选4-5-2课时作业


课时作业(七十五)
2 1.已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实 x-a 数 a 的最小值为________. 3 答案 2 解析 2x+ 2 2 =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a 2 2?x-a? +2a=2a+ x-a

3 4≥7,∴a≥2. 2. 若不等式|a-1|≥x+2y+2z, 对满足 x2+y2+z2=1 的一切实数 x、 y、 z 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案 a≥4 或 a≤-2 解析 由柯西不等式得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9, 由题 意|a-1|≥3, ∴a≥4 或 a≤-2. 3.已知 a>0,b>0,c>0,a+b>c. a b c 求证: + > . 1+a 1+b 1+c 证明 本题若通分去分母,运算量较大,考虑到 a>0,b>0 可先试试分 式的放缩. ∵a>0,b>0, a a b b ∴ > , > , 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b ∴ + > , 1+a 1+b 1+a+b a+b c ∴只需证: > . 1+a+b 1+c

而函数 f(x)= b)>f(c).

x 1 =1- 在(0,+∞)上递增,且 a+b>c,∴f(a+ 1+x 1+x

a+b c 即 > ,∴原不等式成立. 1+a+b 1+c 2 4. 已知实数 a、 c 满足 a+2b+c=1, 2+b2+c2=1, b、 a 求证: 3≤c≤1. - 证明 因为 a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 所以 a+2b=1-c,a2+b2=1-c2. 由柯西不等式:(12+22)(a2+b2)≥(a+2b)2, 5(1-c2)≥(1-c)2, 2 整理得 3c2-c-2≤0,解得-3≤c≤1. x y z 1 1 1 5.已知 x,y,z 均为正数.求证:yz+zx+xy≥x+y+ z . x y 1x y 2 y 证明 因为 x,y,z 均为正数,所以yz+zx= z (y+x)≥ z ,同理可得zx+ z 2 z x 2 xy≥x ,xy+yz≥y ,当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立,将上述三 x y z 1 1 1 个不等式两边分别相加,并除以 2,得yz+zx+xy≥x+y+ z . 18 6.已知 x2+2y2+3z2=17,求 3x+2y+z 的最小值. 解析 ∵(x2+2y2+3z2)[32+( 2)2+( ≥(3x+ 2y 2+ 3z 1 2 )] 3

1 2 ) =(3x+2y+z)2, 3

∴(3x+2y+z)2≤12,-2 3≤3x+2y+z≤2 3. 9 3 3 3 3 当且仅当 x=- 17 ,y=- 17 ,z=- 17 时,

3x+2y+z 取最小值,最小值为-2 3. 7.已知实数 x、y、z 满足 x2+4y2+9z2=a(a>0),且 x+y+z 的最大值 是 1,求 a 的值. 解析 由柯西不等式知: 1 1 1 1 [x2+(2y)2+(3z)2][12+(2)2+(3)2]≥(x+2×2y+3×3z)2(当且仅当 x=4y =9z 时取等号). 因为 x2+4y2+9z2=a(a>0), 49 7 a 7 a 所以36a≥(x+y+z)2,即- 6 ≤x+y+z≤ 6 . 7 a 36 因为 x+y+z 的最大值是 1,所以 6 =1,a=49, 36 9 4 所以当 x=49,y=49,z=49时,x+y+z 取最大值 1, 36 所以 a 的值为49. 8. (2012· 苏锡常镇一模)已知 a>b>c>0, 求证: a+ 指出等号成立的条件) 解析 因为 a>b>c>0,所以 a-b>0,b-c>0, 3 所以 a=(a-b)+(b-c)+c≥3 ?a-b??b-c?c, 当且仅当 a-b=b-c=c 时,等号成立, 所以 a+ 3 3 ?a-b??b-c?c 3 3 ?a-b??b-c?c 3 3 ?a-b??b-c?c ≥6.(并

3 ≥3 ?a-b??b-c?c+

≥2

3 3 ?a-b??b-c?c

3 3 ?a-b??b-c?c 3 3

=6,

3 当且仅当 3 ?a-b??b-c?c= =3,b=2,c=1 时等号成立.

时,等号成立, 故可求得 a

?a-b??b-c?c

9.(2012· 衡水调研卷)已知实数 m,n>0.
2 a2 b2 ?a+b? (1)求证: m + n ≥ ; m+n

2 9 1 (2)求函数 y=x+ 〔x∈(0,2)〕的最小值. 1-2x a2 b2 解析 (1)证明 因为 m,n>0,利用柯西不等式,得(m+n)( m + n )≥(a +b)2, a2 b2 ?a+b? 所以 m + n ≥ . m+n
2

?2+3?2 2 9 22 32 (2)解 由(1),函数 y=x+ = + ≥ =25, 1-2x 2x 1-2x 2x+?1-2x? 2 9 1 1 所以函数 y=x+ 〔x∈(0,2)〕的最小值为 25,当且仅当 x=5时 1-2x 取得. 10.(2011· 辽宁理)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (Ⅰ)证明:-3≤f(x)≤3; (Ⅱ)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集.

解析

?-3,x≤2, ? (Ⅰ)f(x)=|x-2|-|x-5|=?2x-7,2<x<5, ?3,x≥5. ?

当 2<x<5 时,-3<2x-7<3.

所以-3≤f(x)≤3. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 当 x≤2 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5≤x≤6}. 综上,不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3≤x≤6}. 11.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5, 试求 a 的最值. 解 由柯西不等式,得
?1 1 1 ? (2b2+3c2+6d2)?2+3+6?≥(b+c+d)2, ? ?

即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,由条件,可得 5-a2≥(3-a)2, 解得 1≤a≤2,当且仅当 2b 3c 6d = = 时等号成立, 1 1 1 2 3 6

1 1 1 2 1 即当 b=2,c=3,d=6,amax=2;b=1,c=3,d=3时,amin=1. 12.(2011· 安徽理)(Ⅰ)设 x≥1,y≥1,证明: 1 1 1 x+y+xy≤x +y +xy; (Ⅱ)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 解析 (Ⅰ)由于 x≥1,y≥1,所以 1 1 1 x+y+xy≤x +y +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2 -1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+ 1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1).

既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等 式成立. (Ⅱ)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca=xy,logba=x,logcb=y,logac=xy. 1 1 1 于是,所要证明的不等式即为 x+y+xy≤x +y +xy, 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(Ⅰ)可知所要证明的不等式成立.

1 1 1.设 a,b,c 为正数且 a+b+c=1,求证:(a+a)2+(b+b)2+(c+ 1 2 100 c) ≥ 3 . 证明 1 1 1 1 1 1 左边=3(12+12+12)[(a+a)2+(b+b)2+(c+c)2]≥3[1×(a+a)+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1×(b+b)+1×(c+ c )]2=3[1+(a+b+ c )]2=3[1+(a+b+c)(a+b+ c )]2≥3 100 (1+9)2= 3 . 2.(2012· 大连一模)已知对于任意非零实数 a 和 b,不等式|2a+b|+|2a -b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,试求实数 x 的取值范围. |2a+b|+|2a-b| 解析 由题知,|2+x|+|2-x|≤ 恒成立,故|2+x|+|2- |a| |2a+b|+|2a-b| x|不大于 的最小值. |a| 因为|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,当且仅当 |2a+b|+|2a-b| (2a+b)(2a-b)≥0 时取等号.所以 的最小值等于 4. |a|

所以 x 的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4 的解集,解不等式得- 2≤x≤2. 3.(2011· 大纲全国理)(Ⅰ)设函数 f(x)=ln(1+x)- 时,f(x)>0; (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用 这种方式连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p.证明: 9 1 p<(10)19<e2. x2 解析 (Ⅰ)f′(x)= . ?x+1??x+2?2 当 x>0 时,f′(x)>0,所以 f(x)为增函数,又 f(0)=0,因此当 x>0 时, f(x)>0. 100×99×98×…×81 (Ⅱ)p= . 10020 又 99×81<902,98×82<902,…,91×89<902, 9 所以 p<(10)19. 2x 由(Ⅰ)知:当 x>0 时,ln(1+x)> , x+2 2 因此(1+x)ln(1+x)>2. 1 10 10 在上式中,令 x=9,则 19ln 9 >2,即( 9 )19>e2. 9 1 所以 p<(10)19<e2. 4.已知 f(x)= 1+x2,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|. 证明 |f(a)-f(b)|=| 1+a2- 1+b2| 2x ,证明:当 x>0 x+2

|a2-b2| = 1+a2+ 1+b2 = ≤ |a-b||a+b| 1+a2+ 1+b2

|a-b|?|a|+|b|? |a-b|?|a|+|b|? < =|a-b|. a2+ b2 1+a2+ 1+b2

5.(2012· 南通)设 n∈N*,求证: C1+ C2+…+ Cn≤ n?2n-1?. n n n 证明 由柯西不等式,得
1 2 ( C1 + C2+…+ Cn)2≤(1+1+…+1)(Cn +Cn +…+Cn)=n[(1+1)2 n n n n

-1]=n(2n-1). ∴ C1+ C2+…+ Cn≤ n?2n-1?. n n n


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