2019学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理习题新人教A版选修2_3

第一章 1.3 1.3.1 二项式定理 A 级 基础巩固 一、选择题 1.在 ( x- 1 2x) 10 的二项展开式中, x4 的系数为 ( C) A.- 120 C.- 15 B. 120 D. 15 [ 解析 ] T x =C ( r +1 r 10- r 10 1 -2x) r= ( - 1 ) 2 ·C x r r 10- 2r 10 令 10- 2r = 4,则 r = 3. ∴ x4 的系数为 ( - 1 2 ) 3 C3 10 =- 15. 2.(2018 ·全国卷Ⅲ理, 5) x2+ 2 x 5 的展开式中 x4 的系数为 ( C) A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 [ 解析 ] x2+ 2 x 5 的展开式的通项公式为 Tr +1= Cr5·(x2) 5-r · 2 x r =Cr5·2r · x10-3r ,令 10 -3r = 4,得 r = 2. 故展开式中 x4 的系数为 C25·22= 40. 故选 C. 3.若二项式 ( x - 2 x ) n 的展开式中第 5 项是常数项,则自然数 n 的值可能为 ( C) A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 [ 解析 ] ∵ T5= C4n( x) n- 4· ( - 2 x) 4= 2 4·C4nx n- 12 是常数项,∴ 2 n- 12 2 = 0,∴ n=12. 4. ( 湖南高考 )( 1 2x- 2y) 5 的展开式中 x2y3 的系数是 ( A) A.- 20 C. 5 B.- 5 D. 20 [ 解析 ] 展开式的通项公式为 Tr +1= Cr5( 1 x) 5-r ·( - 2y) r= ( 1 ) 5-r ·( - 2) x Cr r 5- 5 ryr. 2 2 当 r =3 时为 T4= ( 1 2) 2( - 2) 3C35x 2y 3=- 20x 2y 3,故选 A. 5. (1 + 3x) n( 其中 n∈ N且 n≥6) 的展开式中,若 x5 与 x6 的系数相等,则 n= ( B ) 1 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 [ 解析 ] 二项式 (1 + 3x) n 的展开式的通项是 Tr +1= Crn1n-r ·(3 x) r =Crn·3r · xr . 依题意得 C5n·35= C6n ·36, n n- n- n- n- 即 5! n n- n- n- n- n- =3× 6! ( n≥6) , 得 n=7. 6.在 (1 - x3)(1 +x) 10 的展开式中 x5 的系数是 ( D) A.- 297 B.- 252 C. 297 D. 207 [ 解析 ] x5 系数应是 (1 + x) 10 中含 x5 项的系数减去含 x2 项的系数. ∴其系数为 C510+ C2 10 ( - 1) = 207. 二、填空题 7.(2018 ·河南二模 )( x 2+ 1 x2- 2) n 展式中的常数项是 70,则 n= __4__. [ 解析 ] ∵ ( x 2+ 1 x2- 2) n= ( 1 x- x) 2n 的展式的通项公式为 Tr + 1=Cr2n·( - 1) r · x , 2n-2r 令 2n- 2r = 0,求得 n= r ,故展开式的常数项为 ( - 1) n·Cn2n= 70, 求得 n= 4. 故答案为 4. 8.设 a= π sin xdx ,则二项式 (a x - 1 ) 6 的展开式中的常数项等于 __- 160__. x 0 [ 解析 ] a= πsin xdx =( - cosx)| π 0 = 2,二项式 (2 x - 1 ) 6 展开式的通项为 x 0 Tr +1= Cr6 (2 x) 6-r ·( - 1 ) r =( - 1) r ·26-r ·Cr6x3- r ,令 3-r =0 得,r =3,∴常数项为 3 3 3 ( - 1) ·2·C6 x =- 160. 1 9. (2 018·天津理, 10) 在 x- 5 的展开式中, x 2 的系数为 5 __ __. 2x 2 [ 解析 ] 1 x- 5 的展开式的通项为 2x x T = C r +1 r 5- r 5 1 -2 r· x- r = 2 1 -2 r Cr5x 5 - 3r 2 . 令 5 3r - 2 = 2,解得 r = 2. 故展开式中 x2 的系数为 1 -2 2C25= 5 2. 三、解答题 2 2x2- 1 10.在 3 8 的展开式中,求: x (1) 第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数; (2) 倒数第 3 项. [ 解析 ] 1 20 (1) ∵ T5=C48·(2 x2) · 8-4 3 4= C48·24· x 3 , x ∴第 5 项的二项式系数是 C48= 70,第 5 项的系数是 C48·24=1 120 . (2) 展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项, 1 T7= C68·(2 x2) · 8-6 - 3 6= 112x2. x B 级 素养提升 一、选择题 1. (1 + 2 x ) 3 (1 - 3 x) 5 的展开式中 x 的系数是 ( C ) A.- 4 B.- 2 C. 2 D. 4 [ 解析 ] (1 + 2 x) 3(1 - 3 x) 5= (1 + 6 x+ 12x+ 8x x)(1 3

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