

ρ a, 3ε 0

方向也由 O 指向 O`. [证明]在小球内任一点 P,大球和小球产生的场强大小分别为

Er =

ρ r, 3ε 0 ρ r` , 3ε 0
O

Er ` =

Er θ P r E r` Er` a O`

方向如图所示. 设两场强之间的夹角为 θ,合场强的平方为

E 2 = E r2 + E r2` + 2 E r E r ` cos θ =(

ρ 2 2 ) ( r + r `2 +2 rr `cos θ ) , 3ε 0

根据余弦定理得

a 2 = r 2 + r `2 ? 2 rr `cos(π ? θ ) ,

所以

E=

ρ a, 3ε 0

可见:空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明:场强的方向沿着 O 到 O`的方向.因 此空腔内的电场为匀强电场. 13.11 如图所示,在 A、B 两点处放有电量分别为+q 和-q 的点电荷,AB 间距离为 2R, 现将另一正试验电荷 q 0 从 O 点经过半圆弧路径移到 C 点,求移动过程中电场力所做的功. [解答]正负 电荷在 O 点的电势的和为零: D UO = 0; A O B 在 C 点产生的电 势为 -q +q C 图 13.11 电场力将正电荷 q 0 从 O 移到 C 所做的功为 W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/6πε0R. 13.12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面 A 和 B.A 平面的电荷面密度为 2σ,B 平面的电荷面密度为 σ,两面间的距离为 d.当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时,电场力 做的功为多少? [解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2σ/2ε0 = σ/ε0,EB = σ/2ε0, 两平面在它们之间产生的场强方向相反,因此,总场强大小为 E = EA - EB = σ/2ε0, 方向由 A 平面指向 B 平面. 两平面间的电势差为 U = Ed = σd/2ε0, 当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时,电场力做的功为 W = qU = qσd/2ε0. 13.13 一半径为 R 的均匀带电球面,带电量为 Q.若规定该球面上电势值为零,则无 限远处的电势为多少? [解答]带电球面在外部产生的场强为

UC =

q 4πε 0 3 R

+

?q 4πε 0 R

=

?q 6πε 0 R



E=
由于

Q 4πε 0 r 2



U R ? U ∞ = ∫ E ? d l = ∫ Edr
R






R

=∫
R

Q 4πε 0 r 2

dr =

?Q 4πε 0 r



R

=

Q 4πε 0 R



当 UR = 0 时, U ∞ = ?

Q 4πε 0 R



13.14 电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内,试证明离球心 r(r<R)处的电势为

U =

Q (3 R 2 ? r 2 ) . 8πε 0 R 3

[证明]球的体积为 V = 电荷的体密度为

4 π R3 , 3

Q 3Q . = V 4π R 3 利用 13.10 题的方法可求球内外的电场强度大小为

ρ=

E=

ρ Q (r≦R) ; r= r, 3ε 0 4πε 0 R 3
Q 4πε 0 r 2
, (r≧R) .

E=

取无穷远处的电势为零,则 r 处的电势为

U = ∫ E ? dl = ∫ Edr + ∫ Edr
r
R



R



r

R


=∫
r

Q 4πε 0 R
Q
3

rdr + ∫
R
R

Q 4πε 0 r 2


dr

=

8πε 0 R 3
Q 8πε 0 R
3

r2
r

+

?Q 4πε 0 r

R

=

(R2 ? r 2 ) +

Q 4πε 0 R

Q (3 R 2 ? r 2 ) . = 8πε 0 R 3
13.15 在 y = -b 和 y = b 两个“无限大”平面间均匀充满电荷,电荷体密度为 ρ,其他 地方无电荷. (1)求此带电系统的电场分布,画 E-y 图; (2)以 y = 0 作为零电势面,求电势分布,画 E-y 图. [解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:E = E`,但方向相反.

(1)在 斯面,场强与 过高斯面的电 -b S2 E`

E` S2 S0 o S0

E S1 b y E

板内取一底面积为 S,高为 2y 的圆柱面作为高 上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通 通量为

Φ e = ∫ E ? dS
S

= ∫ E ? dS + ∫ E ? dS + ∫ E ? dS = 2 ES .
S1 S2 S0

高斯面内的体 积为 V = 2yS, S1 b b 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy, 根据高斯定理 Φe = q/ε0, 可得场强为 E = ρy/ε0, (-b≦y≦b). 穿过平板作一底面积为 S,高为 2y 的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为地 Φe = 2ES, 高斯面在板内的体积为 V = S2b, 包含的电量为 q = ρV = ρS2b, 根据高斯定理 Φe = q/ε0, (b≦y); 可得场强为 E = ρb/ε0, E = -ρb/ε0, (y≦-b ). E-y 图如左图所示. (2)对于平面之间的点,电势为

U = ? ∫ E ? dl = ? ∫

ρy dy ε0

=?

ρ y2 +C, 2ε 0 ρ y2 ,(-b≦y≦b). 2ε 0

在 y = 0 处 U = 0,所以 C = 0,因此电势为

U =?

这是一条开口向下的抛物线. 当 y≧b 时,电势为 nqb nqb U = ? ∫ E ? dl = ? ∫ dy = ? y+C,

ε0

ε0

在 y = b 处 U = -ρb /2ε0,所以 C = ρb2/2ε0,因此电势为

2

ρb ρb2 ,(b≦y). U =? y+ ε0 2ε 0
当 y≦-b 时,电势为 ρb ρb U = ? ∫ E ? dl = ∫ dy = y+C,

ε0

ε0

在 y = -b 处 U = -ρb /2ε0,所以 C = ρd2/2ε0,因此电势为

2

U =

ρb ρb2 , y+ ε0 2ε 0

两个公式综合得

U =?

ρb ρb2 ,(|y|≧d). | y|+ ε0 2ε 0

这是两条直线. U-y 图如右图所示.U-y 图的斜率就形成 E-y 图,在 y = ±b 点,电场强度是连续的,因 此,在 U-y 图中两条直线与抛物线在 y = ±b 点相切. E o -b b y U -b o b y

[注意]根据电场求电势时,如果无法确定零势点,可不加积分的上下限,但是要在积分 之后加一个积分常量.根据其他关系确定常量,就能求出电势,不过,线积分前面要加一个 负号,即

U = ? ∫ E ? dl
这是因为积分的起点位置是积分下限. 13.16 两块“无限大”平行带电板如图所示,A 板带正电,B 板带负电并接地(地的 电势为零) ,设 A 和 B 两板相隔 5.0cm,板上各带电荷 σ=3.3×10-6C·m-2,求: (1)在两板之间离 A 板 1.0cm 处 P 点的电势; A B (2)A 板的电势. [解答]两板之间的电场 强度为 P E=σ/ε0, 方向从 A 指向 B. 图 13.16 A B 以 B 板为原点建立 坐标系,则 rB = 0,rP = -0.04m,rA = -0.05m. o r (1) 点和 B 板间的 P 电势差为 P

U P ? U B = ∫ E ? dl = ∫ Edr
rP rP

rB

rB

=

σ (r ? r ) , ε0 B P

由于 UB = 0,所以 P 点的电势为

3.3 × 10 ?6 UP = × 0.04 =1.493×104(V). ?12 8.84 × 10
(2)同理可得 A 板的电势为

UA =

σ (rB ? rA ) =1.866×104(V). ε0

13.17 电量 q 均匀分布在长为 2L 的细直线上,试求: (1)带电直线延长线上离中点为 r 处的电势; (2)带电直线中垂线上离中点为 r 处的电势; (3)由电势梯度算出上述两点的场强. [解答]电荷的线密度为 λ = q/2L. (1)建 立坐标系,在细线上取一线元 dl,所带的电量 y 为 r dq = λdl, o l dl L P1 x -L 根据点电荷 的电势公式,它在 P1 点产生的电势为

dU 1 =
总电势为

1

λ dl

4πε 0 r ? l

λ U1 = 4πε 0

L

?L

∫ r ?l
L l =? L

dl

?λ = ln(r ? l ) 4πε 0
=
(2)建立 dq = λdl, 在线的垂直平 -L 积分得

q 8πε 0 L

ln

r+L . r?L
坐标系,在细线上取一线元 dl,所带的电量为

y P2 r θ o l dl L x 分线上的 P2 点产生的电势为

dU 2 =

λ dl , 2 4πε 0 (r + l 2 )1/ 2

U2 =

λ 4πε 0

L

?L

∫ (r

2

1 dl + l 2 )1/ 2
L

λ = ln( r 2 + l 2 + l ) 4πε 0
= q 8πε 0 L
q 4πε 0 L

l =? L

ln

r 2 + L2 + L r 2 + L2 ? L
r 2 + L2 + L . r

=

ln

(3)P1 点的场强大小为

E1 = ?

?U 1 ?r

=

1 1 ? ) 8πε 0 L r ? L r + L q ( 1 , 4πε 0 r ? L2
2

=

q



方向沿着 x 轴正向. P2 点的场强为

E2 = ?
= q

?U 2 ?r

1 r [ ? ] 2 2 4πε 0 L r r + L ( r 2 + L2 + L )

=

q
4πε 0 r
2

1

r + L2





方向沿着 y 轴正向. [讨论]习题 13.3 的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为

E1 =

2Lλ , 4πε 0 x 2 ? L2 1

由于 2Lλ = q,取 x = r,就得公式①. (2)习题 13.3 的解答还计算了中垂线上的场强为

Ey =

1

2 Lλ

4πε 0 d 2 d 22 + L2

取 d2 = r,可得公式②. 由此可见,电场强度可用场强叠加原理计算,也可以用电势的关系计算. 13.18 如图所 R2 的均匀带电球壳, (1)A,B 两点 (2)利用电势 [解答](1)A 点 此 A 点的电势就等 在半径为 r 的球 dV = 4πr2dr, 包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr, 在球心处产生的电势 示,一个均匀带电,内、外半径分别为 R1 和 所带电荷体密度为 ρ,试计算: 的电势; 梯度求 A,B 两点的场强. 在球壳的空腔内,空腔内的电势处处相等,因 于球心 O 点的电势. 壳处取一厚度为 dr 的薄壳,其体积为 R1 为

R2 B rB A O rA R1

图 13.18 R2 O r dr

dU O =

dq 4πε 0 r

=

ρ rd r , ε0

球心处的总电势为

ρ UO = ε0

R2

R1

∫ r d r = 2ε

ρ
0

( R22 ? R12 ) ,

这就是 A 点的电势 UA. 过 B 点作一球 共同产生的. 球面外的电荷 B 生的电势,根据上

面, 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷 B R2 O rB 在 B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产 面的推导可得

R1

U1 =

ρ 2 ( R2 ? rB2 ) . 2ε 0

球面内的电荷在 B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在 B 点产生的电势.球壳 在球面内的体积为

V =

4 π ( rB3 ? R13 ) , 3

包含的电量为 Q = ρV, 这些电荷集中在球心时在 B 点产生的电势为

U2 =

Q 4πε 0 rB

=

ρ ( rB3 ? R13 ) . 3ε 0 rB

B 点的电势为 UB = U1 + U2

=

R3 ρ (3 R22 ? rB2 ? 2 1 ) . 6ε 0 rB

(2)A 点的场强为

EA = ?

?U A = 0. ?rA

B 点的场强为

EB = ?

?U B R3 ρ = ( rB ? 1 ) . ?rB 3ε 0 rB2

[讨论] 过空腔中 A 点作一半径为 r 的同心球形高斯面,由于面内没有电荷,根据高斯 定理,可得空腔中 A 点场强为 E = 0, (r≦R1). 过球壳中 B 点作一半径为 r 的同心球形高斯面,面内球壳的体积为

4 V = π ( r 3 ? R13 ) , 3
包含的电量为 q = ρV, 根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0, 可得 B 点的场强为

E=

R3 ρ ( r ? 1 ) , (R1≦r≦R2). 3ε 0 r2

这两个结果与上面计算的结果相同. 在球壳外面作一半径为 r 的同心球形高斯面,面内球壳的体积为

4 3 V = π ( R2 ? R13 ) , 3
包含的电量为 q = ρV, 根据高斯定理得可得球壳外的场强为

E=

q 4πε 0 r 2


=

3 ρ ( R2 ? R13 ) ,(R2≦r). 3ε 0 r 2

A 点的电势为

U A = ∫ E ? dl = ∫ Ed r
rA rA



= ∫ 0dr +
rA

R1

R2

ρ R3 ( r ? 1 )dr ∫ 3ε 0 r 2 R
1

+∫
R2



3 ρ ( R2 ? R13 ) dr 3ε 0 r 2

=

ρ ( R22 ? R12 ) . 2ε 0
∞ ∞

B 点的电势为

U B = ∫ E ? dl = ∫ Edr
rB rB

∞ 3 ρ ( R2 ? R13 ) ρ R13 dr =∫ (r ? 2 )dr + ∫ 3ε 0 r 2 3ε 0 r R2 r
R2
B

=

R3 ρ (3 R22 ? rB2 ? 2 1 ) . 6ε 0 rB

A 和 B 点的电势与前面计算的结果相同. 13.19 一圆盘,半径为 R,均匀带电,面电荷密度为 σ,求: (1)圆盘轴线上任一点的电势(用该点与盘心的距离 x 来表示) ; (2)从电场强度的和电势梯度的关系,求该点的电场强度. (此题解答与书中 P38 页例 13.13 的解答相同,在此省略) 13.20 (1)设地球表面附近的场强约为 200V·m-1,方向指向地球中心,试求地球所 带有的总电量.

(2) 在离地面 1400m 高处, 场强降为 20V·m-1, 方向仍指向地球中心, 试计算在 1400m 下大气层里的平均电荷密度. [解答]地球的平均半径为 R =6.371×106m. (1)将地球当作导体,电荷分布在地球表面,由于场强方向指向地面,所以地球带负 量. 根据公式 E = -σ/ε0, 电荷面密度为 σ = -ε0E; 地球表面积为 S = 4πR2, 地球所带有的总电量为 Q = σS = -4πε0R2E = -R2E/k, k 是静电力常量,因此电量为

Q=?

(6.371× 10 6 ) 2 × 200 =-9.02×105(C). 9 9 × 10

(2)在离地面高为 h = 1400m 的球面内的电量为

Q `= ?

( R + h) 2 E ` =-0.9×105(C), k

大气层中的电荷为 q = Q - Q` = 8.12×105(C). 由于大气层的厚度远小于地球的半径,其体积约为 V = 4πR2h = 0.714×1018(m3), 平均电荷密度为 ρ = q/V = 1.137×10-12(C·m-3).


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