理科2018年西城高三二模数学理科试题及答案

西城区高三模拟测试

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
符合题目要求的一项. 1.若集合 A ? {x | 0 ? x ? 1} , B ? { x | x2 ? 2 x ? 0},则下列结论中正确的是 (A) A
B??

2018.5

共 40 分)

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出

(B) A

B?R

(C) A ? B 2.若复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ,则 z ? (A)

(D) B ? A

1 i ? 2 2

1 i (B) ? ? 2 2

1 i (C) ? ? 2 2

(D)

1 i ? 2 2

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,1) 上单调递减的是 (A) y ?

1 x

(B) y ? x 2

(C) y ? 2| x|

(D) y ? cos x

4.某正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,该正四棱锥的 侧面积是 (A) 12 (B) 4 10 (C) 12 2 (D) 8 5 5.向量 a , b, c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 ? a ? b 与 c 共线,则实数 ? ? (A) ?2 (B) ?1 (C) 1 (D) 2

6.已知点 A(0,0) , B(2,0) .若椭圆 W : 则椭圆 W 的离心率是 (A)

x2 y 2 ? ? 1 上存在点 C ,使得△ ABC 为等边三角形, 2 m

1 2

(B)

2 2

(C)

6 3

(D)

3 2

第 1 页 共 11 页

7.函数 f ( x) ? 1 ? x2 ? a .则“ a ≥ 0 ”是“ ? x0 ?[?1,1] ,使 f ( x0 ) ≥ 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8.在直角坐标系 xOy 中,对于点 ( x, y ) ,定义变换 ? :将点 ( x, y )

? x ? tan a, π π 变换为点 (a, b) ,使得 ? 其中 a, b ? (? , ) .这样变 2 2 ? y ? tan b,
换 ? 就将坐标系 xOy 内的曲线变换为坐标系 aOb 内的曲线. 则四个函数 y1 ? 2 x ( x ? 0) , y2 ? x2 ( x ? 0) , y3 ? ex ( x ? 0) ,
y4 ? ln x ( x ? 1) 在坐标系 xOy 内的图象,变换为坐标系 aOb 内

的四条曲线(如图)依次是 (A)②,③,①,④ (C)②,③,④,① (B)③,②,④,① (D)③,②,①,④

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
? x ? 2 ? cos? , 9.已知圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,则圆 C 的面积为____;圆心 C 到直线 ? y ? sin ?
l : 3x ? 4 y ? 0 的距离为____.

1 10. ( x2 ? )4 的展开式中 x2 的系数是____. x π ,则 cos 2 B ? ____. 3

11.在△ ABC 中, a ? 3 , b ? 2 , ? A ?

12.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , S2 ? S3 ,则数列 {an } 的通项公式可以是____.

第 2 页 共 11 页

? x ≥ 1, ? 13.设不等式组 ? x ? y ≥ 3, 表示的平面区域为 D .若直线 ax ? y ? 0 上存在区域 D 上的点,则 ?2 x ? y ≤ 5 ?

实数 a 的取值范围是____.

14.地铁某换乘站设有编号为 A,B,C,D,E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全 出口,疏散 1000 名乘客所需的时间如下: 安全出口编号 疏散乘客时间(s) A,B 120 B,C 220 C,D 160 D,E 140 A,E 200

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? tan x) ? sin 2 x . (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若 ? ? (0, π) ,且 f (? ) ? 2 ,求 ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,梯形 ABCD 所在的平面与等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直, AB // CD // EF ,
AB ? AD . CD ? DA ? AF ? FE ? 2 , AB ? 4 .

(Ⅰ)求证: DF // 平面 BCE ; (Ⅱ)求二面角 C ? BF ? A 的余弦值; (Ⅲ)线段 CE 上是否存在点 G ,使得 AG ? 平面 BCF ? 请说明理由.

第 3 页 共 11 页

17. (本小题满分 13 分) 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种 职业病与某项身体指标(检测值为不超过 6 的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分 层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者, 记录他们该项身体指标的检测值, 整理得到如下统计图:

(Ⅰ)求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值; (Ⅱ)在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; (III)某研究机构提出,可以选取常数 X 0 ? n ? 0.5 (n ? N* ) ,若一名从业者该项身体指标检测值 大于 X 0 ,则判断其患有这种职业病;若检测值小于 X 0 ,则判断其未患有这种职业病.从 样本中随机选择一名从业者, 按照这种方式判断其是否患有职业病. 写出使得判断错误的 概率最小的 X 0 的值及相应的概率(只需写出结论) .

18. (本小题满分 14 分) 已知直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C : y 2 ? 4 x 相切于点 P . (Ⅰ)求直线 l 的方程及点 P 的坐标; (Ⅱ) 设 Q 在抛物线 C 上,A 为 PQ 的中点. 过 A 作 y 轴的垂线, 分别交抛物线 C 和直线 l 于 M ,

N .记△ PMN 的面积为 S1 ,△ QAM 的面积为 S2 ,证明: S1 ? S2 .

第 4 页 共 11 页

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? ax ,曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线经过点 (2, ?1) . x

(Ⅰ)求实数 a 的值;

1 (Ⅱ)设 b ? 1 ,求 f ( x) 在区间 [ , b] 上的最大值和最小值. b

20. (本小题满分 13 分) 数 列 An : a1 , a2 ,
, an (n ≥ 2) 的 各 项 均 为 整 数 , 满 足 : ai ≥ ?1 (i? 1 , 2 , n ,,)且

? 2 a1 ? 2n?1 ? a 2? 2n ?a 3 ? 2?n 3 ?

a1 ? 0 . ? an? ?1 ? 2 an ? ,其中 0

(Ⅰ)若 n ? 3 ,写出所有满足条件的数列 A3 ; (Ⅱ)求 a 1 的值; (Ⅲ)证明: a1 ? a2 ?
? an ? 0 .

第 5 页 共 11 页

西城区高三模拟测试

数学(理科)参考答案及评分标准
2018.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 5.D 2.A 6.C 3.D 7.A 4.B 8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. π ,

6 5

10. 6
1 13. [ ,3] 2

11.

1 3

12. ? n ? 2 (答案不唯一) 注:第 9 题第一空 3 分,第二空 2 分.

14.D

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分)

π 解: (Ⅰ)因为函数 y ? tan x 的定义域是 {x ? R | x ? k π ? , k ? Z}, 2 π 所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π ? , k ? Z}. 2 (Ⅱ) f ( x) ? (1 ? tan x) ? sin 2 x
? (1 ? sin x ) ? sin 2 x cos x

……………… 4 分

……………… 5 分 ……………… 6 分 ……………… 7 分 ……………… 8 分 ……………… 9 分 ………………10 分 ………………11 分 ………………13 分

? sin 2 x ? 2sin 2 x
? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4
π 2 由 f (? ) ? 2 ,得 sin(2? ? ) ? . 4 2

因为 0 ? ? ? π ,所以 ? ? 2? ? 所以 2? ?

π 4

π 7π ? , 4 4

π π π 3π ? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 π π 解得 ? ? ,或 ? ? (舍去) . 4 2

第 6 页 共 11 页

16. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 CD // EF ,且 CD ? EF , 所以 四边形 CDFE 为平行四边形, 所以 DF // CE . …… 2 分

因为 DF ? 平面 BCE ,…… 3 分 所以 DF // 平面 BCE .…… 4 分 (Ⅱ)在平面 ABEF 内,过 A 作 Az ? AB . 因为 平面 ABCD ? 平面 ABEF ,平面 ABCD I 平面 ABEF ? AB , 又 Az ? 平面 ABEF , Az ? AB , 所以 Az ? 平面 ABCD , 所以 AD ? AB , AD ? Az , Az ? AB . 如图建立空间直角坐标系 A ? xyz . ……………… 5 分

由题意得, A(0, 0, 0) , B(0, 4, 0) , C (2, 2,0) , E(0,3, 3) , F (0,1, 3) . 所以 BC ? (2, ?2,0) , BF ? (0, ?3, 3) . 设平面 BCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ?? ?n ? BC ? 0, 则 ? ? ?n ? ?? ? BF ? 0,

?? ?

?? ?

? ? 2 x ? 2 y ? 0, 即 ? ? ??3 y ? 3z ? 0.
……………… 7 分 ……………… 8 分

令 y ? 1 ,则 x ? 1 , z ? 3 ,所以 n ? (1,1, 3) . 平面 ABF 的一个法向量为 v ? (1,0,0) , 则 cos ? n, v ? ?
n?v 5 ? . | n || v | 5

5 . 5 (Ⅲ)线段 CE 上不存在点 G ,使得 AG ? 平面 BCF ,理由如下:

所以 二面角 C ? BF ? A 的余弦值

………………10 分 ………………11 分

解法一:设平面 ACE 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
? ? ?? ?m ? AC ? 0, 则 ? ? ?m ? ?? AE ? 0, ?

? ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0, 即 ? ? ?3 y1 ? 3z1 ? 0.
………………13 分

令 y1 ? 1 ,则 x1 ? ?1 , z1 ? ? 3 ,所以 m ? (?1,1, ? 3) .

第 7 页 共 11 页

因为 m ? n ? 0 , 所以 平面 ACE 与平面 BCF 不可能垂直, 从而线段 CE 上不存在点 G ,使得 AG ? 平面 BCF . ………………14 分

解法二:线段 CE 上不存在点 G ,使得 AG ? 平面 BCF ,理由如下: …………11 分 假设线段 CE 上存在点 G ,使得 AG ? 平面 BCF , 设 CG ? ? CE ,其中 ? ? [0, 1] . 设 G( x2 , y2 , z2 ) ,则有 ( x2 ? 2, y2 ? 2, z2 ) ? (?2?, ?, 3?) , 所以 x2 ? 2 ? 2? , y2 ? 2 ? ? , z2 ? 3? ,从而 G(2 ? 2?, 2 ? ?, 所以 AG ? (2 ? 2? , 2 ? ? , 3? ) . 因为 AG ? 平面 BCF ,所以 AG // n . 所以有
2 ? 2? 2 ? ? 3? ? ? , 1 1 3
?? ?
?? ? ?? ?

3? ) ,
………………13 分

因为 上述方程组无解,所以假设不成立. 所以 线段 CE 上不存在点 G ,使得 AG ? 平面 BCF . ………………14 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据分层抽样原则,容量为 100 的样本中,患病者的人数为 100 ?
a ? 1 ? 0.10 ? 0.35 ? 0.25 ? 0.15 ? 0.10 ? 0.05 , b ? 1 ? 0.10 ? 0.20 ? 0.30 ? 0.40 .

3.4 ? 40 人.… 2 分 8.5

……………… 4 分

(Ⅱ)指标检测数据为 4 的样本中, 有患病者 40 ? 0.20 ? 8 人,未患病者 60 ? 0.15 ? 9 人. 设事件 A 为“从中随机选择 2 人,其中有患病者” . 则 P (A) ?
2 C9 9 ? , 2 C17 34

……………… 6 分

……………… 8 分

所以 P(A) ? 1 ? P(A) ?

25 . 34

……………… 9 分 ………………11 分 ………………13 分

(Ⅲ)使得判断错误的概率最小的 X 0 ? 4.5 . 当 X 0 ? 4.5 时,判断错误的概率为

21 . 100

第 8 页 共 11 页

18. (本小题满分 14 分)

? ? y ? kx ? 1, 解: (Ⅰ)由 ? 2 ? ? y ? 4x

得 k 2 x2 ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 .



……………… 2 分

依题意,有 k ? 0 ,且 ? ? (2k ? 4)2 ? 4k 2 ? 0 . 解得 k ? 1 . 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 将 k ? 1 代入①,解得 x ? 1 , 所以点 P 的坐标为 (1, 2) . (Ⅱ)设 Q (m, n) , 则 n2 ? 4m ,所以 A( 依题意,将直线 y ? 得 M( ……………… 5 分 ……………… 3 分 ……………… 4 分

m ?1 n ? 2 , ). 2 2

……………… 7 分

n?2 分别代入抛物线 C 与直线 l , 2
……………… 8 分 ……… 10 分

(n ? 2) 2 n ? 2 n n?2 , ) , N( , ). 16 2 2 2

因为 | MN | ?

(n ? 2)2 n n2 ? 4n ? 4 4m ? 4n ? 4 m ? n ? 1 , ? ? ? ? 16 2 16 16 4 m ? 1 (n ? 2)2 (8m ? 8) ? (n2 ? 4n ? 4) ? ? 2 16 16
(8m ? 8) ? (4m ? 4n ? 4) m ? n ?1 ? , 16 4

| AM | ?
?

………………12 分 ………………13 分

所以 | AM | ? | MN | . 又 A 为 PQ 中点,所以 P,Q 两点到直线 AN 的距离相等, 所以 S1 ? S2 .

………………14 分

19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? 所以 f ?(1) ? 1 ? a . 依题意,有 即

1 ? ln x ? ax2 , x2

……………… 2 分

f (1) ? (?1) ?1?a , 1? 2
……………… 4 分 ……………… 5 分

? a ?1 ?1? a , 1? 2

解得 a ? 1 .

第 9 页 共 11 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ?

1 ? x2 ? ln x . x2 当 0 < x < 1 时, 1 ? x 2 ? 0 , ? ln x ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调递增;
当 x > 1 时, 1 ? x 2 ? 0 , ? ln x ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调递减. 所以 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. ……………… 8 分

1 ? 1 ? b , 所以 f ( x) 最大值为 f (1) ? ?1 . b 1 1 1 设 h(b) ? f (b) ? f ( ) ? (b ? )ln b ? b ? ,其中 b ? 1 . b b b 1 则 h?(b) ? (1 ? 2 )ln b ? 0 , b
因为 0 ? 故 h(b) 在区间 (1, ??) 上单调递增.

……………… 9 分 ………………10 分

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

1 所以 h(b) ? h(1) ? 0 , 即 f (b) ? f ( ) , b 1 1 故 f ( x) 最小值为 f ( ) ? ?b ln b ? . b b

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)满足条件的数列 A3 为: ?1, ?1, 6 ; ?1, 0, 4 ; ?1,1, 2 ; ?1, 2, 0 . (Ⅱ) a1 ? ?1 . 否则,假设 a1 ? ?1 ,因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ≥ 1 .又 a2 , a3 ,
a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ? a3 ? 2n?3 ?
≥2
n ?1

……………… 3 分 ……………… 4 分

, an ≥ ?1 ,因此有

? an?1 ? 2 ? an ? (?1) ? 2 ? (?1)

? (?1) ? 2n?2 ? (?1) ? 2n?3 ?

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ?3 ?

? 2 ?1 ? 1,

这与 a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ? a3 ? 2n?3 ? 所以 a1 ? ?1 . (Ⅲ)先证明如下结论: ?k ?{1, 2, 否则,令 a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ?

? an?1 ? 2 ? an ? 0 矛盾!

……………… 8 分
, n ? 1} ,必有 a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ?

? ak ? 2n?k ≤ 0 .

? ak ? 2n?k ? 0 , ? ak ? 2n?k ≥ 2n?k .

注意左式是 2 n ? k 的整数倍,因此 a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ? 所以有:

第 10 页 共 11 页

a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ? a3 ? 2n?3 ?
≥2
n?k

? an?1 ? 2 ? an ? (?1) ? 2 ? (?1)

? (?1) ? 2n?k ?1 ? (?1) ? 2n?k ?2 ?
? 2 ?1

? 2n ? k ? 2n ? k ?1 ? 2n ? k ? 2 ?

? 1,
这与 a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ? a3 ? 2n?3 ? 所以 a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ? 因此有:
a1 ? 0, a1 ? 2 ? a2 ≤ 0, a1 ? 4 ? a2 ? 2 ? a3 ≤ 0, a1 ? 2k ?1 ? a2 ? 2k ? 2 ? a1 ? 2n ? 2 ? a2 ? 2n ?3 ? ? ak ?1 ? 2 ? ak ≤ 0, ? an ? 2 ? 2 ? an ?1 ≤ 0.

? an?1 ? 2 ? an ? 0 矛盾!

? ak ? 2n?k ≤ 0 .

………………10 分

将上述 n ? 1 个不等式相加得 a1 ? (2n?1 ? 1) ? a2 ? (2n?2 ? 1) ? 又 a1 ? 2n?1 ? a2 ? 2n?2 ? a3 ? 2n?3 ? 两式相减即得 a1 ? a2 ?
? an?1 ? 2 ? an ? 0 ,

? an?1 ? (2 ? 1) ? 0 , ①

② ………………13 分

? an ? 0 .

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