山东省聊城市莘县一中2014-2015学年高一上学期11月月考数学试卷 Word版含解析

山东省聊城市莘县一中 2014-2015 学年高一上学期 11 月月考数 学试卷
一、选择题:每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.若全集 U={0,1,2,3}且?UA={2},则集合 A 的真子集共有() A.3 个 B. 5 个 C. 7 个 D.8 个 2.下列四组中,f(x)与 g(x)表示同一函数的是() A.f(x)=x,
2

B. f(x)=x,

C. f(x)=x ,

D.f(x)=|x|,g(x)=

3.已知 lg2=a,lg3=b,则用 a、b 表示 log125 的值为() A. B. C. D.

4.函数 y=x A.

﹣2

在区间上[ ,2]的最大值是() B.﹣1 C. 4 D.﹣4

5.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是() A.y=2x ﹣x+3
2

B.

C.

D.

6.设 a=log A.a<b<c

3,b=( ) ,c=2 B.c<b<a
x

0.2

,则() C.c<a<b D.b<a<c

7.[文]已知 f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,且 a≠1) ,若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x) 与 g(x)在同一坐标系内的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

8.函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为() A.[0, ] B. [ , ] C. [ , ] D.[ ,1]

9.已知 y=f (x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg f(x)的 表达式是() A.f(x)=﹣lg(1﹣x) B. D.f(x)=lg(1+x)

,那么当 x∈(﹣1,0)时,

f(x)=﹣lg(1+x)

C. f(x)=lg(1﹣x)

10.定义在[﹣1,1]的函数 f(x)满足下列两个条件: ①任意的 x∈[﹣1,1],都有 f(﹣x)+f(x)=0; ②任意的 m,n∈[0,1],当 m≠n,都有 则不等式 f(1﹣3x)≤f(x﹣1)的解集是() A. B. C. D. <0,

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.已知函数 f(x)= ,则 f(f(log3 ) )的值为.

12.已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象过点(1,2) ,设 f(x)的反函数为 g(x) , 则不等式 g(x)<3 的解集为. 13.若函数 y=﹣x +4x﹣3 的定义域为[0,t],值域为[﹣3,1],则 t 的取值范围是. 14. 已知当 x>0 时, 函数 ( f x) = (2a﹣1) ({a>0, 且 a≠ ) 的值总大于 1, 则函数 y= 的单调增区间是. 15.给出下列结论: ① =±2;
x 2

x

②y=x +1,x∈[﹣1,2],y 的值域是[2,5]; ③幂函数图象一定不过第四象限; ④函数 f(x)=a ﹣2(a>0,a≠1)的图象过定点(﹣1,﹣1) ; ⑤若 lna<1 成立,则 a 的取值范围是(﹣∞,e) . 其中正确的序号是.
x+1

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.求值: (1)

(2)log25



17.已知全集 U=R,函数 y=

的定义域为集合 A,B={x|﹣3≤x﹣1<2}.

(Ⅰ)求 A∩B, (?UA)∪(?UB) ; (Ⅱ)若集合 M={x|x≥k+1 或 x≤k﹣1},且 A∩B?M,求实数 k 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) (其中 a>0 且 a≠1) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的零点; (3)解不等式 f(x)>0. 19.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在 30 人或 30 人以下,每人需交 费用为 900 元;若旅行团人数多于 30 人,则给予优惠:每多 1 人,人均费用减少 10 元,直 到达到规定人数 75 人为止.旅行社需支付各种费用共计 15000 元. (1)写出每人需交费用 y 关于人数 x 的函数; (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 20.已知函数 f(x)= ﹣ .

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)在定义域上为增函数; (3)求 f(x)的值域.

山东省聊城市莘县一中 2014-2015 学年高一上学期 11 月 月考数学试卷

一、选择题:每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.若全集 U={0,1,2,3}且?UA={2},则集合 A 的真子集共有() A.3 个 B. 5 个 C. 7 个 D.8 个 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. n 分析: 利用集合中含 n 个元素,其真子集的个数为 2 ﹣1 个,求出集合的真子集的个数. 解答: 解:∵U={0,1,2,3}且 CUA={2}, ∴A={0,1,3} ∴集合 A 的真子集共有 2 ﹣1=7 故选 C 点评: 求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式:若一个集合含 n 个元素,其子集 n n 的个数为 2 ,真子集的个数为 2 ﹣1. 2.下列四组中,f(x)与 g(x)表示同一函数的是() A.f(x)=x,
2 3

B. f(x)=x,

C. f(x)=x ,

D.f(x)=|x|,g(x)=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的三要素:定义域、对应关系、值域进行判断,从而进行求解; 解答: 解:A、可知 g(x)= 故不是同一函数,故 A 错误; B、f(x)=x,x∈R,g(x)=( C、f(x)=x ,x∈R,g(x)= D、f(x)=|x|=
2

,f(x)=x,两个函数对应关系不一样,

) =x,x>0,定义域不一样,故 B 错误; ,x≠0,f(x)与 g(x)定义域不一样,故 C 错误; ,与 g(x)定义域,解析式一样,故 f(x)与 g(x)表

2

示同一函数,故 D 正确; 故选 D; 点评: 此题主要考查函数的三要素,判断一个函数为同一函数要看,定义域、对应法则和 值域,此题是一道基础题; 3.已知 lg2=a,lg3=b,则用 a、b 表示 log125 的值为() A. B. C. D.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由 lg2=a,lg3=b,所以 log125= 解答: 解:∵lg2=a,lg3=b, ∴log125= = = . = 由此能求出其结果.

故选 B. 点评: 本题考查对数的运算法则,对数的换底公式,解题时要认真审题,仔细解答,注意 对数运算性质的灵活运用.
﹣2

4.函数 y=x A.

在区间上[ ,2]的最大值是() B.﹣1 C. 4 D.﹣4

考点: 幂函数的性质;幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题. 分析: 先判断函数 y=x 大值. 解答: 解:∵函数 y=x ∴函数 y=x
﹣2 ﹣2 ﹣2

在区间上[ ,2]的单调性,再求函数 y=x

﹣2

在区间上[ ,2]的最

在第一象限是减函数, .

在区间[ ,2]上的最大值是 f( )=

故选 C. 点评: 本题考查函数的性质的应用,解题时要注意幂函数单调性的应用. 5.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是() A.y=2x ﹣x+3
2

B.

C.

D.

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题. 分析: 对于 A,y=2x ﹣x+3 的对称轴为 x= ,在区间(0,1)上有增区间也有减区间, 故 A 错; 对于 B, ,可以排除;
2

对于 D,

,与题意不符,可排除

对于 C,
2

,在[0,+∞)单调递增,故正确.于是答案确定.

解答: 解:∵y=2x ﹣x+3 的对称轴 x= , ∴在区间(0,1)上不是增函数,故 A 错; 又 ,故 D 错 ,故 B 错;

,在[0,+∞)单调递增,C 故正确. 故选 C. 点评: 本题考查基本初等函数的性质, 判断的关键是掌握各种函数的图象与性质, 属于容 易题.

6.设 a=log A.a<b<c

3,b=( ) ,c=2 B.c<b<a

0.2

,则() C.c<a<b D.b<a<c

考点: 对数值大小的比较;指数函数单调性的应用. 分析: 易知 a<0 0<b<1 c>1 故 a<b<c 解答: 解析: ∵由指、 对函数的性质可知: , ,

∴有 a<b<c 故选 A. 点评: 本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识. 7.[文]已知 f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,且 a≠1) ,若 f(3)?g(3)<0,那么 f(x) 与 g(x)在同一坐标系内的图象可能是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 专题: 作图题. 分析: 由指数函数和对数函数的单调性知,f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,且 a≠1)在 (0,+∞)上单调性相同, 再由关系式 f(3)?g(3)<0 即可选出答案. 解答: 解:由指数函数和对数函数的单调性知, f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,且 a≠1) , 在(0,+∞)上单调性相同,可排除 A、D, 再由关系式 f(3)?g(3)<0 可排除 B 故选 C.
x x

点评: 本题考查指数函数和对数函数的单调性,考查识图能力. 8.函数 f(x)=πx+log2x 的零点所在区间为() A.[0, ] B. [ , ] C. [ , ] D.[ ,1]

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 根据函数的零点存在性定理, 把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入 函数的解析式中, 得到函数值, 把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了, 得到结果. 解答: 解:∵f( )= ∴只有 f( )?f( )<0, ∴函数的零点在区间[ , ]上. 故选 C. 点评: 本题考查函数零点的存在性判定定理, 考查基本初等函数的函数值的求法, 是一个 基础题,这是一个新加内容,这种题目可以出现在 2015 届高考题目中. 9.已知 y=f (x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg f(x)的 表达式是() A.f(x)=﹣lg(1﹣x) B. D.f(x)=lg(1+x) ,那么当 x∈(﹣1,0)时, <0,f( )= <0,f( )= >0,f(1)=π,

f(x)=﹣lg(1+x)

C. f(x)=lg(1﹣x)

考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数为奇函数可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,设 x∈(﹣1,0) ,则﹣x∈(0,1) ,代入 (0, 1)上表达式可得 f(﹣x) ,然后利用奇函数的性质求出 f(x) 解答: 解:当 x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1) ∵f(﹣x)=lg =﹣lg(1+x) .

∵f(x)为奇函数,f(﹣x)=﹣f(x) ,即﹣f(x)=﹣lg(1+x) 当 x∈(﹣1,0)时,f(x)=lg(1+x) 故选 D. 点评: 本题主要考查利用函数奇偶性求函数的解析式, 在解决此类问题时, 紧扣奇偶函数 的定义,先设出所要求区间上的 x,然后利用变形得﹣x 在已知区间,从而可先求出 f(﹣x) 的解析式,然后利用函数的奇偶性质求 f(x) . 10.定义在[﹣1,1]的函数 f(x)满足下列两个条件: ①任意的 x∈[﹣1,1],都有 f(﹣x)+f(x)=0; ②任意的 m,n∈[0,1],当 m≠n,都有 则不等式 f(1﹣3x)≤f(x﹣1)的解集是() A. B. C. D. <0,

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知条件及奇函数在对称区间上的单调性可知函数 f(x)在[﹣1,1]上单调递

减,所以解不等式 f(1﹣3x)≤f(x﹣1)得

,所以解该不等式组即得原

不等式的解集. 解答: 解:由①知 f(x)是奇函数,由②知 f(x)在[0,1]上是减函数; ∴f(x)在[﹣1,1]上是减函数; ∴由不等式 f(1﹣3x)≤f(x﹣1)得:

,解得 0



∴不等式 f(1﹣3x)≤f(x﹣1)的解集为



故选 B. 点评: 考察奇函数、减函数的定义,以及奇函数在对称区间上的单调性,根据函数单调性 解不等式. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.

11.已知函数 f(x)=

,则 f(f(log3 ) )的值为 .

考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数由里及外逐步求解即可. 解答: 解:函数 f(x)= f(f(log3 ) )=f( )= 故答案为: . 点评: 本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 12.已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象过点(1,2) ,设 f(x)的反函数为 g(x) , 则不等式 g(x)<3 的解集为(0,8) . 考点: 指、对数不等式的解法;反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件求出 a,利用反函数的关系求解 g(x)解不等式即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象过点(1,2) , x ∴a=2,即 f(x)=2 , 则 f(x)的反函数为 g(x)=log2x, 由 g(x)<3 得 log2x<3, 解得 0<x<8, 故不等式的解集为(0,8) , 故答案为: (0,8) 点评: 本题主要考查不等式的求解,考查指数函数和对数函数互为反函数的性质. 13.若函数 y=﹣x +4x﹣3 的定义域为[0,t],值域为[﹣3,1],则 t 的取值范围是[2,4]. 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;集合. 分析: 由二次函数的性质求函数的值域,从而解得. 2 解答: 解:函数 y=﹣x +4x﹣3 图象的对称轴为 x=2,开口下向, 顶点坐标为(2,﹣3) ; 故由值域为[﹣3,1]知, 0≤t﹣2≤2; 故 2≤t≤4; 故答案为:[2,4]. 点评: 本题考查了二次函数的值域的求法应用,属于基础题.
2 x x

,则(f(log3 )= = .

= .

14. 已知当 x>0 时, 函数 ( f x) = (2a﹣1) ({a>0, 且 a≠ ) 的值总大于 1, 则函数 y= 的单调增区间是(﹣∞,1) (或(﹣∞,1]) . 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论. 解答: 解:当 x>0 时,函数 f(x)=(2a﹣1) ({a>0,且 a≠ )的值总大于 1, 即 2a﹣1>1,解得 a>1, 2 x 设 t=2x﹣x ,则函数 y=a 为增函数, 则要求函数 y=
2 x

x

的单调增区间,

即求 t=2x﹣x ,的增区间, 2 ∵函数 t=2x﹣x 的增区间为(﹣∞,1) , ∴函数 y= 的单调增区间是(﹣∞,1) ,

故答案为: (﹣∞,1) (或(﹣∞,1]) 点评: 本题主要考查单调区间的求解, 根据指数函数单调以及复合函数单调性之间的关系 是解决本题的关键. 15.给出下列结论: ①
2

=±2;

②y=x +1,x∈[﹣1,2],y 的值域是[2,5]; ③幂函数图象一定不过第四象限; x+1 ④函数 f(x)=a ﹣2(a>0,a≠1)的图象过定点(﹣1,﹣1) ; ⑤若 lna<1 成立,则 a 的取值范围是(﹣∞,e) . 其中正确的序号是③④. 考点: 幂函数图象及其与指数的关系;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①
2

=2;

②y=x +1,x∈[﹣1,2],函数 y(x)在[﹣1,0]内单调递减,在[0,2]内单调递增,即可得 出值域. ③利用幂函数的性质可得:幂函数图象一定不过第四象限; 0 x+1 ④由于当 x=﹣1 时,f(﹣1)=a ﹣2=﹣1,即可得出函数 f(x)=a ﹣2(a>0,a≠1)的 图象过定点; ⑤若 lna<1 成立,则 a 的取值范围是(0,e) . 解答: 解:①
2

=2,因此不正确;

②y=x +1,x∈[﹣1,2],y 的值域是[1,5],因此不正确; ③幂函数图象一定不过第四象限,正确;

④当 x=﹣1 时,f(﹣1)=a ﹣2=﹣1,∴函数 f(x)=a ﹣2(a>0,a≠1)的图象过定点 (﹣1,﹣1) ,正确; ⑤若 lna<1 成立,则 a 的取值范围是(0,e) ,因此不正确. 综上可得:只有③④正确. 故答案为:③④. 点评: 本题考查了根式的运算性质、 指数函数与对数函数幂函数的单调性, 考查了推理能 力,属于基础题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.求值: (1)

0

x+1

(2)log25



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)指数幂的运算性质,求解. (2)对数的运算性质,求解. 解答: 解: (1)

= = (2) ; = ;

所以(1)原式= , (2)原式= . 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,对数的运算性质,属于计算题,容易出错,做题要 仔细认真.

17.已知全集 U=R,函数 y=

的定义域为集合 A,B={x|﹣3≤x﹣1<2}.

(Ⅰ)求 A∩B, (?UA)∪(?UB) ; (Ⅱ)若集合 M={x|x≥k+1 或 x≤k﹣1},且 A∩B?M,求实数 k 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法. 专题: 集合.

分析: (Ⅰ)求出集合 A,B,利用集合的基本运算即可求 A∩B, (?UA)∪(?UB) ; (Ⅱ)根据集合关系,即可得到结论. 解答: 解: (I)要使函数 y= 有意义,则 ,即 ,即 x≥﹣4

且 x≠﹣2, 即 A={x|x≥﹣4 且 x≠﹣2}, B={x|﹣3≤x﹣1<2}={x|﹣2≤x<3}. ∴A∩B={x|﹣2<x<3}, (?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)={x|x≥3 或 x≤﹣2}; (II)由题意得,若 A∩B?M, 则 k﹣1≥3 或 k+1≤﹣2, 解得:k≥4 或 k≤﹣3.… 故 k 的取值范围是(﹣∞,﹣3]∪[4,+∞) . 点评: 本题主要考查函数定义域的求解以及集合的基本运算,比较基础. 18.已知函数 f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x) (其中 a>0 且 a≠1) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的零点; (3)解不等式 f(x)>0. 考点: 指、对数不等式的解法;函数的定义域及其求法;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数成立的条件即可求函数 f(x)的定义域; (2)根据函数零点的定义即可求函数 f(x)的零点; (3)根据对数不等式的解法即可解不等式 f(x)>0. 解答: 解: (1)要使函数有意义,则 .

解得:﹣1<x<1. 即 f(x)的为定义域(﹣1,1) . (2)令 f(x)=0 得,loga(1﹣x)﹣loga(1+x)=0, ∴1﹣x=1+x,解得 x=0. 故函数的零点为 0. (3)由 f(x)>0,得 loga(1+x)>loga(1﹣x) , ∴0<a<1 时,0<x+1<1﹣x,解得:﹣1<x<0, 当 a>1 时,x+1>1﹣x>0,解得:0<x<1, 即 0<a<1 时,f(x)>0 的解集为(﹣1,0)a>1 时,f(x)>0 的解集为(0,1) . 点评: 本题主要考查对数函数性质的综合考查,根据对数函数的单调性是解决本题的关 键.注意要对 a 进行分类讨论. 19.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在 30 人或 30 人以下,每人需交 费用为 900 元;若旅行团人数多于 30 人,则给予优惠:每多 1 人,人均费用减少 10 元,直 到达到规定人数 75 人为止.旅行社需支付各种费用共计 15000 元.

(1)写出每人需交费用 y 关于人数 x 的函数; (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据自变量 x 的取值范围,分 0<x≤30 或 30<x≤75 列出函数解析式即可; (2)利用(1)中的函数解析式,结合自变量的取值范围和配方法,分段求最值,即可得到 结论. 解答: 解: (1)当 0<x≤30 时,y=900; 当 30<x≤75,y=900﹣10(x﹣30)=1200﹣10x; 即 (2)设旅行社所获利润为 S 元,则 当 0<x≤30 时,S=900x﹣15000; 2 当 30<x≤75,S=x(1200﹣10x)﹣15000=﹣10x +1200x﹣15000; 即 因为当 0<x≤30 时,S=900x﹣15000 为增函数, 所以 x=30 时,Smax=12000; 2 2 当 30<x≤75 时,S=﹣10x +1200x﹣15000=﹣10(x﹣60) +21000, 即 x=60 时,Smax=21000>12000. 所以当旅行社人数为 60 时,旅行社可获得最大利润. 点评: 本题考查函数的应用问题, 以及函数解析式的确定, 考查运用配方法求二次函数的 最值,以及考查学生对实际问题分析解答能力,属于中档题. 20.已知函数 f(x)= ﹣ .

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)在定义域上为增函数; (3)求 f(x)的值域. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)先求定义域,再确定 f(﹣x)与 f(x)的关系即可; (2)利用定义法证明单调性; (2)观察法求函数的值域. 解答: 解: (1)函数的定义域为 R,关于原点对称;



∴f(x)为奇函数. (2)证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,

= 因为 y=2 在 R 上为增函数,且 x1<x2, 所以 又因为 ,即 , ,
x

所以 f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) . 所以函数 f(x)在定义域 R 上为增函数. (3)解:∵2 >0, x ∴2 +1>1, ∴ ∴ ∴ 即 f(x)的值域为 , , ; .
x

点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,属于基础题.


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