2019年广西南宁市高三第二次适应性考试数学(理)试卷(Word版,含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5

20xx 年南宁市高中毕业班第二次适应性测试

数学试卷(理科)

一、选择题

? ? 1.已知集合 A ? ?x | 3x ?1? 0?, B ? x | 6x2 ? x ?1? 0 ,则 A ? B ?

A. [? 1 , 1] 32

B. ?

C. (??, 1) 3

D.{ 1} 3

2.复数 1 (a ? R) 在复平面内对应的点在第一象限,则 a 的取值范围是 1? ai

A. a ? 0

B. 0 ? a ? 1 C. a ?1 D. a ? ?1

3.若椭圆 C: x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的短轴长等于焦距,则椭圆

的离心率为

A. 1 2

B. 3 3

C. 2 2

D. 2 4

4.在 ?ABC 中, cosB ? 3 , AC ? 5,AB ? 6,则角 C 的正弦 5
值为

A. 24 25

B. 16 25

C. 9 25

D. 7 25

5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是

A. 1 3

B. 2 3

C. 1

D. 4

3

6.已知向量

a??(1,0),

? b ?(1,2),向量

c?在

a?方向上的投影为

2.



c?//

? b ,则

c?的大小为

开始
A=1,S=0

A.. 2

B. 5 C. 4 D. 2 5

A≤9 否 输出 S

A=A+1
S=S+A 是

7.执行如图的程序框图,输出的 S 的值是

A. 28

B. 36

C. 45 D. 55

8.若以函数 y ? Asin?x?? ? 0?的图像中相邻三个最值点为顶点的

三角形是面积为 1 的直角三角形,则? 的值为

A.1

B. 2

C. ?

D. 2?

9.已知底面是边长为 2 的正方形的四棱锥 P ? ABCD中,四棱锥的侧棱长都为 4, E 是 PB的中点,

则异面直线 AD与 CE 所成角的余弦值为

A. 6 4

B. 3 3

C. 1

D. 2

2

2

10.定义 min{a,b} ?

?a,a ? b, ??b, a>b,



f

(x)= min{x2,

1 },则由函数 x

f

(x)

的图像与

x

轴、直线

x=2 所围

成的封闭图形的面积为

A. 7 12

B. 5 12

11.函数

f

(x)

?

1 3x?1

?3



A. 奇函数

C. 1 + ln 2 3

D. 1 + ln 2 6

B. 偶函数

C. 既是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数

12.设实数 a,b,c, d,e 同时满足关系: a ?b ?c ? d ?e ? 8, a2 ?b2 ? c2 ? d 2 ? e2 ? 16 ,则实数 e 的

最大值为

A.2

B. 16

C. 3

5

D.

2 5



二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填答题卷相应题中横线上.

?x ?2y ? 2 13.设变量 x, y 满足约束条件 ??3x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? y ? 2x 的最大值是
??x ? y ? ?4

14 若锐角?, ? 满足 sin? ? 4 , tan(? ? ? ) ? 2 ,则 tan? ? ▲ .

5

3

15. 过动点 M 作圆:(x ? 2)2 ?(y ? 2)2 ? 1的切线 MN ,其中 N 为切点,若| MN |?| MO| ( O 为坐

标原点),则| MN | 的最小值是 ▲ .

16.定义在 R 上的函数 f (x) ,如果存在函数 g(x) ? ax ? b , (a,b 为常数),使得 f (x) ? g(x)

对一切实数 x 都成立,则称 g(x) 为函数 f (x) 的一个承托函数.给出如下命题:

①函数

g(x)

?

?2

是函数

f

(x)

?

?ln x, x ? ??1, x ? 0

0,

的一个承托函数;

②函数 g(x) ? x ?1是函数 f (x) ? x ? sin x 的一个承托函数;

③若函数 g(x) ? ax 是函数 f (x) ? ex 的一个承托函数,则 a 的取值范围是[0, e] ;

④值域是 R 的函数 f (x) 不存在承托函数.

其中正确的命题的个数为 ▲ . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

已知数列?an? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? n2 ? 2n, n ? N * .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)记数列

?1

? ?

an

an?1

? ? 的前 ?

n

项和为 Tn

,求证: Tn

?

1 6

.

18. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)
某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店 1 月份中 5 天的日销售量 y (单位:千克)

与该地当日最低气温 x (单位: oC )的数据,如下表:

x

2

5

8

9

11

y

12

10

8

8

7

??

?

(1)求出 y 与 x 的回归方程 y ? b x ? a ;

(2)判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关;若该地 1 月份某天的最低气温为 6 oC ,请用所求回归方

程预测该店当日的销售量;

(3)设该地 1 月份的日最低气温 X ~ N (?,? 2 ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x ,? 2 近似为样本方差

s2 ,求 P(3.8 ? X ? 13.4) .

n

??

?

? ?

(xi yi ) ? nx y ?

?

附:

①回归方程 y ? b x ? a 中,

b?

i ?1 n

,a ? y?bx.

? xi2 ? n(x)2

i ?1

② 10 ≈3.2, 3.2 ≈1.8.若 X ~ N (?,? 2 ) ,则 P(? ?? ? X ? ? ?? ) ? 0.6826 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 .

19. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

如 图 , 已 知 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ABCD - A1B1C1D1 中 ,

AB=AD=1, CB ? CD ? 3, ?BCD ? 60o , CC1 ? 3 .

(1)若 E 是线段 A1A 上的点且满足 A1E ? 3AE ,

求证: 平面 EBD ⊥平面 C1BD ;

(2)求二面角 C - C1D - B 的平面角的余弦值.

M

20. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F(1, 0) , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M (4, 0) 的 直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A, B 两点(其中点 A 在第四象限内). (1)若| MB |? 4 | AM | ,求直线 l 的方程; (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴
长的最小值.
21. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)
已知函数 f (x) ? ln x ? ax , g(x) ? 1 ? a . x
(1)讨论函数 F(x) ? f (x) ? g(x) 的单调性; (2)若 f (x) ? g(x) ? 0 在定义域内恒成立,求实数 a 的取值范围.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知圆 E 的极坐标方程为 ? ? 4sin? ,以极点为原点、极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,取 相同单位长度(其中 ? ≥0,? ?[0, 2? )) .若倾斜角为 3? 且经过坐标原点的直线 l 与圆 E 相交于点
4 A(A 点不是原点).(1)求点 A 的极坐标; (2)设直线 m 过线段 OA 的中点 M ,且直线 m 交圆 E 于 B,C 两点,求|| MB | ? | MC || 的最大值.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
(1)解不等式| x ?1| ? | x ? 3 |? 4 ; (2)若 a,b 满足(1)中不等式,求证: 2 | a ? b |?| ab ? 2a ? 2b | .
20xx 年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷(理科)答案与评分标准
一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.A

5.D 6.D 9.A 10.C 12.B

7.C 8.C 11.D

解: 将题设条件变形为 a ? b ? c ? d ? 8 ? e, a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? 16 ? e2 ,

代入由柯西不等式得如下不等式 (1? a ?1?b ?1? c ?1? d)2 ? (12 ?12 ?12 ?12)(a2 ? b2 ? c2 ? d 2)

有 (8 ? e)2 ? 4(16 ? e2 ) ,解这个一元二次不等式,得 0 ? e ? 16 . 5

所以,当 a ? b ? c ? d ? 6 时,实数 e 取得最大值 16 .

5

5

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填答题卷相应题中横线上.

13.14

14 6 17

15. 7 2 8
16.2 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.) 解:(1)第一类解法:
当 n=1 时, a1 ? 3.............................................1 分 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ......................................2 分 ? n2 ? 2n ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ....................................3 分 ? 2n ?1....................................................4 分 而 a1 ? 3也满足 an ? 2n ?1......................................5 分
∴数列?an? 的通项公式为 an ? 2n ? 1....................................6 分
第二类解法:
an ? Sn ? Sn?1 ........................................1 分

? n2 ? 2n ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ...............................2 分

? 2n ?1..............................................3 分
∴数列?an? 的通项公式为 an ? 2n ? 1....................................4 分
第三类解法:

a1 ? S1 ? 3 .....1 分; a2 = S2 - S1 ....1 分; an ? 2n ? 1......1 分,共 3 分
第四类解法:
由 Sn ? n2 ? 2n 可知?an? 等差数列.................................2 分

且 a1 ? 3, d = a 2 - a1 = S2 - S1 - 3 = 2 ....................................4 分
∴数列?an? 的通项公式为 an ? 2n ? 1....................................5 分

(2)∵ an

?

2n

? 1,∴

1 an an ?1

?

1 (2n ?1)(2n ? 3)

........................7



? 1 ( 1 ? 1 ) ..................................8 分 2 2n ?1 2n ? 3

则 Tn

?

1 [(1 23

?

1) 5

?

(1 5

?

1) 7

? ....... ?

(1 2n ?1

?

1 2n ?

)] ......................9 3



? 1 (1 ? 1 ) .................................10 分 2 3 2n ? 3

? 1 ? 1 ..................................11 分 6 4n ? 6

? 1 . ..............................................................12 分 6

18. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

n

??

?

? ?

(xi yi ) ? nx y ?

?

附:

①回归方程 y ? b x ? a 中,

b?

i ?1 n

,a ? y?bx.

? xi2 ? n(x)2

i ?1

② 10 ≈3.2, 3.2 ≈1.8.若 X ~ N (?,? 2 ) ,则 P(? ?? ? X ? ? ?? ) ? 0.6826 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 .

解:【提示:本题第(1)、(2)问与第(3)问没有太多关系,考生第(1)、(2)问做不对,第(3)

问也可能做对,请老师们留意】

? ? (1)

∵令 n ? 5 , x? 1 n

n
xi
i ?1

? 35 ? 7, 5

y?1 n

n i ?1

yi

? 45 ? 9 ,...................1 分 5

【说明:如果考生往下算不对结果,只要上面的两个平均数算对其中一个即可给 1 分】

n
? ∴ (xi yi ) ? nx y ? 287 ? 5? 7 ? 9 ? ?28. i ?1

................................2 分

n
? xi2 ? n(x)2 ? 295 ? 5? 72 ? 50. ...........................................3 分
i ?1



?
b

?

?28

?

?0.56

50

.............................................4 分

【说明:2 分至 4 分段,如果考生不是分步计算,而是整个公式一起代入计算,正确的直接

给完这部分的分;如果结果不对,只能给 1 分】

?

?

∴ a ? y ? b x ? 9 ? (?0.56)? 7 ? 12.92.

(或者: 323 )

25

......................5 分

?
∴所求的回归方程是 y ? ?0.56x ?12.92

...............................6 分

?
(2) 由 b ? ?0.56 ? 0 知 y 与 x 之间是负相关, ...............................7 分

【说明:此处只要考生能回答负相关即可给这 1 分】

?
将 x ? 6 代入回归方程可预测该店当日的销售量 y ? ?0.56? 6 ?12.92 ? 9.56 (千克)

(或者: 239 ) 25

...............................8 分

【说明:此处只要考生能算得正确的答案即可给这 1 分】

(3)由(1)知 ? ? x ? 7 ,又由? 2 ? s2 ? 1 [(2 ? 7)2 ?(5 ? 7)2 ? (8 ? 7)2 ? (9 ? 7)2 ? (11? 7)2 ] 5

? 10, 得? ? 3.2 .....................................................9 分

【说明:此处要求考生算对方差才能给这 1 分】

从而 P(3.8 ? X ? 13.4) ? P(? ?? ? X ? ? ? 2? ) ..........................10 分

? P(? ?? ? X ? ?) ?P(? ? X ? ? ? 2? )

? 1 P(? ?? ? X ? ? ?? ) ? 1 P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ......................11 分

2

2

【说明:此处不管考生用什么方法进行变换,只要有变换过程都给这 1 分】
? 0.8185 ................................12 分
【说明:此处是结论分 1 分,必须正确才给】

19. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)
解:(1) 解法(一): Q ?BCD ? 60o , AB ? AD ? 1,CB ? CD ? 3,

? ?CDA ? 90o , ?CA ? 2 .. .......1 分(没有这一步扣一分)

?以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系. .......2 分 设 M 是 BD 的中点,连接 MC1 ...............................................2 分 Q C C1⊥平面 ABCD, CB ? CD ? 3, ? C1D ? C1B . Q M 是 BD 的中点,? MC1 ⊥ BD ...........................................3 分

Q

E(1,0, 3 ), M ( 3 ,

4

4

3 4

,

0)

,

C1

(0,

3,3) ,

?

uuuur MC1

?

(?

3 4

,

3

3 4

,

uuur 3) , DE ? (1, 0,

3 ) . ...................... .....4 分

4

uuuur uuur 3 3 3

Q

MC1 gDE

?

?

?1? 4

4

?0?

3?

3 4

?

0

,?

uuuur MC1



uuur DE

.....................5



uuuur uuur uuur (证得 MC1 ⊥ ME 或 BE 也行)

uuur

uuuur

Q DE 与 BD 相交于 D, ? MC1 ⊥平面 EBD .

uuuur Q MC1 在平面 C1BD 内, ?平面 EBD ⊥平面 C1BD ............................6 分

解法(二): 设 M 是 BD 的中点,连接 EM 和 MC1, EC1 ............................1 分

Q AB ? AD, CB ? CD, ? BD ⊥ CA 且 C, A, M 共线. ? BD ⊥ ME , BD ⊥ MC1 .

Q EA⊥平面 ABCD, C C1⊥平面 ABCD , ?∠ EMC1 是二面角 E ? BD ? C1 的平面角...........................2 分

Q ?BCD ? 60o , AB ? AD ? 1,CB ? CD ? 3,

? ?CDA ? 90o , MA = 1 , MC = 3 ......................3 分(正确计算出才给这 1 分)

2

2

Q A1E ? 3AE , CC1 ?

3 ,? EM ?

7 4

, C1M

?

21 . ………………4 分(至少算出一个) 2

Q C1E ?

91 , ..........................................5 分 4

? C1E2 ? C1M 2 ? EM 2 ,即 C1E ⊥ EM .?二面角 E ? BD ? C1 的平面角为直角.

?平面 EBD⊥平面 C1BD ..............................................6 分

解法(三): Q ?BCD ? 60o , AB ? AD ? 1,CB ? CD ? 3, ? ?CDA ? 90o , ?CA ? 2 .

以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系. .......1 分 设 M 是 BD 的中点,连接 EM 和 MC1, EC1 .. Q AB ? AD, CB ? CD, ? BD ⊥ CA 且 C, A, M 共线. ..........................2 分

Q EA⊥平面 ABCD, C C1⊥平面 ABCD ,? BD ⊥ ME , BD ⊥ MC1 . ?∠ EMC1 是二面角 E ? BD ? C1 的平面角...................................3 分



E(1,0, 3 4

),

C1

(0,

3,3) , M ( 3 , 3 , 0) ..........4 分(至少正确写出一个点的坐标) 44

?

uuur ME

?

(

1

,

?

4

3, 4

3 4

)

,

uuuur MC1

?

(?

3 4

,

3

3 4

,

3) .

uuur uuuur 1 3

3 33

?

ME

?

MC1

?

4

?

(?

) 4

?

(?

4

)?

4

?

3? 4

3 ? 0 ...............5 分

uuur uuuur ? ME ⊥ MC1 ,∠ EMC1 ? 90o , 二面角 E ? BD ? C1 的平面角为直角,平面 EBD⊥平面 C1BD ......................6 分

解法四: 连结 AC , A1C1 , B1D1 ,交点为 O 和 N ,如图.
N
Q ?BCD ? 60o , AB ? AD ? 1,CB ? CD ? 3,

? ?CDA ? 90o , ?CA ? 2 .以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y

ON 为 z 轴,建立空间直角坐标系. .......1 分

则 O 是 BD 的中点.

O

Q C C1⊥平面 ABCD, CB ? CD ? 3, O 是 BD 的中点,

轴,

? C1D ? C1B .Q O 是 BD 的中点,? OC1 ⊥ BD ......3 分

Q

E(0, ? 1, 3), B( 24

3 2

,

0,0)

,

C1

(0,

3,3 2

)

?

uuuur OC1

? (0, 3 , 2

uuur 3) , BE ? (?

3 ,? 1 ,

3) .

2 24

uuuur uuur

3

31

Q OC1gBE ? ?

2

? 0 ? ? (? ) ? 22

3?

3 4

?

0

,?

uuuur OC1



uuur BE

...................5



uuur

uuuur

Q BE 与 BD 相交于 O, ? OC1 ⊥平面 EBD .

uuuur Q OC1 在平面 C1BD 内, ?平面 EBD ⊥平面 C1BD ............................6 分

(2) 解法一: (若第 1 问已经建系)

uuur

uuur

Q A(1, 0, 0) , DA ⊥平面 C1DC ,? DA ? (1, 0, 0) 是平面 C1DC 的一个法向量......8 分

Q

B(3 , 2

3 2

,0),

C1

(0,

3,3) ,

uuur DB

?

(

3

,

2

3 2

,

0)



uuuur DC1

?

(0,

3,3)

设平面

C1BD

的法向量是

ur m

?

(x,

y,

z)

,则

ur uuur ???mur guDuuBur?

0,



? ? ?

3 2

x

?

3 2

y

?

0



??mgDC1 ? 0

? ?

3y ?

3z ? 0

ur 取 x ? 1,得 y ? ? 3, z ? 3 .平面 C1BD 的法量 m ? (1, ? 3, 3) ................10 分

【另解:由(1)知当 A1E ? 3AE 时, ME ⊥平面 C1BD ,则平面 C1BD 的法向量是

uuur ME

=

(

1

,

?

3,

3) 】

4 44

uuur ur Q cos ? DA, m ??

uuur ur uuDurA? mur

..........................................11 分

| DA | ? | m |

?

7 7

?由图可知二面角 C

-

C1D -

B 的平面角的余弦值为

7 . ................12 分 7

解法二: (第 1 问未建系)

Q ?BCD ? 60o , AB ? AD ? 1,CB ? CD ? 3, ? ?CDA ? 90o , ?CA ? 2

以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系. ........7 分 uuur
Q A(1, 0, 0) , DA ⊥平面 C1DC , uuur
? DA ? (1, 0, 0) 是平面 C1DC 的法向量......................................8 分

Q

B(3 , 2

3 2

,0),

C1

(0,

3,3) ,

uuur DB

?

(

3

,

2

3 2

,

0)



uuuur DC1

?

(0,

3,3) ,

设平面

C1BD

的法向量是

ur m

?

(x,

y,

z)

,则

ur uuur ???mur guDuuBur?

0,



? ? ?

3 2

x

?

3 2

y

?

0



??mgDC1 ? 0 ?? 3y ? 3z ? 0

ur 取 x ? 1,得 y ? ? 3, z ? 3 .平面 C1BD 的法量 m ? (1, ? 3, 3) ..................10 分

uuur ur Q cos ? DA, m ??

uuur ur uuDurA? mur

............................................11 分

| DA | ? | m |

?

7 7

.?由图可知二面角 C

-

C1D

-

B 的平面角的余弦值为

7 . ..................12 分 7

解法三: (几何法)

设 N 是 CD 的中点,过 N 作 NF⊥ C1D 于 F,连接 FB,如图.........................7 分

?BCD ? 60o , CB ? CD ? 3, ? NB⊥CD.

Q 侧面 C1D ⊥底面 ABCD, ? NB⊥侧面 C1D .....8 分 Q NF⊥ C1D ,?BF⊥ C1D ?∠BFN 是二面角 C - C1D - B 的平面角.........9 分

F N

Q 依题意可得 NB = 3 , NF = 6 ,BF = 42 ........11 分

2

4

4

? cos ∠BFN= NF = BF

7 7

. ?二面角 C

-

C1D -

B 的平面角的余弦值为

7 . ..........12 分 7

20. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

解:(1)解法一:由题意得抛物线方程为 y2 ? 4x ................................1 分

设直线 l 的方程为 x ? my ? 4 ...............................................2 分



A(

y12 4

,

y1 ),

B(

y22 4

,

y2 ), 其中

y1

?

0 .由|

MB |?

4|

AM

| ,得

y2

?

?4 y1 ...............3



联立

? y2 ? 4x, ??x ? my ?

4,

可得

y2

?

4my

?16

?

0

,

? y1 y2 ? ?16,

? ?

y2

?

?4 y1,

?? y1 ? y2 ? 4m

解得

y1

?

?2

,

y2

?

8

,........4



? m ? 3 ..............................................................5 分 2

?直线 l 的方程为 2x ? 3y ? 8 ? 0 ...........................................6 分

解法二: 由题意得抛物线方程为 y2 ? 4x ......................................1 分

设直线 l 的方程为 y ? k(x ? 4) ............................................2 分



A(

y12 4

,

y1 ),

B(

y22 4

,

y2 ), 其中

y1

?

0 .由|

MB |?

4|

AM

| ,得

y2

?

?4 y1 ...............3



联立

? y2 ? 4x,

? ?

y

?

k

(

x

?

4)

可得

ky2

?

4y

?16k

?

0

,

? ?

y1

?

?

y2

?

4 k

? y2 ? ?4 y1,

? ?

y1

y2

?

?16

,

解得

y1

?

?2

,

y2

?

8 ,........4



?

? k ? 2 ..............................................................5 分 3

?直线 l 的方程为 2x ? 3y ? 8 ? 0 ...........................................6 分

解法三: 由题意得抛物线方程为 y2 ? 4x ....................................1 分

设直线 l 的方程为 y ? k(x ? 4) ............................................2 分

令 A(x1, y1), B(x2, y2 ), 其中 x2 ? 4 ? x1 ? 0, 由| MB |? 4 | AM | ,

得 x2 ? 20 ? 4x1, k ? 0 .......3 分

联立

? y2 ? 4x,

? ?

y

?

k(x

?

4)

可得

k 2 x2

?

(8k 2

?

4)x

?16k 2

?

0

,

?

8k 2 ?

? ?? ?

x1 x2

? ?

x2 ? 20 ?

4

k x1

2
,

? ?

x1

x2

?

16

4

,

??

解得 x1 ? 1 , x2 ? 16 ,..................................................4 分 ? k ? 2 . ..........................................................5 分
3 ?直线 l 的方程为 2x ? 3y ? 8 ? 0 ........................................6 分

第一问得分点分析:(1)求出抛物线方程,得 1 分。
(2)设出直线 l 方程,得 1 分

(3)求出 A,B 两点横纵标关系( x2 ? 20 ? 4x1 )或纵坐标关系( y2 ? ?4 y1 ),得 1 分

(4)联立方程组,求出纵坐标( y1 ? ?2 , y2 ? 8 )或横坐标( x1 ? 1 x2 ? 16 ),得 1 分
(5)求出待定的字母,得 1 分
(6)下结论,写对直线 l 方程,得 1 分。(若学生得两种结果,不得分)

(2)设 P(x0 , y0 ) ,直线 l : x ? my ? 4, Q 点 P 在抛物线 C2 上,

?直线 l 的斜率存在, m ? 0. …………………………………7 分

O,

P

关于直线 l

:

x

?

my

?

4

对称,所以

? ?? ? ?

x0 2 1

?m ? y0

? ?

?? m x0

y0 ? 2 ?1,

4,

.解得

? ?? ?

x0

? ??

y0

? ?

8 1? m2 ?8m 1? m2

, ,

.......8





8

P( 1

?

m2

?8m ,1? m2

) 代入抛物线 C2

:

y2

?

4x

,可得 m1

? 1,

m2

?

?1

.........9 分

直线 l 的方程为 x ? y ? 4 或 x ? ? y ? 4....................................10 分

设椭圆为 x2 ? y2 ? 1, (? ? 1) . 联立直线和椭圆,消去 x 整理得 ? ? ?1

(2? ?1) y2 ? 8(? ?1) y ? ?2 ?17? ?16 ? 0 Q ? ? 0,

? 64(? ?1)2 ? 4(2? ?1)(? 2 ?17? ?16) ? 0.解得 ? ? 17 ........................11 分 2

则 a2 ? 17 , 即 a ? 2

34 2

.? 椭圆

C1

的长轴长的最小值为

34 ....................12 分

第二问得分点分析:

(1)点 P 坐标算对,得 2 分,若点 P 坐标不对,有过程,过程无论对错,得 1 分

(2)利用对称关系,得到点 P 坐标与待定字母之间关系,得 1 分。、

(3)将点 P 坐标代入抛物线方程,求出待定字母,得 1 分。

(4)写出直线方程,得 1 分。

(5)由直线与椭圆有公共点,得椭圆方程中待定字母的范围,得 1 分

(6)求出长轴长的最小值,得 1 分

(另外:若设直线方程为

y

?

k(x

?

4)

,则

8k 2

P( 1

?

k

2

?8k ,1? k2

)

代入抛物线 C2

:

y2

?

4x

,得

k

?

?1,

直线 l

的方程为 y ? ?(x ? 4) .也对应给分)

21. (本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

解:(1) F(x) ? f (x) ? g(x) ? ln x ? ax ? 1 ? a , (x > 0) . x

F '(x)

=

1 x

-

a+

1 x2

...................................................1



①若 a ? 0 时, F?(x) ? 0 ,则 F(x) ? f (x) ? g(x) 在(0,? ?)上是增函数........2 分

②若 a ? 0 时,则 F(x) ? f (x) ? g(x) 在(0,1 ? 1 ? 4a )上是增函数............3 分 2a

F(x) ? f (x) ? g(x) 在(1 ? 1 ? 4a ,? ?)上是减函数........................4 分 2a

(说明:(1) f (x), g(x) 分别求导正确没有作差也给 1 分求导分,

(2)忘记讨论 a ? 0 且 a ? 0 单调性正确,不扣分,这 1 分也给。)

(2)若 f (x) ? g(x) ? 0 在定义域内恒成立,考虑以下情形:

①当 f (x) ? 0 , g(x) ? 0 同时恒成立时,

由 f (x) ? ln x ? ax ? 0,a ? ln x 恒成立..................................5 分 x

得: a ? 1 .........................................................6 分 e

∵由 g(x) ? 0, 1 ? a ? 0 恒成立得: a ? 0 .∴ a ? 1 ............................7 分

x

e

②当 f (x) ? 0 , g(x) ? 0 同时恒成立时, a 不存在;..........................8 分

③当 a ? 0 时,∵ f (x) ? ln x ? ax 为增函数, g(x) ? 1 ? a 为减函数, .............9 分 x
若它们有共同零点,则 f (x) ? g(x) ? 0 恒成立................................10 分

由 f (x) ? ln x ? ax ? 0 , g(x) ? 1 ? a ? 0 ,联立方程组解得: a = - e ..............11 分 x

综上: a ? 1 或 a = - e ...................................................12 分 e
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解: (1) (解法一)Q 直线 l 的倾斜角为 3? ,?点 A 的极角? ? 3? ............1 分

4

4

代入圆 E 的极坐标方程得 ? ? 2 2 ........................................2 分

?点 A 的极坐标 (2 2, 3? ) ..............................................3 分 4
(解法二)由已知得直线的 l 的直角方程为 y ? ?x ①,

圆 E 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 ②........................1 分
(写对其中一个方程均给 1 分) 联立①②得 A 点直角坐标为(-2,2),.. ............ ...............2 分

由? ?

x2

?

y2 , tan?

?

y x



A

点极坐标

A

? ??

2

2,

3? 4

? ??

............3



(不写公式不扣分)

(2)(解法一,第一(1)问用极坐标做的)由(1)得线段 OA 的中点 M 的极坐标是 ( 2, 3? ) , 4
? M 的直角坐标为 (?1,1) ..............................................4 分 Q 圆 E 的极坐标方程为 ? ? 4sin? ,

?圆 E 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 ................................5 分

设直线

m

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

?1? t cos? 1? t sin?,

,

(

t

为参数)..........................6



代入 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 得 t2 ? 2t(sin? ? cos? ) ? 2 ? 0 .Q ? ? 4(sin? ? cos? )2 ? 8 ? 0

,设 B,C 的参数依次为 t1, t2 ,则 t1 ? t2 ? 2(sin? ? cos? ) ..........................7 分 ? || MB | ? | MC || ?|| t1 | ? | t2 || ?| t1 ? t2 | ......................................8 分 ? 2 | sin? ? cos? | ? 2 2 | sin(? ? ? ) | ......................................9 分
4 ? || MB | ? | MC || 的最大值为 2 2 | (此时直线 m 的倾斜角为 ? )..................10 分
4
(解法二)由(1)知 A(2,-2),则 M(1,-1)………………1 分

MB ? ME ? 2 ? 2 ? 2 …………………………3 分 man

MC ? 2 ? ME ? 2 ? 2 ……………………………5 分 mIn

MB ? MC ? MB ? MC ? 2 2 ………………6 分

max

min

(解法三)由(1)A 点直角坐标为(-2,2),M 是 OA 中点,所以 M 点坐标为(-1,1)...4 分
Q 圆 E 的极坐标方程为 ? ? 4sin? ,

?圆 E 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 ..........................5 分

当 BC⊥x 轴时,直线 BC 方程为 x ? ?1.............6 分(会分类就给 1 分)

? ? ? x2

?

x ? ?1 y2 ? 4y

?

0

?

x ? ?1 或 y ?2? 3

x ? ?1 y ?2? 3

不妨设 B(?1, 2 ? 3), C(?1, 2 ? 3)

|| MB | ? | MC ||? 2 ? 3 ?1 ? 2 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ?1 ? 3 ? 2 ...........7 分

当 BC 与 x 轴不垂直时,设直线 BC 方程为 y ?1 ? k(x ? 1) , B(x1, y1 ), C(x2 , y2 )

? ? ? y
x2

?1 ? ? y2

k(x ? 1) ?4y ? 0



y



1? k2

x2 ? 2k ?k ?1? x ? k2 ? 2k ? 3 ? 0

2k ?k ?1?

k 2 ? 2k ? 3

x1 ? x2 ? ? 1 ? k 2 , x1x2 ? 1 ? k 2 ,

......................8 分

设 B(x1, y1 ), C(x2 , y2 ) , MB ? 1? k 2 x1 ?1 , MC ? 1? k 2 x2 ?1

|| MB | ? | MC ||? 1? k2 x1 ?1 ? 1? k2 x2 ?1 ............................9 分

|| MB | ? | MC ||? 1? k 2 x1 ?1 ? x2 ?1 ? 1? k 2 x1 ? x2 ? 2

(若会用两点间距离公式给 1 分)

= 1 ? k 2 ? 2k?k ?1? ? 2 ? 2?k ?1? …………………8 分

1? k2

1? k2

= 2 1 ? 2k ? 2 1 ? 2k ………………………9 分

1? k2

1k

=2 2

……………………10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

解:(1)当 x ? ?3 时| x ?1| ? | x ? 3 | ? ?x ?1? x ?3 ? ?2x ? 4 ? 4,

解得 x ? ?4 .所以 ?4 ? x ? ?3. 当 ?3 ? x ? ?1时| x ?1| ? | x ? 3| ? ?x ?1? x ? 3 ? 2 ? 4 ,

解得 ?3 ? x ? ?1 当 x ? ?1时| x ?1| ? | x ? 3 |? x ?1? x ? 3 ? 2x ? 4 ? 4

解得 x ? 0 所以 ?1 ? x ? 0 ...........................................4 分

(分类标准对统一给 1 分,每个不等式去掉绝对值正确各给 1 分)
不等式| x ?1| ? | x ? 3 |? 4 的解集为?x | ?4 ? x ? 0?;.......................6 分

(2)证明:(解法一) 4?a ? b?2 ? ?ab ? 2a ? 2b?2 ……………………7 分
= a2b2 ? 4a2b ? 4ab2 ?16ab …………………8 分
= ab?b ? 4?(a ? 4) >0………………………………9 分 ? 4?a ? b?2 ? ?ab ? 2a ? 2b?2
? 2 a ? b ? ab ? 2a ? 2b ……………………10 分 (解法二)Q ?4 ? a ? 0, ?4 ? b ? 0 ....................................7 分 则 a(b ? 4) ? 0,4a ? ?ab, 2a ? 2b ? ?ab ? 2a ? 2b ........................8 分 同理 ab ? 2a ? 2b ? 2a ? 2b ,..........................................9 分 所以 2 | a ? b |?| ab ? 2a ? 2b | ........................................10 分
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