08-091试卷(A)参考答案(概率统计)

武汉工业学院 2008-2009 学年第 1 学期考试参考答案 -
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

课程名称 概率统计(A 卷) (
题 一 号 得 分 评 阅 人 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分,共 22 分) 1 满分 得分 22 分 6

二 1 2 3 4 5 6 7 8 1

三 2



总 分

学号:

1? p 12

2

0

3

28.8

4

χ 2 ( n)
Z=

5

1

姓名:

25

7

(x ?

σ
n

zα , x +
2

σ
n
1

zα )
2

8

X ? ?0

σ

n

9

2X

10

1

8

11

5

二、计算题(每小题 7 分,共 56 分) 1 解: P{ X ≤ 200} = P{

班级:

X ? 220 200 ? 220 ≤ } = Φ (?0.8) = 1 ? Φ (0.8) = 0.2118 25 25 200 ? 220 X ? 220 240 ? 220 < ≤ } 25 25 25 X ? 220 ≤ 0.8} = 2Φ (0.8) ? 1 = 0.5764 25 X ? 220 240 ? 220 ≤ } = 1 ? Φ(0.8) = 0.2118 (3 分) 25 25
(5 分) (7 分)

P{200 < X ≤ 240} = P{

= P{?0.8 <

考试课程:

P{ X > 240} = 1 ? P{ X ≤ 240} = 1 ? P{

由全概率公式α = 0.1 × 0.2118 + 0.001 × 0.5764 + 0.2 × 0.2118 = 0.0641 由贝叶斯公式 β =

0.001 × 0.5764 ≈ 0.009 0.0641
π
2

2 解:1)1 =

+∞

?∞

∫ f ( x)dx = ∫π A cos xdx = 2 A ? A = 2
? 2

1

(2 分)

1

2)

由 1)有

? ?x f ( x) = ? ?0 ?

? π ?0 x<? ? 2 π ?x | x |≤ π π 2 , F ( x) = ? 1 cos xdx = 1 (sin x + 1) 故 ? ≤x< ?∫ 2 2 2 ?? π 2 其它 2 ? ? π x≥ ?1 2 ?

(5 分)

3)

P{ 0 < x ≤

π
4

} = F ( ) ? F ( 0) =

π

4

1 π 1 2 (1 + sin ) ? = 2 4 2 4

(7 分)

3 解: y < 1, FY ( y ) = 0 ? f Y ( y ) = 0
y ?1 2 t2 2

y ?1 y ≥ 1, FY ( y ) = P{Y ≤ y} = P{2 X + 1 ≤ y} = P{? ≤X ≤ 2
2
1? y ? 1 e 4 y ≥1 dFY ( y ) ? 2 π ( y ? 1) ? 故 fY ( y) = =? dy ? y <1 ? 0 ?

y ?1 }= 2



1 2π

e

?

dt

y ?1 ? 2

(5 分)

(7 分)

4

?0 ? ? ?0.2 ? 解:由题意, F ( x) = ? ?0.5 ? ? ?1 ?

x <1 1≤ x < 2
, (2 分)

2≤ x<3 x≥3

则 E ( X ) = 1 × 0.2 + 2 × 0.3 + 3 × 0.5 = 2.3 , E ( X 2 ) = 1 × 0.2 + 4 × 0.3 + 9 × 0.5 = 5.9 , (5 分) 从而, D ( X ) = E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) = 5.9 ? 2.3 2 = 0.61 (7 分)

+∞

5 解: 由概率密度得性质 dx 1)
?∞

∫ ∫

+∞

?∞

f ( x, y )dy = 1 ,即 ∫ dx ∫ k x( x ? y )dy = 8k = 1 ? k =
0 ?x

2

x

1 (3 分) 8

2) 由 1)有

?1 ? x( x ? y ) 0 < x < 2,? x < y < x f ( x, y ) = ? 8 , ?0 其它情况 ?

2

因此

?x1 1 3 0≤ x≤2 +∞ ? ∫ x( x ? y )dy = x ? 4 f X ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ?? x 8 ?∞ ?0 其它 ? ?

(7 分)

6

?1 1 1 ? 4 × 4 = 16 | x |≤ 2, | y |≤ 2 解: f ( x, y ) = ? , ? 0 其它情况 ?
2

(2 分)

要方程有实数根, ? = X ? 4Y ≥ 0 ,即 X 则 P{ X
2

2

≥ 4Y ,
4

≥ 4Y } =

∫∫
X

f ( x, y )dxdy = ∫ dx
?2

2

x2

X 2 ≥ 4Y

?2



1 14 dy = 16 24
2 7/16 3 1/4 4 5/16 2 2/5 3 1/5 4 0

(7 分)

7 解:1)

p Y p
2)

0 1/4 1 3/16 2 1/4

1 5/16

Y =k p{Y = k | X = 1}

1 2/5

8 解:1) 设 ( x1 , x 2 ,? ? ?, x n ) 是来自样本 ( X 1 , X 2 ,? ? ?, X n ) 的观测值,
1 x ? n 1 ? θi 1 ? θ ∑ xi ?∏ e = e i =1 ? θn 则θ 得极大似然函数为 L (θ ) = ? i =1 θ ? ?0 ?
n

xi ≥ 0 (i = 1,2,? ? ?, n)

(2 分)

其它
1

当 xi ≥ 0 (i = 1,2,? ? ?, n) 时, L(θ ) > 0 ,于是有 ln L(θ ) = ? n ln θ ?
d ln L(θ ) n 1 =? + 2 θ θ dθ

θ

∑x
i =1

n

i



∑ xi = 0 , ? θ =
i =1


n



1 n ∑ xi = x n i =1
(5 分)

从而得θ 的极大似然估计量为 ? θ =
+∞ x

1 n ∑ Xi = X n i =1

2) E ( X ) =

∧ ∧ 1 ? ∫ x e θ dx = θ ,且 E (θ ) = E ( X ) = θ ,故θ 为θ 的无偏估计。 0

θ

(7 分)

3

三 应用题(每小题 8 分,共 16 分) 1 解:σ 未知,采用的统计量为 t =
2

x?? ~ t (n ? 1) s n ? t α (n ? 1), x +
2

从而 ? 的 95%的置信区间为 ( x ?

s n

s n

? t α (n ? 1))
2

代入数据得

s n

? t α (n ? 1) =
2

20 9

t 0.025 (8) ≈ 15.38 ,
(4 分)

故 ? 的 95%的置信区间为 (1500 ? 15.38,1500 + 15.38) = (1484.62,1515.38) 2) ? 未知,采用的统计量为 χ =
2

(n ? 1) S 2

σ

2

~ χ 2 (n ? 1) (n ? 1) S 2
2

从而σ 的 95%的置信区间为 (
2

(n ? 1) S 2
2

χ α 2 (n ? 1) χ 1?α 2 (n ? 1)
2

,

),
(8 分) (2 分)

代入数据 n = 9, S = 20, χ 0.025 (8) = 17.535, χ 0.975 (8) = 2.180 得(182.49,1467.89)
2

2 解:假设检验 其拒绝域为 χ =
2

H 0 : σ 2 = 5000 , H 1 : σ 2 ≠ 5000

(n ? 1) s 2

σ0
≤χ

2

≥ χ α (n ? 1) = χ 0.01 (25) = 44.314
2 2 2

或χ =
2

(n ? 1) s 2

2 1?

σ0
2

2

α
2

(n ? 1) = χ 0.99 (25) = 11.524
2

(5 分)



(n ? 1) s 2

σ0

=

25 × 9200 = 46 > 44.314 ,落在拒绝域中 5000
(8 分)

故认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化。 四 证明题(共 6 分) 证一:利用对称性,由于 X 与 Y 独立同分布,故有

P{ X ≤ Y } = P{Y ≤ X } (3 分) P{ X ≤ Y } + P{Y ≤ X } = 1 ,所以 P{ X ≤ Y } = ,且
证二:由于 X 与 Y 独立同分布,故 f ( x, y ) = f X ( x) f Y ( y ) , 分) (2 则
+∞

1 (6 分) 2

P{ X ≤ Y } =

x≤ y

∫∫

f ( x, y )dxdy =

+∞

?∞



f X ( x)dx ∫ f Y ( y )dy =
?∞

x

+∞

?∞



f X ( x) FY ( ( x)dx =

?∞

∫F

X

( x)dFX ( x)

=

FX ( x ) + ∞ 1 | ?∞ = . 2 2

(6 分)

4

5


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