高中数学 第四章 第6讲 二倍角、简单的三角恒等变换


第6讲

二倍角、简单的三角恒等变换

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 5 ?π ? 1.(2011· 大纲全国卷)已知 α∈?2,π?,sin α= 5 ,则 tan 2α=________. ? ? 5 2 5 1 ?π ? 解析 由 α∈?2,π?,sin α= 5 ,得 cos α=- 5 ,tan α=-2,所以 tan 2α ? ? = 2tan α 4 =-3. 1-tan2α

4 答案 -3 cos 2α 2 2.若 π?=- 2 ,则 cos α+sin α 的值为________. ? sin?α-4? ? ? 解析 由 cos2α-sin2α 2 1 =- 2(sin α+cos α)=- 2 ,得 sin α+cos α=2. 2 2 ?sin α-cos α?

1 答案 2 π? x x 4 2 ? 3.已知函数 f(x)=cos22-sin22+sin x,若 x0∈?0,4?且 f(x0)= 5 ,则 cos 2x0= ? ? ________. π? 4 4 2 ? π? ? 解析 f(x)=cos x+sin x= 2sin?x+4?,由 f(x0)= 5 ,得 sin?x0+4?=5.又 x0 ? ? ? ? π? π? 3 π? π ?π π? ? ? ? ∈?0,4?, 所以 x0+4∈?4,2?, 所以 cos?x0+4?=5, 所以 cos 2x0=sin?2x0+2? ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? π? 24 ? =2sin?x0+4?cos?x0+4?=25. ? ? ? ? 24 答案 25

3 4.(2012· 南京 29 中月考)已知钝角 α 满足 cos α=-5, ?α π? 则 tan?2+4?的值为________. ? ? α 3 解析 因为 cos α=2cos22-1=-5, π? α 1 ? 所以 cos22=5.又 α∈?0,2?, ? ? α 5 α 2 5 所以 cos2= 5 ,sin2= 5 , α tan2+1 α ?α π? tan2=2,所以 tan?2+4?= α=-3. ? ? 1-tan2 答案 -3 ? π? 5.(2012· 河南三市调研)函数 y=sin?x-6?cos x 的最小值是________. ? ? π π? ? π? ? 解析 y=sin?x-6?cos x=?sin xcos6-cos xsin6?cos x ? ? ? ? = 1+cos 2x 3 1 3 sin xcos x- cos2x= sin 2x- 2 2 4 4

π? 1 1 ? 1 1 3 =2sin?2x+6?-4,最小值为-2-4=-4. ? ? 3 答案 -4 6.已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,则 cos 2α=________. 解析 由 sin2α=4sin2β,tan2α=9tan2β 相除,得 9cos2α=4cos2β,所以 sin2 α 3 1 +9cos2α=4sin2β+4cos2β=4,所以 cos2α=8,cos 2α=2cos2α-1=-4. 1 答案 -4 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) ? π? 7.(2011· 北京卷)已知函数 f(x)=4cos x· ?x+6?-1. sin ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

? π? 解 (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ? ? 3 ? 1 =4cos x? sin x+ cos x?-1 2 2 ? ? = 3sin 2x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x π? ? =2sin?2x+6?,所以 f(x)的最小正周期为 π. ? ? π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1. ? x π? ?x π? 8.已知函数 f(x)=2 3sin?2+4?cos?2+4?-sin(x+π). ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区 间[0,π]上的最大值和最小值. ? π? 解 (1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x= 3cos x+sin x ? ? ? π? =2sin?x+3?,所以 f(x)的最小正周期为 2π. ? ? π ?? π? π? ? π? ? π? (2)因为 g(x)=f?x-6?=2sin??x-6?+3?=2sin?x+6?,且 x∈[0,π],所以 x+6 ? ? ? ? ? ? ?? π π π π 7π ?π 7π? ∈?6, 6 ?,所以当 x+6=2,即 x=3时,g(x)取最大值 2;当 x+6= 6 ,即 x ? ? =π 时,g(x)取最小值-1.

分层训练 B 级

创新能力提升

π? 1 ? 1.(2011· 福建卷改编)若 α∈?0,2?,且 sin2α+cos 2α=4,则 tan α=________. ? ? 1 1 解析 由 sin 2α+cos 2α=sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=4,得 cos2α=4.又 α∈ π? 1 ? ?0,2?,所以 cos α= ,tan α= 3. 2 ? ? 答案 3

2.函数 f(x)=1-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x 的值域为________. 解析 f(x)=1-2sin 2x+4cos2x(1-cos2x) =1-2sin 2x+4cos2xsin2x=1-2sin 2x+sin22x =(1-sin 2x)2 因为 sin 2x∈[-1,1],所以 f(x)∈[0,4]. 答案 [0,4] 1-cos 2α 1 3.已知sin αcos α =1,tan(β-α)=-3,则 tan(β-2α)等于________. 1-cos 2α 2sin2α 解析 由 sin αcos α =1 得sin αcos α=1, 1 ∴tan α=2,从而 tan(β-2α)=tan(β-α-α) tan?β-α?-tan α = 1+tan?β-α?tan α 1 1 -3-2



=-1. ? 1? 1 1+?-3?×2 ? ?

答案 -1 4.(2012· 南通调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,-1),B(-3,-4)两 → 点,若点 C 在∠AOB 的平分线上,且|OC|= 10,则点 C 的坐标是________. 解析 如图,α+2β=90° , 4 3 sin α=5,cos α=5, 4 所以 sin(90° -2β)=5. 4 4 即 cos 2β=5,从而 2cos2β-1=5, cos β= 3 1 ,sin β= . 10 10 sin?α+β? cos β = =3. cos?α+β? sin β

所以 tan(α+β)=

所以直线 OC 的方程为 y=3x,于是由 ?3x?2+x2= 10x2= 10,且 x<0,得 x=-1,y=-3,C(-1,-3). 答案 (-1,-3) 5.已知向量 a=(1-tan x,1),b=(1+sin 2x+cos 2x,0),记函数 f(x)=a· b. (1)求函数 f(x)的解析式,并指出它的定义域;

π? π? 2 ? ? (2)若 f?α+8?= 5 ,且 α∈?0,2?,求 f(α). ? ? ? ? 解 (1)f(x)=a· b=(1-tan x)(1+sin 2x+cos 2x)= cos x-sin x (2cos2x+2sin cos x ·
?

? ? π xcos x)=2(cos2x-sin2x)=2cos 2x.定义域为?x|x≠kπ+2,k∈Z?. ?

π? π? 2 ? ? (2)因为 f?α+8?=2cos?2α+4?= 5 , ? ? ? ? π? 2 π ?π 5π? ? 所以 cos?2α+4?= 10 ,且 2α+4∈?4, 4 ?, ? ? ? ? π? 7 2 ? 所以 sin?2α+4?= 10 . ? ? π? π? ?? 所以 f(α)=2cos 2α=2cos??2α+4?-4?= ? ? ?? π? π π? π 8 ? ? 2cos?2α+4?cos4+2sin?2α+4?sin 4=5. ? ? ? ? 6.(2013· 南京 29 中月考)(1)设 0<α<π,π<β<2π,若对任意的 x∈R,都有关于 x 的等式 cos(x+α)+sin(x+β)+ 2cos x=0 恒成立,试求 α,β 的值; (2)在△ABC 中,三边 a,b,c 所对的角依次为 A,B,C,且 2cos2C+ 3sin 2C 3 =3,c=1,S△ABC= 2 ,且 a>b,求 a,b 的值. 解 (1)由 cos(x+α)+sin(x+β)+ 2cos x=0, 得(cos α+sin β+ 2)cos x+(cos β-sin α)sin x=0. ?cos α+sin β+ 2=0, 由关于 x 的恒等式成立,得? ?cos β-sin α=0, ?sin β=-cos α- 2, 即? 代入 sin2β+cos2β=1, ?cos β=sin α, 2 3π 解得 cos α=- 2 .又 0<α<π,∴α= 4 . 2 7π ∴cos β=sin α= 2 .又 π<β<2π,∴β= 4 . (2)由 2cos2C+ 3sin 2C=3,得 3sin 2C+cos 2C=2,

π? 3 1 ? ∴ 2 sin 2C+2cos 2C=1,即 sin?2C+6?=1, ? ?

π π π 3 ∴2C+6=2,C=6.于是由 c=1,S△ABC= 2 ,

?1absin C= 23, ?2 得? π ?1=a2+b2-2abcos6, ?

?ab=2 3, 即? 2 2 ?a +b =7.

又 a>b,所以解得 a=2,b= 3.


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