2012年广州市一模理科数学试题及答案(word版)
试卷类型：A
2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
参考公式：锥体的体积公式 V ? 方差 s ?
2
1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3
2 2 2 1? x ? x ? ? ? xn x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? ，其中 x ? 1 2 . ? ? ? n? n
?
? ?
?
?
?
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? （其中 a, b ? R ， i 是虚数单位） ，则 a ? b 的值为 A． ? 2 B． ? 1 C．0 D ．2
2．已知全集 U ? R ，函数 y ? 集合 ? UA ?B ? A． ? ?2, ?1?
1 的定义域为集合 A ，函数 y ? log2 ? x ? 2? 的定义域为集合 B ，则 x ?1
?
?
B． ? ?2, ?1?
C． ? ??, ?2?
D． ? ?1, ?? ?
3．如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A．3
? ?
? ?? ? ?? ? 0? 的相邻两个零点之间的距离为 12 ，则 ? 的值为 6?
C．12
2 2 2
B．6
D．24
2
4．已知点 P ? a，b ? （ ab ? 0 ）是圆 O ： x ? y ? r 内一点，直线 l 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ，那么直 线 l 与圆 O 的位置关系是 A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
5．已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ，对于任意正数 a ， x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的 A．充分非必要条件 C．充要条件 B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
6． 已知两个非零向量 a 与 b ， 定义 a ? b ? a b sin ? ， 其中 ? 为 a 与 b 的夹角． 若 a = ? ?3, 4? ， b = ? 0,2? ， 则 a ? b 的值为 A． ? 8 B． ? 6 C．8 D ．6
? 7．在△ ABC 中， ?ABC ? 60 ， AB ? 2 ， BC ? 6 ，在 BC 上任取一点 D ，使△ ABD 为钝角三角形的
概率为 A．
1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
数学（理科）试题 A
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8．从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的 坐标 ? x, y, z ? ，若 x ? y ? z 是 3 的倍数，则满足条件的点的个数为 A．252 B．216 C．72 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（9～13 题） 2 9．如图 1 是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ． D．42 2 2 ． 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 2
10．已知 2≤
? ? kx ? 1?dx≤4 ，则实数 k 的取值范围为
1
2
11．已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2
?
?
m2 ? 6
在区间 ? 0, ??? 上单调递增，
则实数 m 的值为
．
2
12．已知集合 A ? x 1≤x≤2 ， B ? x x ? a ≤1 ，若 A I B ? A ，
?
?
?
?
2
图1 俯视图 则实数 a 的取值范围为 ． 13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ，第2个五角形数记作 a2 ? 5 ，第3个五角形数记作 第4个五角形数记作 a4 ? 22 ， ……， 若按此规律继续下去， 则 a5 ? a3 ? 12 ， ， 若 an ? 145 ， 则n ? ．
1
5
12
22
图2 B C A O P D
（二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题） 14． （几何证明选讲选做题）如图3，圆 O 的半径为 5 cm ，点 P 是弦 AB 的中点，
OP ? 3 cm ，弦 CD 过点 P ，且
CP 1 ? ，则 CD 的长为 CD 3
cm ．
15． （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l ： ?
? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, （ s 为参数）和 C ： ? （ t 为参数） ， 2 ? y ? 1? s ?y ? t
．
图3
若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，则 AB ?
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分12分） 已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?
? ?
?? ?． 4?
（1）求 f ?
??? ? 3? ? （2）设 ? ? ? ?, ? 的值； ? ，若 ?9? ? 2 ?
数学（理科）试题 A
?? ?? ?? ? f ? ? ? ? 2 ，求 cos ? ? ? ? 的值． 4? ? 3 4? ?
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17． （本小题满分12分） 如图 4 所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组 4 人）在期末考试中 甲组 乙组 的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 a 表示． 9 7 8 7 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同． （1）求 a 的值； 6 6 9 a 3 （2）求乙组四名同学数学成绩的方差； 图4 （3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学 成绩之差的绝对值为 X ，求随机变量 X 的分布列和均值（数学期望） ． 18． （本小题满分14分）
5
如图 5 所示， 在三棱锥 P ? ABC 中， AB ? BC ? 6 ，平面 PAC ? 平面 ABC ，PD ? AC 于点 D ，
AD ? 1 ， CD ? 3 ， PD ? 3 ．
（1）证明△ PBC 为直角三角形； （2）求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值．
P
A
D B
图5
C
19． （本小题满分 14 分） 等比数列 ?an ? 的各项均为正数， 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列，且 a3 ? 2a2 2 ． （1）求数列 ?an ? 的通项公式； （2）设 bn ?
2n ? 5 a ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ． ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n
20． （本小题满分14分） 已知椭圆 x ?
2
y2 ? 1的左，右两个顶点分别为 A 、 B ．曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点，离心率为 5 4
的双曲线．设点 P 在第一象限且在曲线 C 上，直线 AP 与椭圆相交于另一点 T ． （1）求曲线 C 的方程； （2）设 P 、 T 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ，证明： x1 ? x2 ? 1； （3）设 ?TAB 与 ?POB （其中 O 为坐标原点）的面积分别为 S1 与 S2 ，且 PAgPB≤15 ，求 S12 ? S22 的取值范围．
uu r uur
数学（理科）试题 A
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21． （本小题满分14分）
x 2 x3 xn ? ? L ? （ n ? N* ） 设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数)， g n ( x) ? 1 ? x ? ． 2! 3! n!
x
（1）证明： f ( x ) ≥g1 ( x) ； （2）当 x ? 0 时，比较 f ( x ) 与 gn ( x) 的大小，并说明理由；
?2? ?2? ?2? ? 2 ? * （3）证明： 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ． ? ≤gn ?1? ? e （ n ? N ） 2 3 4 n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?
1
2
3
n
2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A
二、 填空题： 本大题查基本知识和基本运算， 体现选择性． 共 7 小题， 每小题 5 分， 满分 30 分． 其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题．第 13 题仅填对 1 个，则给 3 分． 9．
4 3 3
10． ? , 2 ? 3
?2 ?
? ?
11．3
12． ?1, 2?
13．35，10
14． 6 2
15． 2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分12分） （本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归 与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解： f ?
?? ?? ??? ? ? tan ? ? ? ……………………………………………………………………………1 分 ?3 4? ?9?
? ? ? tan 3 4 …………………………………………………………………………3 分 ? ? ? 1 ? tan tan 3 4 tan
?
3 ?1 ? ?2 ? 3 ．………………………………………………………………………4 分 1? 3
（2）解：因为 f ?
3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ………………………………………………………………5 分 4 4? ? 3 4? ?
? tan ?? ? ?? ……………………………………………………………………6 分
? tan ? ? 2 ．……………………………………………………………………7 分
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所以
sin ? ? 2 ，即 sin ? ? 2 cos ? ． cos ?
2 2
① ②
因为 sin ? ? cos ? ? 1 ， 由①、②解得 cos ? ?
2
1 ．………………………………………………………………………………9 分 5
因为 ? ? ? ?,
? ?
5 2 5 3? ? ， sin ? ? ? ．…………………………………………10 分 ? ，所以 cos ? ? ? 5 5 2 ?
? ? ?? ? ? cos ? cos 4 ? sin ? sin 4 ………………………………………………………11 分 4?
所以 cos ? ? ?
? ?
??
5 2 ? 2 5? 2 3 10 ? ?? ? ? ? ? ．……………………………………12 分 ? 5 2 ? 5 ? 10 ? ? 2
17． （本小题满分12分） （本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思 想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得
1 1 ? (87 ? 89 ? 96 ? 96) ? ? (87 ? 90 ? a ? 93 ? 95) ，……………………………1 分 4 4
解得 a ? 3 .…………………………………………………………………………………………………2 分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 x ? 92 .……………………………3 分 所以乙组四名同学数学成绩的方差为 s ?
2
1? 2 2 2 2 87 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 95 ? 92 ? ? ? 9 . ? ? 4?
……………………………5 分 （3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有 4 ? 4 ? 16 种可能的结果．……………6 分 这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有情况如下表：
X 乙 甲
87 0 6 6 8
89 2 4 4 6
96 9 3 3 1
96 9 3 3 1
87 93 93 95 由表可得 P( X ? 0) ?
所以 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8 分
1 2 1 4 ， P ( X ? 1) ? ， P( X ? 2) ? ， P ( X ? 3) ? ， 16 16 16 16 2 3 1 2 P( X ? 4) ? ， P( X ? 6) ? ， P ( X ? 8) ? ， P( X ? 9) ? . 16 16 16 16 所以随机变量 X 的分布列为：
X
0 1 2 3 4 6 8 9
P
随机变量 X 的数学期望为
1 16
2 16
1 16
4 16
2 16
3 16
1 16
2 16
……………………10 分
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EX ? 0 ?
1 2 1 4 2 3 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ?8 ? ? 9 ? …………………………11 分 16 16 16 16 16 16 16 16 68 17 ? ? .…………………………………………………………………………………………12 分 16 4
18． （本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归 与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） PD ? AC ， （1） 证明 1： 因为平面 PAC ? 平面 ABC ， 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC ， PD ? 平面 PAC ， 所以 PD ? 平面 ABC ．…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ，在△ ABC 中， AB ? BC ，所以 BE ? AC ． 因为 AB ? BC ? 6 ， AC ? 4 ，所以 BE ?
BC 2 ? CE 2 ?
? 6?
2
? 22 ? 2 ．………………3 分
P
因为 PD ? AC ，所以△ PCD 为直角三角形． 因为 PD ? 3 ， CD ? 3 ， 所以 PC ?
PD 2 ? CD 2 ?
? 3? ? 2?
2
? 32 ? 2 3 ．………4 分
A E D B
连接 BD ，在 Rt △ BDE 中，因为 BE ? 2 ， DE ? 1 ， 所以 BD ?
C
BE 2 ? DE 2 ?
2
? 12 ? 3 ．…………5 分
因为 PD ? 平面 ABC ， BD ? 平面 ABC ，所以 PD ? BD ． 在 Rt △ PBD 中，因为 PD ? 3 ， BD ? 3 ， 所以 PB ?
PD 2 ? BD 2 ?
? 3? ? ? 3?
2
2
? 6 ．…………………………………………………6 分
在 ?PBC 中，因为 BC ? 6 ， PB ? 所以 BC ? PB ? PC ．
2 2 2
6 ， PC ? 2 3 ，
所以 ?PBC 为直角三角形．………………………………………………………………………………7 分 PD ? AC ， 证明 2： 因为平面 PAC ? 平面 ABC ， 平面 PAC I 平面 ABC ? AC ， PD ? 平面 PAC ， 所以 PD ? 平面 ABC ．…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ，在△ ABC 中，因为 AB ? BC ，所以 BE ? AC ． 因为 AB ? BC ? 6 ， AC ? 4 ，所以 BE ?
BC 2 ? CE 2 ?
? 6?
2
? 22 ? 2 ．………………3 分
o 连接 BD ，在 Rt △ BDE 中，因为 ?BED ? 90 ， BE ? 2 ， DE ? 1 ，
所以 BD ?
BE 2 ? DE 2 ?
? 2?
2
? 12 ? 3 ．………………………………………………………4分
在△ BCD 中，因为 CD ? 3 ， BC ? 6 ， BD ? 3 ，
2 2 2 所以 BC ? BD ? CD ，所以 BC ? BD ．……………………………………………………………5分
因为 PD ? 平面 ABC ， BC ? 平面 ABC ， 所以 BC ? PD ．…………………………………………………………………………………………6分
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因为 BD ? PD ? D ，所以 BC ? 平面 PBD ． 因为 PB ? 平面 PBD ，所以 BC ? PB ． 所以 ?PBC 为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）解法1：过点 A 作平面 PBC 的垂线，垂足为 H ，连 PH ， 则 ?APH 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角．…………………………………………………………8 分 由（1）知，△ ABC 的面积 S ?ABC ? 因为 PD ? 3 ，所以 VP ? ABC ?
1 ? AC ? BE ? 2 2 ．…………………………………………9 分 2
1 1 2 6 ? S?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 3 ? ．…………………………10 分 3 3 3
由（1）知 ?PBC 为直角三角形， BC ? 6 ， PB ? 所以△ PBC 的面积 S ?PBC ?
6，
1 1 ? BC ? PB ? ? 6 ? 6 ? 3 ．……………………………………11 分 2 2
因为三棱锥 A ? PBC 与三棱锥 P ? ABC 的体积相等，即 VA? PBC ? VP? ABC ， 即 ? 3 ? AH ?
1 3
2 6 2 6 ，所以 AH ? ．……………………………………………………………12 分 3 3
在 Rt △ PAD 中，因为 PD ? 3 ， AD ? 1 ， 所以 AP ?
PD 2 ? AD 2 ?
? 3?
2
? 12 ? 2 ．………………………………………………………13 分
AH ? 因为 sin ?APH ? AP
2 6 3 ? 6． 2 3
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为
6 ．…………………………………………………14 分 3
解法 2：过点 D 作 DM ∥AP ，设 DM ? PC ? M ， 则 DM 与平面 PBC 所成的角等于 AP 与平面 PBC 所成的角．……………………………………8 分 P 由（1）知 BC ? PD ， BC ? PB ，且 PD ? PB ? P ， 所以 BC ? 平面 PBD ． 因为 BC ? 平面 PBC ， 所以平面 PBC ? 平面 PBD ． 过点 D 作 DN ? PB 于点 N ，连接 MN ， 则 DN ? 平面 PBC ． 所以 ?DMN 为直线 DM 与平面 PBC 所成的角．……10 分 在 Rt △ PAD 中，因为 PD ? 3 ， AD ? 1 ， 所以 AP ?
M
A
D
N
B
C
PD 2 ? AD 2 ?
? 3?
2
? 12 ? 2 ．………………………………………………………11 分
因为 DM ∥AP ，所以
DM CD DM 3 3 ? ? ，所以 DM ? ．………………………………12 分 ，即 AP CA 2 4 2
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由（1）知 BD ? 3 ， PB ? 所以 DN ?
6 ，且 PD ? 3 ，
PD ? BD 3? 3 6 ．……………………………………………………………13 分 ? ? PB 2 6
6 DN 6 因为 sin ?DMN ? ， ? 2 ? 3 DE 3 2
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为
6 ．…………………………………………………14 分 3
P
解法 3：延长 CB 至点 G ，使得 BG ? BC ，连接 AG 、 PG ，……………………………………8 分 在△ PCG 中， PB ? BG ? BC ? 6 ， 所以 ?CPG ? 90 ，即 CP ? PG ．
o
K
在△ PAC 中，因为 PC ? 2 3 ， PA ? 2 ， AC ? 4 ， 所以 PA ? PC ? AC ，
2 2 2
A
E D B
C
所以 CP ? PA ． 因为 PA I PG ? P ，
G
所以 CP ? 平面 PAG ．…………………………………………………………………………………9 分 过点 A 作 AK ? PG 于点 K ， 因为 AK ? 平面 PAG ， 所以 CP ? AK ． 因为 PG I CP ? P ， 所以 AK ? 平面 PCG ． 所以 ? APK 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角．……………………………………………………11 分 由（1）知， BC ? PB ， 所以 PG ? PC ? 2 3 ． 在△ CAG 中，点 E 、 B 分别为边 CA 、 CG 的中点， 所以 AG ? 2BE ? 2 2 ．………………………………………………………………………………12 分 在△ PAG 中， PA ? 2 ， AG ? 2 2 ， PG ? 2 3 ，
2 2 2 所以 PA ? AG ? PG ，即 PA ? AG ．……………………………………………………………13 分
因为 sin ?APK ?
AG 2 2 6 ． ? ? PG 2 3 3
6 ．…………………………………………………14 分 3
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所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为
数学（理科）试题 A
解法 4：以点 E 为坐标原点，以 EB ， EC 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立如图的空间直角坐标系
E ? xyz ，…………………………………………………………………………………………………8 分
则 A? 0, ?2,0? ， B 于是 AP ? 0,1,
??? ?
?
? 2, 0, 0? ， C ?0,2,0? ， P ? 0, ?1, 3 ? ． ??? ? ??? ? 3 ? ， PB ? ? 2,1, ? 3 ? ， PC ? ? 0,3, ? 3 ? ．
A
P
z
设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ，
??? ? ? n ? PB ? 0, ? 则 ? ??? ? ? ?n ? PC ? 0.
即?
E D
C
y
x
B
? ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ?3 y ? 3z ? 0.
取 y ? 1 ，则 z ? 3 ， x ?
2．
所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?
?
2,1, 3 ．……………………………………………………12分
?
设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ，
??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? ． ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为
6 ．…………………………………………………14 分 3
若第（1） 、 （2）问都用向量法求解，给分如下： （1）以点 E 为坐标原点，以 EB ， EC 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立如图的空间直角坐标系
E ? xyz ，…………………………………………………………………………………………………1 分
则B
?
2, 0, 0 ， C ? 0,2,0? ， P 0, ?1, 3 ．
?
?
?
P
z
于是 BP ? ? 2, ?1, 3 ， BC ? ? 2, 2, 0 ． 因为 BP?BC ? ? 2, ?1, 3 ? ? 2, 2, 0 ? 0 ，
??? ?
?
?
??? ?
?
?
??? ? ??? ?
?
??
?
A
E D
??? ? ??? ? 所以 BP ? BC ．
C
y
所以 BP ? BC ． 所以 ?PBC 为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得， A? 0, ?2,0? ． 于是 AP ? 0,1, 3 ， PB ?
x
B
??? ?
?
?
??? ?
?
??? ? 2,1, ? 3 ， PC ? 0,3, ? 3 ．
?
?
?
数学（理科）试题 A
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设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ，
??? ? ?n ? PB ? 0, ? ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? 则 ? ??? 即? ? ? ?n ? PC ? 0. ? ?3 y ? 3z ? 0.
取 y ? 1 ，则 z ? 3 ， x ?
2．
所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?
?
2,1, 3 ．……………………………………………………12分
?
设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ，
??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? ． ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为
6 ．…………………………………………………14 分 3
19． （本小题满分14分） （本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能 力、运算求解能力和创新意识） （1）解：设等比数列 ?an ? 的公比为 q ，依题意，有
2a4 ? 4a5 ? , ? ?a3 ? a4 ? 2a5 , ?a3 ? 即? ……………………………………………………………………2 分 2 ? 2 a ? 2 a . ? 2 3 2 ? ? a ? 2a . 2 ? 3
2 3 4 ? ?a1q ? a1q ? 2a1q , 所以 ? 2 ………………………………………………………………………………3 分 2 2 ? ?a1q ? 2a1 q .
1 ? 1 a1 ? , ? ? ? ? a1 ? , 2 由于 a1 ? 0 ， q ? 0 ，解之得 ? 或? 2 ……………………………………………………5 分 1 ?q? . ? ? q ? ?1. ? ? 2
又 a1 ? 0, q ? 0 ，所以 a1 ?
1 1 , q ? ，…………………………………………………………………6 分 2 2
所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? （ n ? N ） ．…………………………………………………7 分
*
?1? ?2?
n
（2）解：由（1） ，得 bn ?
2n ? 5 2n ? 5 1 ? an ? ? n ．………………………………8 分 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2
所以 bn ? ?
1 ? 1 ? 2 ? ?? n ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? 2
数学（理科）试题 A
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?
1 1 ．…………………………………………………………………10 分 ? n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n
所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn
? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? ? 2 ? n ?1 ? 2n ? 3? 2 n ? ? 3 5? 2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2
1 1 ． ? ? 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?
1 1 ．………………………………………………………14 分 ? 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
20． （本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得 A(?1, 0) ， B(1, 0) ．…………………………………………………………………1 分 设双曲线 C 的方程为 x ?
2
y2 ? 1 ?b ? 0? ， b2
因为双曲线的离心率为 5 ，所以
1 ? b2 ? 5 ，即 b ? 2 ． 1
所以双曲线 C 的方程为 x ?
2
y2 ? 1． ……………………………………………………………………3 分 4
（2）证法 1：设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) （ xi ? 0 ， yi ? 0 ， i ? 1, 2 ） ，直线 AP 的斜率为 k （ k ? 0 ） ， 则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) ， ………………………………………………………………………4 分
? y ? k ? x ? 1? , ? 联立方程组 ? ………………………………………………………………………………5 分 y2 2 x ? ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 整理，得 4 ? k x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 ，
?
?
解得 x ? ?1 或 x ?
4 ? k2 4 ? k2 x ? ．所以 ．…………………………………………………………6 分 2 4 ? k2 4 ? k2
4 ? k2 同理可得， x1 ? ．…………………………………………………………………………………7 分 4 ? k2
所以 x1 ? x2 ? 1．……………………………………………………………………………………………8 分
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证法 2：设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) （ xi ? 0 ， yi ? 0 ， i ? 1, 2 ） ， 则 k AP ?
y1 y2 ， k AT ? ．…………………………………………………………………………4 分 x1 ? 1 x2 ? 1
y12 y2 2 y1 y ? ．……………………………………5 分 ? 2 ，即 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1?
2
因为 k AP ? k AT ，所以
因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上，所以 x1 ?
y12 y2 ? 1 ， x2 2 ? 2 ? 1 ． 4 4
2 2 2 2 即 y1 ? 4 x1 ? 1 ， y2 ? 4 1 ? x2 ．…………………………………………………………………6 分
?
?
?
?
所以
4 ? x12 ? 1?
? x1 ? 1?
2
?
4 ?1 ? x2 2 ?
? x2 ? 1?
2
，即
x1 ? 1 1 ? x2 ．……………………………………………………7 分 ? x1 ? 1 x2 ? 1
所以 x1 ? x2 ? 1．……………………………………………………………………………………………8 分 证法 3：设点 P( x1 , y1 ) ，直线 AP 的方程为 y ?
y1 ( x ? 1) ，………………………………………4 分 x1 ? 1
y ? y ? 1 ? x ? 1? , ? x1 ? 1 ? 联立方程组 ? …………………………………………………………………………5 分 2 y ? x2 ? ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 2 2 整理，得 ? ? 4( x1 ? 1) ? y1 ? ? x ? 2 y1 x ? y1 ? 4( x1 ? 1) ? 0 ，
解得 x ? ?1 或 x ?
4( x1 ? 1)2 ? y12 ．…………………………………………………………………6 分 4( x1 ? 1)2 ? y12
1 1 4( x1 ? 1)2 ? y12 ，得 x ? ，即 x2 ? ． 2 2 x1 x1 4( x1 ? 1) ? y1
将 y12 ? 4x12 ? 4 代入 x ?
所以 x1 ? x2 ? 1．…………………………………………………………………………………………8 分 （3）解：设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) （ xi ? 0 ， yi ? 0 ， i ? 1, 2 ） ， 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? ， PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? ． 因为 PA ? PB ? 15 ，所以 ? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y1 ? 15 ，即 x12 ? y12 ? 16 ．…………………………9 分
2
2 因为点 P 在双曲线上，则 x1 ?
??? ?
??? ?
??? ? ??? ?
y12 ? 1 ，所以 x12 ? 4x12 ? 4 ? 16 ，即 x12 ? 4 ． 4
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数学（理科）试题 A
因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点，所以 1 ? x1 ? 2 ．…………………………………………10 分
1 1 1 | AB || y2 |?| y2 | ， S2 ? | OB || y1 |? | y1 | ， 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 S1 ? S 2 ? y2 ? y1 ? ? 4 ? 4 x2 ? ? ? x1 ? 1? ? 5 ? x1 ? 4 x2 ．……………………………11 分 4
因为 S1 ? 由（2）知， x1 ? x2 ? 1，即 x2 ? 设 t ? x12 ，则 1 ? t ? 4 ，
1 ． x1
S12 ? S 2 2 ? 5 ? t ?
设 f ?t ? ? 5 ? t ?
4 ． t
4 4 ? 2 ? t ?? 2 ? t ? ，则 f ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? ， t t t2
当 1 ? t ? 2 时， f ? ?t ? ? 0 ，当 2 ? t ? 4 时， f ? ?t ? ? 0 ， 所以函数 f ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增，在 ? 2, 4? 上单调递减． 因为 f ? 2? ? 1 ， f ?1? ? f ? 4? ? 0 ，
2 2 所以当 t ? 4 ，即 x1 ? 2 时， S1 ? S 2 2 2 当 t ? 2 ，即 x1 ? 2 时， S1 ? S 2
?
?
min
? f ? 4 ? ? 0 ．……………………………………………12 分
?
?
max
? f ? 2 ? ? 1 ．………………………………………………13 分
所以 S12 ? S22 的取值范围为 ?0,1? ．……………………………………………………………………14 分
2 2 2 2 说明：由 S1 ? S 2 ? 5 ? x1 ? 4 x2 ? 5 ? 4 x1 x2 ? 1 ，得 S1 ? S2
?
?
?
2
2
?
max
? 1 ，给 1 分．
21． （本小题满分 14 分） （本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、 分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? ex ? x ?1 ，
x 所以 ?1? ( x ) ? e ? 1 ． ………………………………………………………………………………………1 分
当 x ? 0 时， ?1? ( x) ? 0 ，当 x ? 0 时， ?1? ( x) ? 0 ，当 x ? 0 时， ?1? ( x) ? 0 ．
) 上单调递增，在 x ? 0 处取得唯一极小值，………2 分 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减，在 (0, ??
因为 ?1 (0) ? 0 ，所以对任意实数 x 均有 即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 ，
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?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 ．
所以 f ( x ) ≥g1 ( x) ．………………………………………………………………………………………3 分 （2）解：当 x ? 0 时， f ( x) ? gn ( x) ．………………………………………………………………………4 分 用数学归纳法证明如下： ①当 n ? 1 时，由（1）知 f ( x ) ? g1 ( x) ．
* ②假设当 n ? k （ k ? N ）时，对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? gk ( x) ，…………………………………5 分
令 ?k ( x) ? f ( x) ? gk ( x) ， ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) ，
? ?1 ? x ? ? f ( x) ? g k ( x) ， 因为对任意的正实数 x ， ?k ?1? ( x) ? f ? ? x ? ? g k
由归纳假设知，? k ?1? ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ? 0 ．…………………………………………………………6 分 即 ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数，亦即 ?k ?1 ( x) ? ?k ?1 (0) ， 因为 ?k ?1 (0) ? 0 ，所以 ?k ?1 ( x) ? 0 ． 从而对任意 x ? 0 ，有 f ( x) ? gk ?1 ( x) ? 0 ． 即对任意 x ? 0 ，有 f ( x) ? gk ?1 ( x) ． 这就是说，当 n ? k ? 1 时，对任意 x ? 0 ，也有 f ( x) ? g k ?1 ( x) ． 由①、②知，当 x ? 0 时，都有 f ( x) ? gn ( x) ．………………………………………………………8 分 （3）证明 1：先证对任意正整数 n ， gn ?1? ? e ． 由（2）知，当 x ? 0 时，对任意正整数 n ，都有 f ( x) ? gn ( x) ． 令 x ? 1 ，得 gn ?1? ? f ?1? = e ． 所以 gn ?1? ? e ． ……………………………………………………………………………………………9 分 再证对任意正整数 n ， 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?2? ?2?
1
?2? ?3?
2
? 2? ? 4?
3
1 1 1 ? 2 ? ? ? gn ?1? ? 1 ? 1 ? 2! ? 3! ? ? ? n ! ． ? n ?1 ?
n
n
1 ? 2 ? 要证明上式，只需证明对任意正整数 n ，不等式 ? ? ? 成立． ? n ? 1 ? n! ? n ?1 ? 即要证明对任意正整数 n ，不等式 n ! ? ? ? （*）成立．……………………………………10 分 ? 2 ?
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*） ： 方法 1（数学归纳法） ：
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n
? 1?1 ? ①当 n ? 1 时， 1! ? ? ? 成立，所以不等式（*）成立． ? 2 ?
②假设当 n ? k （ k ? N ）时，不等式（*）成立，
*
1
即 k!? ?
? k ?1 ? ? ．………………………………………………………………………………………11 分 ? 2 ?
k k ?1
k
? k ?1 ? ? k ?1 ? 则 ? k ? 1?! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k ?1
．
?k ?2? k ?1 k ?1 k ?1 ? ? 1 ? 1 2 ? ?k ?2? ? ? 0 1 k ?1 ? 1 ? 因为 ?? ? ? ? Ck ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ? 2 ，…12 分 k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1? ? k ?1 ? ? k ?1 ? ? ? ? 2 ?
? k ?1 ? 所以 ? k ? 1?! ? 2 ? ? ? 2 ?
k ?1
? k ?2? ?? ? ? 2 ?
k ?1
．……………………………………………………………13 分
这说明当 n ? k ? 1 时，不等式（*）也成立． 由①、②知，对任意正整数 n ，不等式（*）都成立．
?2? ?2? ?2? ? 2 ? 综上可知，对任意正整数 n ，不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? gn ?1? ? e 成立． ?2? ?3? ?4? ? n ?1 ?
……………………………………14 分 方法 2（基本不等式法） ： 因为 n ?1 ?
1
2
3
n
n ?1 ，……………………………………………………………………………………11 分 2 n ?1 ， ? n ? 1? ? 2 ? 2
……，
1? n ?
n ?1 ， 2
将以上 n 个不等式相乘，得 n ! ? ?
? n ?1 ? ? ．……………………………………………………………13 分 ? 2 ?
1 2 3 n
n
所以对任意正整数 n ，不等式（*）都成立．
?2? ?2? ?2? ? 2 ? 综上可知，对任意正整数 n ，不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? gn ?1? ? e 成立． ?2? ?3? ?4? ? n ?1 ?
……………………………………14 分
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