四川省资阳市2017届高三上学期期末考试数学理试卷 含解析 精品

资阳市高中 2014 级第二次诊断性考试 数学(理工类)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A. 【答案】B 【解析】由题意得, 2.为虚数单位,已知复数 满足 A. 【答案】C 【解析】由题意得,设 ,则 , ,故选 C. B. C. ,则 D. ,则 ( ) ,故选 B. B. C. D. ,则 ( )

3. 下面的茎叶图表示连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目,则这些车辆数的中位数 和众数分别是( )

A. 230.5,220 【答案】C

B. 231.5,232

C. 231,231

D. 232,231

【解析】由题意得,连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目分别为 ,中位数为 C. 4. 在 A. 135 【答案】A 的展开式中,各二项式系数之和为 64,则展开式中常数项为( B. 105 C. 30 D. 15 ) ,众数为 ,故选

【解析】由二项式系数的性质,得 ,则 5. 已知向量 A. 【答案】C 【解析】由题意得, 6. 已知 A. B. 1 ,则 C. D. 满足 B. 19 C.

,则

的展开式为

,展开式中常数项为 135,故选 A. ,向量 与 的夹角为 60°,则 D. 7 ( )

,则选 C. 的值为 ( )

【答案】A 【解析】由题意得, ,则

,故选 A. 7. 四个数 A. C. 【答案】D 【解析】由题意得, 8. 一块硬质材料的三视图如图所示, 正视图和俯视图都是边长为 切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近 ( ) ,故选 D. 的正方形, 将该木料 的大小顺序是 ( B. D. )

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】由题意得,几何体为一个三棱柱,底面为腰为 到的最大球为等腰直角三角形的内切球,其半径为 近 ,故选 A.

的等腰直角三角形,高为

,得 ,最接

9. 执行如图所示的程序框图,若输入 ,则输出 的值为( )

A. 15

B. 3

C. -3

D. -15

【答案】C 【解析】由题意得,

当 10. 在 中,

时,跳出循环,则 ,若

,故选 C. ,则向量 在 上的投影是( )

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】由正弦定理得, ,则 11. 已知双曲线 .若在 的渐近线上存在点 ,使得 A. 【答案】B 【解析】由题意得, ,设 ,由 B. C.

,由余弦定理得, ,故选 B. 的右顶点为 ,抛物线 ,则 的离心率的取值范围是 ( D. 的焦点为 )

,得 ,

,因为在 的渐近线上存在点 ,则 即 ,故选 B.

,又因为 为双曲线,则

【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用,抛物线基本性质的应用,向量数量积坐 标运算以及一元二次方程根的判别式的运用,属于中档题,首先可画一张草图,分析其中的 几何关系,然后将 一元二次方程有实数解, 解题的关键. 12. 设集合 “ A. 60 B. 65 C. 80 ”的元素个数为( D. 81 ) ,那么集合 中满足条件 系用代数形式表示出来,即可得到一个一元二次方程,若要使得 ,水到渠成,即可得到答案,因此将几何关系转化成方程是

【答案】D 【解析】由题意可得, 当 当 当 成立,需要分五种情况讨论: 时,只有一种情况,即 时,即 时,即 ,有 ,有 ; 种;

种; 当 种 当 种, 综合以上五种情况,则总共为: 种,故选 D. 时, 即 , 有 时,即 ,有

【点睛】本题主要考查了创新型问题,往往涉及方程,不等式, 函数等,对涉及的不同内容, 先要弄清题意,看是先分类还是先步,再处理每一类或每一步,本题抓住 只能

取相应的几个整数值的特点进行分类,对于涉及多个变量的排列,组合问题,要注意分类列 举方法的运用,且要注意变量取值的检验,切勿漏掉特殊情况.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13. 已知实数 满足 ,则的最大值是__________.

【答案】 【解析】 由约束条件可作如图所示的可行域, 两直线的交点 时,斜率 最大,即的最大值为 . ,则当过原点的直线过点

14. 将函数

的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的 , 的图象,则 解析式为__________.

纵坐标不变,便得到函数 【答案】

【解析】由题意得,当函数

的图象向左平移 个单位,则

,将所得 ,即答案为

图象上各点的横坐标缩为原来的 ,纵坐标不变,则 . 15. 若直线 ( 都是正实数) 与圆 相交于

两点, 当



是坐标原点)的面积最大时, 【答案】2

的最大值为__________.

【解析】根据题意画出图形,如图所示:

由 ,即 .

的面积为 可得,

为直角三角形, ,那么只有当且仅当

,则点 到直线 时,

的距离为 取最大值

16. 已知函数 恰好只有 3 个公共点,则 【答案】 【解析】由题意得,当 的图象只有一个交点,当 入到 得, 中,得

, 若函数



处的切线与函数

的图象

的取值范围是__________.

时,直线的方程为: 时,

,其与 ,则将直线的方程 ,由

时 代

,当 ,在定义域内,此时在

时, 时,直线与 有两个交点,综

合有三个交点;当 时,直线与

时,

,不在定义域内,此时在 的

有一个交点,综合只有两个交点;结合上述两种情况,与

图象的公共点个数为 2 或 3. 【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题,分类讨论思想的应用,属于难题, 本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题, 当 时, 将直线直线代入到

中,得到一元二次方程,利用求根公式将根表示出来,再由范围对根满足题意的个数进行讨 论即可求解.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列 (1)求数列 (2)记 项和. 【答案】 (1) 或 2;(2) . 的通项公式,利用条件 ,求出数列 即 的通 的前 项和为 的公比 的值; ,数列 的前 项和为 ,若 ,求数列 的前 9 ,且 .

【解析】试题分析: (1)由题意得,设等比数列 可求解; (2)由(1)可得到数列 项公式,裂项即可求解. 试题解析: (1)由 由题知公比 则 所以 所以 解得 或 或 2; ,则 , 是等比数列,则 矛盾) , ,

的通项公式,再由



(否则与



(2)由题 取值为 2, 则 所以数列 由 解之得 得 ,即 , , 是一个公差为 1 的等差数列, ,

所以数列

的前 9 项和, .

18. 观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/ 月)与月平均气温的对比表如下: 温度 生长速度 -5 2 0 4 6 5 8 6 12 7 15 8 20 10

(1)求生长速度 关于温度的线性回归方程; (斜率和截距均保留为三位有效数字) ; (2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从 果某月的平均气温是 至 时生长速度的变化情况,如

时,预测这月大约能生长多少.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: . 【答案】 (1) ;(2)

【解析】试题分析: (1)根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据,代入 求系数 的公式中,求得结果,再把样本中心点代入公式,求出 的值,即可得到线性回归 方程; (2)根据(1)所求的线性回归方程,把 约能生长多少. 试题解析: (1)由题可知 , , , 代入线性回归方程,即可求出预测这月大



, ; 至



于是生长速度 关于温度的线性回归方程为: (2)利用(1)的线性回归方程可以发现,气温从月平均气温从

时该植物生

长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是 . 19. 如图,矩形 和等边三角形 中,

时,预测这月大约能生长

,平面

平面



(1)在

上找一点 ,使

,并说明理由; 与平面 所成锐二面角余弦值. 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .

(2)在(1)的条件下,求平面

【答案】 (1)证明过程见解析; (2)平面 【解析】试题分析:(1) 分别取 明 面 , 进而得到 的中点

,利用三角形的中位线的性质,即可证 与平面

; (2) 建立空间直角坐标系, 利用平面

法向量成的角去求解. 试题解析: (1) 为线段 分别取 在等边三角形 ,而 所以 面 ,所以 的中点 中, , ; 的中点,理由如下: ,连接 , 为矩形 的中位线,

,又

于是 设面 则面 的法向量 的一个法向量 ,于是

, ,所以 ,得 ,又 是线段 ,且 , ,取 ,则 , 的中点, , ,

则 的坐标为 又设面 由 的法向量 ,得

平面 所以 平面

的一个法向量 , 与平面



所成锐二面角的余弦值为 .

20. 已知椭圆 比中项. (1)求曲线 的方程;

的左焦点

的离心率为



和 的等

(2) 倾斜角为 的直线过原点 且与 交于 点,若 【答案】 (1) ,求 的值. ;(2) .

两点, 倾斜角为 的直线过

且与 交于



..................... 试题解析: (1)由题可知,椭圆中 ,解得 ,所以椭圆的方程是

; (2)设倾斜角为 的直线为 ,倾斜角为 的直线 , ①当 时,由 ,知 ,则 ,

于是 (2)当 设 时,由 ,则 ,知 ,

,此时



,且这两条直线的斜率互为相反数,



,可得









可得:



由于 设 与椭圆的两个交点坐标依次为 于是 ∴ , ,



,综上所述总有 21. 已知函数 ) . (1)若

. (其中 为自然对数的底数,

仅有一个极值点,求 的取值范围; 时, 有两个零点 ,且 .

(2)证明:当 【答案】 (1)

;(2)证明过程见解析. ,转化不等式,再通过 与 的大小讨论即可

【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数 求 的取值范围; (2)通过 的范围及

的零点个数,即可确定函数恒成立的条件,通过构

造函数的方法,转化成利用导函数求恒成立问题. 试题解析: (1) 由 得到 或 (*) ,

由于

仅有一个极值点,

关于 的方程(*)必无解, ①当 ②当 时, (*)无解,符合题意, 时,由(*)得 ,故由 时, 为 时, , 于是 得 , 时, ; ,

由于这两种情况都有, 当 于是 为增函数,∴仅

为减函数, 当

的极值点,综上可得 的取值范围是 为 的极小值点, 对于 恒成立,

(2)由(1)当 又∵ 对于 对于 ∴当 即 且 所以 下面再证明 由 由于 于是只需证明 也就是证明 得 时,

恒成立, 恒成立, 有一个零点 , , (#) , ,即证 , , ,当 时, 有另一个零点 ,

为减函数, , ,

, 借助(#)代换可得 , 令 则 ∵ 为 , 的减函数,且 , ,

∴ 于是 ∴ 为 的减函数,即 ,这就证明了



恒成立, , ,综上所述, .

【点睛】 本题主要考查函数的单调性和不等式的证明, 考查了利用求导数研究函数的性质解 题能力和分类讨论思想的应用, 第一问借助函数为单调函数进行转化, 第二问通过构造函数, 分析函数的单调性,最终达到证明不等式成立的目的,因此正确构造函数是解决本题的关键.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,抛物线 的方程为 .

(1)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 的极坐标方程; (2)直线的参数方程是 【答案】 (1) (为参数) ,与 交于 ;(2) 1 或-1. 两点, ,求的斜率.

【解析】试题分析:(1)把抛物线 的方程可利用公式化成极坐标方程; (2)由直线的参数方 程求出直线的极坐标方程,再将的极坐标方程代入 的极坐标方程,根据 直线的斜率. 试题解析: (1)由 抛物线 的极坐标方程 可得, ; , 即可求出

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为 设 所对应的极径分别为 , ∵ 于是 (否则,直线与抛物线 没有两个公共点) ,

,将的极坐标方程代入 的极坐标方程得

, 由 得 ,

所以的斜率为 1 或-1. 23. 选修 4-5:不等式选讲

已知函数



(1)在图中画出 (2)求不等式

的图象; 的解集. . 的解析式,根据分段函数的

【答案】 (1)函数图象如图所示; (2) 【解析】试题分析: (1)对绝对值进行分类讨论,即可求出

解析式可得到图象; (2)根据(1)中的图象即可得到不等式的解集.

试题解析: (1)∵



函数

的图象如图所示

(2)由不等式 由 当 当 故 的表达式及图象, 时,可得 时,可得 的解集为







或 或

; , ;

的解集为 所以 的解集为

, .

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