双曲线及其标准方程的说课稿

《双曲线的定义及其标准方程》说课教案
各位专家,各位老师: 大家好!很高兴能在这里和大家进行交流。 我说课的 题目是《双曲线的定义及其标准方程》 ,内容选自于人教 A 版《高中数学选修 1-1》的第二章第二课第一小节,课时安 排为两课时, 本课为第一课时。 下面我将从教材分析与处理、 教学方法与手段、教学过程与设计、教学设计想法说明四大 方面来阐述我的教学设想。 一、教材分析与处理 (一)教材的地位与作用 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的,双曲线的学 习是对其研究内容的进一步深化和提高。 如果双曲线研究的 透彻、清楚,那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节 课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究, 横向为 双曲线的简单性质的学习打下基础。 (二)学生状况分析 学生在学习本节课之前,已掌握了椭圆的定义和标准 方程,也曾经尝试过探究式的学习方式,所以说从知识和 学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基 础。另外,高二学生思维活跃,敢于表现自己,不喜欢被 动地接受别人现成的观点,但同时也缺乏发现问题和提出

问题的意识。 根据以上对教材和学生的分析, 考虑到学生已有的认知 规律,我希望学生能达到以下三个教学目标。 (三)教学目标 1、知识与技能:理解双曲线的定义并能独立推导标准方程; 2、过程与方法:通过定义及标准方程的挖掘与探究 , 使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用,提高 学生的观察与探究能力; 3、情感态度与价值观:通过教师指导下的学生交流探 索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生用联系的观点认识 问题。 (四)教学重点、难点 依据教学目标,根据学生的认知规律,确定本节课的重 点为理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点为双曲线 标准方程的推导。 (五)教材处理 我对教学内容作了一点调整: 教材中是借用细绳画出的双 曲线图形,而我改用几何画板画出双 曲线图形。因为相比之下,几何画板更为形象直观。通过几 何画板,学生不仅可看到双曲线形成的 过程,而且较易看出椭圆与双曲线的联系和区别。

二、教学方法与教学手段 (一)教学方法 著名数学家波利亚认为: “学习任何东西最好的途径是自己去 发现。 ”双曲线的定义和标准方程 与椭圆很类似,学生已经有了一些学习椭圆的经验,所以本节课我 采用了“启发探究”式的教学方 式,重点突出以下两点: 1、以类比思维作为教学的主线 2、以自主探究作为学生的学习方式 (二)教学手段 采用多媒体辅助教学,体现在用几何画板画双曲线。 但不是单纯用动画给学生看, 而是通过动画启发引导学生进 行思考,调动学生学习的积极性。 三、教学过程与设计 为达到本节课的教学目标,更好地突出重点,分散难点,我将 教学过程分为四个阶段。 (一) 知识引入---- 知识回顾、观察动画、概括定义 在课的开始我设置了这样几个问题,以帮助学生进行知识回 顾: 1、椭圆的第一定义是什么?定义中哪些字非常关键? 2、椭圆的标准方程是什么?

3、如何判断焦点位置?a、b、c 是何种关系? 通过回顾,既检测了学生对前面知识的掌握情况,同时又为 下面双曲线的学习做好铺垫。之后, 告诉学生:今天要学习一种新的曲线。打开几何画板,首先通过动 画让学生再一次回顾椭圆的生成过 程,然后改变图中的条件,将 F1 , F2 距离变大,动画生成一种新的曲 线,学生易看出该曲线为双曲线。 双曲线的定义其实就是动点所满足的关系, 那么双曲线的定义是什 么?也就是动点所满足的关系是什 么?这个问题可让学生进行探究。 解决这个问题有两个难点:一是距离的运算关系的得出;二是 运算关系的简化。在探究中,学生 类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值, 会认为这个定值必 是正值,而会忽视距离差为负值的 情况,其实这只能得到双曲线的一支。对于这种情况,我会采取启 发引导,把 P 从一支移到另一支, 然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下,学生会 想到动点到两定点的距离差为正值 或正值的相反数。 但这个关系能不能加以简化?学生这个时候会联 想到可利用绝对值进行简化。这样 就得到了动点所满足的较为精炼的关系, 也就是得到了双曲线的定 义。

这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程, 在此基础上,再通过教师的引导, 学生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识, 最 终得到双曲线定义,从而培养了学 生的观察能力及概括能力。另外,这一设计也在形的方面实现了椭 圆与双曲线的比较,也为下面双曲 线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。 随着双曲线定义的得出,教学进入第二阶段 ---知识探 索 (二) 知识探索---- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对 比 1、定义的挖掘 在这一环节中, 我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与 常数的大小关系二者对曲线的影响。 首先,我设置了这样两个问题: (1)类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字; (2)若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化? 然后让学生带着问题进行合作探究,教师可适当引导, 对于学生难以理解的地方适时给予帮助指导。 虽然学生学习椭圆定义时也接触过类似问题, 但双曲线 较为复杂,比如 :增加了“绝对值”等等。学生要独立完

成会较为困难,所以采取合作探究。这个过程既可以加深学 生对定义的理解, 又让可学生在相互交流中互相启发、 激励、 共同进步提高,从而培养学生的表达能力和协作能力。 在得出结论后,我又为学生提供了以下题目: 请说出下列方程对应曲线的名称
(1) F1 (?5,0), F2 (5,0), | | PF1 | ? | PF2 | |? 6 (2) F1 (?5,0), F2 (5,0), | PF1 | ? | PF2 |? 6

(3 ) | (4 ) (5 ) (6)

( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 6

( x ? 4) 2 ? y 2 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 6 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 25 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 8

这些题目由浅入深,前面两题学生可由双曲线定义直接 认识到动点的几何含义,后四题需根据两点间距离公式及椭 圆双曲线定义间接认识到动点的几何含义。这样设置有了过 渡,学生不会觉得跨度很大,处理起来比较顺手。通过这些 题的练习可以加深学生对定义的理解,更重要的这些题目就 是学生对自己研究结果的应用。让学生体验到应用自己探究 果实的喜悦,对学生来说是一种激励,一举两得。 2、 标准方程的推导 这一环节是本节课的难点,为了突破它,我设置了这样几个问 题让其贯穿推导过程以将难点分 解:

(1)回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法; (2)类比椭圆试着推导双曲线的标准方程; (3)换元处理与椭圆有没有区别? (4)猜证双曲线焦点在 y 轴上的标准方程。 然后让学生独立完成推导过程。这样设置的目的是考虑 到由定义求方程,其实就是求轨迹方程的问题,并且双曲线 的标准方程推导过程与椭圆十分类似, 学生有能力独立完成。 但在化简根式时由于运算量较大,学生可能会出现一些运算 错误。另外,变形时绝大多数学生会想到先移项再平方,少 部分学生会直接平方。若直接平方,就会出现 4 次方,较为 复杂。如果在实际教学中,有学生提出这种做法,我会让让 大家参与分析讨论,看看哪种做法更为简便。以让学生认识 到今后在变形时要考虑清楚不要盲目去做。整个这个推导过 程,不仅提高了学生的变形能力、运算能力,而且也提高学 生的分析问题和解决问题的能力。 3、方程的对比 此时,学生接触的方程已比较多,很容易混淆,有必要加以对 比。 我引导学生进行以下两组对比: (1)双曲线方程的两种形式的对比; (2)椭圆方程与双曲线方程的对比。 对比时会让学生注意方程结构的区别和联系,比如说:

到底是平方差还是平方和。另外,还要注意椭圆方程和双曲 线方程都涉及到的三个量 a、b、c 它们的区别和联系。对比 后,学生可初步的分清四个标准方程及知道如何判断 a、b 、 c。之后,我又准备了这样一组题,以检测学生对四个方程的 掌握程度。 请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及 a、 b 、 c 的值:
(1) x 2 y2 x 2 y2 y2 x 2 x 2 y2 ? ? 1 (2) ? ? 1 (3) ? ? 1 (4) ? ? ?1 9 4 9 4 9 4 9 4

(三)知识应用----例题与巩固练习 1、例题: 首先,我为学生准备了两道例题,例题可由学生讲解,教师指 导补充。 例 1、 已知双曲线焦点的坐标为
F1 (?5,0), F2 (5,0) , 双曲线上

一点 P 到 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 6,求双曲线的标准 方程。 这道题学生可直接利用定义求标准方程,也可以按求轨 迹方程的方法求标准方程,学生不会出现太大问题。但是要 向学生指明,如果某种轨迹适合某种曲线的定义,就不必再 用列方程求解,只要利用定义求出常规待定函数即可。 例 2、已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点
P1 , P2 的坐标为(3,-4 2 ) , ( 9 ,5) 4

,求双曲线的标准方程。

这道题可采用待定系数法求标准方程。本题中双曲线焦

点在 y 轴上,学生在求解过程中很可能会忽视这个条件,易 将方程设成焦点在 x 轴的。教师可及时加以强调,让学生注 意审题,以培养学生紧密的思维和严谨的学习态度。设置两 道题是考虑到他们都来源于教材,而且紧紧围绕双曲线的定 义和标准方程,题目典型也有梯度,可使学生初步掌握定义 及标准方程的应用。 2、巩固练习 练习是学习活动中不可缺少的环节,通过练习可巩固对 知识的理解,在这一环节我为学生准备了三道练习题。 (1)已知双曲线的实轴长为 6,焦距为 10,则该双曲线的标准 方程为( A、 C、 x )
x2 y2 ? ?1 9 16
2

B、 D、

x2 y2 ? ?1 16 9

9

?

y2 x2 y2 ? 1或 ? ?1 16 16 9

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 9 9 16

第(1)题是求焦点不确定的双曲线标准方程,学生易忽 视焦点在 y 轴的情况,通过此题的练习可以提醒学生考虑问 题要全面。 (2) 已知方程
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m ? 2 m ?1

m 取值范围。

第(2)题限制条件为 m+2 和 m+1 同号,即二者乘积大 于 0,学生易认为二者均大于 0,而忽视了均小于 0 的情况, 因此会丢解,所以通过这道题的练习会提醒学生考虑问题要 认真、全面,同时又可加深学生对定义及标准方程的理解。

(3)相距 2km 的两个哨所 A,B 都听到远处传来的炮弹爆 炸声,已知当时的声速为 330m\s,在 A 哨所听到爆炸声的时 间比在 B 处迟 4s。试判断爆炸点在什么上,并求出曲线的方 程。 第(3)题是从生活中提炼出的数学问题,可以加强学生 的应用能力及应用意识,以让学生感悟到数学是源于生活, 服务于生活的辨证唯物主义观点。 (四)知识小结----知识总结与布置作业 1、知识总结: (1)双曲线的定义 (2)标准方程 (与椭圆的区别) (两种形式)

(3)焦点位置的判断 (与椭圆的区别) (4)a 、b、 c 的关系(与椭圆的区别) (片) 在课的尾声,我让学生对本节课进行了总结。目的是帮 助他们认清这节课的知识结构, 培养他们的归纳总结能力。 2、作业: (1) 用表格形式整理双曲线与椭圆的区别和联系 (2 ) (3 ) 142 页第 1、2 题 (选做) M 是双曲线 x
2

4

?

y2 ? 1 上一点,F1 , F2 是双曲 9

线的焦点,

?F1MF2 ? 900 ,求 ?F1MF2 的面积。若使双曲线的方

程和角度任意变化,你能得出一般性的结论? 教学内涵是不局限于课堂的,为了帮助学生课下能够继

续探索和研究,我设置了几组不同层次的作业,以帮助学生 巩固对定义和标准方程的理解,同时可全面照顾到不同层次 的学生,激发他们的能动性。 板书设计 双曲线的定义及其标准方程 一、 双曲线的定义 定义的挖掘 二、 双曲线的标准方程 1、 2、 推导: 对比: 例2 三 例 1:

这样的板书设计目的是为了突出这节课的主要内容和 重点,帮助学生理清思绪,起到提纲挈领的作用。 四、教学设计的想法说明: 我在教学过程设计方面注重了三点: (一)教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动 机,培养学生的学习兴趣上,这是唤醒学生主体认识的关键。 (二) 教学过程的重点放在了培养学生的创新精神和实践 能力上,而把握重点的关键是如何选择好创新精神、实践能 力与课堂教学的结合点,这个结合点从学科来说,就是以科 学知识为载体,培养学生的创新思维方法;从教师来说就是 “思路、教路、学路”三者有机结合的教学过程设计,及其

在课堂中的艺术展现;从学生来说,就是亲历、体验、探究、 思考和创造性的解决问题的过程,从而在过程中获得逐步发 展。 (三)教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基 本技能上,基础知识的教学注重了层次性、针对性。 我在教学理念方面注重了四点: 第一是能动性: 师生互动、 生生互动, 学生主动参与研究过程。 第二是开放性:教学过程中关注每个学生的个性发展, 尊重每个学生发展的特殊需要,学生的思维开放。 第三是生成性:在教学过程中,学生的认识和体验不断 加深,创造性的火花不断进发,学生的思维资源被开发出来, 充分利用。 第四是注重了学生学习方式的转变:既注重了研究性学 习,又注重了接受性学习,教师不把结论告诉学生,而是学 生自己在教师指导下自主地发现问题、探究问题获得结论, 从而解决问题。 2011 年 11 月 1 日


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