2019-2020学年高二数学 极限与导数 函数的单调性与极值教案 苏教版.doc

2019-2020 学年高二数学 极限与导数 函数的单调性与极值教案 苏教 版
教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 教学重点:利用导数判断函数单调性; 教学难点:利用导数判断函数单调性 教学过程: 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设 x1<x2 的前提下,比较 f(x1)<f(x2)与的大 小,在函数 y=f(x)比较复杂的情况下,比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来 判断函数的单调性就比较简单. 二 新课讲授 1 函数单调性 我们已经知道, 曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数 y ? x ? 4 x ? 3 的图像可以看到:在区间(2, ? ? )内,切线的斜率为正,函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而
2

增大,即 y / >0 时,函数 y=f(x) 在区间(2, ? ? )内为增函数;在区间( ? ? ,2)内,切 线的斜率为负, 函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而减小, 即 y/ 2)内为减函数.

? 0 时, 函数 y=f(x) 在区间 ( ? ?,

定义: 一般地, 设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 y / >0, 那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数; ,如果在这个区间内 y / <0,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减 函数。 例 1 确定函数 y ? x ? 2 x ? 4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
2

例 2 确定函数 y ? 2 x ? 6 x ? 7 的单调区间。
3 2

y

2 0 x

2 极大值与极小值 观察例 2 的图可以看出,函数在 X=0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说 f(0)是函数的一个极大值; 函数在 X=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小, 我们说 f(0) 是函数的一个极小值。

一般地,设函数 y=f(x)在 x ? x0 及其附近有定义,如果 f ( x0 ) 的值比 x0 附近所有各点的函数 值都大,我们说 f( x0 )是函数 y=f(x)的一个极大值;如果 f ( x0 ) 的值比 x0 附近所有各点的函 数值都小,我们说 f( x0 )是函数 y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意 以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如 下图所示, x1 是极大值点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) 。
y

f ( x4 ) f ( x1 )

o

a

X1

X2

X3

X4

b

x

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得 a 最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有

f ?( x) ? 0 。但反过来不一定。如函数 y ? x 3 ,在 x ? 0 处,曲线的切线是水平的,但这点的
函数值既不比它附近的点的函数值大, 也不比它附近的点的函数值小。 假设 x0 使 f ?( x0 ) ? 0 , 那么 x0 在什么情况下是的极值点呢?
y y

f ?( x0 )
f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 0

f ?( x0 )
x o x

o

a

X0

b

a

X0

b

如上左图所示,若 x0 是 f ( x) 的极大值点,则 x0 两侧附近点的函数值必须小于 f ( x0 ) 。因此,
a a

x0 的左侧附近 f ( x) 只能是增函数,即 f ?( x) ? 0 。 x0 的右侧附近 f ( x) 只能是减函数,即

f ?( x) ? 0 ,同理,如上右图所示,若 x0 是极小值点,则在 x0 的左侧附近 f ( x) 只能是减函数,
即 f ?( x) ? 0 ,在 x0 的右侧附近 f ( x) 只能是增函数,即 f ?( x) ? 0 ,从而我们得出结论:若 x0 满 足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并 且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值。 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” 例 3 求函数 y ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3

y

o

x

三 小结 1 求极值常按如下步骤: ① 确定函数的定义域; ② 求导数; ③ 求方程 y =0 的根,这些根也称为可能极值点; ④ 检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。(最好通过列表法) 四 巩固练习 1 确定下列函数的单调区间: (1) y ? 2x ? 5x ? 7
2 /

(2) y ? 3x ? x

3

2 求下列函数的极值 (1) y ? x ? 7 x ? 6
2

(2) y ? ?2 x ? 5x
2

(3) y ? x ? 27x
3

(4) y ? 3x ? x
2

3

五 课堂作业 1 确定下列函数的单调区间: (1) y ? ?4 x ? 2 (3) y ? ? x 2 ? 2 x ? 5 (2) y ? ( x ? 1) 2 (4) y ? x 3 ? x 2 ? x

2 求下列函数的极值 (1) y ? x 2 ? 4x ? 10 (2) y ? ?2x 2 ? 4x ? 7

(3) y ? x 3 ? 3x 2 ? 1

(4) y ? 6 ? 12x ? x 3

(5) y ? 4 x 3 ? 3x 2 ? 6 x

(6) y ? 2x 2 ? x 4


相关文档

2019-2020学年高二数学 极限与导数 函数的极限教案 苏教版.doc
2019-2020学年高二数学 极限与导数 函数的最大最小值教案 苏教版.doc
2019-2020学年高二数学 极限与导数 多项式函数的导数教案 苏教版.doc
2019-2020学年高二数学 极限与导数 函数极限的运算法则教案 苏教版.doc
2019-2020学年高二数学 极限与导数 导数的背景教案 苏教版.doc
2019-2020学年高二数学 极限与导数 导数的概念教案 苏教版.doc
2019-2020学年高二数学《导数与函数的单调性与极值》问题解决训练单.doc
2019-2020学年高二数学第一章 1.3.1《函数的单调性与导数》教案.doc
2019-2020学年高二数学 极限与导数 极限的概念教案 苏教版.doc
2019-2020学年高二数学 极限与导数 导数的概念习题课教案 苏教版.doc
电脑版